精品解析：北京市燕山教育集团2025-2026学年第二学期七年级期末考试数学试卷

燕山教育集团2025—2026学年第二学期七年级期末考试 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，27道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡和本试卷一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，不仅具有采光、通风的实用功能，更承载着深厚的文化寓意与艺术审美．下列窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 3. 为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，小云作出，的延长线，，量出，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知是方程的解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 2026年3月14日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，燕山地区开展了形式多样的创意活动，为确保活动顺利开展，主办方完成多项调研与检测工作．以下工作最适合采用全面调查的是（ ） A. 活动开始前，对各分会场的用电设备进行安全检查 B. 活动开始前，调查燕山地区学生对“日（）”的了解程度 C. 活动期间，统计燕山地区学生对“数智创想——学生优秀创意作品”的喜爱程度 D. 活动结束后，了解燕山地区全体师生对活动内容的满意程度 8. 某学习小组为了研究不同地区的白昼时长变化规律，收集了北京和武汉2025年二十四节气日白昼时长（单位：）的数据，并绘制了统计图： 下面有三个推断： ①全年白昼时长中，北京和武汉夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分； ②从夏至到冬至，北京和武汉白昼时长均逐渐变短； ③在白昼时长季节差异方面，北京比武汉小． 所有合理推断的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 的算术平方根为______． 10. “与5的差大于1”，用不等式表示为______． 11. 如图，直线a，b被c，d所截，要使直线，需要添加的一个条件为______． 12. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 13. 某公园部分景点位置都在如图所示的正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示听雨轩的点的坐标为，表示荷花池的点的坐标为，则表示月季园的点的坐标是______． 14. 随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动．实践小组的同学们查阅了某市2020-2025年文博馆的参观量数据（单位：万人次），并绘制了趋势图，由此对2026年该市文博馆的参观量做出了预测，他们的预测值可能是______万人次（结果保留整数）． 15. 《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领，问士兵和铠甲各有多少？设有士兵x人，铠甲y领，根据题意，可列方程组为______． 16. 某科技公司举办“AI创意挑战赛”，共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手参加．比赛包含算法设计、模型训练、成果展示三个环节，每位选手在每个环节均可获得基础分（3分）、进阶分（5分）或卓越分（8分）．五位选手的部分得分情况如下表所示： 算法设计 模型训练 成果展示 总分 甲 8 乙 3 3 丙 丁 16 戊 9 已知以下信息：①所有选手的总分互不相同；②甲的总分最高；③丙在“算法设计”环节的得分恰好等于所有选手在此环节得分的平均分． （1）甲的总分为______分； （2）所有选手的总分之和最大为______分． 三、解答题（共68分，第17-18题，每题8分，每小题4分，第19-22题，每题5分，第23-25题，每题6分，第26-27题，每题7分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组： （1） （2） 19. 解不等式，并在数轴上表示解集． 20. 解不等式组： 21. 在学习了平行线知识后，小明和小芳分别给出了“过直线外一点画这条直线的平行线”的方法． 小明的画法：如图1， ①过点画一条直线与直线相交于点； ②测得； ③以点为顶点，射线为一边，画（点在直线的右侧）． 直线即为所求． 小芳的画法：如图2， ①过点画直线，垂足为点； ②过点画直线，垂足为点（点，分别在直线的两侧，且点在直线的左侧）． 直线即为所求． 回答下面的问题： （1）在小明的画法中，判定的依据是______； （2）选择合适的工具，补全图2；（保留画图痕迹） （3）完成小芳的证明． 证明：， ______， ， ， ______， ，（ ）（填推理的依据） 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，其中点，，分别为点，，的对应点． （1）画出三角形，并直接写出点，，的坐标； （2）已知点在轴上，且三角形的面积为6，直接写出点的坐标． 23. 如图，已知是的平分线，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 24. 如图，某社区规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，其中横向和纵向通道的宽度均相等，草坪①②③④是形状、大小相同的正方形，草坪⑤⑥是形状、大小相同的长方形，且． （1）求通道的宽度； （2）铺设草皮需要预留不低于草坪面积的损耗，如果每平方米草皮的造价是30元，那么铺设草皮的总费用至少要多少元？ 25. 学校开展“健康小达人”主题活动，有A，B两个项目，每个项目得分不低于80分获得达人奖，得分在60分至80分之间获得优秀奖，低于60分获得参与奖，为了解学生的获奖情况，从参与A，B两个项目的学生中随机各抽取40人，获得了他们的得分数据（百分制且得分均为整数），并整理绘制了如下的统计图： （注：得分数据记为x，数据分成五组：，，，，．） （1）写出统计图中m，n的值； （2）扇形统计图中，“优秀奖”所在扇形的圆心角度数为______°； （3）若该校分别有400人参与了A项目，500人参与了B项目，估计获得达人奖的总人数． 26. 如图，在三角形中，点E是射线上的一个动点（与点B，C不重合），将线段沿平移得到线段，连接，画的平分线与的平分线交于点P． （1）如图1，点E在线段上， ①若，，依题意补全图1，并直接写出和的度数； ②用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，点E在线段的延长线上，直接用等式表示出与的数量关系． 27. 在平面直角坐标系中，已知点（与坐标原点O不重合），对于任意一点，给出如下定义： 若点Q的坐标为（），则称点Q为点P关于点M的“k倍位移点”． 已知点，，，． （1）点C关于点A的“2倍位移点”的坐标是______； （2）点E在线段上，过点作x轴的垂线l，若直线l上存在点D关于点E的“2倍位移点”，求m的取值范围； （3）已知点，，，，点在正方形的边上，且，．若对于正方形边上的任意一点P，线段上都不存在点P关于点M的“k倍位移点”，直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 燕山教育集团2025—2026学年第二学期七年级期末考试 数学试卷 考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，27道小题，满分100分．考试时间100分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、画图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将答题卡和本试卷一并交回． 一、选择题（共16分，每题2分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的意义，可得答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，不仅具有采光、通风的实用功能，更承载着深厚的文化寓意与艺术审美．下列窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，对各个选项进行分析即可． 【详解】解：A.该图案属于轴对称图形或旋转对称图形，不能由一个基本图案通过平移得到，故本选项不符合题意； B.该图案由多个不规则多边形组成，无法找到一个基本图案通过平移得到整个图形，故本选项不符合题意； C.该图案可以看作由一个正六边形作为基本图案，经过多次平移得到，故本选项符合题意； D.该图案属于中心对称图形，基本图案的方向发生了改变，不能通过平移得到，故本选项不符合题意． 3. 为了测量一座古塔外墙底部的底角的度数，小云作出，的延长线，，量出，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对顶角相等即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． 4. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面坐标系中各象限内点的坐标符号特征，掌握各象限的坐标符号规律即可解题． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标， 又∵平面直角坐标系中，第四象限内点的坐标符号为横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限． 5. 已知是方程的解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】方程的解能使方程左右两边相等，将已知解代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的解， ∴将，代入方程得， 整理得， 解得 ． 6. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项，不确定的选项可通过举反例排除即可． 【详解】A、若，，满足 ，但 ，故此选项错误； B、不等式两边同时加同一个常数，不等号方向不变，由 两边加1可得 ，故此选项正确； C、不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，由 两边乘可得 ，故此选项错误； D、∵的符号不确定，当时，，故此选项错误． 7. 2026年3月14日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，燕山地区开展了形式多样的创意活动，为确保活动顺利开展，主办方完成多项调研与检测工作．以下工作最适合采用全面调查的是（ ） A. 活动开始前，对各分会场的用电设备进行安全检查 B. 活动开始前，调查燕山地区学生对“日（）”的了解程度 C. 活动期间，统计燕山地区学生对“数智创想——学生优秀创意作品”的喜爱程度 D. 活动结束后，了解燕山地区全体师生对活动内容的满意程度 【答案】A 【解析】 【分析】要求结果准确，调查范围小或事关安全必须逐一检查时适合全面调查，调查对象范围广数量多时适合抽样调查． 【详解】解：A选项中，各分会场用电设备安全检查事关活动安全，必须逐一检查，因此适合全面调查； B选项中，燕山地区学生数量多，调查学生对π日的了解程度不需要逐一检查，因此适合抽样调查； C选项中，燕山地区学生数量多，统计学生对作品的喜爱程度不需要逐一检查，因此适合抽样调查； D选项中，燕山地区全体师生数量多，了解师生对活动的满意程度不需要逐一检查，因此适合抽样调查． 8. 某学习小组为了研究不同地区的白昼时长变化规律，收集了北京和武汉2025年二十四节气日白昼时长（单位：）的数据，并绘制了统计图： 下面有三个推断： ①全年白昼时长中，北京和武汉夏至最长，冬至最短，春分和秋分昼夜大致平分； ②从夏至到冬至，北京和武汉白昼时长均逐渐变短； ③在白昼时长季节差异方面，北京比武汉小． 所有合理推断的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】观察折线统计图提取数据变化与最值信息，逐一验证三个推断，得到正确结果． 【详解】解：①由图可知，北京和武汉的白昼时长均在夏至取得最大值，冬至取得最小值，春分秋分白昼时长接近，昼夜大致平分，推断①合理． ②从夏至到冬至，北京和武汉的白昼时长曲线均呈下降趋势，说明两地白昼时长均逐渐变短，推断②合理． ③由图可知，北京白昼时长最大值约为，最小值约为，差值约为；武汉白昼时长最大值约为，最小值约为，差值约为，说明北京白昼时长的季节差异比武汉大，推断③不合理． 因此合理推断为①②． 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 的算术平方根为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：的算术平方根为． 10. “与5的差大于1”，用不等式表示为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：“与5的差大于1”，用不等式表示为． 11. 如图，直线a，b被c，d所截，要使直线，需要添加的一个条件为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：可以添加条件：或或（答案不唯一） ∴． 12. 投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是_________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 13. 某公园部分景点位置都在如图所示的正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，表示听雨轩的点的坐标为，表示荷花池的点的坐标为，则表示月季园的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及轴、轴的位置，进而根据网格结构确定待求点的坐标． 【详解】解：由听雨轩的点的坐标为可知，轴经过听雨轩所在的竖直直线，且原点位于听雨轩上方2个单位长度处； 由荷花池的点的坐标为可知，轴位于荷花池右侧2个单位长度处，轴位于荷花池下方1个单位长度处； 综合上述信息可确定平面直角坐标系的原点位置， 观察网格图可知，月季园的点的坐标是． 14. 随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动．实践小组的同学们查阅了某市2020-2025年文博馆的参观量数据（单位：万人次），并绘制了趋势图，由此对2026年该市文博馆的参观量做出了预测，他们的预测值可能是______万人次（结果保留整数）． 【答案】125 【解析】 【分析】计算五年的平均增长人数，解答即可； 【详解】解：根据题意，得年平均增长人数为：（万人）， 故他们的预测值可能是万人次． 15. 《算学启蒙》是中国古代重要的著作，书中记载：今有军士分甲，人分五领，少十领；人分四领，多二领，问军士、甲各几何？题目大意：今有士兵分铠甲，如果每人分5领，则缺少10领；如果每人分4领，则多出2领，问士兵和铠甲各有多少？设有士兵x人，铠甲y领，根据题意，可列方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两种分铠甲的情况，分别找出铠甲总数与士兵人数的等量关系，列出方程组即可． 【详解】解：根据题意可得方程组为． 16. 某科技公司举办“AI创意挑战赛”，共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手参加．比赛包含算法设计、模型训练、成果展示三个环节，每位选手在每个环节均可获得基础分（3分）、进阶分（5分）或卓越分（8分）．五位选手的部分得分情况如下表所示： 算法设计 模型训练 成果展示 总分 甲 8 乙 3 3 丙 丁 16 戊 9 已知以下信息：①所有选手的总分互不相同；②甲的总分最高；③丙在“算法设计”环节的得分恰好等于所有选手在此环节得分的平均分． （1）甲的总分为______分； （2）所有选手的总分之和最大为______分． 【答案】 ①. 19 ②. 71 【解析】 【分析】先根据戊的总分推出戊三个环节均得3分，再结合丙在算法设计环节得分是平均分的条件，推出只有丙在算法设计环节得3分成立，进而得到所有选手在算法设计环节得分均为3分，再根据甲总分最高求出甲的总分，最后要使总分之和最大，只需让乙和丙的总分和最大，结合所有总分互不相同，即可求出最大总分之和． 【详解】解：∵每位选手在每个环节均可获得基础分（3分）、进阶分（5分）或卓越分（8分）， ∴总分最低为分，最高为分， ∵戊的总分为9分， ∴戊每个环节都得3分， 设丙在算法设计环节得分为分， ∵丙在算法设计环节的得分恰好等于所有选手在此环节得分的平均分， ∴五位选手算法设计环节总得分为分， ∴甲在算法设计环节的得分丁在算法设计环节的得分（分）， ∵， 当时，则甲在算法设计环节的得分丁在算法设计环节的得分（分）， ∴甲在算法设计环节的得分和丁在算法设计环节的得分都为3分，符合题意； 当时，则甲在算法设计环节的得分丁在算法设计环节的得分（分）， ∵得分只能是3分、5分或8分， ∴不存在符合题意的； 当时，则甲在算法设计环节的得分丁在算法设计环节的得分（分）， ∴同理不存在符合题意的； ∴，五位选手算法设计环节总得分为分，每位选手算法设计环节得分都为3分， ∵甲的总分最高，丁的总分为16分， 设甲在成果展示环节得分为分，则， 解得， ∴甲在成果展示环节得分为8分，且甲的总分为（分）， ∵甲的总分为19分，丁的总分为16分，戊的总分为9分， ∴当乙和丙的总分之和最大时，所有选手的总分之和最大， ∵乙在算法设计和成果展示环节分别得3分， ∴乙的总分最大为（分），不与甲、丁、戊的总分相同，符合题意， ∵丙在算法设计上得分为3分， ∴当丙在模型训练和成果展示环节都得8分，则丙的总分为（分），与甲相同，不符合题意， 当丙在模型训练和成果展示环节分别得5分，8分，则丙的总分为（分），与丁相同，不符合题意， 当丙在模型训练和成果展示环节分别得3分，8分，则丙的总分为（分），与乙相同，不符合题意， 当丙在模型训练和成果展示环节都得5分，则丙的总分为（分），与四位选手的总分都不相同，符合题意， ∴所有选手的总分之和最大为（分）． 三、解答题（共68分，第17-18题，每题8分，每小题4分，第19-22题，每题5分，第23-25题，每题6分，第26-27题，每题7分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 将代入得， 解得 ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 由得， 解得， 将代入①得，， 解得 ∴原方程组的解为． 19. 解不等式，并在数轴上表示解集． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再移项合并同类项，将的系数化为1得到解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示该解集为： 20. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 因此，原不等式组的解集为． 21. 在学习了平行线知识后，小明和小芳分别给出了“过直线外一点画这条直线的平行线”的方法． 小明的画法：如图1， ①过点画一条直线与直线相交于点； ②测得； ③以点为顶点，射线为一边，画（点在直线的右侧）． 直线即为所求． 小芳的画法：如图2， ①过点画直线，垂足为点； ②过点画直线，垂足为点（点，分别在直线的两侧，且点在直线的左侧）． 直线即为所求． 回答下面的问题： （1）在小明的画法中，判定的依据是______； （2）选择合适的工具，补全图2；（保留画图痕迹） （3）完成小芳的证明． 证明：， ______， ， ， ______， ，（ ）（填推理的依据） 【答案】（1）同位角相等，两直线平行 （2） （3）；；同旁内角互补，两直线平行 【解析】 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行解决问题； （2）利用三角板过点作即可； （3）利用同旁内角互补，两直线平行证明即可． 【小问1详解】 解：在小明的画法中，判定的依据是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 证明：， ， ， ， ， ，（同旁内角互补，两直线平行）（填推理的依据） 故答案为：；；同旁内角互补，两直线平行． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形，其中点，，分别为点，，的对应点． （1）画出三角形，并直接写出点，，的坐标； （2）已知点在轴上，且三角形的面积为6，直接写出点的坐标． 【答案】（1） ，， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作出图形，再根据图形写出对应点的坐标即可； （2）先根据点在轴上的性质，确定点的横坐标为0，得出；再结合点，在轴上的坐标，求出的长度，并确定三角形的垂直距离为；最后根据三角形面积公式列方程求解，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设， ∵点在轴上， ∴，， ∵点，在轴上，轴垂直于轴， ∴三角形的高的长度即为， ∵，， ∴ ∵三角形的面积为6， ∴， 解得，， ∴或． 23. 如图，已知是的平分线，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】（1）解：，理由如下： 是的平分线， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义，可得，等量代换得，利用“内错角相等，两直线平行”，即可求解； （2）根据对顶角相等，可得，从而，再根据平行线的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 24. 如图，某社区规划在一块长，宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮，其中横向和纵向通道的宽度均相等，草坪①②③④是形状、大小相同的正方形，草坪⑤⑥是形状、大小相同的长方形，且． （1）求通道的宽度； （2）铺设草皮需要预留不低于草坪面积的损耗，如果每平方米草皮的造价是30元，那么铺设草皮的总费用至少要多少元？ 【答案】（1）通道的宽度为 （2）元 【解析】 【分析】（1）设通道的宽度为，由可设，则，再根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）由（1）可得正方形草坪的边长为，长方形草坪的长为，宽为，从而可得草坪总面积为，从而可得出实际需要草皮面积至少为，再乘以每平方米草皮的造价是30元，即可得出结果． 【小问1详解】 解：设通道的宽度为， ∵， ∴设，则， 由题意可得， 解得， ∴通道的宽度为； 【小问2详解】 解：由（1）可得正方形草坪的边长为，长方形草坪的长为，宽为， 草坪总面积为， ∵铺设草皮需要预留不低于草坪面积的损耗， ∴实际需要草皮面积至少为， ∵每平方米草皮的造价是30元， ∴铺设草皮的总费用至少要（元）． 25. 学校开展“健康小达人”主题活动，有A，B两个项目，每个项目得分不低于80分获得达人奖，得分在60分至80分之间获得优秀奖，低于60分获得参与奖，为了解学生的获奖情况，从参与A，B两个项目的学生中随机各抽取40人，获得了他们的得分数据（百分制且得分均为整数），并整理绘制了如下的统计图： （注：得分数据记为x，数据分成五组：，，，，．） （1）写出统计图中m，n的值； （2）扇形统计图中，“优秀奖”所在扇形的圆心角度数为______°； （3）若该校分别有400人参与了A项目，500人参与了B项目，估计获得达人奖的总人数． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“70分至80分的人数其他各组的人数”，即可求出m，根据 “达人奖的百分比其他奖项的百分比”，即可求解； （2）根据“圆心角百分比”，计算即可求解； （3）根据用样本估计总体，先分别算出A，B两个项目获得达人奖的人数，再相加即可求解． 【小问1详解】 解：（人）； ，则； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：（人），（人）， （人）， 则估计获得达人奖的总人数为人． 26. 如图，在三角形中，点E是射线上的一个动点（与点B，C不重合），将线段沿平移得到线段，连接，画的平分线与的平分线交于点P． （1）如图1，点E在线段上， ①若，，依题意补全图1，并直接写出和的度数； ②用等式表示与的数量关系，并证明； （2）如图2，点E在线段的延长线上，直接用等式表示出与的数量关系． 【答案】（1）①补全图形如图： ，； ②， 证明：由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）①由平移的性质得，，由平行线的性质求出，由角平分线的定义可得，，过点作，则，，从而可得，即可得出结果；②由平移的性质得，，由平行线的性质求出，由角平分线的定义可得，，过点作，则，，从而可得，最后结合三角形内角和定理即可得证； （2）由平移的性质得，，由平行线的性质求出，由角平分线的定义可得，，过点作，则，，由此即可得出结果． 【小问1详解】 解：①由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； ②略； 【小问2详解】 解：由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， 过点作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，已知点（与坐标原点O不重合），对于任意一点，给出如下定义： 若点Q的坐标为（），则称点Q为点P关于点M的“k倍位移点”． 已知点，，，． （1）点C关于点A的“2倍位移点”的坐标是______； （2）点E在线段上，过点作x轴的垂线l，若直线l上存在点D关于点E的“2倍位移点”，求m的取值范围； （3）已知点，，，，点在正方形的边上，且，．若对于正方形边上的任意一点P，线段上都不存在点P关于点M的“k倍位移点”，直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）由“k倍位移点”的定义解题； （2）设，表示出点D关于点E的“2倍位移点”的坐标，结合线段的位置解题； （3）推出点的坐标为或，设线段上任意一点的坐标为，则，，讨论当点的横、纵坐标最大和最小以及点的坐标为或时的所有情况，列不等式组计算即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ∴点C关于点A的“2倍位移点”的坐标是，即； 【小问2详解】 解：如图，设， 由题意知，点D关于点E的“2倍位移点”的坐标为，即， ∵点E在线段上， ∴， ∴， 即， 若点在直线上，则； 【小问3详解】 解：如图，由题意知，点在正方形在第一象限的边上， 由图可知点的坐标为或，，， ∵点在正方形边上， ∴点的横、纵坐标最大时，坐标为，点的横、纵坐标最小时，坐标为， 设线段上任意一点的坐标为， 则，， 当点的横、纵坐标最大，点的坐标为时，点P关于点M的“k倍位移点”为， 当点的横、纵坐标最大，点的坐标为时，点P关于点M的“k倍位移点”为， 当点的横、纵坐标最小，点的坐标为时，点P关于点M的“k倍位移点”为， 当点的横、纵坐标最小，点的坐标为时，点P关于点M的“k倍位移点”为， ∵线段上都不存在点P关于点M的“k倍位移点”， ∴或， 解得或， 即当或时，线段上都不存在点P关于点M的“k倍位移点”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $