精品解析：新疆乌鲁木齐市第101中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

2026届高二年级期末考试数学试卷 满分150时间：120分 一、单项选择 1. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 3. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 66 B. 16.5 C. 33 D. 24 5. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ） 参考数据：，，. A. 790 B. 2720 C. 430 D. 1360 6. 已知，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（ ）种 A. 150 B. 180 C. 360 D. 540 8. 若不等式恒成立，则 的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 二、多项选择 9. 已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ） A. xy的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 10. 已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（ ） A. 此件产品是次品的概率为0.02 B. 此件产品是次品的概率为0.025 C. 此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D. 此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 11. 已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 某饮料店的日盈利 （单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为℃时，饮料店的日盈利约为_________百元. 13. 已知的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是___________. 14. 已知某车库有一类车库四个，二类车库两个，（1）若从这个库中挑个不同的库，至少有1个二类库的概率是_________；（2）若这个车库每个库至多可停部车，现有辆车需同时停在库中，有_________种不同停车方案（用数字作答）. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若，则的值； （2）求，并求的值. 16. 某药物研究机构为考察药物A对疾病S的效果，随机抽取了600只动物进行实验，得到如下列联表： 药物（疾病） 未患病 患病 未服药 150 150 服药 200 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对疾病S有效？ （2）现从参与试验服药的300只动物中，按是否患疾病S采用分层抽样的方法抽取6只动物；再从这6只动物中随机抽取3只动物进一步试验，记抽取的3只动物中患病的只数为X，求X的分布列以及数学期望. 附：（其中） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知正项数列的前n项之积为，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求的前2n项和. 18. 已知函数，，（）. （1）函数在处切线方程，求的值. （2）设， ①若，以参数 讨论函数的单调性； ②若，有两个极值点，，求的范围. 19. 已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. （1）求乙第2局赢的概率； （2）求； （3）若存在，使得成立，求整数的最小值. 【参考：，，，】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高二年级期末考试数学试卷 满分150时间：120分 一、单项选择 1. 设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，结合韦恩图求出集合. 【详解】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 2. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简不等式为，结合分式不等式的解法，即可求解. 【详解】不等式可化为， ∴，解得. 所以不等式的解集为. 故选：D. 3. “”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数单调性可得等价于，结合充分、必要条件分析判断即可. 【详解】因为等价于， 则可以推出，即必要性成立； 但不能推出，例如，即充分性不成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 66 B. 16.5 C. 33 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式求解. 【详解】在等差数列中，，解得， 所以. 故选：C 5. 某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试.经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（ ） 参考数据：，，. A. 790 B. 2720 C. 430 D. 1360 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于的人数. 【详解】由题意可知，， 则数学成绩位于的人数约为. 故选：C. 6. 已知，，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用根式运算及指数、对数函数单调性比较大小. 【详解】，则，即， 因此，即，所以. 故选：A 7. 某医院派6名医生到3个社区进行义诊，每个社区至少一名医生，其中甲乙两人必须在一起，则不同的方案有（ ）种 A. 150 B. 180 C. 360 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】视甲乙为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区，再按分组分配列式求解. 【详解】甲乙必须在一起，可把甲乙视为一个整体，问题相当于将5名医生到3个社区， 按分配时，共有种方案；按分配时，共有种方案， 所以共有种不同的分配方案. 故选：A 8. 若不等式恒成立，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，确定，借助同构思想转化为恒成立，再构造函数，由求出值. 【详解】不等式恒成立， 若，恒成立，而当时，此不等式不成立； 若，则，而当时，，不符合题意； 因此，，不等式， 令函数，求导得，函数在上递增， 不等式， 因此不等式在恒成立，令， 即恒成立，而，则， 又，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，令， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则方程有唯一解，由，得，解得， 所以的值为. 故选：D 二、多项选择 9. 已知正数x、y，满足，则下列说法正确的是（ ） A. xy的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为3 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解判断. 【详解】正数x、y，满足， 对于A，，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 10. 已知某工厂甲、乙，丙三个车间同时生产同种元器件：甲、乙、丙车间一天生产的元器件个数分别为600、300、100件，且生产中造成的次品率分别为3%、2%、1%；现在在这三个车间生产的产品中任意取一件产品质检，下列叙述正确的有（ ） A. 此件产品是次品的概率为0.02 B. 此件产品是次品的概率为0.025 C. 此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率是来自于乙车间概率的2倍 D. 此件产品是次品的情况下，此件产品来自于丙车间的概率为0.04. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式及全概率公式计算判断. 【详解】对于AB，该产品是次品的概率为， A错误，B正确； 对于C，此件产品是次品的情况下，来自甲车间的概率， 来自于乙车间的概率，则，C错误； 对于D，此件产品是次品的情况下，来自于丙车间的概率，D正确. 故选：BD 11. 已知随机变量X，Y满足，且则下列说法正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的概率公式、期望方差公式及期望方差的性质逐项计算判断. 【详解】由，得，， 对于A，，A错误； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 某饮料店的日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：℃）之间有如下数据： x/℃ 0 1 2 y/百元 5 4 2 2 1 由表中数据可得回归方程中.试预测当天平均气温为℃时，饮料店的日盈利约为_________百元. 【答案】 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入得到值，再令即得. 【详解】由已知数据 因为，则，代入，则， 则， 令，则. 故答案为：. 13. 已知的展开式中各二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由各项的二项式系数之和，求出，再利用展开式的通项即可求常数项． 【详解】解： 各项的二项式系数之和为64，，即； 展开式的通项为． 令，解得． 展开式中常数项为． 故答案为：． 14. 已知某车库有一类车库四个，二类车库两个，（1）若从这个库中挑个不同的库，至少有1个二类库的概率是_________；（2）若这个车库每个库至多可停部车，现有 辆车需同时停在库中，有_________种不同停车方案（用数字作答）. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】①可分为“恰有个二类库”和“恰有个二类库”或利用对立事件“没有二类库”，结合古典概型进行计算； ②可分为 辆车停在个车库、个车库、 个车库三类求和. 【详解】①方法一：“至少有个二类库”可分为两类：“恰有个二类库”和“恰有个二类库”. “恰有个二类库”有种不同情况； “恰有个二类库”有种不同情况； 故“至少有个二类库”的所有可能情况有种. 又从这个库中挑个不同的库的所有可能有种， 用 表示“至少有个二类库”，则. 方法二：因为“至少有个二类库”的对立事件是“三个都是一类库” 所以“至少有个二类库”的所有可能情况有种， 又从这个库中挑个不同的库的所有可能有种， 用 表示“至少有个二类库”，则. 故答案为：##. ②将 辆车同时停在库中，可分为三类：停在个库；停在个库；停在 个库. 若 辆车停在个库，则有种不同的停法； 若 辆车停在个库，则有种不同的停法； 若 辆车停在 个库，则有种不同的停法； 故 辆车同时停在库中，共有种不同的停车方案. 【点睛】“至少”、“至多”问题一般可写成互斥事件的和或用其对立事件表示；用分类计数原理求解问题时，要确定好分类标准，做到不重不漏. 四、解答题 15. 已知函数. （1）若，则的值； （2）求，并求的值. 【答案】（1） （2）；. 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，令可得答案； （2）先求导，再代入、赋值即可求解. 【小问1详解】 由题意，得， 令，得. 【小问2详解】 由得 . 由，得 ， 令得 ， 16. 某药物研究机构为考察药物A对疾病S的效果，随机抽取了600只动物进行实验，得到如下列联表： 药物（疾病） 未患病 患病 未服药 150 150 服药 200 100 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为药物A对疾病S有效？ （2）现从参与试验服药的300只动物中，按是否患疾病S采用分层抽样的方法抽取6只动物；再从这6只动物中随机抽取3只动物进一步试验，记抽取的3只动物中患病的只数为X，求X的分布列以及数学期望. 附：（其中） 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为该药物 对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据公式求出后，对照临界值即可求解. （2）先求得未患病的只数为4，患病的只数为2，的所有可能取值为0，1，2，求出对应的概率，写出分布列，从而求出数学期望. 【小问1详解】 零假设：患病与服用药物无关，即药物无效． 根据列联表可得． 因为当假设成立时，， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该药物A对预防疾病有效，此推断犯错误的概率不大于0.001． 【小问2详解】 从参与试验服药的300只动物中，按是否患病S通过分层抽样方法随机取出6只， 其中未患病的只数为，患病的只数为， 则的所有可能取值为0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 故随机变量的数学期望为． 17. 已知正项数列的前n项之积为，且. （1）求证：数列是等差数列； （2）设，求的前2n项和. 【答案】（1）证明：依题意，，当时，得，则， 由，得，则，即， 当时，，于是，解得， 所以数列是以 为首项，为公差的等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，由，化简得到，求得，结合等差数列的定义推理得证. （2）由（1）可得，得到，结合裂项法，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 则， 所以 . 18. 已知函数，，（）. （1）函数在处切线方程，求的值. （2）设， ①若，以参数讨论函数的单调性； ②若，有两个极值点，，求的范围. 【答案】（1）； （2）①答案见解析；②. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合给定切线求出的值. （2）①求出及导数，再分类求出其单调性；②把代入，求出导数，结合极值点及韦达定理列式求出范围. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 由函数在处切线方程，得，所以. 【小问2详解】 ①当时，函数定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，方程，， 当时，，恒成立，，函数在上单调递增； 当时，由，解得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. ②当时，，求导得， 由有两个极值点，得是方程的两个不等正实根， ，，则， 因此，，令函数， 求导得，函数在上单调递增，，即， 所以的取值范围是. 19. 已知甲、乙两个人爱好中国象棋，甲乙两人进行对弈，已知甲第一局赢的概率为，前一局赢后下一局赢的概率为，前一局输后下一局赢的概率为，如此重复进行，记甲第局赢的概率为. （1）求乙第2局赢的概率； （2）求； （3）若存在，使得成立，求整数 的最小值. 【参考：，，，】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件和对立事件的概率公式结合意求解即可； （2）由已知得当时，，再利用构造法，结合等比数列通项公式求出 （3）由已知得，令，利用导数可判断在上递减，则问题转化为求的最大值，进而求得答案. 【小问1详解】 依题意，甲第2局赢的概率为， 所以乙赢的概率为. 【小问2详解】 当时，， 整理得，又， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. 【小问3详解】 不等式， 令，求导得， 函数和在上递减，则函数在上递减， 而，则当时，，即函数在上递减， 又，因此当取最大值时，取最小值， 又，则当为偶数时，， 当为奇数时，，且是单调递减的，， 因此的最大值为，依题意，， 又， 所以满足的整数 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $