四川省泸县第五中学2025-2026学年高一下学期第三次学月考试数学试题

**基本信息** 泸县五中高一数学学月考试卷，覆盖集合、向量、三角函数、立体几何等核心知识，通过基础辨析、开放探究及新定义题型，分层考察数学抽象、逻辑推理与空间想象能力，适配高一知识掌握与素养发展需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、命题否定、向量夹角等|基础概念辨析，如第4题充要条件判断| |多选|3/18|复数性质、解三角形、立体几何动点|多角度综合，如第11题正方体动点问题| |填空|3/15|共线向量、三角求值、四边形范围|简洁计算，如第14题平面四边形取值范围| |解答|5/77|向量投影、三角函数、解三角形（开放条件）、立体几何翻折、函数有界性|创新应用，如17题三选一条件开放，19题新定义有界函数考察抽象思维|

泸县五中高2025级高一下期第三次学月考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 3．不等式的解集是 A． B．或 C． D． 4．“一元二次方程有实数根”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知平面向量，，，则与的夹角为 A． B． C． D． 6．已知，，，函数 的部分图象如图所示，则该函数的表达式是 A． B． C． D． 7．若，则的值是 A． B． C． D． 8．已知在正四面体中，D，E，F分别在棱，，上，若，，则点 平面的距离为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．设复数z满足为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是 A． B．的虚部为 C．是个纯虚数 D．复数z对应的点位于复平面的第一象限 10．对于，有如下判断，其中错误的是 A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 11．在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则 A．平面 B．的最小值为 C．直线与平面所成角余弦值的取值范围为 D．若为的中点，则三棱锥外接球的表面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 12．已知为共线向量，且，则__________. 13．已知，则________． 14．在平面四边形中，，，则的取值范围为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15（13分）． 已知在平面直角坐标系中，点，，. (1)若，求的值； (2)记在方向上的投影向量为，求的坐标. 16．（15分） 已知，，且． (1)求函数的最小正周期； (2)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 17．（15分） 从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． (1)求角C的大小； (2)若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 18．（17分） 如图，在平面四边形中，，，，，将沿着翻折得到（保留原平面四边形）形成四棱锥． (1)若二面角为直二面角． ①求直线与平面所成角的正弦值； ②过点且平行于平面的平面交于点，求三棱锥的体积； (2)点在同一个球面上，设该球面的球心为，半径为，二面角和的平面角大小分别为，求（结果用表示）． 19．（17分） 若函数与区间同时满足：①区间为的定义域的子集；②对任意，存在常数，使得成立，则称是区间上的有界函数，其中称为的一个上界． (1)试判断是否为上的有界函数？并说明理由； (2)已知函数是区间上的上界为3的函数，求实数的取值范围； (3)若函数，问：在区间上是否存在上界？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $泸县五中高2025级高一下期第三次学月考试 数学参考答案 单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B 公 A C B D D 二，多选题 题号 9 10 11 答案 ACD BD ABD 三.填空题 12.613.1 14 [20-4V5,16] 四.解答题 AB=(3,4),AC=(-1,2) 15解：(1)由题意知， AB+tAC)⊥(AB-tAC) 因为 所以+aC(-1M0=-4rC2=0 …4分 即25-5=0，解得 =±√5 …7分 AB=(3,4),AC=(-1,2) (2)由(1)知 所以 B·AC=5 …9分 aC×4C-C=,2) 则 5 …13分 16.解：(1)a=(2sinx,cos).万=(cosx,-2cosr) ).6+1-2inwcosr-2co+sin2x-co2xsinx …4分 :函数f()的最小正凋期T= 2 …6分 (2由得)=2sn2x-到 ”将西数（图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数8( 的图象， “g(-n2-引-m-到 …8分 。。。。。。。。。。 .…10分 …12分 smg-4到}e即e1 “函数3（的值为 …15分 17.解：(1)若选条件①， 依证，意释9+cC=6cn4,根报正弦定理得n4+加coC=5d血Cs血A…2分 因为0<A< 2,所以sinA>0:则1+cosC=V3sinC,即5sinC-cosC=14分 …6分 又0<C<π' 66,所以C-骨 …7分 若选条件②， sin CsinB sin A+sin B 由正弦定理得 6 2 …2分 所以siC 3 sin A+sin B sin(B+C)+sin B 2 sin B+1 cos B 2 2 。。。。。。。。。。。 …3分 sin Bcos C+cos Bsin C+sin B 4分 inCsinB+sin Ccossin BcoCcinC+s …5分 即V3 sin Csin B=sin BcosC+sinB,整理得V3sinC-cosC=l,即 …6分 、因为C∈(0元)，所以C石-石，所以C三3… …7分 若选条件③， 在AABC中，因为nB-S1nA=sin(C-A)A+B+C=元.…1分 sin(C+A)-sin A=sin(C-A) 所以 …2分 sin C cos A+cos Csin A-sin A=sin Ccos A-cos Csin A.... …4分 化简得sinA=2c0 sCsin A.…5分 又A∈(0，)，则sinA≠0，故cosC 2 …6分 因为0<C<:所以C= …7分 (2)在△ABC中，根据余弦定理， 有C2=a2+b-2abc0sTea+h2-ah.d9分 2 即7=4+b2-2b,解得b=3或b=1（舍去)…10分 依题意， S.ACD+S.BCD=S.ABC CD.siCDsin 62 62 ab.sin交 …12分 即(a+b)-CD=V3ab,则 m CD=2V3b 2+b… .…14分 所以cD-3Y66g 2+b5… …15分 18.解：(1)过点P作PS L AC,连接BS.… …1分 因为二面角P-AC-D为直二面角，所以平面PAC⊥平面ABCD .…2分 且平面PAC∩平面ABCD=AC, 因为PS⊥AC,PSC平面PAC,所以PS⊥平面ABCD 3分 故∠PBS为直线PB与平面ABC所成角…4分 因为4D=2,BC=CD=25.AD1CDAC⊥BC 所以4C=4AB=2√万 因为△DAC沿着AC翻折得到△PAC,所以△PAC兰△DAC: 故PA=2.PC=2V5 sin∠PCA=PA_2_Ps-PS 在△PAC中， AC4PC25,解得PS=V3:5分 CS=PC2-PS2-12-3=3 故在直角三角形SBC中，SB=VBC2+SC=V2+9=V2i 在直角三角形PSB中，PB=V2I1+3=V24=2V6】 B 故in∠PBS=B PB 26 4: 2 故直线PB与平面ABC所成角的正弦值为4.…6分 ②连接SD,取PA靠近A点的四等分点E,连接SE,DE; 由①可知，AS=4-SC=1,根据翻折可知DS⊥AC; 又因为AC⊥BC,故DSIIBC, 因为DS￠平面PBC,BCC平面PBC,所以DS∥平面PBC;…7分 AS AE 1 因为AC=AP4,故SElIPC: 因为SE￠平面PBC,PCC平面PBC,所以SE∥平面PBC: 又SE∩DS=S,且SE,DSC平面SDE,故平面SDE∥平面PBC;8分 故F为P以靠近4点的四等分点：则'mc-m, 面5o40x0D-x2x25=25, 9分 1ps= E到平面ACD的距离h为4 4 3 42: …10分 (2)取AC,BC,PA,AB的中点T,N,M,2,连接OM,ON,MT,T0,QN,OT: …11分 △PAC的外接圆圆心为T,则OT⊥平面PAC,则OT⊥PA B △ABC .QOQ⊥.，ABC 0O⊥BC 的外接圆圆心为，则平面，则 因为M,T为PA,AC的中点，故MTIIPC,因为PC⊥AP,故MT⊥AP, 又因为OT∩MT=T,且OT,MTc平面OMT,则AP⊥平面OMT, 故AP⊥OM,故∠OMT为二面角0-AP-C的平面角C;…12分 则mna-oo.R2 MT 53:…14分 2 因为N,Q为BC,4B的中点，则70/CN,且0=BC=CN, 故四边形TONC为平行四边形，则TCIION,则QN⊥BC; 又因为O0nQN=Q,且O2,QNc平面OQN,则BC⊥平面OQW, 故BC10N,故∠ON0为二面角0-BC-A的平面角B;15分 anp-o0-10-Q8_R-R-7 可得 NO 1 2 2 D a-tn-475 M 3412. 19.解1)=-lx∈(0，+o) (的值域为+四），二四不是0.烟)上的有界函数：1分 J 2x f2(x)= 2x 2 2(x)= 2-2x+3x+3-2 因为 x2-2x+3,当x>0时， …2分 3 3 +2V=25 而x 当且仅当x=√3时，等号成立，…3分 0后2924分 前-司有：在a上收 “()是(0，+切)上的有界函数： …5分 「11 (2依题意知s(x川≤3在32上恒成立，即 -2x+n-x+as3「-1 1+x在3'2上恒成立， ∴.-3≤-2x+n 「11 1+x 3在3'2上恒成立， 则2-h-3sas2x-n+3别 1+x n1+x在32上恒成立…6分 a≥2r-n1-x-3 1+x max 等价于 a≤2x-1n-x+3 …7分 “1+xm 4e)2-2x周 1+x 1==-1+2y=1-x「-1 .y= 1+x x+p'y= 1+x在3'2上单调递减， 又y=lnx在(0，+o)上单调递增， ,y=n1-x「117 由复合函数的单调性可知 "1+x在32上单调递减， 6 Xy-2司*，青4-2r在*w地 [11 (=A=号-24()=A日=1+n3 a≥ln3-2 a≤n2,即h3-2≤a≤4n2.……-9分 3 n3-2,4-1n2 即a的取值范围为 ”3 .…10分 2+m3=1t1 ))+m9 1+m.3, 当m=0时，()=2(=2，此时M的取值范围是2，+切）， 当m≥0时，)=1+风在，]上是单调莲藏商数。 f(x) [2+3m2+m .f(x)e 2+3m2+m 其值域为 1+3m’1+m」， 1+3m’1+m] [2+m,+0 此时M的取值范围是1+m' …12分 当m<0时，由e01,可符+m:3eBm+lm+ 若（在D1刂上是有界面数，则区间为定义域的子袋， 所以B咖+lm+刊不包含0， 所以3m+1>0或m+1<0:解得：m<-1或3<m<0, m+23m+2 m<0.化=1+在0上是单调适带简藏，此时有位为别引…1分 > 3m+2、m+2 ①3m+1m+1, 3或m<0时./明s+2训+2 即ms351 3m+13m+1, 3m+2 此时M的取值范围是3m+,+0 …15分 3m+2m+2 -3-5 ②3m+1m+1,即3 <m<-1 时， m+2 四州+山，时M的取值是子 ,+00 …16分 M∈m+2 综上：当m≥0时，存在上界M, 当ms1 1 3m+2, 3或3<m<0 M 时，存在上界M, L3m+ m+2 时，存在上界M, m+1,too 当1≤m≤写时，此时不有在上界M:17分 8