2025-2026学年高二下学期期末模拟卷人教A版选择性必修三

**基本信息** 高二期末模拟卷涵盖导数、概率统计、排列组合等核心知识，通过奶茶销量预测、足球联赛观赛调查等真实情境，考查数学思维与数据观念，体现应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|导数几何意义、二项分布、线性回归|基础概念辨析，如切线斜率计算| |多选题|3|事件独立性、分布列性质|多选项分层考查逻辑推理| |解答题|12|导数应用、概率分布、独立性检验|综合题结合实际，如粽子抽样分布列、气温与销售额回归分析，梯度设计从计算到建模|

高二期末模拟卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知定义域为R的函数的导函数为，则＝（    ） A． B． C． D． 2．函数在处的切线斜率为（  ） A．1 B． C． D． 3．某班某日共5节课，计划安排上语文、数学、外语、美术、体育这5门课，若体育课必须安排在第4节或第5节，且语文课、数学课相邻，则不同的安排方案共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．已知，，，则为（     ） A． B． C． D． 5．若随机变量的概率分布如下： 2 3 4 0.3 0.1 则（     ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 6．已知随机变量，则（    ） A．10 B．3 C． D． 7．已知，且和的分布密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 8．网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额（单位：万元）与年份代码进行了统计，得如下数据： x 1 2 3 4 5 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数（   ） 参考公式：，参考数据：，． A．0.99 B．0.98 C．0.97 D．0.96 9．某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 m 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 10．已知事件，的对立事件分别记为，，若，，，则（     ） A．事件与互斥 B． C． D． 11．若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 12．已知随机变量，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 13．已知曲线，求： (1)曲线上哪一点的切线平行于直线？ (2)曲线过点的切线方程. 14．求下列函数的导数： (1)； (2)． 15．已知函数． (1)若函数在处有极小值，求实数a的值； (2)若，求函数在区间上的最值． 16．已知二项式的展开式中，所有项的二项式系数和为256． (1)求展开式中的常数项； (2)写出展开式中所有系数为有理数的项． 17．甲、乙、丙三种不同型号的机器生产同一种产品，已知它们的产量分别占总产量的0.2，0.3，0.5，各机器所生产的产品的优良率分别为0.85，0.9，0.95，现从所有产品中任取一件. (1)求取到优良产品的概率; (2)求取到的优良产品由甲机器生产的概率. 18．2025年11月呼和浩特市有甲､乙､丙三个地区甲流比较严重，这三个地区分别有，，的人是阳性患者，已知这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任选一人. (1)求这个人是阳性患者的概率； (2)若此人是阳性患者，求此人是选自甲地区的概率. 19．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽3个，白粽7个，这两种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个，设表示取到的豆沙粽个数.求 (1)的分布列； (2)的期望与方差； (3)求至少取到一个豆沙粽的概率. 20．根据统计数据，某会员店的本地会员占70%，外地会员占30%．现对该店会员开展商品质量满意度调查，如果会员是本地会员，他对该店商品质量满意的概率为；如果会员是外地会员，他对该店商品质量满意的概率为．每个会员对该店商品质量满意与否相互独立． (1)从该店所有会员中随机抽取1名会员，求其对该店商品质量满意的概率； (2)从该店所有会员中随机抽取3名会员，记这3名会员中对该店商品质量满意的人数为，求的分布列与数学期望． 21．在一个口袋中装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中随机摸出2个球，设随机变量为摸到红球的个数． (1)求恰好摸到2个红球的概率； (2)求的分布列及数学期望． 22．某饮品店推出一款网红饮品，记录上市第天的销量（单位：杯），数据如下： 1 2 3 4 5 130 170 220 280 350 (1)求样本相关系数；（精确到0.01） (2)求关于的经验回归方程，并预测第7天该饮品的销量． 附：，，，，样本相关系数，经验回归方程中回归系数与回归截距分别为，． 23．某奶茶店为了研究日销售额（单位：百元）与平均气温（单位：℃）之间的关系，统计了连续天的数据，如下表： 12 14 16 18 20 25 29 32 34 40 (1)求关于的线性回归方程； (2)若某日的平均气温为，根据回归方程预测该日的销售额； (3)计算样本相关系数（精确到 0.01），并判断销售额与平均气温的相关程度. （附：） （参考公式：​，） 24．江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）正如火如荼开展，赛事凭借鲜明的本土地域特色广受省内市民喜爱．为调查某市市民购票前往现场观赛的意愿，某调研机构随机选取100名市民开展问卷调查，统计数据如下： 愿意购票到场观赛 不愿购票到场观赛 合计 女性 25 25 50 男性 40 10 50 合计 65 35 100 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联？ 附：． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (2)为鼓励市民到场观赛，先对“愿意购票到场观赛”的65名被调查者按性别分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取13人，再从这13人中随机抽取2人发放观赛补贴，补贴标准：女性每人20元，男性每人10元．求补贴金额的分布列与数学期望 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年6月30日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C D D C D B A BD 题号 11 12 答案 AC AB 1．C 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】. 2．A 【分析】求导，结合导数的几何意义分析求解. 【详解】因为，则， 可得，所以函数在处的切线的斜率为. 3．C 【详解】若体育课安排在最后1节，则其余4节课的安排方案有种， 若体育课安排在倒数第2节，则语文课、数学课可以安排在第1，2节或第2，3节， 再安排剩余2节课，不同的安排方案有种， 故共有种不同的安排方案． 4．D 【分析】根据对立事件的概率及全概率公式，即可求解. 【详解】由全概率公式，得， 又，，，， 代入得，解得. 5．D 【详解】由题意得，解得， 所以. 6．C 【分析】由二项分布的，结合均值的性质，即可求出的值. 【详解】由随机变量，则，所以. 7．D 【详解】由题图可知，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C错误； 由图可知，，所以， ，所以D正确． 8．B 【分析】代入相关系数公式求解即可. 【详解】由题意，得，，， ，所以． 9．A 【分析】将代入经验回归方程计算即可得. 【详解】，， 则，解得. 10．BD 【分析】先由，，求出，和， 若事件与互斥，则，与已知矛盾；由可知，事件与独立，则事件与独立，可求；由公式可求；先求，再由条件概率的公式可求. 【详解】对于A，若事件与互斥，则，故A错误； 对于B，由，，可得，，因， 则事件与独立，故事件与也独立，则，故B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，易得事件与独立，则，因，故D正确. 11．AC 【分析】由离散型随机变量分布列所有概率之和为求解. 【详解】对于A，由得，解得或. 当时，，不满足条件，则，故A正确. 对于B，由A可知，B错误. 对于C，，故C正确. 对于D，，故D错误. 12．AB 【详解】由，，联立解得，，A，B正确； ，C错误； ， ，， 则，D错误. 13．(1) (2)或 【分析】（1）利用导数的定义求出切线斜率，即可得出切点坐标； （2）设切点为，求出切线方程代入点，可解得，即可得解. 【详解】（1）. 设切点为，则，解得，， 切点坐标为. 即曲线上点的切线平行于直线. （2）点不在曲线上，设所求切线的切点为， 则切线的斜率，故所求的切线方程为. 将及代入上式得，解得或， 所以切点为或. 从而所求切线方程为或， 即切线方程为或. 14．(1) ； (2) . 【详解】（1）； （2）. 15．(1)4 (2)最小值为，最大值为32． 【分析】（1）由函数在处取得极小值，得，求出或，根据函数极值的概念，分别代入验证，即可求解； （2）利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，求得函数的最值. 【详解】（1）由，得． 因为为的极小值点，所以，解得或． 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以为的极小值点． 当时，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增．所以为的极大值点． 所以当时，在处取极大值，不符合题意， 综上：实数a的值为4． （2）当时，， 令得或． 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 所以为在区间上的极大值，也是最大值． 因为，，，所以最小值为． 综上，函数在区间上的最小值为，最大值为32． 16．(1)280 (2)，，280，， 【分析】利用二项式展开式的通项及性质即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以的展开式通项为. 令，得. 所以展开式中的常数项为. （2）因为通项为， 所以当时，是系数为有理数的项. ，，，，. 系数为有理数的项是，，，，. 17．(1)0.915 (2) 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式展开即可求得. 【详解】（1）设事件分别表示取到的产品由甲、乙、丙机器生产，事件表示取到优良产品， 则，，，，， 所以 代入数据得：. （2）取到的优良产品由甲机器生产的概率为. 18．(1) (2) 【分析】（1）应用全概率公式求概率即可； （2）应用贝叶斯公式求概率即可. 【详解】（1）设选的人是阳性患者为事件，来自甲、乙、丙三个地区分别为事件，，， 则 （2）. 19．(1) 0 1 2 3 (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知的可能取值为，根据古典概型计算概率即可写出分布列； （2）由分布列即可计算期望与方差； （3）先求“一个豆沙粽都没有取到”的概率，再利用对立事件即可求“至少取到一个豆沙粽的概率”. 【详解】（1）由题意，的可能取值为， 则 ，， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 （2）由（1）可知， . （3）记“至少取到一个豆沙粽”为事件A，则表示“一个豆沙粽都没有取到”， 则. 20．(1) (2) 0 1 2 3 【分析】（1）将事件“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”拆分为“抽取的是本地会员且满意”和“抽取的是外地会员且满意”这两个互斥事件，分别计算出其概率再相加. （2）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布的概率公式求出的分布列，最后利用数学期望公式计算期望. 【详解】（1）设事件表示“随机抽取1名会员对该店商品质量满意”，事件表示“抽取的会员是本地会员”，事件表示“抽取的会员是外地会员”. 因为本地会员占70%，外地会员占30%，. 本地会员对该店商品质量满意的概率为，外地会员对该店商品质量满意的概率为，. . 即该店所有会员中随机抽取1名会员，其对该店商品质量满意的概率为. （2）从该店所有会员中随机抽取3名会员，每名会员对该店商品质量满意的概率为，且每名会员对该店商品质量满意与否相互独立，故随机变量. 由题意，可取. . 的分布列为 0 1 2 3 . 21．(1) (2)的分布列为： 数学期望为 【分析】（1）“恰好摸到两个红球”即；由题可知随机变量服从超几何分布，所以通过组合公式以及概率公式求解即可. （2）由题可知随机变量服从超几何分布，的所有可能值为0,1,2，由分别求出随机变量取的每一个值的概率，进而列出随机变量的分布列，再由离散型分布列的期望公式可得随机变量的数学期望. 【详解】（1）解：由题意知，服从超几何分布， 因此，恰好摸到2个红球的概率为． （2）的所有可能取值为0，1，2， 因为服从超几何分布，所以，， 由（1）知， 得的分布列为： 故． 22．(1)样本相关系数约为 (2)经验回归方程为，第7天该饮品的销量预测为450杯 【分析】（1）计算出和的样本均值，代入公式求解即可. （2）求出回归系数与截距，得到经验回归方程，代入即可完成销量预测. 【详解】（1）样本均值，， 则， ， 因此. （2）回归系数， 截距， 故经验回归方程为. 将代入回归方程，得， 即第7天销量预测为450杯. 23．(1) (2)4250元 (3)，正相关 【分析】（1）先计算，进而计算，即可求解； （2）根据（1）当 时，计算即可求解； （3）根据相关系数的公式计算即可. 【详解】（1）由题意得：，， 计算， ， 故， 所以回归方程为； （2）当 时，（百元）， 所以预测该日的销售额为元； （3）由题意得：， ， 表明销售额与平均气温高度正相关. 24．(1)依据小概率值的独立性检验，能认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联； (2) 20 30 40 数学期望约为28. 【分析】（1）提出零假设，代入列联表数据计算卡方统计量，与对应的临界值比较，判断是否拒绝零假设得出结论； （2）先根据分层抽样规则确定抽取的男、女人数，再确定的所有可能取值，计算对应概率得到分布列，最后代入期望公式计算期望. 【详解】（1）提出零假设 ：“愿意购票到场观赛” 与性别无关联, 由列联表得：， 代入卡方公式, 小概率值 对应的临界值为 ， 因 ，故拒绝 , 结论：依据 的独立性检验，能认为 “愿意购票到场观赛” 与性别有关联; （2）分层抽样抽样比：, 抽取女性人数：，抽取男性人数：, 补贴金额 的可能取值：, 抽取2人都是男性时，， 抽取1 男 1 女时， 抽取2 人都是女性时， 所以 的分布列 20 30 40 ， 数学期望约为 . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $