2025-2026学年高一下学期暑假复习4.1 指数 讲义

4.1指数 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高二·全国·暑假作业）计算：（   ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】. 2．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值 【详解】由，则. 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【知识点】指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由奇偶性求参数、指数幂的化简、求值 【详解】因为为偶函数，所以，， 所以，即， 所以且，故. 5．（26-27高一·全国·暑假作业） （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的运算、分数指数幂与根式的互化 【分析】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得. 【详解】 . 6．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 7．（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数幂的化简、求值、由奇偶性求参数 【详解】由偶函数可知，即， 化简得，即，即. 二、多选题 8．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的化简、求值、根式的化简求值、指数幂的运算 【分析】利用指数和幂的运算，即可得到判断. 【详解】对于A：由，故A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：当为正奇数，则，当为正偶数，则， 如，故C错误； 对于D：由，故D正确. 故选：ABD 9．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知正实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】由基本不等式证明不等关系、指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式可判断AB；举反例，可判断C；利用二次函数的范围可判断D. 【详解】已知正实数 满足 ， 选项 A：，当且仅当 时取等号， 故 ，当且仅当 时取等号，故A正确； 选项 B：由均值不等式，， 当且仅当 时取等，故B正确； 选项 C：取 ，则 ， 满足，但不满足 ，故C错误； 选项 D：代入 ，得 ， 当且仅当 时取等，故D正确. 故选：ABD 10．（2027高三·全国·专题练习）（多选）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 【答案】BC 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】A通过分析指数运算与底数正负的关系来验证；B根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值；C根据偶次根式被开方数非负以及零次幂底数不为零的条件求定义域；D通过指数式转化为对数或直接解指数方程，再求和验证. 【详解】因为时，，，所以A错误； 根据根式性质，当根指数为偶数时，开方结果需取绝对值，B显然正确； 解得且，所以C正确； 因为，所以，因为，所以，所以，所以D错误． 故选：BC. 三、填空题 11．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 12．（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 【答案】/ 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【详解】已知（，且），令，则，，解得， ，； ， ． 13．（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 【答案】4 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值、根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化 【详解】． 14．（25-26高二下·天津·期中）已知，，且则的最小值为____________． 【答案】 【知识点】条件等式求最值、指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】先化简已知指数等式得到，再通过换元将目标式转化为可利用基本不等式求最值的形式计算最小值. 【详解】已知，，且， 则，故， 令，则，代入得，解得， 则 ， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为. 15．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，且，则的最小值为______． 【答案】/ 【知识点】指数幂的化简、求值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由指数运算性质得，结合基本不等式即可求解. 【详解】已知，，，得， 由基本不等式，得， 当且仅当，即时取等号， 此时满足条件，因此的最小值为. 16．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______． 【答案】 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值 【分析】利用完全平方公式与指数的运算法则化简求解. 【详解】因为， 所以， 故. 四、解答题 17．（25-26高一上·重庆·阶段检测）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可； （2）解法1：由求出，进而求出，代入即可. 解法2：由，两边同时平方可求出，代入即可. 【详解】（1）原式. （2）解法1：由，两边同时平方可得， 所以，所以， 所以，所以原式 解法2：由，两边同时平方可得， 所以，则，解得， 所以原式 18．（26-27高一·全国·暑假作业）若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）由 ，且， 所以. 19．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，且. (1)计算并化简； (2)若幂函数的图象恒过点，求的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】指数幂的化简、求值、幂函数图象过定点问题 【分析】（1）根据题意结合指数幂运算求和； （2）由幂函数的图象恒过点，代入求解即可. 【详解】（1）； . （2）因为幂函数的图象恒过点， 则，所以. 20．（25-26高一上·安徽淮北·期中）化简与计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】指数幂的化简、求值、指数幂的运算 【分析】（1）利用幂的乘方与积的乘方运算法则，将指数分别相乘后化简； （2）将各项底数化为幂的形式，再根据分数指数幂和负指数幂的运算法则分步计算，最后合并结果. 【详解】（1）； （2），， ，， . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1指数 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做 ，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 . （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高二·全国·暑假作业）计算：（   ） A．6 B．7 C．8 D． 2．（2026·上海·高考真题）为不为1的任意实数，则（     ）． A． B． C． D． 3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是偶函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（26-27高一·全国·暑假作业） （ ） A． B． C． D． 6．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏·模拟预测）若函数（且）是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·四川成都·阶段检测）已知正实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 10．（2027高三·全国·专题练习）（多选）下列结论中正确的是（     ） A．当时， B．（，，为偶数） C．函数的定义域是 D．若，，则 三、填空题 11．（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 12．（2026·山西临汾·二模）已知（，且），则______． 13．（25-26高一上·福建泉州·期中）计算____________ 14．（25-26高二下·天津·期中）已知，，且则的最小值为____________． 15．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，且，则的最小值为______． 16．（2026高一·全国·专题练习）已知，，则的值为______． 四、解答题 17．（25-26高一上·重庆·阶段检测）化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 18．（26-27高一·全国·暑假作业）若 ，求下列各式的值： (1)； (2) 19．（25-26高一上·云南昆明·期末）已知，且. (1)计算并化简； (2)若幂函数的图象恒过点，求的值. 20．（25-26高一上·安徽淮北·期中）化简与计算： (1) (2) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $