第一章 二次函数——二次函数图像与性质、二次函数解实际问题等知识点 同步练 2026--2027学年浙教版九年级数学上册

**基本信息** 本练习围绕二次函数图像性质、解析式求解、实际应用等核心知识点，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层递进设计，结合例题示范与多样化题型，强化从概念理解到实际问题解决的知识迁移，适配单元复习中“基础+提升”的教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|图像性质、特殊形式函数（y=ax²+k）|以选择填空为主，如根据函数值表判断取值范围，强化几何直观与抽象能力| |能力提升|待定系数法、图像与性质综合|含多结论判断填空题及解析式求解解答题，培养推理能力与运算能力| |综合应用|实际问题、跨知识点综合|结合销售利润、抛物线形器皿等生活情境，如多功能锅纵断面抛物线问题，发展模型意识与应用意识|

二次函数图像与性质、二次函数解实际问题等知识点同步练 知识点一：根据y=ax²+bx+c的图象与性质解相关问题 例题： （选择题）抛物线的对称轴是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的顶点式解答。配方成顶点式后即可确定其顶点坐标。 【详解】解： ， 对称轴方程为直线， 故选：A。 同步练： （选择题）1.二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（   ）。 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由表格给出的信息可知，对称轴为直线，利用二次函数的对称性得到当时，或，进而可得二次函数的开口方向以及与x轴的交点坐标，当时，函数图象在x轴下方，据此求出x的取值范围。 【详解】解：由表可知，二次函数的对称轴为直线， 则当时，或， ，在对称轴左侧，y随x的增大而增大， 二次函数的图象开口向下，且与x轴的交点为， 当时，x的取值范围为或， 故选：C。 （选择题）2.已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于的方程的解是（   ）。 … … … … A．， B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，根据表格中的数据，可以得到该函数的对称轴和的值，从而可以得到和 时对应的函数值都是，再将，代入函数解析式，整理可以得到方程从而可以得到该方程的解，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答。 【详解】由表格可知，和时对应的函数值都是， ∴二次函数的对称轴是直线， ∴当 和时，， 又当时，，即， ∵当时，，即整理，得， 则方程的解是，， 故选：。 （填空题）3.如图是抛物线的部分图象，若，则x的取值范围是 。 【答案】 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，得到，解得，结合抛物线开口方向，和，得到解集为。 本题考查了抛物线的对称性，与不等式的关系，熟练掌握对称性，不等式性质是解题的关键。 【详解】解：根据抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， 故， 解得， 结合抛物线开口方向，和，得到解集为， 故答案为：。 （填空题）4.已知抛物线（a、b、c是常数，），经过点，；当时，与其对应的函数值。有以下结论：①；②；③。其中正确的结论有 。（填序号） 【答案】①③/③① 【分析】先利用抛物线上已知点得到a，b，c的关系，再结合时得到b的取值范围，逐一验证三个结论即可。 【详解】解：抛物线经过点，， 当时，， 将代入解析式得， 整理得， 当时，， ， 将，代入不等式得： ， 解得， ， ①，，， ，故①正确； ②， ， ，即，故②错误； ③， ， ， 即，故③正确； 故答案为：①③。 （填空题）5.如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴于点，经过，两点的函数的图象记为。 （1）当时，的最低点坐标为 。 （2）当与矩形的边恰好有两个公共点时， 。 【答案】 【分析】本题考查的是矩形的性质，二次函数的性质，顶点坐标，直接利用顶点坐标公式可得（1）的答案，再分析判定当顶点在上时，二次函数的图象与矩形有两个交点，从而可得答案。 【详解】解：（1）当时，二次函数为：， 当时，， ∴的最低点坐标为， 故答案为： （2）当时，， ∴, ∵四边形为矩形，为对称中心， ∴轴，且在直线上， 当抛物线的顶点在上时，图象与矩形恰好有两个交点， ∴， 解得：（舍去）， 故答案为：。 知识点二：根据y=ax²或y=ax²+k的图象和性质解题 例题： （选择题）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数，显然，，可以按：（1）当；（2）当，来讨论分析问题，进而得到答案。 【详解】解：二次函数，显然，， （1）当，此时二次函数开口向下，当时，随的增大而减小，符合题意， ； （2）当，此时二次函数开口向上，当时，随的增大而增大，不符合题意； 综上所述，的取值范围为：； 故选：D。 同步练： （选择题）1.已知点，点在抛物线上，且，且的取值范围是（   ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线图像，确定图像开口，对称轴，再根据函数的增减性即可求解。 【详解】解：抛物线的对称轴为， 当时，函数开口向上，对称轴为，则时，函数值随自变量的增大而增大， ∵点，点中，，， ∴， 故选：。 （填空题）2.若二次函数的图像经过点、，、的大小关系是 （用“<”连接）。 【答案】 【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大即可求解。 【详解】∵抛物线的开口向下，对称轴是y轴，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，， ∴， 故答案为：。 （填空题）3.已知，两点在二次函数的图象上，且，则与的大小关系是 。 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式判断二次函数的增减性，再根据增减性直接判断即可。 【详解】解：， 二次函数开口向下，对称轴为轴， ， ， 故答案为：。 知识点三：利用待定系数法求二次函数解析式 例题： （填空题）抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为 。 【答案】 【分析】根据顶点坐标公式求得横坐标等于2，即可求得的值，进而求得顶点坐标。 【详解】抛物线的对称轴是直线 即抛物线解析式为， 当时，， 它的顶点坐标为。 同步练： （填空题）1.如图，二次函数过点，，点是该二次函数图象上一点。已知点到轴的距离不大于，则的取值范围为 。 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解答本题的关键。 根据题意二次函数过点，，得到二次函数的表达式：，又，得到当时，最小，为，当时，最大，为，由此得到答案。 【详解】解：根据题意得： 二次函数过点，， ， ， ， 又， ， 当时，最小，为， 当时，最大，为， ， 故答案为：。 （解答题）2.在平面直角坐标系xOy中，二次函数的对称轴为，且它经过点，求该二次函数的解析式和顶点坐标。 【答案】解析式为，顶点坐标为（1，-4） 【分析】先根据抛物线对称轴求出b，再利用待定系数法求出c即可求出函数解析式，然后把函数解析式化为顶点式即可得到答案。 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， ∴， 解得：。  ；           ∵二次函数的图象过点， ∴，                      结合，解得：，         ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为（1，-4）。 （解答题）3.如图，题目中的灰色部分是被墨水污染了无法辨认的文字。请你根据已有信息添加一个适当的条件，把原题补充完整并求解。 【答案】答案不唯一，如添加， 【分析】可以添加，应用待定系数法即可求得该二次函数的表达式。 【详解】解：答案不唯一，如添加， 二次函数的图象经过， ， 解得， 该二次函数的表达式为。 （解答题）4.已知二次函数（，为常数）的图象与x轴交于，两点。 （1）若，两点的坐标分别为，，求的表达式。 （2）设一次函数（为常数），若的函数表达式还可化为的形式，当函数的图象经过时，求的值。 【答案】（1）； （2）或。 【分析】（）根据待定系数法求解析式即可求解； （）先求出的函数解析式，把点代入解析式，转化为的一元二次方程，解方程变形即可。 【详解】（1）将，代入中得： ， 解得， ∴； （2）由题可知， ∴， ∵当时，， ∴， ∴或。 （解答题）5.如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为。 （1）写出和的解析式：______； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由。 【答案】（1）， （2） （3）能正常盖上；理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用。 （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）烹饪时锅内的水位高度是，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案。 【详解】（1）解：由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：， 解得：， 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：， 解得：， 即：抛物线， 故答案为：，； （2）解：当烹饪时锅内的水位高度是时，则， ∴， 解得：， ∴此时水面的直径为，故答案为：； （3）解：锅盖能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖能正常盖上。 知识点四：利用二次函数解实际问题 例题： （填空题）如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等。小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒。 【答案】46 【分析】由题意及抛物线的对称性，可求得抛物线的对称轴，从而可得小强通过整个桥面OA的一半所需要的时间，再乘以2即可得出答案。 【详解】解：∵主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等，且小强骑行18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同， ∴MN的对称轴为直线x==23， ∴他通过整个桥面OA共需23×2=46（秒）， 故答案为：46。 同步练： （解答题）1.直播购物逐渐走进了人们的生活。某电商在对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件。每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润是450元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，二次函数最值，设每件售价定为元，利润为元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每天利润每件的销售利润日销售量，列出关于的函数关系式，并化为顶点式，利用二次函数的性质解答即可，解题关键是利用二次函数的性质求最值。 【详解】解：设每件售价定为元，利润为元，且, 根据题意，得 。 ∵， 二次函数的图象开口向下， ∴时，w最大，为450元， 答：每件售价定为55元时，每天的销售利润最大，最大利润是450元。 （解答题）2.高邮双黄鸭蛋已入选全世界最值得品尝百种味道，某专卖店根据以往销售数据发现：高邮双黄鸭蛋每天销售数量y（盒）与销售单价x（元/盒）的关系满足一次函数，每盒高邮双黄鸭蛋各项成本合计为40元/盒。 （1）若该专卖店某天获利800元，求销售单价x（元/盒）的值； （2）当销售单价x定为多少元/盒时，该专卖店每天获利最大？最大利润为多少？ （3）若该专卖店决定每销售一盒就捐出元给当地学校作为贫困学生的助学金，当每天的销售量不低于25盒时，为了确保该店每天扣除捐出后的利润随着销售量的减小而增大，则m的取值范围为 。 【答案】（1）60或80 （2）当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元 （3） 【分析】（1）利用利润等于每天的销售额减去总成本，列出方程，即可求解； （2）设该专卖店每天获利 元，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）设该店每天扣除捐出后的利润为元，每天销售量为盒，则每盒的销售单价为元/盒 ，每盒的利润为 元，根据题意列出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解。 【详解】（1）解：根据题意得： ， 解得： ， 答：若该专卖店某天获利800元，销售单价为60或80元/盒； （2）解：设该专卖店每天获利 元，根据题意得： ， ∴当销售单价x定70元/盒时，该专卖店每天获利最大，最大利润，900元； （3）解：设该店每天扣除捐出后的利润为元，每天销售量为盒，则每盒的销售单价为元/盒 ，每盒的利润为 元，根据题意得： ， ∵ ， ∴该图象开口向下，对称轴为： ， 根据题意得：当 时， 随 的减小而增大， ∴ ，解得： ， ∵ ， ∴m的取值范围为。 （解答题）3.国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”。某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米。 （1）求此抛物线解析式； （2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远？ 【答案】（1）y=-（x-9）2+10；（2）19米 【分析】（1）设抛物线为顶点式，再代入（0，1.9）即可求解； （2）令y=0,，即可求解志愿军同志的手榴弹扔的距离． 【详解】（1）根据题意可得抛物线的顶点为（9，10）， 可设抛物线解析式为y=a（x-9）2+10 代入（0，1.9）得1.9= a×81+10 解得a=-， ∴抛物线解析式为y=-（x-9）2+10； （2）由图可知令y=0 即-（x-9）2+10=0 解得x1=-1，x2=19； ∴志愿军同志的手榴弹扔了19米。 （解答题）4.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，该商品每台售价（元）与月销量（台）满足一次函数关系式如下表所示。已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元。设每件商品的售价x元（x为整数）时，月销售利润为w元。 每台售价（元） 30 31 32 … x 月销售量（台） 180 170 160 … y （1）上述表格中，y＝　 　（用含x的代数式表示）； （2）若销售该商品每月所获利润为1920元，那么每件商品的售价应定为多少元？ （3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）每件商品的售价应定为32元； （3）每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元。 【分析】（1）根据表格中的数据可看出，售价上涨1元，则少卖10件，即可得到y与x的关系式； （2）根据销售利润=每件商品的利润×销售量列出方程，求解即可； （3）根据销售利润=每件商品的利润×销售量得到的函数解析式，可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可。 【详解】（1）解：由表格数据可得， 售价每增加1元，销售量减少10台， ∴销售量y与售价x的函数关系是一次函数关系， 设函数解析式为：y=kx+b， 把，代入解析式得： ， 解得：， y与x的函数解析式为：， 故答案为：； （2）解：由题意得： 整理可得： 解得：，（不合题意，舍去） 答：每件商品的售价应定为32元； （3）解：由题意得：，（，且x为整数）； ∵， ∴当时，（元）； ∴每件商品的售价为34元，利润最大，最大利润1960元。 答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元。 知识点五：二次函数的综合运用 例题： （选择题）二次函数，当时，y的最大值为m，最小值为n，则（   ）。 A．3 B．4 C．7 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数的最值，解题时要熟练掌握并理解是关键。依据题意，将抛物线化成顶点式，再由抛物线的增减性可以判断得解。 【详解】解：由题意，， ∴对称轴为直线 ∵抛物线开口向下， 离直线越远，函数值越小， 当时， ，， ∴当时，y最大值为4，当时，y取最小值为； ，， ， 故选：B。 同步练： （选择题）1.二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线。下列选项正确的是（   ）。 A． B． C． D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象与y轴的交点可判断A；根据图象与x轴的交点可判断B、D；根据图象的开口方向、对称轴以及时的函数值可判断C，进而可得答案。 【详解】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交， ∴，故选项A结论错误，不符合题意； ∵该函数图象与x轴有两个交点， ∴，故选项B结论错误，不符合题意； ∵该函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴，，即， ∵当时，， ∴，即，故选项C结论正确，符合题意； ∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线， ∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间， ∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意； 故选：C。 （填空题）2.已知实数，满足，当______时，代数式的值最大。 【答案】1 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到答案。 【详解】解：∵， ∴， 设 ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 故答案为：1。 （填空题）3.若一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，则下列结论中：①；②方程，一定有两个不相等的实数根；③设t＝，当a＜0时，一定有；④若m、n（m＜n）是关于x的方程的两根，且p＜q．则q＞n＞m＞p一定正确的结论序号为 。 【答案】②④/④② 【分析】根据方程的根的判别式即可判断①②；根据二次函数的最值即可判断③；根据二次函数与二次方程之间的关系，由关于x的方程画出函数y=图像草图即可判断④。 【详解】①∵一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根， ∴，结论①错误； ②∵一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，结论②正确； ③∵a＜0， ∴抛物线开口向下，当x＝时，函数有最大值， 设t＝，当a＜0时，一定有，即，故结论③错误； ④依题意，画出函数y=的图像，如图所示： 函数图像为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为p，q（p＜q）， 方程， 转化为＝﹣1， 方程的两根是抛物线y＝与直线y＝﹣1的两个交点， 由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧交点的横坐标为n， 抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜p；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有q＜n； 综上所述，可知q＞n＞m＞p，结论④正确； 故答案为：②④。 （填空题）4.把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为，则的值为 。 【答案】5 【分析】先将抛物线化为顶点式，再根据“左加右减”的平移规律，得到新的解析式，求出、、的值，即可得到答案。 【详解】解： 抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为， ， ，解得：， 故答案为：5。 （解答题）5.数学活动课上，老师提出问题：如图（1），有一张长，宽的矩形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的容积最大（纸板厚度不计）。 下面是探究过程，请补充完整： （1）设小正方形的边长为，盒子的容积为，则y与x之间的关系式是 ，自变量x的取值范围是 。 （2）①列表：根据（1）中所求函数关系式补全下表： … 1 … … … ②描点：图（2）中已描出表格中部分对应点，请描出剩余的点 ③连线：在平面直角坐标系中用平滑的曲线画出该函数的图象 （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①当图（1）中的小正方形的边长约为___时，盒子的容积是（结果精确到）； ②当图（1）中的小正方形的边长约为___时，盒子的容积最大。（结果精确到） 【答案】(1)， (2)①从左到右依次填，；②见解析；③见解析 (3)①或；② 【分析】本题考查画函数图像，以及函数的解析式，解题的关键是数形结合。 （1）根据题意列出函数关系式，根据盒子的长宽高值为正数，求出自变量的取值范围； （2）①根据关系式，把x的值代入即可解出对应的函数值；②函数图象上描出两点；③利用平滑曲线连接各点； （3）①结合函数图象，作直线，找出交点的横坐标；②利用函数图象最高点求出函数的最大值。 【详解】（1）根据题意，得 ∵， ∴， 故答案为：，； （2）①当时，； 当时，； 故答案为：，； ②如图所示：        ③如图所示： （3）①结合函数图象，作直线，与图像交点的横坐标约为或 故答案为：或； ②结合画出的函数图象，看最高点，当图（1）中的小正方形的边长约为时，盒子的容积最大。 试卷第1页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数图像与性质、二次函数解实际问题等知识点同步练 知识点一：根据y=ax²+bx+c的图象与性质解相关问题 例题： （选择题）抛物线的对称轴是（   ）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.二次函数的部分对应值如下表所示： x 3 4 y m 0 m 则当时，x的取值范围为（   ）。 A． B． C．或 D．或 （选择题）2.已知二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下，则关于的方程的解是（   ）。 … … … … A．， B． C． D．， （填空题）3.如图是抛物线的部分图象，若，则x的取值范围是 。 （填空题）4.已知抛物线（a、b、c是常数，），经过点，；当时，与其对应的函数值。有以下结论：①；②；③。其中正确的结论有 。（填序号） （填空题）5.如图，在平面直角坐标系中，矩形的对称中心为坐标原点，轴于点，经过，两点的函数的图象记为。 （1）当时，的最低点坐标为 。 （2）当与矩形的边恰好有两个公共点时， 。 知识点二：根据y=ax²或y=ax²+k的图象和性质解题 例题： （选择题）已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（   ）。 A． B． C． D． 同步练： （选择题）1.已知点，点在抛物线上，且，且的取值范围是（   ）。 A． B． C． D． （填空题）2.若二次函数的图像经过点、，、的大小关系是 （用“<”连接）。 （填空题）3.已知，两点在二次函数的图象上，且，则与的大小关系是 。 知识点三：利用待定系数法求二次函数解析式 例题： （填空题）抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为 。 同步练： （填空题）1.如图，二次函数过点，，点是该二次函数图象上一点。已知点到轴的距离不大于，则的取值范围为 。 （解答题）2.在平面直角坐标系xOy中，二次函数的对称轴为，且它经过点，求该二次函数的解析式和顶点坐标。 （解答题）3.如图，题目中的灰色部分是被墨水污染了无法辨认的文字。请你根据已有信息添加一个适当的条件，把原题补充完整并求解。 （解答题）4.已知二次函数（，为常数）的图象与x轴交于，两点。 （1）若，两点的坐标分别为，，求的表达式。 （2）设一次函数（为常数），若的函数表达式还可化为的形式，当函数的图象经过时，求的值。 （解答题）5.如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的抛物线记为。 （1）写出和的解析式：______； （2）如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； （3）如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由。 知识点四：利用二次函数解实际问题 例题： （填空题）如图，一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接，主悬钢索是抛物线形状，两端到桥面的距离OM与AN相等。小强骑自行车从桥的一端0沿直线匀速穿过桥面到达另一端A，当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同，那么他通过整个桥面OA共需_____________秒。 同步练： （解答题）1.直播购物逐渐走进了人们的生活。某电商在对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件。每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （解答题）2.高邮双黄鸭蛋已入选全世界最值得品尝百种味道，某专卖店根据以往销售数据发现：高邮双黄鸭蛋每天销售数量y（盒）与销售单价x（元/盒）的关系满足一次函数，每盒高邮双黄鸭蛋各项成本合计为40元/盒。 （1）若该专卖店某天获利800元，求销售单价x（元/盒）的值； （2）当销售单价x定为多少元/盒时，该专卖店每天获利最大？最大利润为多少？ （3）若该专卖店决定每销售一盒就捐出元给当地学校作为贫困学生的助学金，当每天的销售量不低于25盒时，为了确保该店每天扣除捐出后的利润随着销售量的减小而增大，则m的取值范围为 。 （解答题）3.国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”。某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米。 （1）求此抛物线解析式； （2）求志愿军同志的手榴弹扔了多远？ （解答题）4.某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件，该商品每台售价（元）与月销量（台）满足一次函数关系式如下表所示。已知该商品计划涨价销售，但每件售价不能高于35元。设每件商品的售价x元（x为整数）时，月销售利润为w元。 每台售价（元） 30 31 32 … x 月销售量（台） 180 170 160 … y （1）上述表格中，y＝　 　（用含x的代数式表示）； （2）若销售该商品每月所获利润为1920元，那么每件商品的售价应定为多少元？ （3）当售价定为多少元时，商场每月销售该商品所获得的利润w最大？最大利润是多少？ 知识点五：二次函数的综合运用 例题： （选择题）二次函数，当时，y的最大值为m，最小值为n，则（   ）。 A．3 B．4 C．7 D．1 同步练： （选择题）1.二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线。下列选项正确的是（   ）。 A． B． C． D．当时， （填空题）2.已知实数，满足，当______时，代数式的值最大。 （填空题）3.若一元二次方程（a≠0）有两个不相等的实数根，则下列结论中：①；②方程，一定有两个不相等的实数根；③设t＝，当a＜0时，一定有；④若m、n（m＜n）是关于x的方程的两根，且p＜q．则q＞n＞m＞p一定正确的结论序号为 。 （填空题）4.把抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得的抛物线解析式为，则的值为 。 （解答题）5.数学活动课上，老师提出问题：如图（1），有一张长，宽的矩形纸板，在纸板的四个角裁去四个相同的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，问小正方形的边长为多少时，盒子的容积最大（纸板厚度不计）。 下面是探究过程，请补充完整： （1）设小正方形的边长为，盒子的容积为，则y与x之间的关系式是 ，自变量x的取值范围是 。 （2）①列表：根据（1）中所求函数关系式补全下表： … 1 … … … ②描点：图（2）中已描出表格中部分对应点，请描出剩余的点 ③连线：在平面直角坐标系中用平滑的曲线画出该函数的图象 （3）结合画出的函数图象，解决问题： ①当图（1）中的小正方形的边长约为___时，盒子的容积是（结果精确到）； ②当图（1）中的小正方形的边长约为___时，盒子的容积最大。（结果精确到） 试卷第3页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $