第02讲 全等三角形的性质与判定 -衔接讲义 2026年暑假苏科版八年级数学上册

第02讲 全等三角形的性质与判定（3大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形的全等 典型例题二 全等三角形的概念 典型例题三 全等三角形的性质 典型例题四 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 典型例题五 用SAS证明三角形全等（SAS） 典型例题六 全等的性质和SAS综合（SAS） 典型例题七 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 典型例题八 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 典型例题九 用SSS证明三角形全等（SSS） 典型例题十 全等的性质和SSS综合（SSS） 典型例题十一 用HL证全等（HL） 典型例题十二 全等的性质和HL综合（HL） 知识点01 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025七年级下·全国·专题练习）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________． 知识点02全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 2．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    知识点03 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，，且点在边上．若，，则的长为_______________． 【典型例题一 图形的全等】 【例1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）2025年国际篮联亚洲杯在沙特阿拉伯吉达举行，中国男篮获得亚军，女篮获得季军．下列与体育赛事相关的图标中，是由同一种全等图形组合而成的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·吉林·期中）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则_____． 【例4】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，四边形四边形，若，，，则_________°．    1．（2025八年级上·江苏·专题练习）找出下列各组图中的全等图形． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 【典型例题二 全等三角形的概念】 【例1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【例3】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【例4】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有________对． 1．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 2．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段检测）如图，已知，和是对应角，和是对应边，． (1)写出其他对应边及对应角； (2)判断与的位置关系，并说明理由． (3)求的长． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 【典型例题三 全等三角形的性质】 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则 的度数是（   ） A． 或 B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，，，则_______． 【例4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为________． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，与相等吗？为什么？ 2．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，，你能从图中找出几组平行线？ 小颖找出了一组平行线，她的思考过程如下． 因为， 所以． 所以． 请说明每一步的理由． 3．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【典型例题四 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形）】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（2025·湖北黄石·一模）如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是________．    【例4】（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）通过第十三章《全等三角形》的学习，我们知道了能够完全重合的两个图形是全等图形． (1)写出“能够完全重合的两个图形是全等图形”的逆命题，并判断其真假； (2)如图，沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 2．（24-25七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【综合与实践】对图形进行剪切，拼接，是一种重要的数学实践活动．在解决有关“剪”和“拼”的数学问题中，抓住一些不变量，常是我们解决问题的关键． (1)如图，每个小正方形的边长为1，按图1的方式剪一剪后，拼成了图2中一个无缝的大正方形，则大正方形的边长为_________； (2)教材第8页提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图3， ，古人把正方形沿，两线段剪成四块全等的四边形①，②，③，④后，再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切，拼接形式，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组想要重做上述实验，但他们却不知道该从正方形边上的哪个点剪起． ①探究小组在正式裁剪前，经过分析初步得出了下面一些结论： A． B． C．，，，分别为正方形四边的中点 D． 上面结论中不恰当的是（    ）． ②若测得，，设，，求的值． 【典型例题五 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例1】（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【例2】（25-26八年级上·河南周口·期中）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面内径”的探究任务，某同学想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可以知道内径的长度，其数学原理是利用，则判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，点D、C都在上，，，现要证明．若根据“”判定，则需增加条件_______． 【例4】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，要说明，①已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是________；②已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是_________；③已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是_________． 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 2．（24-25八年级上·广东湛江·期中）已知，，，在上，且，求证：． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，线段，过点、分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，当点停止时，点也随之停止运动．设点的运动的时间为． (1)当时，________，________（用含的代数式表示）， (2)当时，求证：； (3)如图2，将“过点、分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的的值． 【典型例题六 全等的性质和SAS综合（SAS）】 【例1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（    ）时，． A．5 B．7 C．12 D．17 【例2】（25-26八年级上·广西钦州·阶段检测）如图，为测量池塘两端的距离，八（1）班数学兴趣小组在池塘旁的开阔地上选了一点，测得的度数，在的另一侧测得，再测得的长，就是的长．那么判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，，，，，，则的长为________． 【例4】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．这种方法的原理是构造两个三角形全等，请写出这两个三角形全等的依据_____． 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在 与 中，，，．试说明：． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·学业考试模拟）如图，点在的延长线上，，，．求证：． 3．（25-26八年级上·安徽池州·期末）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使，最后量出的距离就是的长． 方案2：如图（2），过点B作的垂线，在上取C、D两点，使，接着过D作的垂线，交的延长线于E，则测出的长即为间的距离． 问： (1)方案1是否可行？并说明理由； (2)方案2是否可行？并说明理由； (3)小明说：“在方案2中，并不一定需要，将‘’换成了_________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上，并说明理由． 【典型例题七 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·河南周口·期中）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 【例3】（24-25七年级下·江西赣州·阶段检测）如图，，相交于点O，，当添加条件_______时，可由“角边角”判定． 【例4】（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是______． 1．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 3．（24-25七年级下·全国·期中）“万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪．”如下图，杜甫草堂的工作人员打算在A，B两点间建立一座观景桥，由于A，B中间隔着河流无法直接测量，数学项目学习小组在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），项目活动报告如下： 项目课题 在不用涉水的情况下测量河流的宽度 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走15 m有一棵树C，继续前行15 m到达D处； ③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得DE的长为5 m 任务 求河流的宽度 【典型例题八 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）】 【例1】（25-26八年级上·重庆江津·期中）如图，，，，，，则的长度为（   ） A．9 B．13 C．17 D．26 【例2】（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使点与点，在一条直线上，这时测得（   ）的长就是的长．    A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，的面积为8，是边上的高，且平分交于点D，E为的中点，连接，则的面积为______． 【例4】 （25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，，，于点D，若，，则________． 1．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知：在中，点D在边上，点E在线段上，，．求证：． 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处看点测出的度数．小华站在处，眼睛在处看单元楼的端点测出的度数，并且发现与互余．已知，，，点在上，点在上，米，米，米，求单元楼的高度． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，某校项目式学习小组开展项目活动，测量福田区园博园福塔底座的直径．下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 如图1，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出的长 方案② 如图2，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D，E两点之间的距离 请你选择上述两种方案中的一种，计算福塔底座的直径． 【典型例题九 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山西运城·二模）油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）（）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 【例4】（24-25八年级上·河南商丘·期中）聪明的中国人在很早以前就发明了角尺工具，并灵活广泛地使用这个工具完成各种测量，下面是工人师傅用角尺平分一个任意角的操作：如图所示，在的两边和上分别量取，移动角尺，使角尺两边分别与和相交于点M、N，并且角尺上两侧的刻度相同．此时过角尺顶点C的射线即是的角平分线．上述操作过程依据三角形全等的判定方法是______． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图：在和中，，，，，，试利用图形证明勾股定理． 2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)猜想的数量关系：______； 猜想的位置关系：______． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． (1)如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．   B．    C．    D． (2)如图2，在射线上任取一点，作，在射线上截取一点，使，作射线．根据以上步骤，请证明是的平分线； (3)综上可发现：用尺规作已知角的平分线，其实是在角的内部构造与等角有关的图形．根据这一发现，在图3尝试第三种作法（保留作图痕迹）． 【典型例题十 全等的性质和SSS综合（SSS）】 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知与上的点，点，现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，则____________． 【例4】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，直角坐标系中，已知，，，请你在坐标系内找一点P（不与点B重合），使，，则点P的坐标是___________．    1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，．与相等吗？请说明理由． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）我们知道几何命题的证明一般需要经历以下步骤： 按题意画出图形并标记； 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； 分析并证明，写出推理过程． 请同学们尝试证明命题：“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等．” 已知：如图，在和中，，，____________． 求证：_____________． 证明： 3．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）先阅读材料，再结合要求回答问题． 【问题情景】 如图，在四边形中，，．、分别是、上的点，且线段、、满足．试探究图中与之间的数量关系． (1)【初步思考】小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接．先证明，再证明，可得出与之间的数量关系是 ． (2)【探索延伸】 若将问题情景中条件“”改为“”（如图2），其余条件不变，请判断上述数量关系是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)【实际应用】 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以的速度前进，后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处且相距．试求此时两舰艇的位置与指挥中心（处）形成的夹角的大小． 【典型例题十一 用HL证全等（HL）】 【例1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，为线段上两点，，，，则添加一个条件：不能用“”判定的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ）． A．SAS B．AAS C．SSS D．直角三角形全等的判定定理 【例3】 （24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在和中，，根据_______（填判定方法的简称）可以知道． 【例4】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，，要使，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是_____．    1．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中，为 的高，点 为 上一点，交 于点 F，，． 求证： ．    3．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在学习完三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法后，小颖对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究． 【提出问题】 (1)是角平分线上的点，在上各取一点．如图1，若取，，此时显然与不全等．但是与有一定的数量关系，请猜想与的关系为______． (2)小颖对图1进行继续研究，在图1的基础上添加辅助线得到了图2、图3，请你先在图2、图3中选择一个图形，并描述辅助线（即添加条件），再证明（1）的结论． 你选择图______，描述辅助线______． 写出证明过程： 【典型例题十二 全等的性质和HL综合（HL）】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，于点D，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）用三角尺画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为P．则可通过得到平分．其中判定的方法是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在和中，，，．若，则____°． 【例4】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点．解决下列问题，    （1）如图1，若，，且，则________； （2）如图2，延长至，使．若，，，则线段的长为________． 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点是边的中点，连接，过点作于点，于点，且．求证：． 2．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 3．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 2．（25-26八年级下·全国·期中）手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 3．（2026·山西阳泉·三模）如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点O的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 5．（25-26八年级上·全国·期中）为测量一个池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案． 方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，，连接，最后测出的长即可；    方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行 C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 6．（2025七年级下·全国·专题练习）中，，边上的中线，则边的取值范围是__． 7．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，三条直线a，b，c互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上，已知，，且a，b之间的距离为2，b，c之间的距离为3，则的面积为________． 10．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，，，点、在直线上，点、在直线上，点在上若，，，，则的长为________． 11．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，点、、、在同一直线上，，，、是垂足，．求证：． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，是的高，点在的延长线上，点在上，，和是对应边．求证：． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 14．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，E，F是上两动点，且有． (1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有，求证：； (2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有，则还成立吗？为什么？ (3)若点E，F不重合，则和平行吗？请说明理由． 15．（25-26七年级下·广东佛山·期末）利用三角形全等测距离． (1)任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ，，． 又，，（______），______． (2)任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 全等三角形的性质与判定（3大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 图形的全等 典型例题二 全等三角形的概念 典型例题三 全等三角形的性质 典型例题四 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形） 典型例题五 用SAS证明三角形全等（SAS） 典型例题六 全等的性质和SAS综合（SAS） 典型例题七 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 典型例题八 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 典型例题九 用SSS证明三角形全等（SSS） 典型例题十 全等的性质和SSS综合（SSS） 典型例题十一 用HL证全等（HL） 典型例题十二 全等的性质和HL综合（HL） 知识点01 全等图形 定义：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等图形. 例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形。 图1 图2 【即时训练】 1．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，四边形中，．若四边形四边形，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等多边形的性质，由全等多边形的对应边相等，得出，即可求解． 【详解】解：四边形四边形， ， ， ， 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________． 【答案】（4）（5）（6）． 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 【详解】解：（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等． 故答案是：（4）（5）（6）． 【点睛】本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 知识点02全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。 要点诠释： 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角。如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 2.找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可． 【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 知识点03 全等三角形的性质 1.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 2.数学语言表示：△ABC≌△A'B'C'，AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：由全等三角形的定义还容易知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等．但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等． 【即时训练】 1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如图，，且点在边上．若，，则的长为_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据得到，从而得到，最后求得答案即可． 【详解】解：， ， ， 即：， ，， ， 故答案为：． 【典型例题一 图形的全等】 【例1】（25-26八年级上·安徽马鞍山·阶段检测）下面4组图形中，是全等图形的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的概念，熟记全等图形的形状和大小都相同是解题的关键． 根据全等图形的概念，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、两个图形的大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形的形状、大小都相同，是全等图形，符合题意； C、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； D、两个图形的形状不同，不是全等图形，不符合题意； 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·河南省直辖县级单位·阶段检测）2025年国际篮联亚洲杯在沙特阿拉伯吉达举行，中国男篮获得亚军，女篮获得季军．下列与体育赛事相关的图标中，是由同一种全等图形组合而成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等图形，能够完全重合的两个图形是全等图形．根据全等图形的概念分析即可． 【详解】解：选项ABC的图形不是由同一种全等图形组合而成的，故都不符合题意； 选项D的图形是由五个全等的平行四边形构成，是由同一种全等图形组合而成的，故该选项符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·吉林·期中）如图所示的图案是由全等的图形拼成的，其中，，则_____． 【答案】12 【分析】由图形知，所示的图案是由梯形和七个与它全等的梯形拼接而成，根据全等图形的性质有． 【详解】解：由题可知，图中有8个全等的梯形， 所以， 故答案为：12． 【点睛】考查了全等图形的性质，本题利用了全等形图形一定重合的性质求解，解题的关键是找清相互重合的对应边． 【例4】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，四边形四边形，若，，，则_________°．    【答案】 【分析】根据全等图形的性质可得，，根据四边形的内角和可得，进一步可得的度数. 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：105． 【点睛】本题考查了全等图形，四边形的内角和等，熟练掌握全等图形的性质是解题的关键. 1．（2025八年级上·江苏·专题练习）找出下列各组图中的全等图形． 【答案】（）③和④是全等形；（）①和④是全等形 【分析】本题考查了全等形的概念和性质，利用能够完全重合的两个图形称为全等图形，全等图形的大小和形状都相同，据此即可判断求解，掌握全等形的概念和性质是解题的关键． 【详解】解：（）由图形可得，③和④是全等形； （）由图形可得，①和④是全等形． 2．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）图（），图（）都是由边长为的小正方形和腰长为的等腰直角三角形组成的图形． (1)用实线把图（）分割成六个全等图形； (2)用实线把图（）分割成四个全等图形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了复杂作图，根据面积确定出分成的每一个图形的面积是解题的关键． （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形即可； （）根据题意，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形即可． 【详解】（1）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成六个等腰个直角三角形， ； （2）解：如图，分成的每一个图形的面积为 ，分成四个直角梯形， ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示的是两个全等的五边形，，，点B与点H、点D与点J分别是对应顶点，指出两图中其他的对应顶点、对应边和对应角，并说出图中a、b、c、d、e、各字母所表示的值． 【答案】点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， 【分析】根据全等图形的性质解答即可． 【详解】解：∵五边形和五边形为两个全等的五边形，点B与点H、点D与点J， ∴点B与点H、点D与点J、点A与点G、点C与点I、点E与点F分别是对应顶点， 边和边、边和边、边和边、边和边、边和边分别为对应边，和、和、和、和、和分别为对应角， ∵，， ∴． 【典型例题二 全等三角形的概念】 【例1】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段检测）下列说法中正确的是（    ） A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形 C．两个等边三角形一定是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可． 【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求； 若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求； 两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求； 能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 【例2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段检测）下列四个图形中，是全等形的是（    ）      A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和③ 【答案】B 【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案． 【详解】解：A．不是全等形，故此选项不合题意； B．是全等形，故此选项符合题意； C．不是全等形，故此选项不合题意； D．不是全等形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形． 【例3】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，．下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的是________．（填序号）    【答案】②④ 【分析】本题主要考查了全等三角形的有关概念，解题时应注重识别全等三角形中的对应边、对应角． 根据全等三角形的有关概念，即可求解． 【详解】解：∵， ∴与是对应边，故①错误； 与是对应边，故②正确； 与是对应角，故③错误； 与是对应角，故④正确． 所以正确的有②④． 故答案为：②④ 【例4】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图①，点为的平分线上一点，且不与点重合，在角的两边分别截取，连接、；如图②，在图①的射线上取异于点、的点，连接、；如图③，在图②的射线上取异于点、、的点，连接、；，在每个图形中，在同侧的三角形彼此不全等，且每相邻两个图中的射线上相差1个点，依此规律，第11个图形中全等三角形共有________对． 【答案】66 【分析】本题考查全等三角形的判定，规律型：图形的变化类．由特殊情况，总结出一般规律，即可得到答案． 【详解】解：第1个图形中上有2个点，全等三角形有（对； 第2个图形中上有3个点，全等三角形有（对； 第3个图形中上有4个点，全等三角形有（对， ∴第n个图形中上有个点，全等三角形有（对， ∴第11个图形中上有12个点，全等三角形有（对． 故答案为：66． 1．（25-26八年级上·全国·阶段检测）如图，，和是对应角． 在中，是最长边．在中，是最长边，且． (1)写出其他对应边及对应角； (2)求线段及线段的长度． 【答案】(1)其他对应边：和，和；其他对应角：和，和 (2)线段和线段的长度分别为和 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边是解此题的关键． （1）根据，和是对应角可得到两个三角形中对应相等的三边和三角； （2）根据全等三角形的性质以及线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：其他对应边：和，和；其他对应角：和，和． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴线段和线段的长度分别为和． 2．（24-25八年级上·广东汕尾·阶段检测）如图，已知，和是对应角，和是对应边，． (1)写出其他对应边及对应角； (2)判断与的位置关系，并说明理由． (3)求的长． 【答案】(1)和是对应角， 和是对应角，和是对应边，和是对应边 (2)，理由见解析 (3)5 【分析】（1）根据对应边、对应角的定义即可解答； （2）由可得,然后根据内错角相等、两直线平行即可解答； （3）由可得,然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）解：和是对应角， 和是对应角，和是对应边，和是对应边． （2）解：，理由如下： ∵ ∴ ∴． （3）解：∵ ∴ ∵ ∴,即,解得． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的定义、全等三角形的性质等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)请画出关于y轴对称的； (2)已知点D的横、纵坐标都是整数，且和全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标__________（D与不重合）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平面坐标系点的坐标特征、对称图形的性质、全等三角形的定义等知识点，掌握轴对称图形的性质是解题关键． （1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）根据对称图形互相全等的性质，作出点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，关于直线的对称点，然后写出、、即可解答． 【详解】（1）解：如图：即为所求三角形； ． （2）解：如图：和关于直线对称；和关于直线对称；和关于直线对称； ∴满足条件的点D的坐标为：． 【典型例题三 全等三角形的性质】 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，若，，，则的长为（    ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，通过全等三角形得到对应边相等是解题的关键． 首先根据全等三角形得到，，即可求解的长． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则 的度数是（   ） A． 或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 观察两个三角形的对应情况，直接求解即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， 故选：C． 【例3】（25-26八年级上·河南驻马店·阶段检测）如图，，，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是利用全等，找到对应边相等，根据，，计算出长度． 【详解】∵ ∴， ∴ 故答案为4． 【例4】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】32 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由得到，，得到，，从而，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：32． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，已知，，与相等吗？为什么？ 【答案】相等；理由： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据全等三角形的对应边相等进行求解即可． 【详解】略 2．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，，你能从图中找出几组平行线？ 小颖找出了一组平行线，她的思考过程如下． 因为， 所以． 所以． 请说明每一步的理由． 【答案】2组 ，，，（全等三角形对应角相等）；（内错角相等两两直平行） 【分析】利用全等三角形的性质得出，，再利用内错角相等两直线平行即可得出，． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴共有2组平行线，分别是，． 因为， 所以（全等三角形对应角相等） 所以（内错角相等两直线平行）． 3．（25-26七年级下·山东枣庄·阶段检测）综合与探究 如图，在长方形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)________（用含的代数式表示）； (2)若点的运动速度为，是否存在的值，使得与全等？若存在求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】（1）根据总长度减去运动的长度即可得到结果； （2）分两种情况，根据两个三角形全等，对应边相等可求得结果． 【详解】（1）解：∵点E在线段上以的速度由点B向点C运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴t最大取到， 即． 当时，此时， ∴点、点速度相同，即， 当，此时， 即， 解得：， ， 解得：， ∴存在v的值，使得与全等，此时的值为或． 【典型例题四 将已知图形分割成几个全等图形(全等图形）】 【例1】（24-25八年级上·黑龙江·单元测试）下列图标中，不是由全等形组合成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念分析即可． 本题考查了全等图形，熟练掌握能够完全重合的两个图形是全等图形是解题的关键． 【详解】解：A、该图像是由四个全等的图形构成，故该选项不符合题意； B、该图像是由五个全等的图形构成，故该选项不符合题意； C、该图像不是由全等图形构成，故该选项符合题意； D、该图像是由两个全等的图形构成，故该选项不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 【例3】（2025·湖北黄石·一模）如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是________．    【答案】或（为整数） 【分析】本题考查了旋转的性质、全等图形的性质，根据全等图形的性质求出旋转角度是解题的关键．对图形的部分顶点命名，再由旋转的性质得，梯形、梯形、梯形为全等的图形，得出，分2种情况：①梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形；②梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形；分别求出旋转角度即可解答． 【详解】解：如图，    由旋转的性质得，梯形、梯形、梯形为全等的图形， ，， 又， ， 当梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形，则它们的旋转角度是（为整数）； 当梯形绕着点旋转至梯形，再旋转至梯形，则它们的旋转角度是（为整数）； 如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋转角度是或（为整数）． 故答案为：或（为整数）． 【例4】（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形，又能拼出三角形的是图形（请填图形下面的代号）______． 【答案】 ②③/③② 【分析】根据图形剪开后的形状，结合平行四边形和三角形的拼接条件逐一判断．图①剪开后是两个梯形，无法拼成三角形；图②剪开后是一个三角形和一个梯形，且剪痕过中点，既能拼成平行四边形又能拼成三角形；图③剪开后是两个三角形，既能拼成平行四边形又能拼成三角形；图④剪开后是两个矩形，无法拼成三角形；图⑤剪痕不过中点，无法拼成三角形． 【详解】解：①剪开后是两个直角梯形，能拼出平行四边形，但无法拼出三角形，不符合题意； ②剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，且右侧边被平分，将剪下的三角形绕中点旋转可拼成一个大三角形，将剪下的三角形平移可拼成平行四边形，符合题意； ③剪开后是两个全等的直角三角形，能拼成平行四边形和三角形，符合题意； ④剪开后是两个矩形，只能拼出平行四边形，无法拼出三角形，不符合题意； ⑤剪开后是一个直角三角形和一个直角梯形，但剪痕未经过中点，无法拼出三角形，不符合题意， ∴符合条件的图形为②③． 1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）通过第十三章《全等三角形》的学习，我们知道了能够完全重合的两个图形是全等图形． (1)写出“能够完全重合的两个图形是全等图形”的逆命题，并判断其真假； (2)如图，沿着图中的虚线，用两种方法将下面的图形划分为两个全等的图形． 【答案】(1)逆命题是：如果两个两个图形是全等图形，那么这两个图形能够完全重合，此命题是真命题 (2)见解析 【分析】本题考查了逆命题的定义、真假命题的判断以及全等图形的性质，解题的关键是掌握逆命题“题设与结论互换”的改写规则和全等图形“完全重合”的本质特征． （1）将原命题的题设和结论互换得到逆命题，结合全等图形的定义判断真假； （2）根据矩形的对称性和全等图形的面积、形状特征，沿虚线分割出两个能完全重合的图形． 【详解】（1）解：原命题的逆命题为“全等图形是能够完全重合的两个图形”； ∵ 全等图形的定义就是能够完全重合的两个图形，逆命题的题设与结论均符合定义， ∴ 该逆命题是真命题． （2）如图所示：（答案不唯一）． 2．（24-25七年级下·广东·期中）知识重现：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形．” 理解应用：我们可以把的正方形网格图形划分为两个全等图形． 范例：如图1 和图2是两种不同的划分方法，其中图3 与图1视为同一种划分方法． 要求：请你再提供2种与上面不同的划分方法，分别在图4 中画出来． （请将所划分的两个全等图形之一用铅笔描黑） 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等图形的概念，根据能够完全重合的图形为全等图形，在图中画出即可，熟知全等图形的概念是解题的关键． 【详解】解：如图所示： （答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【综合与实践】对图形进行剪切，拼接，是一种重要的数学实践活动．在解决有关“剪”和“拼”的数学问题中，抓住一些不变量，常是我们解决问题的关键． (1)如图，每个小正方形的边长为1，按图1的方式剪一剪后，拼成了图2中一个无缝的大正方形，则大正方形的边长为_________； (2)教材第8页提供了一种勾股定理无字证明的方法：如图3， ，古人把正方形沿，两线段剪成四块全等的四边形①，②，③，④后，再和正方形⑤一起，正好拼成了正方形．他们通过这种简单的剪切，拼接形式，就以实验的方式验证了勾股定理．现在，探究小组想要重做上述实验，但他们却不知道该从正方形边上的哪个点剪起． ①探究小组在正式裁剪前，经过分析初步得出了下面一些结论： A． B． C．，，，分别为正方形四边的中点 D． 上面结论中不恰当的是（    ）． ②若测得，，设，，求的值． 【答案】(1)； (2)① D；②1 【分析】本题考查勾股定理，以及勾股定理的证明方法，二元一次方程组的实际应用： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）①根据全等图形的性质，结合拼接过程中线段的长度不变，逐一进行判断即可；②根据，，列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由图和勾股定理，得：大正方形的边长为； 故答案为：； （2）①由题意，得：四边形四边形四边形四边形， ∴；，故选项A正确； 由图形可知：， ∴；故选项B正确； 由图形可知：， ∴，，，分别为正方形四边的中点；故选项C正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于；故选项D错误； 故选D． ②由①知：， ∵，， ∴，， 联立，解得：； ∴． 【典型例题五 用SAS证明三角形全等（SAS）】 【例1】（2026·贵州遵义·二模）下列三角形中，一定是全等三角形的是（    ） A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【详解】解：A、①和②只有一组角对应相等，无法证明全等，不符合题意； B、①和③两边对应相等，且两边的夹角对应相等， ∴可以根据证明全等，符合题意； C、③和④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意； D、①④相等的角不是对应边的夹角，无法证明全等，不符合题意． 【例2】（25-26八年级上·河南周口·期中）数学课上老师布置了“测量锥形瓶底面内径”的探究任务，某同学想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点O固定，只要测得C，D之间的距离，就可以知道内径的长度，其数学原理是利用，则判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据全等三角形的判定定理“”解答即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵， ∴， ∴则判断的依据是． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，点D、C都在上，，，现要证明．若根据“”判定，则需增加条件_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”判定：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，据此增加条件即可． 【详解】解：∵，，现要证明， ∴根据“”判定，则需增加条件． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，要说明，①已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是________；②已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是_________；③已知，若要以“”为依据，则可添加的一个条件是_________． 【答案】 或 【分析】本题考查了添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合），全等三角形的判定、、，解题关键是掌握全等三角形的判定． ①依据添加条件；②依据添加条件；③依据添加条件． 【详解】解：要说明，①已知，，添加条件，依据“”得到； ②已知，，添加条件，依据“” 得到； ③已知，，添加条件或，依据“” 得到， 故答案为：①；②；③或． 1．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知：如图，A、D是CF上的两点，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据线段的和差求出，根据平行线的性质求出，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴． 2．（24-25八年级上·广东湛江·期中）已知，，，在上，且，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和平行线的性质，先根据平行线的性质，由得，再由得到，于是可根据“”判定． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 3．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，线段，过点、分别作垂线，在其同侧取，另一条垂线上任取一点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动；同时动点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，当点停止时，点也随之停止运动．设点的运动的时间为． (1)当时，________，________（用含的代数式表示）， (2)当时，求证：； (3)如图2，将“过点、分别作垂线”改为“在线段的同侧作”，其它条件不变．若与全等，直接写出对应的的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，或， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，动点问题，明确题意，准确得到全等三角形是解题的关键． （1）根据题意得： ， ，即可求解； （2）根据题意可得，从而得到，根据即可求证； （3）分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， ， ∴ ； （2）∵， ∴． ∵ ，     ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当时，即，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴ ， 当时 ，即， ， ∴ ， ∴ ，      综上所述，当与全等时，或，． 【典型例题六 全等的性质和SAS综合（SAS）】 【例1】（24-25七年级下·重庆·期末）如图，P，Q分别为射线，上的动点，，且，已知，，，当的长度为（    ）时，． A．5 B．7 C．12 D．17 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 要使，需要当时，计算得出． 【详解】解：，且 当时， 在和中， 、 ． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·广西钦州·阶段检测）如图，为测量池塘两端的距离，八（1）班数学兴趣小组在池塘旁的开阔地上选了一点，测得的度数，在的另一侧测得，再测得的长，就是的长．那么判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定“两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等”．根据题意，，结合公共边，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴． ∴，即判定的依据是． 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·江苏南通·阶段检测）如图，，，，，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 证明，得到，即可求出的长． 【详解】在和中， ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 【例4】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，把两根钢条，的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．只要量得的长度，就可知工件的内径是否符合标准．这种方法的原理是构造两个三角形全等，请写出这两个三角形全等的依据_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 根据中点的性质得出相等的线段，根据对顶角得出相等的角，然后可证明三角形全等，得出依据． 【详解】解：∵对顶角相等，中点分成的线段相等， ∴两个三角形全等的依据, 故答案为：． 1．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在 与 中，，，．试说明：． 【答案】证明：， ，即， 在和 和 中， ， ， ． 【分析】由得，证明，可得． 【详解】略 2．（25-26八年级上·云南曲靖·学业考试模拟）如图，点在的延长线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得，再结合已知可证，根据全等三角形对应的角相等，即可得． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·安徽池州·期末）某中学八年级（5）班的学生到野外进行数学活动，为了测量一池塘两端A、B之间的距离，同学们设计了如下两种方案： 方案1：如图（1），先在平地上取一个可以直接到达A、B的点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使，最后量出的距离就是的长． 方案2：如图（2），过点B作的垂线，在上取C、D两点，使，接着过D作的垂线，交的延长线于E，则测出的长即为间的距离． 问： (1)方案1是否可行？并说明理由； (2)方案2是否可行？并说明理由； (3)小明说：“在方案2中，并不一定需要，将‘’换成了_________也可以．”你认为小明的说法正确吗？如果正确的话，请你把小明所说的条件补上，并说明理由． 【答案】(1)可行，理由见解析 (2)可行，理由见解析 (3)，正确，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据证明即可得出； （2）根据证明即可得出； （3）根据平行线的性质可得，然后根据证明即可得出． 【详解】（1）解：方案1可行． 理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， 即量出的距离就是的长； （2）解：方案2可行． 理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即量出的距离就是的长． （3）解：，小明的说法正确． 理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即量出的距离就是的长． 【典型例题七 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）】 【例1】（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，用直尺和圆规作，这两个三角形全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图—复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定． 先利用作图痕迹可判断，平分，加上为公共边，然后利用全等三角形的判定方法求解． 【详解】解：由作图痕迹得，平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·河南周口·期中）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么他应该带下列选项中哪种玻璃碎片（   ） A．① B．② C．①② D．③ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法，看哪块可以符合三角形全等的条件即可． 【详解】解：根据“两角一夹边对应相等，两个三角形全等”可得，带③去就可以， 故选：D． 【例3】（24-25七年级下·江西赣州·阶段检测）如图，，相交于点O，，当添加条件_______时，可由“角边角”判定． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的判定，理解“角边角”定理是解题的关键． “角边角”是指两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等．我们已知，因为对顶角相等，所以．根据“角边角”判定定理，要使，还需要与的夹边和与的夹边相等，即． 【详解】解∶ ，， 由“角边角”判定，需要添加条件是∶． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，太阳光线和是平行的，在同一时刻，两根高度相等的木杆的影子是一样长的，这利用了全等图形的性质，其中判断的依据是______． 【答案】 【分析】此题考查全等三角形的应用，解题关键是掌握全等三角形的判定方法． 根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解： ， ， 两根高度相同的木杆竖直插在地面上， ∴，， 在和中， ， ∴． 故答案为：． 1．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：， ，， 点是中点， ， ； (2)四边形的面积为 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据线段中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）知，，得到，结合，，，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， ， ，，， ． 2．（24-25七年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 3．（24-25七年级下·全国·期中）“万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪．”如下图，杜甫草堂的工作人员打算在A，B两点间建立一座观景桥，由于A，B中间隔着河流无法直接测量，数学项目学习小组在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平行的），项目活动报告如下： 项目课题 在不用涉水的情况下测量河流的宽度 测量工具 皮尺等 测量方案示意图（不完整） 测量步骤 ①在河流的一岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点； ②沿河岸直走15 m有一棵树C，继续前行15 m到达D处； ③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得DE的长为5 m 任务 求河流的宽度 【答案】5 m 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等． 根据点，，在同一条直线上，，得，根据对顶角相等得，据此可依据“”判定，最后通过全等三角形的对应边相等求出河流的宽度． 【详解】解：依题意，得点，，在同一条直线上，，，， ∴． 在和中， ∴， ， 答：河流的宽度为． 【典型例题八 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）】 【例1】（25-26八年级上·重庆江津·期中）如图，，，，，，则的长度为（   ） A．9 B．13 C．17 D．26 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据垂直的性质证得，利用全等三角形的判定方法证得，根据全等三角形的性质证得、，进而计算的长即可． 【详解】解： 在和中 、 ， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·天津北辰·期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使点与点，在一条直线上，这时测得（   ）的长就是的长．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可求证． 【详解】证明：∵，，    ∴，   在和中 ， ∴，    ∴． ∴这时测得的长就是的长． 故选：C． 【例3】（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，的面积为8，是边上的高，且平分交于点D，E为的中点，连接，则的面积为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质．先证明，求得，再由三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又E为的中点， ∴， 故答案为：2． 【例4】 （25-26八年级上·山东济宁·阶段检测）如图，，，于点D，若，，则________． 【答案】2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明．通过角度关系推出，结合已知条件证明，得到，再根据，进而求出的长度． 【详解】解：， ， 又， ，则， ， 在和中： ， ， ， ， ． 故答案为：2． 1．（25-26七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知：在中，点D在边上，点E在线段上，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先证明可得，再证明，进一步求解即可． 【详解】略 2．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，小明和小华住在同一个小区的不同单元楼，他们想测量小华家所在单元楼的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点，然后小明在自己家阳台处看点测出的度数．小华站在处，眼睛在处看单元楼的端点测出的度数，并且发现与互余．已知，，，点在上，点在上，米，米，米，求单元楼的高度． 【答案】26.5米 【分析】证明，得到，求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵与互余，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图，某校项目式学习小组开展项目活动，测量福田区园博园福塔底座的直径．下面是同学们进行交流展示时的两种测量方案： 测量示意图 测量说明 测量结果 方案① 如图1，测量员在地面上找一点C，在连线的中点D处做好标记，从点C出发，沿着与平行的直线向前走到点E处，使得点E，A，D在一条直线上，测出的长 方案② 如图2，测量员在地面上找一点C，沿着向前走到点D处，使得，沿着向前走到点E处，使得，测出D，E两点之间的距离 请你选择上述两种方案中的一种，计算福塔底座的直径． 【答案】福塔底座的直径为 【分析】选择方案：根据平行线的性质，得，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论；选择方案：直接利用证明，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】解：选择方案①： ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∵， ∴． ∴福塔底座的直径为； 选择方案②． 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴福塔底座的直径为． 【典型例题九 用SSS证明三角形全等（SSS）】 【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：题干的：三边长分别为、、， ∵三角形要全等对应边必须相等， ∴只有C项与的各边都相等． 【例2】（2026·山西运城·二模）油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 【例3】（2025七年级下·全国·专题练习）（）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 【答案】 垂线段最短 【分析】（）根据垂线段最短即可求解； （）根据全等三角形的判断定理 本题考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：（）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点作于点，这样修所依据的数学公理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短； （）当，，，时，，所依据的数学公理是； 故答案为：，，，． 【例4】（24-25八年级上·河南商丘·期中）聪明的中国人在很早以前就发明了角尺工具，并灵活广泛地使用这个工具完成各种测量，下面是工人师傅用角尺平分一个任意角的操作：如图所示，在的两边和上分别量取，移动角尺，使角尺两边分别与和相交于点M、N，并且角尺上两侧的刻度相同．此时过角尺顶点C的射线即是的角平分线．上述操作过程依据三角形全等的判定方法是______． 【答案】（或边边边） 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：由题意：， ∴， ∴， 故答案为：（或边边边）． 1．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图：在和中，，，，，，试利用图形证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质以及利用等面积法证明勾股定理． 先证明，可得，从而得到，再根据图形的面积解答即可． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 由题意可得，， 直角梯形的面积为 则， 化简可得，，即可求证． 2．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点在同一条直线上，点分别在直线的两侧，，，． (1)求证：； (2)求证：； (3)猜想的数量关系：______； 猜想的位置关系：______． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)；． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后通过“”证明全等即可； （）由，得，证明，然后通过全等三角形性质可得； （）由（）得，通过全等三角形性质即可求解； 由（）得，则，所以，然后通过平行线的判定即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：由（）得， ∴， 故答案为：； 由（）得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东佛山·期末）尺规作图（用无刻度直尺和圆规绘制几何图形）是一种古老而重要的几何作图技术，在现代科学研究中仍然发挥着重要的作用．用尺规作已知角的平分线是其中的一种基本作图． (1)如图1，由尺规作图痕迹，可推导出，继而得到，其中三角形全等的依据是________（单选题）； A．   B．    C．    D． (2)如图2，在射线上任取一点，作，在射线上截取一点，使，作射线．根据以上步骤，请证明是的平分线； (3)综上可发现：用尺规作已知角的平分线，其实是在角的内部构造与等角有关的图形．根据这一发现，在图3尝试第三种作法（保留作图痕迹）． 【答案】(1)B (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据，可由证明两个三角形全等； （2）根据作图可得：，，根据等腰三角形的性质和外角的性质可得，从而得证； （3）在射线上取点、，分别以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 【详解】（1）解：根据作图可得：， ， ， ， 射线就是的平分线， 用到的三角形全等的判定方法是， 故选：． （2）解：根据作图可得：， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， 射线就是的平分线． （3）如图①，在射线上取点、，分别以为圆心，长为半径画弧，交射线于点，，连接，交于点，过点画射线，则射线为的平分线． 证明：连接， 由作图可知，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴射线就是的平分线． 【典型例题十 全等的性质和SSS综合（SSS）】 【例1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图是一个平分角的仪器，其中，．将点A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线，就是这个角的平分线．此仪器的原理是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据“”判定即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， 即是的平分线． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，已知与上的点，点，现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第步中所画的弧于点，连接．下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，尺规作图，全等三角形的判定与性质，根据图形的作法得到相等的线段，证明是关键．证明，根据全等三角形的性质以及平行线的判定定理即可得出结论． 【详解】解：由题意可得：，， ，故B正确，不符合题意； ，，故A错误，符合题意；C正确，不符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：A． 【例3】（25-26八年级上·全国·期中）如图，，，，则____________． 【答案】/20度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．根据“”证明，再根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，直角坐标系中，已知，，，请你在坐标系内找一点P（不与点B重合），使，，则点P的坐标是___________．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以点A为圆心，为半径画圆，以点C为圆心，为半径画圆，两圆相交于点P，点P即为所求；根据全等三角形的性质得出点B和点P关于直线对称，即可解答． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∵，， ∴轴， ∴点B和点P关于直线对称， ∵， ∴， 故答案为：．    1．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，．与相等吗？请说明理由． 【答案】，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由推出，即可证明，根据全等三角形对应角相等，即可得出结论． 【详解】略 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）我们知道几何命题的证明一般需要经历以下步骤： 按题意画出图形并标记； 分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； 分析并证明，写出推理过程． 请同学们尝试证明命题：“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等．” 已知：如图，在和中，，，____________． 求证：_____________． 证明： 【答案】，，证明见解析． 【分析】本题考查了命题与定理，全等三角形的判定和性质，由条件画出图形，然后证明，所以，再证明即可得到答案，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：已知：如图，在和中，，，点，分别是，的中点，且． 求证：． 证明：因为点，分别是，的中点， 所以，， 因为， 所以． 在与中， 因为， 所以， 所以， 在与中， 因为， 所以． 所以命题“两边分别相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等．”成立， 故答案为：，． 3．（25-26八年级上·辽宁鞍山·阶段检测）先阅读材料，再结合要求回答问题． 【问题情景】 如图，在四边形中，，．、分别是、上的点，且线段、、满足．试探究图中与之间的数量关系． (1)【初步思考】小王同学探究此问题的方法是：延长到，使，连接．先证明，再证明，可得出与之间的数量关系是 ． (2)【探索延伸】 若将问题情景中条件“”改为“”（如图2），其余条件不变，请判断上述数量关系是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (3)【实际应用】 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以的速度前进，后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达、处且相距．试求此时两舰艇的位置与指挥中心（处）形成的夹角的大小． 【答案】(1) (2)仍然成立；证明见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、方向角等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）延长到，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，由此即可得证； （3）连接，延长、相交于点，先根据方向角可得，，再求出，，然后根据（2）的结论计算即可得． 【详解】（1）解：如图，延长到，使，连接． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）仍然成立，证明如下： 如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． （3）解：连接，延长、相交于点， 由题意得：，，，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 由题意得：（海里），（海里），海里， ∴， ∴符合【探索延伸】中的条件， ∴． 【典型例题十一 用HL证全等（HL）】 【例1】（25-26八年级上·四川南充·期中）如图，为线段上两点，，，，则添加一个条件：不能用“”判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，根据判定定理即可． 【详解】解：∵，， ∴和是直角三角形， 又∵， ．当，可以用“”判定，故该选项不符合题意； ．当，不可以用“”判定，故该选项符合题意； ．当，∴，即，可以用“”判定，故该选项不符合题意； ．当，可以用“”判定，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·河北唐山·期末）综合实践课上，老师发给每人一张印有的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与全等的三角形．小张同学先画出了后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定的依据是（    ）． A．SAS B．AAS C．SSS D．直角三角形全等的判定定理 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握利用证明两个直角三角形全等，是解题的关键．由作图可知，，利用证明两个直角三角形全等，即可． 【详解】解：由作图可知：， 在和中， ∵， ∴（）； 故选D． 【例3】 （24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在和中，，根据_______（填判定方法的简称）可以知道． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定．解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．根据已知条件利用即可证明． 【详解】证明：在和中， ∵， ∴． 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，，要使，若根据“HL”判定，还需要添加的条件是_____．    【答案】 【分析】本题考查了根据证明三角形全等，掌握判定三角形全等是解题的关键． 根据两直角三角形全等的判定定理：即在一对直角三角形中，如果斜边和一条直角边分别相等，那么这两个三角形全等．题干已经有一条直角边是公共边，由此即可得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， 理由是：在和中， ， ∴； 故答案为：． 1．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在 中，为 的高，点 为 上一点，交 于点 F，，． 求证： ．    【答案】证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． 首先根据题意得到，然后证明出，进而得到结论． 【详解】为 的高， ， ， 在和中， ， ． 3．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）在学习完三角形全等的判定方法（）和直角三角形全等的判定方法后，小颖对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究． 【提出问题】 (1)是角平分线上的点，在上各取一点．如图1，若取，，此时显然与不全等．但是与有一定的数量关系，请猜想与的关系为______． (2)小颖对图1进行继续研究，在图1的基础上添加辅助线得到了图2、图3，请你先在图2、图3中选择一个图形，并描述辅助线（即添加条件），再证明（1）的结论． 你选择图______，描述辅助线______． 写出证明过程： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）观察图形，可猜想，于是得到问题的答案； （2）选择图2，添加条件：于点F，于点E，则，因为，所以，而，根据“”证明，得，进而可证； 若选择图3，添加条件：在AC上截取AD=AB，连接PD，可证明△PAB≌△PAD，得PB=PD，∠ABP=∠ADP，则PD=PC，所以∠ACP=∠PDC，则∠ABP+∠ACP=∠ADP+∠PDC=180° 【详解】（1）观察图形，可猜想， 故答案为：． （2）选择图2，添加条件：于点F，于点E， 证明：∵于点F，于点E， ∴， ∵P是角平分线上的点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2，于点F，于点E． 选择图3，添加条件：在上截取，连接， 证明：∵P是角平分线上的点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3，在上截取，连接． 【典型例题十二 全等的性质和HL综合（HL）】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，于点D，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，再根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴ 则A，B，D正确；C不一定正确． 故选：C． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）用三角尺画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点作的垂线，交点为P．则可通过得到平分．其中判定的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了学生的观察能力和判定直角三角形全等的（）定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决． 根据直角三角形全等的判定定理，可证，即可解答． 【详解】解：由画法得， ， 在和中， ， ， 即平分． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，在和中，，，．若，则____°． 【答案】55 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故答案为：55． 【例4】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段检测）在中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，交于点．解决下列问题，    （1）如图1，若，，且，则________； （2）如图2，延长至，使．若，，，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记相关定理的内容是解题关键． （1）证即可求解；（2）证得，；再证即可求解． 【详解】解：（1），，，， . （2），，， ， ，， . 又， ， ， 即. 在和中， ， . ， . 又，， . 故答案为：①；② 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点是边的中点，连接，过点作于点，于点，且．求证：． 【答案】证明：∵点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由点是边的中点得，由，得，结合可证，即可得． 【详解】略 2．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）如图，平分平分，点F在线段的延长线上，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用角平分线性质构造全等三角形． （1）由角平分线得角相等，结合公共边证三角形全等，得； （2）证，得 【详解】（1）证明：∵ 平分，平分， ∴ ，， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：． 理由： ∵ ， ∴ ，即， 在和中，， ∴ ， ∴ ． 3．（25-26八年级上·湖北荆州·期中）如图，是的中线，，垂足为，，交的延长线于点，是延长线上一点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，能够熟练运用和证明全等三角形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出； （2）利用证明，得出，从而解决问题． 【详解】（1）证明：是的中线， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ，                                                                ， ， ， ． 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，三个等腰直角三角形中有三个正方形，那么图中阴影部分与这三个等腰直三角形余下白色部分的面积相比较，（　　） A．白色部分大 B．阴影部分大 C．两者一样大 D．无法确定大小关系 【答案】A 【分析】此题考查了全等图形，根据图示可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形，进而利用全等图形的性质解答即可，解题的关键是根据三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形解答． 【详解】解：如图， 由图可知三个等腰直角三角形是全等图形，三个正方形不是全等图形， ∴，， ∴图中阴影部分小于余下白色部分的面积， 故选：． 2．（25-26八年级下·全国·期中）手工制作课上，老师在一张纸板上挖去了如图所示一个三角形，那么在甲、乙、丙三个同学制作的三角形中，和老师的三角形全等的是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理，即可解答． 【详解】解：由题意和图可知，甲同学制作的三角形与老师的三角形有两边和一角相等，但是角不是两边的夹角，所以不能判定其全等； 乙同学制作的三角形与老师的三角形也是两边和一角相等，并且角是两边的夹角，所以两个三角形全等； 丙同学制作的三角形与老师的三角形有两角一边对应相等，也可判定其全等， 所以，和老师的三角形全等的是乙和丙． 3．（2026·山西阳泉·三模）如图，梓青与米琦玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是，梓青和米琦在水平位置时离点O的距离相等，当梓青（右）离地面的高度是时，米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，，，，证明，得出，结合题意确定，即可推出结果． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∵梓青（右）离地面的高度是， ∴ ∴， ∴米琦（左）从水平位置垂直上升的高度是． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在四边形中，，点为上的点（不与重合），观察下列图形中全等三角形的对数． 其中，图1中有3对全等三角形，图2中有6对全等三角形，图3中有10对全等三角形，…． 按此规律，第5个图中有（    ）对全等三角形．      A．15 B．16 C．18 D．21 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形以及图形规律探索，结合题意得出规律，确定第个图中可有对全等三角形，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，图1中有3对全等三角形， 图2中有6对全等三角形， 图3中有10对全等三角形， … 第个图中，有对全等三角形， ∴第5个图中有对全等三角形． 故选：D． 5．（25-26八年级上·全国·期中）为测量一个池塘两端A，B之间的距离，两位同学分别设计了以下两种不同的方案． 方案Ⅰ：如图，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，并使，，连接，最后测出的长即可；    方案Ⅱ：如图，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． A．Ⅰ，Ⅱ都不可行 B．Ⅰ，Ⅱ都可行 C．Ⅰ可行，Ⅱ不可行 D．Ⅰ不可行，Ⅱ可行 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．根据全等三角形的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：方案Ⅰ： 在和中， ， ， ∴， 即测出的长即可， 故方案Ⅰ可行； 方案Ⅱ： ， ． 在和中， ， ， ， 即测量的长即可， 故方案Ⅱ可行． 综上，方案Ⅰ，Ⅱ都可行． 故选：B． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）中，，边上的中线，则边的取值范围是__． 【答案】 【分析】延长至使，连接，然后证明，接着利用三角形的三边关系即可得到的取值范围． 【详解】延长至使，连接 在和中， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，正确的作出辅助线是解题的关键． 7．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，已知，顶点A，B，C分别与顶点D，E，F对应，则________，________°． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，对应角相等，由可得，，再利用三角形内角和定理求出的度数即可求解． 【详解】解：因为，且顶点，，分别与顶点，，对应， 所以，， 由图可知， 所以， 在中，根据三角形内角和定理，， 因为，， 所以， 所以， 即． 8．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有________对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 9．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，三条直线a，b，c互相平行，的三个顶点分别在三条平行线上，已知，，且a，b之间的距离为2，b，c之间的距离为3，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．过A作于D，交直线c于点E，证明，得出，根据勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】解：过A作于D，交直线c于点E，如图所示： ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）如图，，，点、在直线上，点、在直线上，点在上若，，，，则的长为________． 【答案】7 【分析】证明，得出，，即可得解． 【详解】，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 11．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，点、、、在同一直线上，，，、是垂足，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】利用证明，即可证明． 【详解】略 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，是的高，点在的延长线上，点在上，，和是对应边．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，垂直的判定等知识；根据全等三角形的性质证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵是的高， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 即． ∴． 13．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，，E，F是上两动点，且有． (1)若点E，F运动至如图1所示的位置，且有，求证：； (2)若点E，F运动至如图2所示的位置，仍有，则还成立吗？为什么？ (3)若点E，F不重合，则和平行吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3)与不一定平行，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是牢记全等三角形的判定方法，即如果两个三角形满足三条边分别相等，那么这两个三角形全等，全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）先得出，再利用“边边边”即可求证； （2）先得出，再利用“边边边”即可求证； （3）先由已知条件不能判定全等，得出不能得出内错角相等，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即， 在和中， ， ． （2）解：成立， 理由：， ，即， 在和中， ， ． （3）与不一定平行， 理由：在和中，仅有不能判定它们全等，即不能得出， 故与不一定平行． 15．（25-26七年级下·广东佛山·期末）利用三角形全等测距离． (1)任务1：目测出操场上与你距离相等的两个点 方案：第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图： 原理： ，，． 又，，（______），______． (2)任务2：测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案：第一步：________________________； 第二步：________________________； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整） 【答案】(1)，， (2)在池塘外取可同时到达、的点，连接AC并延长至点，使；连接并延长至点，使； 测量的长度，的长度就是、两点间的距离． 【分析】（1）由 ， 可得两个直角相等，根据条件可以看出两角夹一边，即判定两个三角形全等，进而得到三角形对应边相等； （2）通过构造 ，得到，通过测量的长度即可． 【详解】（1）∵ ， ， ∴， ∵，， （）， （2）第一步：在池塘外取可同时到达、的点，连接并延长至点，使；连接并延长至点，使； 第二步：测量的长度，的长度就是、两点间的距离． 在和中， ， ，， ∴ ， ∴ 图略 学科网（北京）股份有限公司 $