精品解析：安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年第二学期八年级期末检测数学试题

定远育才学校2025-2026学年第二学期八年级期末检测数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是( ) A. x＞﹣1且x≠1 B. x≥﹣1 C. x≠1 D. x≥﹣1且x≠1 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在校园文化艺术节中，七位评委对参加比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下5个分数的平均分作为选手的比赛分数，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 中，，，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点D在的延长线上，点E为上一点，连接，点M、N分别为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 8. 如图，已知中，点是边的中点，过点作交于点，交于点，下列说法不正确的是（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是正方形 9. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A. B. C. D. 10. 如图，在平行四边形中，，，点分别是边上的动点，连接，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请你写出一个符合条件的的值__． 12. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 13. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是________． 14. 在一次体育达标测试中，某小组6名学生的立定跳远成绩如下：9，，6，6，8，4．其中这组数据的众数是6和8，则这组数据的中位数是______． 三、本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出以为对角线的矩形． （2）在图②中画出以为对角线的平行四边形，使其面积为4． （3）在图③中画出以为一边的菱形．使其面积为4． 18. 为响应环保号召，增强学生环保意识，对七、八年级学生进行了垃圾分类知识测评，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． ①八年级学生成绩在组的具体数据是： ②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）频数分布直方图中，组的频数是___________； （2）本次抽取八年级学生成绩的中位数___________； （3）若八年级有名学生参加了此次测试，估计八年级参加测评的学生中，成绩不低于分的有多少人？ （4）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量对两个年级的测评成绩进行评价． 19. 如图，在中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： （1）解方程：． （2）若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 23. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年第二学期八年级期末检测数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若代数式有意义，则x的取值范围是( ) A. x＞﹣1且x≠1 B. x≥﹣1 C. x≠1 D. x≥﹣1且x≠1 【答案】D 【解析】 【分析】此题需要注意分式的分母不等于零，二次根式的被开方数是非负数． 【详解】依题意，得 x+1≥0且x-1≠0， 解得 x≥-1且x≠1． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和除法运算、二次根式的性质，掌握运算法则及性质是关键，同时在二次根式的学习中避免犯类似错误． 根据二次根式的运算法则及性质即可解答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能相加，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 在校园文化艺术节中，七位评委对参加比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下5个分数的平均分作为选手的比赛分数，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平均数，中位数，众数，方差的含义，去掉最高分和最低分后，根据数据的中位数，平均数，方差和众数的定义分析即可． 【详解】解：A平均数：原平均数为七个分数的总和除以7，去掉两个极端值后总和改变，除以5，平均数可能变化，不符合题意． B中位数：原数据排序后中位数为第四个数，去掉最高和最低分后，剩余五个数的中位数为第三个数，即原中位数未变，符合题意． C方差：方差反映数据波动程度，去掉极端值后数据更集中，方差通常减小，不符合题意． D众数：若被去掉的分数是众数，则众数可能改变，不符合题意． 综上，只有中位数一定不受影响， 故选B． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 5. 元代数学著作《四元玉鉴》中有题为：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文（1贯文）．已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，求这匹锦的长和每尺锦的价格．设这匹锦的长为x尺，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，用x分别表示出剩下锦的长度和每尺锦的价格，再根据“总售价长度单价”列方程即可． 【详解】解：∵设这匹锦的长为尺，且这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七， ∴每尺锦的价格为文； ∵先卖掉三尺， ∴剩下的锦长度为尺； ∵剩下的锦总售价为文，总售价长度单价， ∴列方程得． 6. 中，，，的对边分别是，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的判定方法，包括角度和为及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 利用三角形的角度和勾股定理的逆定理逐一验证各选项是否满足条件即可． 【详解】解：选项A：若，则，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项B：，总份数为6，计算得，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项C：，验证勾股定理：，即，成立，故为直角三角形，可判定，不符合题意； 选项D：，最长边为，验证勾股定理：，不满足勾股定理，故无法判定为直角三角形，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，，点D在的延长线上，点E为上一点，连接，点M、N分别为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线、勾股定理，平行线的判定等知识，熟练掌握中位线定理是解题的关键．连接，取的中点F，连接，由中位线定理可得的长度，再根据勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：如图，连接，取的中点F，连接， 点M、N、F分别为的中点， 、分别是、的中位线， ，，，， ，， ， ， ， 由勾股定理得：， 故选：． 8. 如图，已知中，点是边的中点，过点作交于点，交于点，下列说法不正确的是（ ） A. 若，则四边形是菱形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若，则四边形是矩形 D. 若，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形．A由三线合一可知，再由平行线的性质可知，由等角对等边可知，即可证明平行四边形是菱形；B证明同A；C根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”证明即可；D无直角，无法证明正方形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． A．∵，点是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 则平行四边形是菱形；正确； B．若平分，同A可证平行四边形是菱形；正确； C．若，则平行四边形是矩形；正确； D．无度角，无法证明平行四边形是正方形；不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 9. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 10. 如图，在平行四边形中，，，点分别是边上的动点，连接，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质等，连接，可得，当取最小值时，最小，可知当时，最小，利用平行四边形的性质、直角三角形的性质和勾股定理求出即可求解． 【详解】解：连接， ∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∴当取最小值时，最小， 当时，最小， ∵四边形是平行四边形，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请你写出一个符合条件的的值__． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：一元二次方程可化为： 由条件可知， ， 当取1时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可以证明，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，则，要求的最小值，即求的最小值；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，知的最小值即等于直角三角形斜边上的高． 【详解】解：连接，如图： ∵在中，，，， ∴，即， 又∵于点，于点， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是的中点， ∴， 当时，的最小值即为直角三角形斜边上的高， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 13. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是________． 【答案】十边形 【解析】 【分析】明确任意多边形的外角和为固定值，多边形内角和公式为，其中为多边形的边数，根据题目给出的倍数关系列方程求解边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意多边形的外角和为，边形内角和公式为， 根据题意列方程得， 解得， 故这个多边形是十边形． 14. 在一次体育达标测试中，某小组6名学生的立定跳远成绩如下：9，，6，6，8，4．其中这组数据的众数是6和8，则这组数据的中位数是______． 【答案】7 【解析】 【分析】根据众数的概念可知，然后将这组数据从小到大排列，由中位数的概念确定答案即可． 【详解】解：根据题意，这组数据的众数是6和8， 可知， 将这组数据从小到大排列为：4，6，6，8，8，9， 故这组数据的中位数是：． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了众数和中位数的知识，熟练掌握相关概念是解题关键． 三、本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算二次根式的除法，最后计算加法即可得解； （2）先利用完全平方公式进行计算，再利用平方差公式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程左边可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得； （2）方程可以配方为，再解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 17. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，点、、、均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出以为对角线的矩形． （2）在图②中画出以为对角线的平行四边形，使其面积为4． （3）在图③中画出以为一边的菱形．使其面积为4． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）作一个底为3，高为2的矩形即可； （2）作一个底为2，高为2的平行四边形即可； （3）作一个对角线分别为2，4的菱形即可． 【小问1详解】 如图，矩形即为所求 【小问2详解】 如图，平行四边形即为所求 【小问3详解】 如图，菱形即为所求 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，三角形的面积，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18. 为响应环保号召，增强学生环保意识，对七、八年级学生进行了垃圾分类知识测评，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）． 【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）． 【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用表示成绩，分成五组：A．，B．，C．，D．，E．）． ①八年级学生成绩在组的具体数据是： ②将八年级的样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）： 【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）频数分布直方图中，组的频数是___________； （2）本次抽取八年级学生成绩的中位数___________； （3）若八年级有名学生参加了此次测试，估计八年级参加测评的学生中，成绩不低于分的有多少人？ （4）从平均数、中位数、众数、方差中，任选一个统计量对两个年级的测评成绩进行评价． 【答案】（1） （2） （3） （4） 选择方差，八年级学生成绩比较整齐． 理由：样本中七年级学生成绩的方差为，而八年级学生成绩的方差为， ∵， ∴八年级学生成绩比较整齐． 【解析】 【分析】（1）根据各组频数之和等于样本容量进行计算即可； （2）根据中位数的定义和计算方法进行计算即可； （3）求出样本中，八年级学生成绩不低于分的学生所占的百分比，估计总体中所占的百分比，然后乘以即可； （4）比较七、八年级学生成绩的方差的大小即可得出结论（答案不唯一）． 【小问1详解】 解：∵“随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩进行整理和分析， ∴本次抽取八年级学生的样本容量是， ∴频数分布直方图中，组的频数是：（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 将抽取的名八年级学生成绩从小到大排列，处在第、位的两个数的平均数为（分）， ∴本次抽取八年级学生成绩的中位数是分，即， 故答案为：； 【小问3详解】 （人）， 答：该校八年级名学生中，成绩不低于分的学生大约有人； 【小问4详解】 略 【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数，众数，方差以及样本估计总体，掌握中位数的计算方法，理解方差的意义以及样本估计总体的方法是解题的前提． 19. 如图，在中，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）连接交于点O，由平行线的对角线互相平分得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出线段的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：连接交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设售价上涨个元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设售价上涨个元， 由题意可得：， 解得：，， 当时，售价为元， 当时，售价为元， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 21. 阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： （1）解方程：． （2）若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】（1）原方程的解为，， （2）这四个整数为2，3，4，5 【解析】 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【小问1详解】 解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． 【小问2详解】 解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 22. 如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【解析】 【分析】（1）先根据菱形的性质得出为的中点，结合点为中点，得出为的中位线，即，再根据，，推出，证明四边形为平行四边形，最后根据去证明平行四边形为矩形即可； （2）先根据菱形的性质得出，，再结合点为中点，求出，然后根据（1）证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求解，求得的值，最后根据求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点为的中点，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 23. 设，是关于的方程的两根． （1）当时，求及m的值． （2）求证：． 【答案】（1），； （2） 证明：方程可化为， ∵， ∴原方程有两个不相同实数根， 由根与系数的关系得，， ∵， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程求出，然后再解一元二次方程即可； （）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， ∴ ， ∴，即， 解方程得，，， 故，； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $