精品解析：江苏扬州市邗江区2025-2026学年八年级下学期期末调研数学试题

2025—2026学年度第二学期期末考试 八年级数学 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解漓江的水质情况 B. 了解某班同学的跳绳成绩 C. 了解某批次新能源汽车的抗撞击能力 D. 了解全国中学生的视力状况 2. 要使分式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，转盘中八个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，请你估计这些事件发生的概率最小的是（ ） A. 指针落在标有9的区域内 B. 指针落在标有6的区域内 C. 指针落在标有奇数的区域内 D. 指针落在标有有理数的区域内 5. 如图，的对角线，相交于点O，，，的周长为13，则的长为（ ） A. 10 B. 3 C. 6 D. 12 6. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 诗句“晚来天欲雪”，描述的是________事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）． 10. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 11. 一只不透明的袋子中装有若干个白球和个红球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，记录颜色后将球放回袋子中并摇匀．如下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 122 295 480 590 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.61 0.59 0.60 0.59 估计“从中任意摸出一个球是白球”的概率是______（精确到）； 12. 分式与分式的最简公分母是______． 13. 比较大小：___________．（填“”，“”，或“”） 14. 如图，在平行四边形中，，，则的度数为______． 15. 已知如图在等腰梯形中，，，，若，则等腰梯形的周长为________． 16. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为_______． 17. 如图，在中，，，D是的中点，过点D的直线交于点E，如果平分的周长，则______． 18. 若，则的值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 20. 分解因式： （1）； （2） 21. 解分式方程： （1）； （2） 22. 求的值，其中． 23. 江苏足球超级联赛（苏超）扬州赛区赛事热度高涨．某校调查部分学生的观赛偏好，每人限选一项，类别如下：A.现场看球，B.线上聊球，C.参与互动，D.购买周边，E.组队同行．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）本次调查样本容量为 ，请补全条形统计图； （2）观赛偏好E所在扇形的圆心角度数为 °； （3）若这个学校共有1800名学生，根据抽样调查的结果，估计该学校中观赛偏好是“线上聊球”的大约有多少人？ 24. “扬小骐”是2026年扬州市半程马拉松吉祥物．现甲、乙两组同时加工“扬小骐”，乙组每小时比甲组多加工10件，乙组加工240件所用时间与甲组加工200件所用时间相同．为了知道甲、乙两组每小时分别加工多少件，现列出如下方程： ①；② ． （1）方程①中表示： ；方程②中表示： ； （2）任选一个方程，求出甲、乙两组每小时加工的件数． 25. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 26. 如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图1中，以为对角线作平行四边形； （2）在图2中，以为对角线作正方形； （3）在图3中，作菱形，其中点D，E，F在边，，上． 27. 阅读下列材料，并解答相应问题： 在解决连比或等比问题时，常引入参数，设这组相等的比值为k，然后将各个量用含k的式子表示出来，进而求值或进行推理，这种方法叫设参法． 例：若其中，求的值. 解：设，则，，． 借鉴上述设参方法，解决下列问题： （1）若，且，求分式的值； （2）若，且，求证：； （3）若非零实数x、y、z满足，求的值． 28. 在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 点E是正方形纸片的边上一个动点．将沿翻折至，过点D作交的延长线于G． 【特例感知】 （1）如图①，若正方形的边长为4，且，此时 ， ； 【深入探究】 （2）如图②，连接，则与有怎样的关系，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）连接，在点E的运动过程中，的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末考试 八年级数学 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列调查中，适合采用全面调查的是（ ） A. 了解漓江的水质情况 B. 了解某班同学的跳绳成绩 C. 了解某批次新能源汽车的抗撞击能力 D. 了解全国中学生的视力状况 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全面调查的适用范围，根据调查范围大小，调查是否具有破坏性判断，范围小、易操作、无破坏性的调查适合采用全面调查． 【详解】解：A、漓江水域范围大，无法全面检测水质，适合抽样调查，不符合题意； B、一个班级学生数量少，便于全面统计跳绳成绩，适合全面调查，符合题意； C、测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不能进行全面调查，适合抽样调查，不符合题意； D、全国中学生人数多，范围广，不适合全面调查，适合抽样调查，不符合题意． 2. 要使分式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解，即可得到的取值范围. 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于0，对于分式，分母为， ∴， 解得. 3. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“把一个多项式化为几个整式的积的变形叫做因式分解”逐一判断选项即可. 【详解】解：∵选项A中，等式右边不是整式乘积的形式，是和的形式， ∴A不是因式分解； ∵选项B中，左边是单项式，不是多项式，因式分解是对多项式变形， ∴B不是因式分解； ∵选项C中，变形是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，与因式分解变形方向相反， ∴C不是因式分解； ∵选项D中，左边是多项式，右边是整式的乘积形式，符合因式分解的定义， ∴D是因式分解. 4. 如图，转盘中八个扇形的面积都相等，任意转动转盘1次，当转盘停止转动时，请你估计这些事件发生的概率最小的是（ ） A. 指针落在标有9的区域内 B. 指针落在标有6的区域内 C. 指针落在标有奇数的区域内 D. 指针落在标有有理数的区域内 【答案】A 【解析】 【分析】根据可能性等于所求情况数与总情况数之比分别求出每种情况的可能性，再按发生的可能性从小到大的顺序排列即可，从而确定正确的选项即可． 【详解】解：A、指针落在标有9的区域内的概率是0； B、指针落在标有6的区域内的概率是； C、指针落在标有奇数的区域内的概率是； D、指针落在标有有理数的区域内的概率是1， 故指针落在标有9的区域内的概率最小，选项A符合题意． 5. 如图，的对角线，相交于点O，，，的周长为13，则的长为（ ） A. 10 B. 3 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质求解即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，，， ∵的周长为13， ∴， ∴. 6. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与的被开方数相同即可得到答案. 【详解】解：∵ 选项A，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项B，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项C，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项D，，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 7. 为了判断课桌的桌面是否为矩形，数学小组的同学对四张课桌采用了不同的测量方式，其中不一定能判断桌面是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解． 【详解】解：A、，同旁内角互补可知一组对边平行，且都等于，可判定是平行四边形，并且有一个角是直角，因此能判定是矩形，故A选项不符合题意； B、含角的两个三角形不一定全等，有可能相似，不能判定上下两条边一定平行，桌面有可能是等腰梯形，也有可能是矩形，因此不能判定一定是矩形，故B选项符合题意； C、由两组对边相等可判定是平行四边形，又根据可知左下和右上两个角是直角，因此能判定是矩形，故C选项不符合题意； D、对角线互相平分且相等，能判定是矩形，故D选项不符合题意． 8. 如图，菱形对角线，相交于点O．F为的中点，E为的中点．若，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，证明，，，为的中位线，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵菱形对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∵F为的中点，E为的中点． ∴为的中位线，，， ∴，，， ∴， ∴. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 诗句“晚来天欲雪”，描述的是________事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）． 【答案】随机 【解析】 【分析】根据必然事件，不可能事件，随机事件的定义对题干描述的事件进行判断. 【详解】解：根据定义，一定条件下必然发生的事件是必然事件，一定条件下一定不发生的事件是不可能事件，一定条件下可能发生也可能不发生的事件是随机事件. “晚来天欲雪”描述傍晚即将下雪的情况，下雪可能发生，也可能不发生，符合随机事件的定义，因此该事件是随机事件. 10. 使代数式有意义的x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须，从而可得答案． 【详解】解：代数式有意义， 故答案为： 11. 一只不透明的袋子中装有若干个白球和个红球，这些球除颜色外都相同．从中任意摸出个球，记录颜色后将球放回袋子中并摇匀．如下表是摸球试验中的统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 122 295 480 590 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.61 0.59 0.60 0.59 估计“从中任意摸出一个球是白球”的概率是______（精确到）； 【答案】 【解析】 【分析】当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在某一数值附近，该数值即为事件概率的估计值，观察表格中频率的稳定值，按要求精确即可得到结果. 【详解】由表格数据可知，随着摸球次数不断增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，将精确到得， 因此估计“从中任意摸出一个球是白球”的概率为. 12. 分式与分式的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据最简公分母的确定规则，取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式最高次幂的乘积作为最简公分母，即可求解本题. 【详解】解：①确定系数部分，两个分式分母的系数分别为和，系数的最小公倍数为； ②确定字母的幂次，两个分母中的次数分别为和，取最高次幂； ③确定字母的幂次，两个分母中的次数分别为和，取最高次幂； 将系数与各字母最高次幂相乘，得到最简公分母为. 13. 比较大小：___________．（填“”，“”，或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较实数的大小，以及二次根式的性质，先把根号外的因式移入根号内，再根据实数的大小比较方法（绝对值大的反而小）比较大小即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，，，则的度数为______． 【答案】##35度 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质求得，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 已知如图在等腰梯形中，，，，若，则等腰梯形的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，梯形周长的转化计算． 作交于点，证明四边形是平行四边形，以及是等边三角形，得到，继而得出梯形的周长． 【详解】解：如图，作交于点， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 梯形的周长为． 16. 已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，用含的式子表示，再根据方程的解为正数且分式有意义，列出不等式求解的取值范围. 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母，得， 移项合并同类项，得， ∵方程的解是正数，且分式方程要有意义，分母不能为， ∴且， 解得且. 17. 如图，在中，，，D是的中点，过点D的直线交于点E，如果平分的周长，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，如图，取的中点，连接，证明是等边三角形，可得，进一步求解即可. 【详解】解：∵D是的中点， ∴， ∵平分的周长， ∴， ∴， 如图，取的中点，连接， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴. 18. 若，则的值为______． 【答案】4052 【解析】 【分析】利用完全平方公式对已知条件变形，化简得到的结果，再进行开方计算即可． 【详解】解：， 设，则，， ∴， ， ． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 分解因式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 21. 解分式方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的解. 【小问2详解】 解： ， ∴， 去分母得： 解得：， 经检验是增根，原方程无解. 22. 求的值，其中． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 时，原式． 23. 江苏足球超级联赛（苏超）扬州赛区赛事热度高涨．某校调查部分学生的观赛偏好，每人限选一项，类别如下：A.现场看球，B.线上聊球，C.参与互动，D.购买周边，E.组队同行．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）本次调查样本容量为 ，请补全条形统计图； （2）观赛偏好E所在扇形的圆心角度数为 °； （3）若这个学校共有1800名学生，根据抽样调查的结果，估计该学校中观赛偏好是“线上聊球”的大约有多少人？ 【答案】（1），补全图形如下： （2） （3）人 【解析】 【分析】（1）由条形统计图知B为60人，扇形统计图知B占，用除法可求样本容量，再用总人数减去已知四项人数得C的人数； （2）先求E所占百分比，再乘以得圆心角度数； （3）用总体人数乘以样本中B所占百分比即可估计总体中B的人数． 【小问1详解】 解：由条形统计图知B线上聊题的人数为60人， 由扇形统计图知B占总人数的， 本次调查样本容量为． ∵A为50人，B为60人，D为20人，E为40人， ∴C的人数为． 补全条形统计图略 【小问2详解】 解：组队同行E所占百分比为， 所在扇形的圆心角度数为． 【小问3详解】 解：样本中B线上聊题所占百分比为， 估计该学校1800名学生中选B的人数约为人． 24. “扬小骐”是2026年扬州市半程马拉松吉祥物．现甲、乙两组同时加工“扬小骐”，乙组每小时比甲组多加工10件，乙组加工240件所用时间与甲组加工200件所用时间相同．为了知道甲、乙两组每小时分别加工多少件，现列出如下方程： ①；② ． （1）方程①中表示： ；方程②中表示： ； （2）任选一个方程，求出甲、乙两组每小时加工的件数． 【答案】（1）甲组每小时加工的件数；甲组加工200件所用的时间 或 乙组加工240件所用的时间 （2）甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件 【解析】 【分析】（1）由可得方程①中表示：甲组每小时加工的件数；由可得方程②中表示：甲组加工200件所用的时间或乙组加工240件所用的时间. （2）分别解两个方程，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：方程①中表示：甲组每小时加工的件数；方程②中表示：甲组加工200件所用的时间或乙组加工240件所用的时间. 【小问2详解】 解：方程①：， 解得：， 经检验：是原方程的解 ，且符合题意， ， 答：甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件； 方程②：， 解得： ， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每小时加工50件，乙组每小时加工60件． 25. 如图，在中，于点，延长至点，使，连接与交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）由矩形的性质，得到，勾股定理逆定理，得到，等积法求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴. 26. 如图，已知，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图1中，以为对角线作平行四边形； （2）在图2中，以为对角线作正方形； （3）在图3中，作菱形，其中点D，E，F在边，，上． 【答案】（1）如图，四边形即为所求： 或 （2）如图，四边形即为所求； （3）如图，四边形即为所求： 【解析】 【分析】（1）法一：①作中垂线交于点O；②在延长线上截取，则四边形即为所求； 法二：①以点A为圆心，长为半径作弧；②以点C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D，则四边形即为所求； （2）①作中垂线，交于点O；②以点O为圆心，长为半径在上截取，则四边形即为所求； （3）①作平分线交于点E；②作中垂线分别交，于点D、F ，则四边形即为所求． 【小问1详解】 解：作图依据： 法一：由作图知，，， ∴四边形是平行四边形； 法二：由作图知，，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：作图依据：由作图知，，即，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，即四边形即为所求； 【小问3详解】 解：作图依据：由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 27. 阅读下列材料，并解答相应问题： 在解决连比或等比问题时，常引入参数，设这组相等的比值为k，然后将各个量用含k的式子表示出来，进而求值或进行推理，这种方法叫设参法． 例：若其中，求的值. 解：设，则，，． 借鉴上述设参方法，解决下列问题： （1）若，且，求分式的值； （2）若，且，求证：； （3）若非零实数x、y、z满足，求的值． 【答案】（1） （2）证明：设，则 ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）设，则 ，再进一步求解即可； （2）设，则 ，进一步证明即可； （3）设，可得，进一步分情况求解即可. 【小问1详解】 解：设，则 ， ∵ ， ∴都不为0， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， ∴， ∴++得， ∴， ∴， ∴当 时 ∴ ∴， 当时， ， ∴ ， ∴. 28. 在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 点E是正方形纸片的边上一个动点．将沿翻折至，过点D作交的延长线于G． 【特例感知】 （1）如图①，若正方形的边长为4，且，此时 ， ； 【深入探究】 （2）如图②，连接，则与有怎样的关系，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）连接，在点E的运动过程中，的最小值为 ． 【答案】（1）， （2），， 延长交于点H，设， ∵在正方形中， ∴，， ∵翻折， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， ∴，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及翻折得到得，是等边三角形，求出的度数，根据平角定义求出，根据勾股定理求出； （2） 延长交于点H，设，根据等边对等角及三角形内角和求出，，得到，再证出，推出，得到，，根据三角形外角性质求出，进而得到 ， 由此得到，； （3）取中点，连接，在上截取，连接，证明，得，在中，，，当时，即可求得的最小值为． 【小问1详解】 解：在正方形中，， 由翻折得， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取中点，连接，在上截取，连接， ， ∵在正方形中， ∴，， ∵翻折， ∴， ， ， ∵， ， ， ， 中，， ， 当时，，即， ， ， 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $