精品解析：河南驻马店市第二初级中学2025-2026学年八年级下学期6月期末检测数学试题

2025－2026学年第二学期八年级学期末检测 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A.在不等式两边同时减去5，不等式仍然成立，即，故选项A不符合题意； B. 在不等式两边同时乘以-5，不等号方向改变，即，故选项B不符合题意； C.当c≤0时，不等得到，故选项C符合题意； D. 在不等式两边同时加上c，不等式仍然成立，即，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质运用的，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键． 3. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形需正确，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．式子左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意， B．式子右边是整式和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意， C．式子左边是多项式，右边是整式的积的形式，且变形正确，属于因式分解，符合题意， D．式子左边是整式的积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意． 4. 如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解，，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：在等腰中，，， ∴， ∵为边上的高线， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，，，则CD的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、角平分线的性质即可求解； 【详解】解：在平行四边形ABCD中， ∵， ∴， ∵EC平分∠BCD， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 6. 在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，解题的关键是根据痕迹识别图形的性质 由图知，平分，垂直平分，运用角平分线的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由图知，平分，垂直平分， ，，， 在中，， ， ， 所以选项A、C、D正确，不符合题意， 故选：B． 7. 某学校在组织学生参加春季踏青活动中，把八年级五班学生分成甲、乙两个小组，同时开始攀登一座高的山，甲组的攀登速度是乙组的倍，甲组到达顶峰所用时间比乙组少，如果设乙组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设乙组的攀登速度为，则甲组的攀登速度为，根据时间路程速度，结合甲组到达顶峰所用时间比乙组少，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设乙组的攀登速度为，则甲组的攀登速度为， 依题意得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 8. 若关于的方程有增根，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分式方程的增根是使原方程分母为0的根，先确定可能的增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵ 原方程最简公分母为 ∴ 原方程有增根，则增根满足 ， 得 或 ， 方程两边同乘 去分母得： 整理得： 将 代入整式方程得：，解得 将 代入整式方程得：，解得 ∴ 的值为或． 9. 若关于的不等式组恰有3个正整数解，则实数的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出不等式组的解集，根据正整数解恰有3个确定出的范围即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 解得：， 不等式组恰有3个正整数解，即1，2，3， ． 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图：过点作轴于．由等腰三角形的性质可得；再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据旋转的性质并画出图形得到，，，，，，，6次一个循环，然后再求第2026次旋转后点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于． ，， ， 在中，，， ， ，， ， ， 将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转， 、在轴上， ，； 与关于轴对称， ； 与关于原点对称， ； 与关于轴对称， ， 与重合， ； ， ∵， ∴6次一个循环， ， ． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 12. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是. 13. 如图，等腰梯形，，，，，则该梯形的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】作，由等腰梯形的性质可证明，且四边形为平行四边形，进而可求，因为，根据直角三角形 的性质可求，则题目可解． 【详解】解：作， 则， 梯形是等腰梯形， ，，， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 等腰梯形的周长是． 14. 《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、对称的性质、等腰三角形的性质，根据点与点关于直线对称，是的垂直平分线，可知，根据和为两个全等的等腰直角三角形，可知四边形是正方形，根据正方形的性质可知，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据对称的性质可求． 【详解】解：如下图所示，连接， 点与点关于直线对称， 是的垂直平分线， ， 又和为两个全等的等腰直角三角形， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 15. 我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由于的长为定值，求的最小值转化为求的最小值，通过平移变换，将线段平移至，使得转化为，利用两点之间线段最短结合勾股定理即可求解． 【详解】解：为定值，  求的最小值，即求的最小值， 如图，将点向右平移个单位长度得到点，连接， 点的坐标为，  点的坐标为， 由平移的性质可知，且，  四边形是平行四边形，  ， ， 当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长度， 过点作交的延长线于点， 在中， 水平直角边长为， 竖直直角边长为， 根据勾股定理得：  的最小值为， 的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程和不等式组： （1）解方程 （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：解①得：， 解②得：， ∴不等式组的解集为：． 数轴略． 17. 先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算是解题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，再计算除法运算，约分得到最简结果，将代入计算即可求出值． 【详解】 ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 18. 如图，将一个绕点B顺时针旋转得，使得C点落在的延长线上的点处，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】题目主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据旋转的性质及等边三角形的判定和性质求解即可； （2）根据旋转的性质得出，，再由平行线的判定和性质证明即可． 【小问1详解】 解：绕点B顺时针旋转得， ，， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 证明：绕点B顺时针旋转得， ，， ， 又， ， ∴， ， ． 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后， 三个顶点的坐标分别为 ． （1）将 沿x轴正方向平移8个长度单位得 (点 A的对应点为， 点 B 的对应点为，点C的对应点为 画出 （2）作 关于原点中心对称的 (点A的对应点为 ，点B的对应点为 点 C的对应点为 )； （3）四边形的形状 （填“是”或“不是”） 平行四边形； （4）的面积= ． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）是 （4） 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，正确作出图形，属于中考常考题型 （1）根据平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可． （2）根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可． （3）根据对应边相等可得出平行四边形 （4）利用割补法可求出面积． 【小问1详解】 解：如图， ，即为所求． 【小问2详解】 如图，△，即为所求． 【小问3详解】 ∵, ∴， ∴四边形的形状是平行四边形． 故答案：是 【小问4详解】 的面积= 20. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： （1）分解因式：． （2）已知，，求的值． （3）已知，，分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）由可得： ， ， ， ，， ． 的形状是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）先后三项一组用完全平方公式因式分解，再整体用平方差公式因式分解即可； （2）前两项一组，后两项一组分组分解，然后代入求值即可； （3）原式变形为，得，则可证得，则题目可解． 【小问1详解】 解： ， ， ． 【小问2详解】 解： ， ， ． 将，代入上式可得：， 【小问3详解】 解：略． 21. “七秩问天路，携手探九霄”．今年4月24日是第11个中国航天日，恰逢中国航天事业创建70周年．5月24日23时08分，长征二号F遥二十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，随后将搭载的神舟二十三号载人飞船成功送入预定轨道．航天事业的蓬勃发展，带动了航天模型的热销．某商店计划购进A，B两款航天模型共100个进行销售．相关信息如下： 信息一 每个B款模型的进价比每个A款模型的进价贵20元． 信息二 用400元购进A款模型的数量和用500元购进B款模型的数量相等． 信息三 计划购进B款模型的数量不超过A款模型数量的． 信息四 实际销售时，A，B两款模型的利润率均为40%． （温馨提示：利润率） 请利用以上信息解决下列问题： （1）求A，B两款模型每个的进价分别是多少元． （2）要使销售完这批航天模型后的利润最大，请设计出利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）A款模型每个的进价为80元，B款模型每个的进价为100元 （2）进货方案为购进A款模型60个，B款模型40个，最大利润为3520元 【解析】 【分析】（1）设A款模型每个的进价为x元，则B款模型每个的进价为元，根据等量关系：用400元购进A款模型的数量和用500元购进B款模型的数量相等，列出分式方程并求解即可； （2）设A款模型购进m个，则B款模型购进个，根据题意中不等关系求出m的取值范围；设销售完这批航天模型后的利润为w元，得到关于m的一次函数，求出函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款模型每个的进价为x元，则B款模型每个的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：A款模型每个的进价为80元，B款模型每个的进价为100元； 【小问2详解】 解：设A款模型购进m个，则B款模型购进个， 根据题意得：， 解得， 即； 设销售完这批航天模型后的利润为w元， 则，其中， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，且最大值为（元）， 此时（个）； 答：进货方案为购进A款模型60个，B款模型40个，最大利润为3520元． 22. 【三角形中位线定理】 （1）如图①，在中，点，分别是边，的中点，直接写出和的关系； （2）如图②，在四边形中，点，分别是边，的中点，若，，，，求的度数； （3）如图3，点、分别是四边形的边、上的中点，，，，直接写出的长． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形中位线定理得到，再根据勾股定理的逆定理得到，最后计算即可． （3）连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理得到，和，，再利用平行线的性质得到，最后根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，． 【小问2详解】 如图，连接， 点，分别是边，的中点，，，，， 是的中位线， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 如图，连接，取的中点，连接， 点、分别是、上的中点，， 是的中位线， ，， ， 点、分别是、上的中点，， 是的中位线， ，， ， ， ， 在中，． 23. 【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． （1）如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 （2）如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； 【小问3详解】 解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则   ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期八年级学期末检测 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在等腰中，，为边上的高线，，且交的延长线于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，，，则CD的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 6. 在中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 某学校在组织学生参加春季踏青活动中，把八年级五班学生分成甲、乙两个小组，同时开始攀登一座高的山，甲组的攀登速度是乙组的倍，甲组到达顶峰所用时间比乙组少，如果设乙组的攀登速度为，那么下面所列方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的方程有增根，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 若关于的不等式组恰有3个正整数解，则实数的取值范围在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第2026次旋转后，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_______． 12. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是____________． 13. 如图，等腰梯形，，，，，则该梯形的周长为________． 14. 《蝶（同“蜨”）几图》是明朝人戈汕所作的家具配件设计图集．如图为某蝶几设计图，其中和为两个全等的等腰直角三角形，且点与点关于直线对称，分别连接，．若，则为________°． 15. 我国数学家华罗庚曾言：“数形结合百般好，隔离分家万事休”．请运用数形结合与最短路径思想，解决下列问题：如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，，点的坐标为，点的坐标为，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解方程和不等式组： （1）解方程 （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 17. 先化简，再求值：，请从0，1、2、3中选取一个合适的数作为x的值． 18. 如图，将一个绕点B顺时针旋转得，使得C点落在的延长线上的点处，连接． （1）求的度数； （2）求证：． 19. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形， 的顶点均在格点上，建立平面直角坐标系后， 三个顶点的坐标分别为 ． （1）将 沿x轴正方向平移8个长度单位得 (点 A的对应点为， 点 B 的对应点为，点C的对应点为 画出 （2）作 关于原点中心对称的 (点A的对应点为 ，点B的对应点为 点 C的对应点为 )； （3）四边形的形状 （填“是”或“不是”） 平行四边形； （4）的面积= ． 20. 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：． 请仔细阅读上述解法后，解决下列问题： （1）分解因式：． （2）已知，，求的值． （3）已知，，分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由． 21. “七秩问天路，携手探九霄”．今年4月24日是第11个中国航天日，恰逢中国航天事业创建70周年．5月24日23时08分，长征二号F遥二十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，随后将搭载的神舟二十三号载人飞船成功送入预定轨道．航天事业的蓬勃发展，带动了航天模型的热销．某商店计划购进A，B两款航天模型共100个进行销售．相关信息如下： 信息一 每个B款模型的进价比每个A款模型的进价贵20元． 信息二 用400元购进A款模型的数量和用500元购进B款模型的数量相等． 信息三 计划购进B款模型的数量不超过A款模型数量的． 信息四 实际销售时，A，B两款模型的利润率均为40%． （温馨提示：利润率） 请利用以上信息解决下列问题： （1）求A，B两款模型每个的进价分别是多少元． （2）要使销售完这批航天模型后的利润最大，请设计出利润最大的进货方案，并求出最大利润． 22. 【三角形中位线定理】 （1）如图①，在中，点，分别是边，的中点，直接写出和的关系； （2）如图②，在四边形中，点，分别是边，的中点，若，，，，求的度数； （3）如图3，点、分别是四边形的边、上的中点，，，，直接写出的长． 23. 【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． （1）如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 （2）如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $