精品解析：北京景山学校等学校2025-2026学年度七年级期末学情调研 数学

2025－2026学年度七年级期末学情调研 数学 满分：120分 考试时间：120分钟 【注意事项】 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列等式是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元一次方程的概念判断，一元一次方程需满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且是整式方程，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A. ，含有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B. ，未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； C. ，满足只含1个未知数，未知数次数为1，且为整式方程，是一元一次方程，符合题意； D. ，分母含有未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意． 2. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式两边同乘同一个负数，不等号方向改变的性质求解即可． 【详解】解：∵ ，且， ∴． 3. 长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（ ） A. 2米 B. 4米 C. 13米 D. 15米 【答案】B 【解析】 【分析】根据定理求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：设第三根木料的长度为米， ∵两根木料长分别为5米和8米， ∴， 即， 观察选项，只有4米符合该范围． 4. 下列长治传统民俗与建筑图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 上党古城圆形回纹窗花 B. 上党门正六边形花窗 C. 长治城隍庙正方形殿顶格纹 D. 黎城布老虎正面造型 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； B、该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； C、该选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； D、该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； 5. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： ①+②得 ， ， 把代入①得 ， 整理得， ， 原方程组的解为． 6. 长治市博物馆的展厅地面采用正多边形地砖铺设．已知某块区域地砖的内角和为，这块区域使用的地砖形状是（ ） A. 正十边形 B. 正十二边形 C. 正八边形 D. 正六边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式列方程求解边数，即可确定地砖形状，用到的知识点为边形内角和公式． 【详解】设这块正多边形地砖的边数为， 列方程得， 解得， 该地砖形状是正十二边形． 7. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质可知：，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据题意得出，是解本题的关键． 8. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 在数轴上表示不等式解集为 ． 9. 如图．在中，，，将沿折叠．使点B落在边上的点E处，折痕为，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余求出，再根据翻折的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据翻折的性质可得， ∴． 10. 如图，在中，D是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折的性质求出，然后利用三角形的外角定理求解． 【详解】解：根据翻折的性质可得， ∴， ∴． 二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【解析】 【详解】解：在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的稳定性． 12. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：方法一： 得， ∵，对比系数得， ∴； 方法二： 得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该二元一次方程组的解为，代入得， 解得． 13. 一副直角三角板按如图方式摆放，直角顶点C恰好落在直角边DE上，，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形外角的性质可得，根据两个三角板的特征知，即可求出． 【详解】解：根据三角形外角的性质可得：， 根据两个三角板的特征知： ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角板角的特征，解题的关键是通过等量代换的思想来解答． 14. 如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【解析】 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 【详解】解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． 15. 如图，将绕点C逆时针旋转可与完全重合，此时于点D，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，再由垂线的定义和直角三角形两锐角互余可求出的度数，进而可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本小题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程组、解不等式 （1）解方程组 （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2）， 在数轴上表示如图： 【解析】 【小问1详解】 解：， 将①变形得， 将代入②式中，得， 解得， 将代入中，解得， ∴方程组的解是； 【小问2详解】 解：解不等式， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得． 解集在数轴上表示，略． 17. 如图，在中，，边上的高交于点，的平分线交于点． （1）请作出边上的高和的平分线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，三角形内角和、角平分线、高线的性质，解题关键是先利用内角和求顶角，再分别算出 与，作差得到． （1）过点作的垂线，垂足；用尺规平分，射线交于，保留圆弧痕迹． （2）先由三角形内角和定理算出 度数，根据角平分线定义求出，由是高得，在中算出，用得到的度数． 【小问1详解】 解：如图，线段、线段即为所求 【小问2详解】 ，， 平分， 由（1）作图可知：， ． 18. 为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲广场上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持： （1）如图1，在中，，，平分，平分，两条角平分线交于点P，求的度数； （2）如图2，在中，和的外角平分线相交于点D，若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义求出相关角的度数，然后利用三角形内角和定理求解； （2）根据三角形内角和定理得出，利用角平分线得出，然后利用三角形内角和定理求解． 【小问1详解】 解：∵，，平分，平分， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵和的外角平分线相交于点D， ∴， ∴， ∴． 19. 如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． （1）将绕点A逆时针旋转得到； （2）作关于点O成中心对称的； （3）四边形的面积为______． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）12 【解析】 【分析】本题考查了作图旋转变换，中心对称变换，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点、即可； （2）利用网格特点，分别延长、、，使、、，从而得到、、，然后顺次连接即可； （3）利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：四边形的面积． 20. 项目学习 项目主题 正多边形的平面密铺 项目背景 在国家老旧小区改造项目中，为提升居民生活环境品质，许多小区的公共活动区域、楼道地面都需要重新铺设地砖．选用合适的正多边形地砖进行密铺，既能保证地面平整耐用，又能营造美观舒适的居住氛围．数学小组成员结合这一民生工程，对正多边形地砖能铺满地面的条件展开了深入探究． 素材一 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面． 素材二 正多边形地砖在老旧小区改造中应用广泛，如小区广场、健身区域等，还常与其他形状的正多边形地砖组合使用，兼顾实用性与美观性，助力老旧小区焕发新活力． 问题解决： （1）请通过计算说明单独用正八边形地砖无法铺满地面； （2）幸福小区的休闲广场需要翻新改造，现决定用两种边长相同的正多边形地砖进行平面密铺．已选用正方形地砖，则可以再选择的地砖是________．（填序号） ①正五边形； ②正八边形； ③正十二边形． （3）用若干边长相等的正三角形和正方形进行平面密铺，请你求出在一个拼接点周围有多少块正三角形？多少块正方形？ 【答案】（1）解：正八边形的内角度数为， ∵，不是正整数， ∴单独用正八边形地砖无法铺满地面； （2）② （3）有3个正三角形，有2个正方形 【解析】 【分析】（1）求出正八边形的内角度数，然后根据周角为，进行求解； （2）求出各正多边形内角度数，假设正方形的个数为，另外一种正多边形的个数为，根据周角为，列出二元一次方程组求解； （3）设正三角形的个数为，正方形的个数为，根据周角为，列出二元一次方程组求解． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：正五边形内角度数为， 正八边形的内角度数为， 正十二边形的内角度数为， 假设正方形的个数为，另外一种正多边形的个数为， ①当时，无正整数解， ∴正五边形不符合题意； ②当时，符合题意， ∴正八边形符合题意； ③当时，无正整数解， ∴正十二边形不符合题意； 【小问3详解】 解：设正三角形的个数为，正方形的个数为， 正三角形的内角度数为，正方形的内角度数为， ∴， ∵，都是正整数， 解得， ∴有3个正三角形，有2个正方形． 21. 下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： （1）设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ （2）求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 【答案】（1） 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ① 回程（顺流） ② ③ （2）解：由（1）得，解得， 答：A、B两地之间的路程为． 【解析】 【分析】（1）根据时间路程速度，结合题意求解即可； （2）根据（1），结合回到A码头比去时少花了建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，去程的时间为， 回程的速度为，则回程的时间为， 填表见解析 【小问2详解】 略 22. 长治市太行山区盛产优质山野菜，某文旅公司计划收购本地山野菜，开发特色农旅产品，助力乡村振兴．已知该公司一次性收购了23吨山野菜，经市场调研，产品销售与加工情况如下： 直接销售：每吨可获利500元； 粗加工包装（制作即食野菜包）：每吨可获利2500元，每天可加工4吨； 精加工制罐（制作山野菜罐头）：每吨可获利4000元，每天可加工吨． 同一时间两种加工方式不能同时进行，且所有原料必须在7天内全部销售或加工完毕．为了实现收益最大化，公司研究了以下三种方案：（1）方案一：全部进行粗加工并包装；（2）方案二：尽可能多地制作罐头，余下的直接销售；（3）方案三：部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成． 请你帮助公司分析计算，完成以下任务： （1）分别计算方案一、方案二的总获利； （2）求方案三中粗加工和制作罐头的天数，并计算方案三的总获利； （3）比较三种方案的总获利，为公司推荐最优方案，并结合长治文旅产业发展，说说该方案对农旅融合的意义． 【答案】（1）方案一总获利57500元，方案二总获利48250元 （2）方案三中粗加工的天数为5天，制作罐头的天数为2天，方案三总获利62000元 （3）推荐方案三，该方案可提升农产品附加值，带动本地就业增收，打造特色农旅产品，助力长治农旅融合发展与乡村振兴 【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算两种方案的总获利即可； （2）设方案三中粗加工的天数为x天，制作罐头的天数为y天，根据7天一共要加工23吨建立方程组求解，再计算方案三的总获利即可； （3）根据（1）（2）所求比较三种方案的总获利，推荐总获利最高的方案，再结合实际分析意义即可． 【小问1详解】 解：， 则方案一的总获利元， ， 则方案二的总获利为元， 答：方案一总获利57500元，方案二总获利48250元； 【小问2详解】 解：设方案三中粗加工的天数为x天，制作罐头的天数为y天， 由题意得，， 解得， ∴方案三中粗加工的天数为5天，制作罐头的天数为2天， ∴方案三的总获利为元． 【小问3详解】 解：∵， ∴方案三的总获利最多， ∴推荐方案三， 该方案可提升农产品附加值，带动本地就业增收，打造特色农旅产品，助力长治农旅融合发展与乡村振兴． 23. 综合与探究 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“放在同一直线上的一副直角三角尺（如图，其中．）”为主题开展数学活动． （1）初步探究：将图（1）中的三角尺沿向右平移至图（2）的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，求的度数； （2）深入探究：将图（1）中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图（3），且恰好平分，与相交于点E，求的度数； （3）拓展延伸：将图（1）中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，求旋转到第几秒时直线恰好与直线垂直？ 【答案】（1） （2） （3）旋转到第秒或秒时直线恰好与直线垂直 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角和定理求解； （2）根据角平分线的定义求出角的度数，判断，利用平行线的性质即可求解； （3）根据题意画出图形，分两种情况进行讨论，求出旋转的角的度数，然后除以速度即可． 【小问1详解】 解：结合图（2），根据三角板的度数可得，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图所示，当时，交于点，交于点， 此时，， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； ②如图所示，当时，交的反向延长线于点，交的反向延长线于点， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 综上，旋转到第秒或秒时直线恰好与直线垂直． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度七年级期末学情调研 数学 满分：120分 考试时间：120分钟 【注意事项】 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上． 4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下列等式是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 3. 长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（ ） A. 2米 B. 4米 C. 13米 D. 15米 4. 下列长治传统民俗与建筑图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. 上党古城圆形回纹窗花 B. 上党门正六边形花窗 C. 长治城隍庙正方形殿顶格纹 D. 黎城布老虎正面造型 5. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 6. 长治市博物馆的展厅地面采用正多边形地砖铺设．已知某块区域地砖的内角和为，这块区域使用的地砖形状是（ ） A. 正十边形 B. 正十二边形 C. 正八边形 D. 正六边形 7. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转110°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为（ ） A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° 8. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图．在中，，，将沿折叠．使点B落在边上的点E处，折痕为，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，D是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 12. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的值为________． 13. 一副直角三角板按如图方式摆放，直角顶点C恰好落在直角边DE上，，，则的度数为_____． 14. 如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 15. 如图，将绕点C逆时针旋转可与完全重合，此时于点D，若，则________． 三、解答题（本小题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程组、解不等式 （1）解方程组 （2）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 17. 如图，在中，，边上的高交于点，的平分线交于点． （1）请作出边上的高和的平分线．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求角的度数． 18. 为提升长治市某小区居民的休闲体验，物业计划在小区内的三角形休闲广场上进行景观升级．设计师借鉴古建筑中对称、规整的布局理念，计划通过广场内角与外角平分线形成的夹角，规划景观灯带的走向与布局．请你帮助设计师完成以下计算，为灯带施工提供数据支持： （1）如图1，在中，，，平分，平分，两条角平分线交于点P，求的度数； （2）如图2，在中，和的外角平分线相交于点D，若，求的度数． 19. 如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． （1）将绕点A逆时针旋转得到； （2）作关于点O成中心对称的； （3）四边形的面积为______． 20. 项目学习 项目主题 正多边形的平面密铺 项目背景 在国家老旧小区改造项目中，为提升居民生活环境品质，许多小区的公共活动区域、楼道地面都需要重新铺设地砖．选用合适的正多边形地砖进行密铺，既能保证地面平整耐用，又能营造美观舒适的居住氛围．数学小组成员结合这一民生工程，对正多边形地砖能铺满地面的条件展开了深入探究． 素材一 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面． 素材二 正多边形地砖在老旧小区改造中应用广泛，如小区广场、健身区域等，还常与其他形状的正多边形地砖组合使用，兼顾实用性与美观性，助力老旧小区焕发新活力． 问题解决： （1）请通过计算说明单独用正八边形地砖无法铺满地面； （2）幸福小区的休闲广场需要翻新改造，现决定用两种边长相同的正多边形地砖进行平面密铺．已选用正方形地砖，则可以再选择的地砖是________．（填序号） ①正五边形； ②正八边形； ③正十二边形． （3）用若干边长相等的正三角形和正方形进行平面密铺，请你求出在一个拼接点周围有多少块正三角形？多少块正方形？ 21. 下面是同学们在了解家乡长治市太行山大峡谷景区后，结合一次研学旅行编写的数学情境题，请你完成相应任务． 【情境引入】太行山大峡谷是长治市著名的级景区，峡谷内溪流清澈，乘船游览是深受游客喜爱的体验项目． 【问题解决】周末，小潞和同学在太行山大峡谷的溪流边的A码头租了一艘小艇，逆流而上前往B景点，行进速度为．到达景点后沿原路顺流返回，行进速度比去时增加了，回到A码头比去时少花了． 任务： （1）设A、B两地之间的路程为，根据题意填写下表（单位：）： 行程 速度 时间 去程（逆流） 4 ①__________ 回程（顺流） ②__________ ③_________ （2）求A、B两地之间的路程（写出完整的解题过程）． 22. 长治市太行山区盛产优质山野菜，某文旅公司计划收购本地山野菜，开发特色农旅产品，助力乡村振兴．已知该公司一次性收购了23吨山野菜，经市场调研，产品销售与加工情况如下： 直接销售：每吨可获利500元； 粗加工包装（制作即食野菜包）：每吨可获利2500元，每天可加工4吨； 精加工制罐（制作山野菜罐头）：每吨可获利4000元，每天可加工吨． 同一时间两种加工方式不能同时进行，且所有原料必须在7天内全部销售或加工完毕．为了实现收益最大化，公司研究了以下三种方案：（1）方案一：全部进行粗加工并包装；（2）方案二：尽可能多地制作罐头，余下的直接销售；（3）方案三：部分制作罐头，其余进行粗加工并包装，且正好7天完成． 请你帮助公司分析计算，完成以下任务： （1）分别计算方案一、方案二的总获利； （2）求方案三中粗加工和制作罐头的天数，并计算方案三的总获利； （3）比较三种方案的总获利，为公司推荐最优方案，并结合长治文旅产业发展，说说该方案对农旅融合的意义． 23. 综合与探究 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“放在同一直线上的一副直角三角尺（如图，其中．）”为主题开展数学活动． （1）初步探究：将图（1）中的三角尺沿向右平移至图（2）的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，求的度数； （2）深入探究：将图（1）中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图（3），且恰好平分，与相交于点E，求的度数； （3）拓展延伸：将图（1）中的三角尺绕点O按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，求旋转到第几秒时直线恰好与直线垂直？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $