精品解析：江苏扬州中学树人教育集团2026年春学期期末考试八年级数学

扬州中学树人教育集团2026年春学期期末考试 八年级数学 满分：150分，考试时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 扬州剪纸是国家非物质文化遗产，下列四幅扬州特色剪纸作品中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意． 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将各选项化简后，判断被开方数是否与的被开方数相同即可． 【详解】解：A．，能与合并，故该选项符合题意， B．不能与合并，故该选项不符合题意， C．，不能与合并，故该选项不符合题意， D．，不能与合并，故该选项不符合题意． 3. 下列民间谚语中属于不可能事件的是（ ） A. 朝霞不出门，晚霞行千里 B. 塞翁失马，焉知非福 C. 乌云脚底白，定有大雨来 D. 葫芦藤上结南瓜 【答案】D 【解析】 【分析】根据“不可能事件是一定条件下一定不发生的事件”的定义，对各选项描述的事件进行判断即可． 【详解】解：A．“朝霞不出门，晚霞行千里”是气象经验总结，描述的事件可能发生； B．“塞翁失马，焉知非福”指坏事有可能变为好事，描述的事件可能发生； C．“乌云脚底白，定有大雨来”是气象经验总结，描述的事件可能发生； D．葫芦藤只能结葫芦，不可能结出南瓜，该事件一定不会发生． 4. 若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质，将和都替换为、，化简新分式后与原分式比较，即可得到结果． 【详解】解：∵把分式中和都扩大倍， ∴， ∴分式的值缩小到原来的． 5. 如图1和图2是一架木梯及其示意图的一部分，已知四边形和四边形均为等腰梯形且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质，，，根据四边形为等腰梯形，得到，求解即可； 【详解】解：四边形和四边形均为等腰梯形且，， ，，， ，， ； 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据判别式与的大小关系，即可判断方程根的情况. 【详解】解：对于一元二次方程， 可得，，， ， 方程有两个不相等的实数根. 7. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量对角线是否相等 B. 测量对角线是否互相平分 C. 测量是否有三个角相等 D. 测量是否有三个角是直角 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形对角线也相等，故A错误； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B错误； C．三个角相等的四边形不一定是矩形，故C错误； D．有三个角是直角的四边形是矩形，故D正确． 故选：D． 8. 如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据顺次连接任意四边形各边中点所得到的新四边形的面积是原四边形面积的一半，由此得出面积变化的规律，代入求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， 、， 顺次连接矩形四边的中点得到四边形， ， 四边形是菱形， ， 由此得到，顺次连接任意四边形四边中点得到的新四边形，面积是原四边形的， ， ， 当时，． 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负是解题的关键； 根据二次根式的被开方数是非负数可得，再解不等式即可． 【详解】解：若二次根式有意义，则，即； 故答案为：． 10. 一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性_________摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 【答案】 等于 【解析】 【分析】本题考查可能性的大小，分别计算从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性和摸出白球的可能性，比较二者大小即可得到答案． 【详解】解：袋子中球的总个数为 ， 从中任意摸出1个球， 摸出红球的可能性大小为 ，摸出白球的可能性大小为 ， 因此摸出红球的可能性等于摸出白球的可能性． 11. 因式分解________． 【答案】y（x-2）2 【解析】 【分析】先利用提公式法提取公因式，再用完全平方公式因式分解即可 【详解】解：原式=y（x2-4x+4） =y（x-2）2. 故答案为：y（x-2）2. 【点睛】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、完全平方公式因式分解是解题的关键． 12. 在平行四边形中，若，则的度数为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等，邻角互补即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． 13. 生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，则可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，根据预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元，列出方程即可． 【详解】解：设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，根据题意得： ． 14. 如图，矩形对角线相交于点，点为上一点，，则周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得出，再结合周长公式及线段的和差关系计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴的周长． 15. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据菱形的性质结合勾股定理求出，从而得出，再根据直角三角形斜边中线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16. 已知关于的一元二次方程的两根分别为．则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系，对所求代数式变形后整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴． ∵一元二次方程的两根为， ∴． ∴． 17. 若关于的方程无解，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握整式方程无解或分式方程有增根时，分式方程无解是关键． 将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解． 【详解】解：去分母得：， 整理得：，即， 当，即时，整式方程无解，满足题意； 当，即时，， 此时分式方程的增根为或， 代入得：（无解）或， 解得：， 综上所述，的值为或． 18. 如图，等腰梯形中，，，M是的中点．连接，将绕点旋转，当（即）与交于一点时，（即）同时与交于一点，在此过程中，五边形周长的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点D作于点P，过点A作于点Q，连接，证明四边形是矩形，得出，，证明，得出，证明为等边三角形，得出，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，，根据，当最小时，五边形的周长最小，证明是等边三角形，得出，根据当时，取得最小值，此时的值最小，最后求出最小值即可． 【详解】解：过点D作于点P，过点A作于点Q，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴ 同理可得：为等边三角形， ∴，， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴当最小时，五边形的周长最小， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 当时，取得最小值， ∵， ∴此时， ∴， ∴的最小值为，即的最小值是， ∴五边形周长的最小值为． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 【小问2详解】 解：， ，，， ， ∴， ∴原方程的解为：． 21. 先化简再求值：，其中． 【答案】, 【解析】 【详解】解： ， 把代入得：原式． 22. 品读书香古韵，浸润诗意扬州．在校园读书月活动中，扬州市某校大力倡导爱读书、读好书、善读书的文明风尚，为精准选购贴合学生兴趣的课外书籍，学校围绕文学、艺术、科普、其他四类读物开展问卷调查（每人仅选择一类），相关统计结果整理为如下两幅不完整统计图，请完成相关问题： （1）本次调查中，一共调查了_________名同学； （2）条形统计图中，_________，_________； （3）扇形统计图中，其他类读物所在扇形的圆心角是_________； （4）学校计划购买课外读物册，请根据样本数据，估计学校购买艺术类读物多少册比较合理？ 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】（1）用“文学”类的人数除以其所占百分比可得总人数； （2）先用总人数乘以“科普”类对应百分比求得的值，再根据各类别人数之和等于总人数可求得的值； （3）用乘以“其他”类读物人数占总人数的比值可得； （4）用乘以 “艺术”类读物人数占总人数的比值可得． 【小问1详解】 解：本次调查的同学人数为（名）； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：扇形统计图中，“其他”类读物所在扇形的圆心角是； 【小问4详解】 解：（册）， 估计学校购买艺术类读物册比较合理． 23. 物流园区引入两款智能分拣机器人处理仓储货品，型机器人每小时分拣货品箱数是型的倍；分拣同等数量的箱生鲜货品，型机器人耗费的时长比型少小时．求两款机器人每小时各能分拣多少箱货品？ 【答案】 型机器人每小时分拣箱货品，型机器人每小时分拣箱货品 【解析】 【分析】设型机器人每小时分拣箱货品，表示出型效率，依据时间差小时列分式方程，解方程验根后求出两种机器人分拣效率． 【详解】解：设型机器人每小时分拣箱货品，则型机器人每小时分拣箱货品， 由题意得： 化简方程得， 解得， 经检验，是原方程的解， （箱） ∴型每小时分拣箱，型每小时分拣箱． 24. 已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）如果，连接、，求证：四边形为矩形． 【答案】（1） 证明：点、分别是、边上的中点， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） 证明：连接、，如图， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∵点是边上的中点 ∴ ∴ 又， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）连接，先证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 25. 火爆开赛的“苏超”联赛，使扬州赛区吉祥物“包赢”文创周边深受球迷喜爱．这款融合扬州包子、足球与运河元素的萌趣摆件，每件进价30元．市场调研发现：售价定为40元时，每月可卖出100件；售价每上涨2元，每月就少卖出10件． （1）若店家某月想要总利润达到1120元，每件摆件应定价多少元？ （2）店家计划单月获利1300元，该计划能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】（1）每件摆件应定价44元或46元 （2）该计划不能实现 【解析】 【分析】（1）设每件摆件应定价为x元，根据总利润达到1120元，列出方程，解方程即可； （2）设每件摆件应定价为y元，根据单月获利1300元，列出方程，判断方程解的情况，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设每件摆件应定价为x元，根据题意得： ， 解得：，， 答：每件摆件应定价44元或46元； 【小问2详解】 解：设每件摆件应定价为y元，根据题意得： ， 整理得：， ∵， ∴此方程无解， ∴该计划不能实现． 26. 如图，已知矩形，连结． （1）用无刻度直尺和圆规在线段，上分别作点，（保留作图痕迹），连结，，使得四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 连接．分别以、为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径需相等），两弧分别相交于两点，过这两点作直线，该直线与、分别交于点、，则四边形是菱形． （2）． 【解析】 【分析】（1）本题要求用无刻度直尺和圆规在矩形的边、上作出点、，使四边形是菱形．关键在于利用菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，所以可通过作的垂直平分线来确定点、的位置． （2）首先利用矩形的性质和勾股定理求出对角线的长度，再根据菱形的性质设未知数，通过在直角三角形中运用勾股定理建立方程求出菱形的边长，最后利用菱形面积的两种不同表示方法建立等式求出的长． 【小问1详解】 解：由作图可得所作直线是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：在矩形中，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴设，则． 在中，， ∴， 解得． ∵菱形的面积， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了矩形和菱形的性质、勾股定理以及菱形面积的计算．解题的关键在于要理解并运用菱形对角线的性质来进行尺规作图及利用矩形性质和勾股定理求出对角线长度． 27. 数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：为整数且．则：， 照此规律，解答下列问题： （1）_________； （2）_________； （3）若，求的值； （4）当的值为整数时，满足条件的整数的和为_________． 【答案】（1） （2）1 （3） （4）7 【解析】 【分析】（1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据前面的几个等式，推出规律，进行求解即可； （3）根据规律，列出方程进行求解即可； （4）根据规律求出，再根据的值为整数，求出满足条件的所有整数x的值，最后求和即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：； 【小问2详解】 解：∵， ，， ∴， ∴， ∴的结果以，5个为一组进行循环， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可知： ∴， 解得：； ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵的值为整数， ∴为整数， ∴为整数， ∴，，， ∴，，3，，，0， ∵要使所有有意义，则，，， ∴，， ∴，，，， ∴满足条件的整数的和为： ． 28. 在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线分别在轴、轴上，若，则点的坐标为_________，的长为_________； （2）如图2，若是矩形，连接，探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若是正方形，连接，点关于直线的对称点为，连接，若的长为，直接写出的最小值为_________． 【答案】（1） （2）解：，理由如下： 如图，连接，延长，交于，连接， 四边形是矩形，为对角线的交点， ∴必过点，，，， ，， ， ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）可判定是菱形和△是等边三角形，进而求得的长，从而得出点坐标；可证得，从而得出结果； （2）连接，延长，交于，连接，可证得，从而，，进而由垂直平分线的性质得出，进一步得出结果； （3）作于，于，作于，可证得，从而得出，进而证得矩形是正方形，从而得出，可证得，从而，，进而得出从而得出点在过点与成的直线上运动，延长至，使，作于，连接，交直线于，当点在处时，最小，最小值是的长度，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， ， 对角线、分别在轴、轴上， ， 是菱形， ∴， ∵， △是等边三角形， ，， ， ， ， 射线绕点逆时针旋转， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：如图，记交于点，作于，于，作于， ， 四边形是正方形， 平分，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 射线绕点逆时针旋转交于点， ， ， ， ， ， ， 和关于对称，连接 ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 又∵， ， 点在过点与成的直线上运动， 延长至，使，作于，连接，交直线于， 则， ∵关于对称， ∴， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ， ， ， 当点在处时，最小，最小值是的长， ∵ ∴， ， ， 在中，； 最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州中学树人教育集团2026年春学期期末考试 八年级数学 满分：150分，考试时间：120分钟 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 扬州剪纸是国家非物质文化遗产，下列四幅扬州特色剪纸作品中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列民间谚语中属于不可能事件的是（ ） A. 朝霞不出门，晚霞行千里 B. 塞翁失马，焉知非福 C. 乌云脚底白，定有大雨来 D. 葫芦藤上结南瓜 4. 若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ） A. 扩大倍 B. 不变 C. 缩小到原来的 D. 缩小到原来的 5. 如图1和图2是一架木梯及其示意图的一部分，已知四边形和四边形均为等腰梯形且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 7. 我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（ ） A. 测量对角线是否相等 B. 测量对角线是否互相平分 C. 测量是否有三个角相等 D. 测量是否有三个角是直角 8. 如图：顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形．若矩形的面积为26，那么四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，每题3分，共30分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是____________． 10. 一个不透明的袋子中装有1个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性_________摸出白球的可能性（填“大于”、“小于”或“等于”）． 11. 因式分解________． 12. 在平行四边形中，若，则的度数为_________ 13. 生成式AI被认为将为全球经济贡献约7万亿美元的价值，我国率先加大投入研究开发AI技术，预计两年内对这项技术的投入从300亿美元增长到507亿美元．设两年内我国平均每年投入增长的百分率为，则可列方程为_________． 14. 如图，矩形对角线相交于点，点为上一点，，则周长为_________． 15. 如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，若，则_________． 16. 已知关于的一元二次方程的两根分别为．则的值为_________． 17. 若关于的方程无解，则的值为________． 18. 如图，等腰梯形中，，，M是的中点．连接，将绕点旋转，当（即）与交于一点时，（即）同时与交于一点，在此过程中，五边形周长的最小值为_________． 三、解答题（共10小题，共96分） 19. 计算： （1）； （2） 20. 解方程： （1）； （2） 21. 先化简再求值：，其中． 22. 品读书香古韵，浸润诗意扬州．在校园读书月活动中，扬州市某校大力倡导爱读书、读好书、善读书的文明风尚，为精准选购贴合学生兴趣的课外书籍，学校围绕文学、艺术、科普、其他四类读物开展问卷调查（每人仅选择一类），相关统计结果整理为如下两幅不完整统计图，请完成相关问题： （1）本次调查中，一共调查了_________名同学； （2）条形统计图中，_________，_________； （3）扇形统计图中，其他类读物所在扇形的圆心角是_________； （4）学校计划购买课外读物册，请根据样本数据，估计学校购买艺术类读物多少册比较合理？ 23. 物流园区引入两款智能分拣机器人处理仓储货品，型机器人每小时分拣货品箱数是型的倍；分拣同等数量的箱生鲜货品，型机器人耗费的时长比型少小时．求两款机器人每小时各能分拣多少箱货品？ 24. 已知：如图，在中，点、分别是边、的中点，过点A作的平行线，交射线于点． （1）求证：四边形是平行四边形： （2）如果，连接、，求证：四边形为矩形． 25. 火爆开赛的“苏超”联赛，使扬州赛区吉祥物“包赢”文创周边深受球迷喜爱．这款融合扬州包子、足球与运河元素的萌趣摆件，每件进价30元．市场调研发现：售价定为40元时，每月可卖出100件；售价每上涨2元，每月就少卖出10件． （1）若店家某月想要总利润达到1120元，每件摆件应定价多少元？ （2）店家计划单月获利1300元，该计划能否实现？请通过计算说明理由． 26. 如图，已知矩形，连结． （1）用无刻度直尺和圆规在线段，上分别作点，（保留作图痕迹），连结，，使得四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 27. 数学探究是数学学习的重要方法之一，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：为整数且．则：， 照此规律，解答下列问题： （1）_________； （2）_________； （3）若，求的值； （4）当的值为整数时，满足条件的整数的和为_________． 28. 在中，为对角线的交点，点为上的一动点，将射线绕点逆时针旋转交于点． （1）如图1，在平面直角坐标系中，对角线分别在轴、轴上，若，则点的坐标为_________，的长为_________； （2）如图2，若是矩形，连接，探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若是正方形，连接，点关于直线的对称点为，连接，若的长为，直接写出的最小值为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $