4.3 对数 讲义2025-2026学年高一下学期必修一暑假复习

4.3对数 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN. 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的幂运算性质化简求解. 【详解】根据对数的幂运算性质得:, 已知，代入得：, 两边除以，可得：. 2．（26-27高一·全国·暑假作业）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的概念判断与求值 【详解】由对数式的底数为大于零且不等于1的实数，真数为正实数， 得，即，解得或， 所以实数a的取值范围是. 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】对原式两边取以为底的对数，得到的对数表达式，再通过对数的运算性质（乘积的对数等于对数的和、对数的幂运算）对表达式进行变形，逐项验证即可. 【详解】已知，两边取以为底的对数，可得： ，， ， 则， 因此. 选项A，，，， 乘积为：，A错误. 选项B，左边， 右边， ，B错误. 选项C，由(1)(2)(3)得：，，， 因此： ，C正确. 选项D， ，D错误. 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（   ）．附． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、利用给定函数模型解决实际问题、指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【详解】由题意得，即， 两边取对数得，即， 解得． 5．（2025高一上·安徽·竞赛）2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，这标志着我国航天技术实现了新的突破．已知某型运载火箭在理想状态下的喷流相对速度（单位：m/s），则的近似值为（    ）（参考数据：，） A．1200m/s B．1500m/s C．1800m/s D．2100m/s 【答案】C 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【详解】（m/s）． 6．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 二、多选题 7．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的运算性质可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式和对数的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 8．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 【答案】ACD 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、指数幂的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据对数运算律结合换底公式计算判断A，D，应用指数运算律计算判断B，C. 【详解】因为，，则，A选项正确； ，B选项错误； 设，则，C选项正确； ，D选项正确； 9．（25-26高一下·广东·阶段检测）利用算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数．已知，设，．对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算、指数幂的运算 【分析】将选项，，等号右侧分别代入定义展开化简，观察是否与左侧相等，即可做出判断；选项逐层拆解右侧表达式，最终化简为，与左侧不一定相等. 【详解】选项A，由题意知右式为，展开得，化简得， 即左式等于右式，故A正确； 选项B，右式为，展开得，即，化简得， 即，不一定等于左式，故B错误； 选项C，右式为，展开得，即，化简得， 即，即左式等于右式，故C正确； 选项D，右式中最内层等于即，中间层等于， 即，则最外层等于，展开得，即，不一定等于左式，故D错误． 三、填空题 10．（24-25高一上·湖北武汉·期末）计算：_____________． 【答案】17 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的运算、指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】由指数与对数的运算法则结合条件求解即可. 【详解】原式为， 其中，， ，， 即. 11．（2025高三下·甘肃·竞赛）若，则_________． 【答案】 【知识点】对数的运算、简单的对数方程、指数幂的运算、指数式与对数式的互化 【详解】，即， ，故得，所以， 解得. 12．（25-26高二下·江苏徐州·期末）______． 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用 【详解】 13．（2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛广东赛区初赛一试试卷）已知，则______． 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化 【详解】设，则，，， 故，因此． 由关于单调递减及知． 故，，因此． 14．（2026高二下·全国·竞赛）设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的换底公式统一底数求解. 【详解】可化为，即，所以① 可化为，同理得②， 可化为，同理得③ 将①②③式相加得 得到，即，所以，所以. 15．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知是幂函数，且，若，则不等式的解集为______. 【答案】 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式、对数的运算 【分析】通过幂函数的一般形式求出和，并利用单调性求解不等式. 【详解】设，因为，所以，解得，. 又因为，所以. 解，即， 设，，那么，因为，单调递增， 又因为，所以时，即. 16．（2026高三下·湖北·竞赛）已知正整数，，，满足：，，．则______． 【答案】179 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】先由对数式化为指数式，再根据正整数的条件分类讨论，联立方程组求出，，即可求出. 【详解】由，，则，， 因为，为正整数，所以，必为整数， 设，，，为正整数， 又，则，即， 因为65的正整数分解为，且，所以有两种情况， ①，解得，此时无整数解，不合题意； ②，解得，即，所以， 则，，所以. 四、解答题 17．（26-27高一·全国·暑假作业）计算下列各题： (1)； (2). (3). 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】指数幂的运算、对数的运算性质的应用 【详解】（1） （2） （3） 18．（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）（1）求的值； （2）设，用表示. 【答案】（1）1；（2） 【知识点】指数幂的化简、求值、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【详解】（1）； （2）因为， 所以 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3对数 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．对数的概念 （1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的 ，N叫做 . （2）对数式与指数式的互化：. （3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数 . 2．对数的性质 （1）1的对数等于0，即； （2）底数的对数等于1，即； （3）对数恒等式. 3．对数的运算性质 如果，那么：（1）； （2）； （3）. 4．对数的换底公式 对数的换底公式：. 换底公式的变形及推广： （1）；（2）； 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高一下·浙江绍兴·期末）已知，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高一·全国·暑假作业）对数中实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知某放射性同位素的含量（单位：贝克）与时间（单位：天）的关系式为，其中为初始含量，则当该放射性同位素的含量为初始含量的时，的值约为（   ）．附． A． B． C． D． 5．（2025高一上·安徽·竞赛）2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，这标志着我国航天技术实现了新的突破．已知某型运载火箭在理想状态下的喷流相对速度（单位：m/s），则的近似值为（    ）（参考数据：，） A．1200m/s B．1500m/s C．1800m/s D．2100m/s 6．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知，，则（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）下列各式正确的有（     ） A．已知，，则 B． C．设，则 D． 9．（25-26高一下·广东·阶段检测）利用算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数．已知，设，．对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（24-25高一上·湖北武汉·期末）计算：_____________． 11．（2025高三下·甘肃·竞赛）若，则_________． 12．（25-26高二下·江苏徐州·期末）______． 13．（2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛广东赛区初赛一试试卷）已知，则______． 14．（2026高二下·全国·竞赛）设正实数，，同时满足，，，则的值为__________. 15．（25-26高二下·江苏常州·期中）已知是幂函数，且，若，则不等式的解集为______. 16．（2026高三下·湖北·竞赛）已知正整数，，，满足：，，．则______． 四、解答题 17．（26-27高一·全国·暑假作业）计算下列各题： (1)； (2). (3). 18．（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）（1）求的值； （2）设，用表示. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $