广东佛山市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 结合新能源汽车销售、教师实习安排等现实情境，覆盖函数、数列、概率统计、导数等核心知识，注重数学思维与数据意识的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|函数求值、数列求和、二项式系数|基础概念与运算，如第4题实习安排考排列组合| |多选题|3/18|统计回归、随机变量生成函数|选项分层，如第9题结合残差分析考相关性| |填空题|3/15|正态分布、切线方程、抽奖概率|情境应用，如第14题购物抽奖考分布列| |解答题|5/77|数列通项与求和、二项式定理、概率分布列、导数极值与零点|综合应用，如第17题对抗赛总分考概率建模，第19题导数零点讨论考逻辑推理|

佛山第一中学2026年高二下学期期中考试 数 学 2026年5月 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．已知函数，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．的展开式的第二项的二项式系数为（    ） A．10 B．5 C． D． 4．现有五个数学师范生拟到某学校实习，学校指定甲、乙、丙三个老师担任指导．若要求每名师范生安排且只可以安排一名指导老师，每个老师至少安排指导一名师范生，则不同的安排方法数是（   ） A．243 B．150 C．90 D．30 5．设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 6．一个箱子中装有大小、形状均相同的8个小球，其中白球5个、黑球3个，现在两次不放回的从箱子中取球，第一次先从箱子中随机取出1个球，第二次再从箱子中随机取出2个球，分别用A，B表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出黑球”；分别用C，D表示事件“第二次取出的两球都为黑球”，“第二次取出的两球为一个白球一个黑球”．则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 7．跑步运动越来越受大众喜爱.据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的，且这三个年级的教师人数之比为，现从这三个年级中随机抽取一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（   ） A．0.42 B．0.36 C．0.35 D．0.45 8．已知函数在上存在极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下面统计了某品牌新能源汽车2024年上半年的销售量（单位：万辆）的情况，如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月销售量万辆 7.3 8.4 9.4 10.2 10.1 若月销售量关于月份的经验回归方程为，则（    ） A．月销售量与月份呈正相关 B． C．样本的残差约为 D．根据该模型，该品牌新能源汽车2024年8月销售量的预测值为11.52万辆 10．已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下： 随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（    ） A． B．若服从两点分布，，则 C．若，则 D．若实数为常数，则 11．已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（    ） A．时，恒成立 B．时，存在零点， C．时，是的极值点 D．若有3个零点，则a的范围为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知随机变量，若，则的值为______． 13．直线是曲线的一条切线，切点坐标为______，实数______． 14．某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记为抽到红球的次数，则___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知数列满足，（），记. (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和为. 16．已知.其中，且展开式中仅有第5项的二项式系数最大. (1)求n的值及二项式系数最大的项； (2)求（用数值作答）； (3)求的值（用数值作答） 17．一项没有平局的对抗赛分为两个阶段，参赛者在第一阶段中共参加2场比赛，若至少有一场获胜，则进入第二阶段比赛，否则被淘汰，比赛结束；进入第二阶段比赛的参赛者共参加3场比赛．在两个阶段的每场比赛中，获胜方记1分，负方记0分，参赛者参赛总分是两个阶段得分的总和，若甲在第一阶段比赛中每场获胜的概率都为，在第二阶段比赛中每场获胜的概率都为，每场比赛是否获胜相互独立．已知甲参赛总分为2分的概率为． (1)求； (2)求甲参赛总分X的分布列和数学期望． 18．某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”与“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示. 等级 不合格 合格 得分 频数 6 x 24 y (1)若测试的同学中，分数在，，， 内女生的人数分别为2人，8人，16人，4 人，完成下面列联表，依据的独立性检验，能否认为性别与安全意识有关? 等级性别 不合格 合格 总计 男生 女生 总计 (2)按比例分配的分层抽样方法从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为X，求 X 的分布列及数学期望E(X). 附: 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19．已知函数． (1)若，求的极值； (2)若，使得成立，求整数的最小值； (3)若，讨论函数的零点个数． 试卷第1页，共3页 佛山第一中学2026年高二下学期期中考试 数 学 参 考 答 案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B D B C C ABD AD 题号 11 答案 BD 12．0.36 13． 0 14． 15．（1）由，即， 得，即， 又，得， 故数列中任意一项不为0，有， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 故，则. （2）由（1）可知，，则， 所以，， 两式作差得， ， 所以. 16．（1）由展开式中仅有第5项的二项式系数最大可知为唯一的最大，故， 则第5项为 （2）令，则 （3）令，则，与（2）中两式求和， 故 17．（1）甲参赛总分为分有两种情况： 第一种情况是在第一阶段两场比赛一胜一负（概率为）， 然后在第二阶段三场比赛一胜两负（概率为）. 第二种情况是在第一阶段两场比赛全胜（概率为）， 然后在第二阶段三场比赛全负（概率为）. 根据甲参赛总分为分的概率为，可列出方程： 先计算组合数，. 方程变为. 化简得.即. 因式分解得. 解得或，因为，所以. （2）甲参赛总分的可能取值为，，，，，. 包括：在第一阶段两场全输，概率为. 包括：在第一阶段一胜一负（概率为）， 然后在第二阶段三场全输（概率为），所以. ：前面已求出为. 包括：在第一阶段两场全胜（概率为）， 然后在第二阶段一胜两负（概率为），此时. 也包括在第一阶段一胜一负（概率为）， 然后在第二阶段两胜一负（概率为）.此时. 则. 包括：在第一阶段两场全胜（概率为）， 在第二阶段两胜一负（概率为），此时. 也包括在第一阶段一胜一负（概率为）， 然后在第二阶段三场全胜（概率为），此时. 则. 包括：在第一阶段两场全胜（概率为）， 然后在第二阶段三场全胜（概率为），所以. 所以的分布列为： 1 2 3 4 5 根据数学期望公式， 18．（1）由频率分布直方图可知得分在的频率为， 所以抽取的学生答卷总数为，则，， 可得列联表为： 等级性别 不合格 合格 总计 男生 14 16 30 女生 10 20 30 总计 24 36 60 零假设：性别与安全意识无关， 于是， 依据的独立性检验可知：零假设成立， 所以不能认为性别与安全意识有关． （2）“不合格”和“合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人， 可知X的可能取值为0，5，10，15，20，则有： ， ， 所以X的分布列为： X 0 5 10 15 20 P 期望． 19．1）若，得：，则有， 当时，，所以在为减函数； 当时，，所以在为增函数； 所以，当时，的极小值为0，无极大值. （2）若，使得成立， 即，所以， 所以，令，则， 当单调递增，单调递减， 所以的最大值为， 所以，又因为，所以整数的最小值为1 （3）由题意得， 令，可得 ①当时，， 所以，即在上单调递减， 又，所以当时，， 所以在为增函数； 当时，，所以在为减函数； 又，所以有唯一的零点， ②当时，， 因为，则在为减函数，， 所以存在，使得， 当时，，所以在上增函数； 当时，，所以在上减函数． 因为，则，当， 使得， 所以时，，即，即在为减函数； 当时，，即，即在为增函数； 当时，，即，即在为减函数； 因为，所以．而， 所以使得在为减函数， 所以，得到存在两个零点. ③当，结合在为减函数 当时，，在为增函数； 当时，，在为减函数； 所以，所以，即在上为减函数． 又因为，所以只有一个零点； 综上所述：当或，函数有1个零点； 当函数有2个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $