精品解析：江苏省宿迁市钟吾初级中学2024-2025学年八年级下学期期末测试数学试卷

2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区钟吾初级中学 八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说明）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列哪个事件不是随机事件 A. 投掷一次骰子，向上一面的点数是 B. 姚明在罚球线上投篮一次，未投中 C. 任意画一个多边形，其外角和是 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 6. 若点A(﹣2，y1)，B(﹣1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 7. 正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（　　） A. 保持不变 B. 一直变小 C. 先变小后变大 D. 先变大后变小 8. 如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 的值是_________． 10. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_____． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 12. ，则__________． 13. 关于的x方程＝1的解是正数，则m的取值范围是_____． 14. 如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 __________________． 15. 如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为，则的值为______． 16. 在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 17. 如图，有两张矩形纸片和，，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角最小时重叠部分的面积等于________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是______． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1）； （2）． 20. 解下列分式方程：． 21. 先化简：，再从中选合适的数代入求值． 22. 某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生必选且只选一类），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样的学生有______人； （2）通过计算补全条形统计图； （3）扇形图中，______，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是______； （4）若该中学有900名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？ 23. 某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的1.5倍，甲施工队单独修建该项工程比乙施工队单独修建该项工程提前4天完成．求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． （1）求的值和这个反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出的取值范围． 25. 如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 26. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是 ，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （ ）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 27. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点 是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点 分别作轴、轴的垂线，若由点 、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点 是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； （3）在（2）的条件下，在双曲线上，求的值． 28. 如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接． （1）将沿翻折至的位置，使点落在处； ①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长； ②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求的长． （2）若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点 顺时针旋转 得到，连接，则的最小值________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省宿迁市宿城区钟吾初级中学 八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学中的对称之美无处不在，下列四幅常见的垃圾分类标志图案（不考虑文字说明）中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可. 【详解】解：A.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2. 下列哪个事件不是随机事件 A. 投掷一次骰子，向上一面的点数是 B. 姚明在罚球线上投篮一次，未投中 C. 任意画一个多边形，其外角和是 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了对随机事件、必然事件、不可能事件的应用，正确理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是解此题的关键． 随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，必然事件是指一定能发生的事件，不可能事件是指一定不发生的事件，根据以上定义逐个进行判断即可． 【详解】解：．投掷一次骰子，向上一面的点数是，是随机事件，不符合题意； ．姚明在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； ．任意画一个多边形，其外角和是，是必然事件，符合题意； ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； 故选：． 3. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式值为0的条件，当分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0． 【详解】解：若分式的值为0，则，， 解得：， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式性质对A选项进行判断；根据二次根式的减法对B选项进行判断；根据二次根式的乘除法对C、D选项进行判断即可． 【详解】解：因为，所以A选项错误； 因为，所以B选项错误； 因为，所以C选项错误； 因为，所以D选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质以及二次根式的加减乘除运算法则，正确掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 5. 下列命题中，正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 C. 两组邻角相等的四边形是平行四边形 D. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确； C、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，错误； D、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误； 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理、矩形的判定定理、正方形和菱形的判定定理，熟记定理是解题的关键． 6. 若点A(﹣2，y1)，B(﹣1，y2)，C(3，y3)在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1 【答案】C 【解析】 【分析】首先把各点的坐标分别代入解析式，再根据，即可判定 【详解】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（3，y3）在反比例函数例函数y＝的图象上， ∴y1＝，y2＝，y3＝， ， ∴ 即y2＜y1＜y3， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，采用直接代入比较大小也是解决次类题的一种方法． 7. 正方形边上有一动点E，以为边作矩形且边过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形的面积（　　） A. 保持不变 B. 一直变小 C. 先变小后变大 D. 先变大后变小 【答案】A 【解析】 【分析】连接，可得的面积是矩形的一半，也是正方形的一半，可得矩形与正方形面积相等． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∴矩形与正方形的面积相等． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的性质，连接由面积关系进行转化是解题的关键． 8. 如图，在矩形中，，，点是上一点，且，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则面积的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，由矩形的性质可得点重合，的值最小，即为的长，即得的最小值为，得到的最小值为，延长相交于点，过点作的延长线于点，证明得到，可得当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，当取最大时，点重合，此时，即得，得到，最后利用三角形面积公式计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 延长相交于点，过点作的延长线于点，则， ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 9. 的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据求解即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 10. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据分母不为零且被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，， 解得， 故答素为：． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先化简，然后根据同类二次根式的概念进行求解即可. 【详解】=2， 又与最简二次根式是同类二次根式， 所以a=3， 故答案为3. 【点睛】本题考查了最简二次根式与同类二次根式，熟练掌握相关概念以及求解方法是解题的关键. 12. ，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减法，条件式变形得到，整体代入法，求值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 关于的x方程＝1的解是正数，则m的取值范围是_____． 【答案】m＞﹣5且m≠0 【解析】 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围即可． 【详解】去分母，得m=x-5， 即x=m+5， ∵方程的解是正数， ∴m+5＞0，即m＞-5， 又因为x-5≠0， ∴m≠0， 则m的取值范围是m＞﹣5且m≠0， 故答案为m＞﹣5且m≠0. 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及注意事项是解题的关键.这里要注意分母不等于0这个隐含条件. 14. 如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由D，E分别为的中点，可得，由，D为的中点，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵D，E分别为的中点， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点分别在反比例函数和的图像上，轴，与轴交于点，点是轴上一点．若的面积为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，反比例函数图象上点的坐标特征，设，则，可得，进而由的面积为得到，即可求出的值，再代入计算即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：设， ∵轴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上 ∴， ， ∴， 故答案为：． 16. 在四边形中，，对角线，若，，则四边形各边中点连线构成的四边形的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，平行四边形和矩形的定义等知识点，画出图形、利用三角形的中位线推理证明是解题的关键． 连接、、、的中点、、、，根据三角形的中位线定理，得出，，，，求出、的长，推出，，根据平行四边形和矩形的定义证明四边形是矩形，根据矩形的面积，计算得出答案即可． 【详解】解：如图，、、、分别为、、、的中点，连接点、、、， ∴，，，，，（三角形的中位线定理）， ∴，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， ∴矩形的面积． 故答案为：． 17. 如图，有两张矩形纸片和，，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角最小时重叠部分的面积等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关键． 设交于，由“”可证，可证，㑡可证四边形是菱形，当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小，由勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可得出答案． 【详解】解；设交于，如图所示： ∵四边形和四边形是矩形， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ， ∵将两纸片按如图所示叠放，使点与点里合，且重叠部分为平行四边形， ∴当点与点重合时，两张纸片交叉所成的角最小， ， 设则， ， ， 解得：， ， ∴重叠部分的面积， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论； ②当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形； ③任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值； ④过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值． 【详解】①如图，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点在函数图像上，点在函数图像上， 设，则， ∴， 又∵点的坐标是， 在中，， 当时，，， 此时，， ∴四边形可能是菱形， ∴①符合题意； ②由①得，当时，，， ∴， 此时， ∵点的坐标是， ∴轴， ∴， 由①知，四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形，但， ∴四边形不为正方形， ∴②不符合题意； ③由①得，当点的横坐标为时，，， ∴四边形的周长为：， 当点的横坐标为时，，则， ∴，， ∴四边形的周长为：， ∴四边形的周长不为定值， ∴③不符合题意； ④如图，过点作轴于点， 又∵， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形的面积为定值， ∴④符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟知反比例函数图像_上点的坐标特征． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； 利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解下列分式方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得： 检验，当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 21. 先化简：，再从中选合适的数代入求值． 【答案】，2 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得． 【详解】解： ， ∵且， 且， ∴， 当时，原式 22. 某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生必选且只选一类），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题： （1）本次抽样的学生有______人； （2）通过计算补全条形统计图； （3）扇形图中，______，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是______； （4）若该中学有900名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？ 【答案】（1）300 （2） 补全统计图如下： （3）35，18 （4）90人 【解析】 【分析】本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用B类的人数除以其对应的百分比即可解答； （2）总人数减去喜爱A、B、D、E类电视节目的人数，可得喜爱C类电视节目的人数，然后将扇形图补全即可； （3）用所占人数除以总人数可得m的值；节目类型E对应的扇形圆心角的度数等于乘以节目类型E的百分比即可； （4）用900乘以样本中喜欢新闻类节目的学生百分比即可得解答． 【小问1详解】 解：由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的， 本次抽样调查的样本容量是：． 故答案为：300． 【小问2详解】 解：喜爱C类电视节目的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：，故， 节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：． 故答案为：35，18． 【小问4详解】 解：该校900名学生中喜欢新闻类节目的学生有：（人）． 答：该校喜欢新闻类节目的学生大约有90人． 23. 某地计划修建长12千米的部分外环项目，由甲、乙两个施工队合作完成．已知甲施工队每天修建的长度是乙施工队每天修建的长度的1.5倍，甲施工队单独修建该项工程比乙施工队单独修建该项工程提前4天完成．求甲、乙两施工队每天各修建多少千米？ 【答案】甲施工队每天修，乙施工队每天修 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设乙施工队每天修，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设乙施工队每天修， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ； 答：甲施工队每天修，乙施工队每天修． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． （1）求的值和这个反比例函数的表达式． （2）求的面积． （3）当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合． （1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可； （2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 在一次函数的图象上， ， 解得， 点的坐标为， ， 反比例函数的对应的函数关系为； 【小问2详解】 当时，， 解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， 点的坐标为， ； 【小问3详解】 当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或．  25. 如图，在中，点E是的中点，连接，、的延长线相交于点F，连接、． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过证明可得，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形； （2）利用三角形外角的性质和角的倍数关系求得，然后求得，从而可得平行四边形是矩形． 【小问1详解】 证明：在中，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形； ∴， 又由（1）可得，四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴，即四边形是矩形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 26. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将减去其整数部分，差就是的小数部分，请解答下列问题： （）的整数部分是______，小数部分是______； （）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 拓展：设，是有理数，且满足，求的值． 小慧的做法是：由题意，得因为，都是有理数，所以，也是有理数，由于是无理数，所以，，所以，，所以． （）问题：设，都是有理数，且满足，求的值． 【答案】（），；（）；（）或 【解析】 【分析】（）由 得，即得的整数部分，然后把减去它的整数部分得到的小数部分； （）同理（）求出的值，然后把、的值代入计算即可； （）仿照小慧的做法解答即可； 本题考查了无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：（）， ， 的整数部分为，小数部分为； 故答案为：，； （）， ， 的整数部分为，小数部分为，即； ， ， 的整数部分为，即， ； （）， ， ，是有理数，为无理数， 且， 解得，， 当时，； 当时，， 综上所述，的值为或． 27. 定义：如图，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】： （1）点______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ______； 【深入探究】： （2）若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值； （3）在（2）的条件下，在双曲线上，求的值． 【答案】（1）不是，；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质、求函数解析式，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． （1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）先由（2）得出点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，令直线与轴交于点，当时，求出点的坐标，最后根据进行计算即可． 【详解】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，； （2）是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得； （3）在双曲线上， ， ， 设直线的解析式为：， ， ， ， 令直线与轴交于点， 当时，， ， ，    ． 28. 如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接． （1）将沿翻折至的位置，使点落在处； ①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长； ②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求的长． （2）若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最小值________． 【答案】（1）①；②画图见解析；4或24； （2）． 【解析】 【分析】（1）①根据矩形和翻折的性质可知，，利用勾股定理可求得，从而得到，再利用勾股定理即可解得；②当中时，根据矩形和翻折的性质可得到点、、三点共线，由即可得到；当中时，可推出点、、三点共线，利用勾股定理可得，从而得到，再利用勾股定理即可解得； （2）在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，根据翻折的性质和矩形的性质，可证明四边形是平行四边形，从而推出，再通过证明，，得到，最后利用，可求得最小值，即得到最小值． 【小问1详解】 解：①四边形是矩形 ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 解得： 的长为； ②当中时，如图所示即为所求： 四边形是矩形 根据翻折的性质，， ， 点、、三点共线 当中时，如图所示即为所求： 四边形是矩形 又 点、、三点共线 根据翻折的性质，， 解得： 的长为4或24； 【小问2详解】 解：在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，如图所示， 根据翻折的性质，，，，， 又 四边形是平行四边形 四边形是矩形 又， ， ，即 又， ， ，即 当、、三点共线时，最短，即 的最小值为 的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠问题，三角形全等的判定与性质，矩形的性质，两点之间距离最短，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $