2026年高一下学期暑假复习4.2 指数函数 讲义

4.2指数函数 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求指数函数在区间内的值域 【详解】依题意，因为是奇函数，所以，所以． 2．（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 【答案】A 【知识点】由奇偶性求函数解析式、抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】根据已知条件得到关于与，求出的解析式，代入求解即可. 【详解】由题意可得，  所以， 故． 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 4．（2026·山东潍坊·三模）已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 【答案】D 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数、指数幂的运算 【分析】根据奇函数的性质求出的值，进而求解即可． 【详解】由， 则， 又函数为上的奇函数，则， 即对任意成立， 整理得 所以，即，结合，解得， 所以，即． 5．（24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 6．（2026·海南三亚·一模）已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、条件等式求最值 【分析】首先根据函数的单调性判断 ，再根据基本不等式求解. 【详解】设为增函数减函数增函数，函数的定义域为， 且满足，所以函数是奇函数， 所以，则，得 ， 即，，得，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 7．（浙江金华市2025-2026学年高二下学期6月期末质量检测数学试题）已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】假设，则，即，而在上单调递减，则，同理，从而得出矛盾. 【详解】假设，则，即， 而在上单调递减，又，故， 同理，即， 而在上单调递减，又，故． 综上，假设不成立，故. 二、多选题 8．（2026·江苏南通·一模）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】比较指数幂的大小 【分析】设，将用表示后分情况讨论比较大小. 【详解】设，则， 当时，指数函数单调递增，因为，所以， 即； 当时，指数函数单调递减，因为，所以， 即； 故选：BD. 9．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 【答案】BC 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的定义域 【分析】求出函数的定义域，即可判断A；判断出在上的单调性，即可判断B；先求出的值域，若恒成立，分析出要小于等于的下确界，即可判断C；若，分析出要小于的上确界，即可判断D. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为， 故A错误； 因为函数在上单调递增，则也单调递增，因此单调递减， 则单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为，则，所以， 所以，所以，即. 若恒成立，则要小于等于的下确界，即， 所以实数的最大值为，故C正确； 若，则要小于的上确界，即， 所以实数没有最大值，故D错误. 10．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 【答案】AB 【知识点】含参指数函数的最值、由奇偶性求参数 【分析】根据条件，利用奇偶函数的定义求出判断AB；利用指数函数的性质，结合恒成立求解C；取可判断D. 【详解】对于A，因为为偶函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故A正确， 对于B，因为为奇函数，则， 所以，整理得到， 因为对恒成立，所以，故B正确， 对于C，由，得到恒成立，即恒成立， 又易知，所以，故C错误， 对于D，取，则，函数无最小值，所以D错误， 11．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 【答案】BD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、比较函数值的大小关系 【分析】根据给定的函数，利用函数奇偶性定义判断A；确定单调性判断BC；利用单调性及奇偶性求出不等式解集判断D. 【详解】函数的定义域为， 对于A，，函数是偶函数， 其图象关于轴对称，又不恒为0，因此的图象关于原点不对称，A错误； 对于B，当时，，函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，，则，B正确； 对于C，由函数在上单调递增，得任意的，， 有成立，C错误； 对于D，当时，，不等式， 解得或，因此所求解集为，D正确. 三、填空题 12．（25-26高二下·上海·期末）函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【详解】对于指数函数（且），当时恒成立， 因此恒过定点； 对于函数（且），令，代入得， 该结果与参数a的取值无关，因此函数的图象恒过定点A，坐标为. 13．（25-26高一下·上海宝山·期末）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、由指数（型）的单调性求参数 【分析】根据指数函数严格递减的性质列关于底数的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】对于指数函数（且）， 函数在上是严格减函数， 则且，得且. 所以，实数的取值范围是. 14．（26-27高一·上海·暑假作业）已知，函数，若实数、满足，则、的关系为________． 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数的单调性，比较大小. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数在R上单调递减，又，所以. 15．（25-26高三·全国·一轮复习）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为__. 【答案】 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【分析】使用指数函数的定义求解. 【详解】分裂一次后为个，分裂两次后为个，…，分裂次后为个， 所以函数关系式. 四、解答题 16．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知不等式的解集为． (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）通过换元将指数不等式转化为一元二次不等式求解； （2）利用基本不等式求出不等式左侧表达式的最小值，再根据不等式恒成立条件得到的取值范围. 【详解】（1）令，当时原不等式可转化为， ，，解得或. ，所以或，解得或. 即. （2）由题意知，即不等式恒成立. ，，当且仅当，即时等号成立. 所以的取值范围. 17．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求指数型复合函数的值域、由奇偶性求参数、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解； （2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解. 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 18．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求指数型复合函数的值域、已知函数类型求解析式 【分析】（1）把点代入解析式求解即可； （2）令，利用对勾函数的单调性可求得在上的值域； （3）令，结合单调性可得，利用二次函数的最值，分类讨论可求得的最小值. 【详解】（1）因为过点，把点代入得：， 解得或. （2），令， 因为，所以. 于是得到，． 因为在单调递减，在单调递增， ，，． 所以的最小值为2，的最大值为． 于是在上的值域为． （3）（） 令， 由（2）可知， 于是得到，对称轴为； 当时，在单调递增，在处取最小值， 所以; 当时，在单调递减，在单调递增， 在处取最小值，所以; 当时，在单调递减，在处取最小值． 所以． 综上. 19．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】(1)1 (2) 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； （2）由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 20．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、由指数（型）的单调性求参数、求指数型复合函数的值域 【分析】（1）先化简，利用对勾函数的性质求其值域. （2）将化为分段函数后分类讨论，分别分离参数求解. （3）先根据函数的性质缩小的取值范围，然后根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，. 当时，， 则，当，即时等号成立， 即在上的值域为． （2）. 当时，由，得， 因为，所以，所以，所以． 当时，由， 法一：当时，由， 得， 令，， 则， 由对勾函数的性质，可知， ，即． 综上所述，实数的取值范围． 法二：令，，则不等式化为， 由上述分析可知，只需考虑时的情况： 当时，有在上恒成立； 当时，则，故在时恒成立． 综上所述，实数的取值范围． （3）当时，，因为当时，， 所以在区间内必须恒大于等于0，且单调递减， 所以，解得． 当时，． 令，，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 故只需，即. 故实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2指数函数 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高二下·湖南长沙·期末）已知函数为奇函数，则（   ） A．4 B．2 C． D． 2．（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，则（    ） A． B． C．4e D．0 3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东潍坊·三模）已知，函数，为奇函数，则（     ） A．13 B．24 C．80 D．240 5．（24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．（2026·海南三亚·一模）已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 7．（浙江金华市2025-2026学年高二下学期6月期末质量检测数学试题）已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 二、多选题 8．（2026·江苏南通·一模）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 10．（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若是偶函数，则 B．若是奇函数，则 C．若，则的取值范围为 D． 的最小值为 11．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知函数，，下列命题正确的有（    ） A．的图象关于原点对称 B．对于任意实数a，有 C．任意的，，有成立 D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为 三、填空题 12．（25-26高二下·上海·期末）函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 13．（25-26高一下·上海宝山·期末）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 14．（26-27高一·上海·暑假作业）已知，函数，若实数、满足，则、的关系为________． 15．（25-26高三·全国·一轮复习）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为__. 四、解答题 16．（25-26高一下·上海闵行·期中）已知不等式的解集为． (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 17．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 18．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数的定义域为，且图象经过点． (1)求的值； (2)求的值域； (3)求的最小值． 19．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 20．（2026高二下·浙江·学业考试）已知函数， (1)当时，求在上的值域； (2)若对于定义域内的任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在区间内单调递减，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $