精品解析： 江苏省扬州市邗江区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024～2025学年度第二学期期末试题 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 调查某品牌烟花爆竹燃放安全质量 B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C. 了解国内外观众对电影《哪吒之魔童闹海》的观影感受 D. 检测神舟二十号飞船返回舱的零部件 3. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是 （ ） A. 对角线相等 B. 内角和等于 C. 对边平行且相等 D. 对角线互相垂直 5. 已知反比例函数的解析式为y＝，且图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（ ） A. a＝1 B. a≠1 C. a＞1 D. a＜1 6. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 7. 在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线，则图1中对角线的长为（） A. B. C. D. 8. 已知，如图，在中，，以为边在异侧作正方形，过点E作，垂足为F，交于G，连接，则的周长等于（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、 填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 10. 比较大小：_____ （填“＞”或“＜”或“＝”）． 11. 一只袋内装有6只红球和4只白球，这10只球除颜色外均相同，5人依次从袋中取一只球后并放回，则第四人摸到白球的概率是__________． 12. 柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500 损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为______．（精确到） 13. 如果与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_________． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 15. 如图，在矩形中，点E在上，且平分．若，则_________． 16. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 17. 如图是反比例函数，在轴上方的图象，平行四边形的面积是，若点在轴上，点在的图象上，点在的图象上，则的值为______． 18. 如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最大值为_________． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算: （1） （2） 20. 解下列方程∶ （1） （2） ． 21. 先化简，再求值：，请在－1、1、2三个数中选择一个合适的整数代入求值． 22. 为落实国家“双减”政策，某学校在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）参加问卷调查的学生共有__________人； （2）条形统计图中的值为_________，扇形统计图中的度数为_____________°； （3）根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐社团”的约有多少人？ 23. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）作出△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的． （2）作出△ABC关于原点成中心对称的； （3）点D在坐标平面上，如果以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标为 　　． 24. 列方程解应用题： 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1800米，4500米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前6分钟出发，求小明和小刚两人的速度． 25. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 26. 如图正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点． （1）求反比例函数的表达式和B点坐标； （2）直接写出时，x的取值范围； （3）若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标． 27. 新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A： B： （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． （3）若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 28. 综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． （1）【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； （2）【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； （3）【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期期末试题 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卡上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：由题意可得， A、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 下列调查中，最适合采用普查的是（ ） A. 调查某品牌烟花爆竹燃放安全质量 B. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查 C. 了解国内外观众对电影《哪吒之魔童闹海》的观影感受 D. 检测神舟二十号飞船返回舱的零部件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查普查与抽样调查的选择，普查适用于结果至关重要、必须全面检查的情况，而抽样调查适用于对象数量多、具有破坏性或无法全面调查的情形． 根据抽样调查和普查的定义以及适用范围分析即可． 【详解】解：A、烟花爆竹燃放安全质量检测具有破坏性，需抽样调查，不符合题意； B、 端午节粽子质量调查对象数量庞大，适合抽样调查，不符合题意； C、 国内外观众观影感受调查范围广，无法全面普查，适合抽样调查，不符合题意； D、 航天器零部件检测要求绝对精确，必须全面检查以确保安全，适合普查，符合题意， 故选：D． 3. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，利用合并同类二次根式法则，二次根式的乘法、除法法则，二次根式的性质逐项判定即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不可以合并，故原计算错误，不符合题意； B． ，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算正确，符合题意， 故选：D． 4. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是 （ ） A. 对角线相等 B. 内角和等于 C. 对边平行且相等 D. 对角线互相垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形、菱形的性质，掌握矩形、菱形与平行四边形的关系是解答本题的关键．根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有即可解答． 【详解】解：A：对角线相等，矩形的对角线相等是其固有性质，而菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等（除非是正方形），因此，矩形具有而菱形不一定具有该性质； B：内角和等于，所有四边形的内角和均为，矩形和菱形均满足，故排除； C：对边平行且相等，矩形和菱形均为平行四边形，均满足对边平行且相等，故排除； D：对角线互相垂直，菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线仅当为正方形时才垂直，普通矩形不满足，故排除； 故选：A． 5. 已知反比例函数的解析式为y＝，且图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（ ） A. a＝1 B. a≠1 C. a＞1 D. a＜1 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象特点即可得答案． 【详解】∵反比例函数的解析式为，且图象位于第一、三象限， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 6. 某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，，，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入得：， 则反比例函数的解析式为， 所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 又点在函数的图象上，且， ，即， 故选：C． 7. 在学校科技节活动中，聪聪用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具．他先活动学具成为图1所示菱形，并测得，接着活动学具成为图2所示正方形，并测得对角线，则图1中对角线的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键定灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 如图1中连接，如图2中，连接．在图2中，利用勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】如图1中连接，如图2中，连接． 在图2中， ∵四边形是正方形， ， ，， ， 在图1中，∵四边形是菱形，， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴， 故选：C． 8. 已知，如图，在中，，以为边在异侧作正方形，过点E作，垂足为F，交于G，连接，则的周长等于（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握正方形的性质，以及全等三角形的判定方法和性质． 过点A作于点H，则四边形为矩形，通过证明，推出，进而得出，，再证明，得出，最后根据的周长，即可解答． 【详解】解：过点A作于点H， ∵在中， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：B． 二、 填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件为分母不等于零得出，求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 比较大小：_____ （填“＞”或“＜”或“＝”）． 【答案】＜ 【解析】 【详解】解：∵，，且18＞12， ∴， ∴， ∴． 故答案为：＜ 11. 一只袋内装有6只红球和4只白球，这10只球除颜色外均相同，5人依次从袋中取一只球后并放回，则第四人摸到白球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算．第四人摸到球的情况共有5种，而第四人摸到白球的有2种情况，用概率公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意得： 第四人摸到球的情况共有5种，而第四人摸到白球的有2种情况， 第四人摸到白球的概率是：， 故答案为：． 12. 柑橘在运输、存储中会有损坏，现从某批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录如下： 柑橘的总质量n/kg 100 200 250 300 350 400 450 500 损坏的柑橘质量m/kg 10.50 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 损坏的柑橘频率 0.105 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 估计这批柑橘中损坏的柑橘的概率为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此可估计柑橘损坏率大约是． 【详解】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，柑橘损坏的频率越来越稳定在左右， 所以可估计柑橘损坏率大约是， 故答案为：． 13. 如果与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式和最简二次根式等知识点，能熟记同类二次根式的定义的内容是解此题的关键． 根据同类二次根式的定义得出，求出即可． 【详解】， 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故答案为：． 14. 若关于的分式方程有增根，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式方程增根的定义，解题关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程有增根，得出，代入整式方程求解即可． 【详解】解：将分式方程化为整式方程为， 分式方程有增根， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，点E在上，且平分．若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，再证得是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 16. 在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 17. 如图是反比例函数，在轴上方的图象，平行四边形的面积是，若点在轴上，点在的图象上，点在的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，设与轴交于点，由四边形是平行四边形，则，，，故有，，则，然后通过反比例函数比例系数的几何意义即可求解，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设与轴交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点在的图象上，点在的图象上， ∴，， ∴， ∵点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，点A的坐标为，轴于点B，点C为坐标平面内一点，，点D为线段的中点，连接，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标和图形的性质，对称的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，确定为最大值时点C的位置是解题的关键．作点A关于x轴的对称点，连接，根据中位线的性质得到，当点在延长线时，有最大值，求出，即可的出的最大值，进而得到结果． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点，连接， 则点B是的中点， 又∵点D是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， ∵点C为坐标平面内一点，且， 当点在延长线时，有最大值， ∵， ∴， ∴的最大值为， ∴的最大值． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算: （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，二次根式的混合运算，解题关键是掌握二次根式的运算法则． （1）先计算零指数幂，化简二次根式，再加减即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式结合二次根式的混合运算法则进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解下列方程∶ （1） （2） ． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验，当时，， ∴时原方程的增根， ∴原方程无解． 21. 先化简，再求值：，请在－1、1、2三个数中选择一个合适的整数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后根据分式有意义的条件求出a的值，将a的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 要使分式有意义，故且， 且， 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则． 22. 为落实国家“双减”政策，某学校在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）参加问卷调查的学生共有__________人； （2）条形统计图中的值为_________，扇形统计图中的度数为_____________°； （3）根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐社团”的约有多少人？ 【答案】（1）60 （2）11， （3）200人 【解析】 【分析】（1）用喜欢体育社团的人数除以其人数占比求出参与调查的学生人数； （2）根据（1）所求求出m和的值即可； （3）用1200乘以样本中喜欢“音乐社团”的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：人， ∴参加问卷调查的学生共有60人， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：由题意得，，， 故答案为：11，； 【小问3详解】 解：人， ∴估计该校1200名学生中最喜欢“音乐社团”的人数为200人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． 23. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）作出△ABC绕原点逆时针旋转90°得到的． （2）作出△ABC关于原点成中心对称的； （3）点D在坐标平面上，如果以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标为 　　． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C 的对应点即可； （3）根据平行四边形的判定画出图形可得结论． 【小问1详解】 如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求； 【小问3详解】 点D在坐标平面上，如果以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3）， 故答案为：（﹣3，1）或（1，﹣1）或（﹣5，﹣3）， 【点睛】本题考查作图-旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，平行四边形的判定，属于中考常考题型． 24. 列方程解应用题： 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1800米，4500米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前6分钟出发，求小明和小刚两人的速度． 【答案】小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟 【解析】 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前6分钟出发，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设小明的速度是米/分钟，则小刚骑自行车的速度是米/分钟， 根据题意可得：， 解得：， 经检验得：是原方程的根， 故， 答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟． 25. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，，点E是的中点，过点E作，交于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，即，， ∴， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）证是的中位线，得，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质和中位线定理可得，．利用勾股定理可知，从而得到，最后利用矩形面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形，， ∴． 在中，，， ∴， ∴ ∴四边形的面积是：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 26. 如图正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点． （1）求反比例函数的表达式和B点坐标； （2）直接写出时，x的取值范围； （3）若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标． 【答案】（1），； （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式和方程的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）由 的的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再联立两函数解析式求出点B的坐标即可． （2）根据反比例函数和正比例函数图象的中心对称性求得B点的坐标；再由图象即可求解； （3）根据“和谐点”的定义分两种情况，当在点的下方时，是线段的中点，当在点的上方时，是线段的中点，利用中点坐标公式列方程解题即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于， ， ， ， ∴反比例函数的表达式为， 联立，解得或， ∴． 【小问2详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于 两点， ∴观察图象，时，的取值范围是：或 ． 【小问3详解】 解：设，则， 如图1， 当在点的下方时，则， 解得， ， ， 如图2， 当在点的上方时，，则， 解得 ， ， ， ∴点的坐标为或． 27. 新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A： B： （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． （3）若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【答案】（1）A （2） （3）1． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当时，分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； 【小问2详解】 解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得， ， 解得． 【小问3详解】 解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 当时，解得， 将化简得， ， 解得， 关于x的方程，x有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）， ， ． 28. 综合与实践：在数学综合实践课上，孙老师和“希望小组”的同学们从特殊的几何图形入手，探究旋转变换的几何问题． （1）【建立模型】如图1，点M为等边三角形内部一点，小颜发现：将绕点B逆时针旋转得到，则，请思考并证明； （2）【类比探究】小梁进一步探究：如图2，点M为正方形内部一点，将绕点B逆时针旋转得到，连接并延长，交于点E．求证：； （3）【拓展延伸】孙老师提出新的探究方向：如图3，点M为内部一点，，点P，Q是上的动点，且，若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形性质，正方形性质，矩形判定及性质，共线问题最值和勾股定理等． （1）根据题意证明，即可得到本题答案； （2）过点B分别作于点 F，于点 G，再证明出和，再证明出四边形为矩形，后得到为正方形，继而利用正方形性质即可得到结论； （3）连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接，当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度，再利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． ∴； 【小问2详解】 证明：如图1， 过点B分别作于点 F，于点 G， ， ∵绕点B逆时针旋转得到， ∴． ∵四边形为正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴四边形为矩形． ∵， ∴矩形为正方形． ∴． ∴． ∵四边形为正方形， ， ； 【小问3详解】 解： 连接， 将绕点A 逆时针旋转一定的度数得到， 使得， 连接． ， ∴． ∴． 连接交于点， ∴ (两点之间线段最短)． ∴当M， Q， N三点共线时，有最小值是的长度． 由（2）易得：． ∴，． ∵． ∴． ∴． 过N作于H． ∵， ∴． ∴， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $