第一章《三角形》单元测试卷 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 《三角形》单元测试卷立足单元复习，全面覆盖全等三角形、三边关系、垂直平分线等核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，培养抽象能力、推理能力及应用意识，适配初中数学三角形单元学情检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|全等图形识别、三角形高概念、垂直平分线性质|结合图形辨析，如第8题以平分角仪器考SSS全等判定，强化几何直观| |填空题|6/18|全等对应角计算、直尺三角板角度转化、测量距离的全等应用|第13题以池塘测距考ASA全等，体现数学语言表达现实世界| |解答题|8/72|全等证明、倍长中线法、动点问题|第24题动点运动与全等判定结合，第21题“倍长中线”阅读理解题，培养推理意识与创新应用|

第一章《三角形》单元测试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。) 1.下列各组图形中，是全等图形的是() ○0.心4凸巴口□ 2.如图，点E,F在线段AC上，△ADE≌△CBF,AE=5,CE=3,那么EF的长度是 () A.2 B.3 C.5 D.8 3.下列每组三条线段的长度，能用它们组成三角形的是() A.1cm,2cm,3cm B.2cm,3cm,4cm C.5cm,6cm,11cm D.6cm,12cm,20cm 4.下列能表示△ABC的BC边上的高的是() B.E B B C. B D 5.到三角形各顶点距离相等的点是() A.三条边垂直平分线交点 B.三个内角平分线交点 C.三条中线交点 D.三条高交点 6.如图，在△ABC中，DE垂直平分AB.若BD=4,CD=2,则AC的长是() D A.6 B.8 C.9 D.10 7.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE⊥AB,垂足为 E,若BC=7,BD=4,则DE的长为（) A H A.2 B.3 C.4 D.5 8.如图，仪器ABCD可以用来平分一个角，其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与 ∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD,使它们落在角的两边上，沿AC画一条射线AE,AE就 是∠PRQ的平分线，则这个平分角的仪器的制作原理是() P D (RA B A.边边边 B.边角边 C.角角边 D.角边角 9.为说明命题“若a>b,则a>b2”是假命题，所列举反例正确的是（) A.a=5,b=3 B.a=-1,b=-2 C.a=2,b=0 D.a=3b=-者 10.如图，△ABC中，BC=6,点D、E分别是CB、AB上的点，CD=2BD,AE=BE,连接 ADCE交于点F,当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值为() F B D A.7 B.8 C.9 D.10 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.如图，已知△ABC与△就全等，那么∠D=」 E 720 63 10 B1450 D 10 12.在数学活动课上，小丽同学将含0°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的 一边上，测得∠1=32°，则42的度数是 13.如图，小红为了测量池塘两边A,B两点间的距离，做了如下的操作：①取一个能够直接 到达A,B两点的点D,②连接AD并延长AD到E,使AD=ED;连接BD并延长BD到C,使 DC=DB:③连接CE,那么，要知道AB的长度，应该测量线段 46--- ------⊙B D 14.如图所示，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=25°，∠2=30°，则∠3=_ 15.如图，P是直线1外一点，按以下步骤作图：①以点P为圆心，适当长为半径画孤，交直 线1于点以乃②分别以点B点D为圆心，大于号BD的长为半径画弧，两孤相交于点屈 ③作直线PE交BD于点F. 若BF=2,PE=6,则四边形PBED的面积为 16.在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型， 他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“”字形框架MABN,其中AB=84cm, AM,BN足够长，MA⊥AB于点A,NB⊥AB于点B,点D从点B出发向点A运动，同时点E 从点B出发向点W运动，且D,E运动的速度之比为3：4，当个两点运动到某一瞬间同时停止， 此时在射线AM上取点C,使△ACD与△BDE全等，则线段AC的长为一： M 三、解答题（本题共8小题，共72分.） 17.(8分)如下图，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC‖AB, AB=7,CF=5:求BD的长， B 18.(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC,EF垂直平分AC,交AC于点F,交BC于点E, 且BD=DE, B D (1)求证：AB=EC: (2)若△ABC的周长为21cm,AC=8cm,求DC的长. 19.(8分)如图，△ABC绕着点B旋转（顺时针）90°到△DBE,且∠ABC=90°. B ZD (1)△ABC和△DBE是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角. (2)直线AC与直线DE有怎样的位置关系？请说明理由. 20.(8分)如图，在△ABC中，∠A>∠B. (1)在边BC上找到一点E,使它到两点A、B的距离相等.（用尺规作图，保留作图痕迹， 不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，连接AE,若AC=21,BC=27,求△AEC的周长. 21.(8分)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在△ABC中， 若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小丽在组内经过合作交流，得到了如 下的解决方法：如图2，延长AD到点M,使DM=AD,连接BM,可证△ACD≌△MBD,从 而把AB,AC,2AD集中在△ABM中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围. 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线 (或与中点有关的线段)构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角 形中.我们把这种添加辅助线解题的方法称为“倍长中线法”· D 图1 图3 【问题解决】 (1)直接写出图1中AD的取值范围：； (2)猜想图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明； (3)如图3，AD是△ABC的中线，AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°，判断线段 AD和线段EF的数量关系和位置关系，并加以证明. 22.(10分)如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点， BE=CF· D B (1)若∠=∠ABC,求证：DE=EF; (2)把(1)中的条件和结论反过来，即若DE=EF,则∠旦=∠ABC,这个命题是否成立？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由， 23.(10分)如图，在△ABC中，P是线段BC上的一个动点，且不与B,C重合，PD⊥AB, PE⊥AC· D 4 D B B P 图① 图② (1)已知∠BAC=80°，∠B=∠C. ①∠DPE= ②若∠APB=3∠PAC,则∠APD= (2)如图②，已知AB=AC,作BF1AC,试探究BF,PE,PD之间的关系. 24.(12分)如图1，AB=10cm,AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A、B,AC=7cm,点P 在线段AB上以3Cms的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动，它们 运动的时间为t(s)(当点P运动结束时，点Q运动随之结束)· C D A>P B 图1 图2 (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等？此时 线段P℃和线段PQ有怎样的位置关系？请分别说明理由； (2)如图2，若“AC⊥AB,BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”,点Q的运动速度为x am/s:其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值. 参考答案 一、选择题 1.C 解：A选项：两个圆的直径不相等，不能完全重合， :两个圆不能完全重合， :两个圆不是全等图形，故A选项不符合题意： B选项：一个直角三角形，一个钝角三角形， :.两个三角形不能完全重合， :.两个三角形不是全等图形，故B选项不符合题意； C选项：两个图形可以完全重合， :两个图形是全等图形，故C选项符合题意； D选项：两个正方形的边长不相等， :两个正方形不能完全重合， :两个图形不是全等图形，故D选项不符合题意. 故选：C. 2.A 解：△ADE≌△CBF,AE=5, ∴.CF=AE=5, ∴.EF=CF-CE=5-3=2, 故选：A. 3.B 解：1+2=3， ∴.1cm,2cm,3cm不能用它们组成三角形，故A不符合； .2+3=5>4, ∴.2cm,3cm,4cm能用它们组成三角形，故B符合； .5+6=11, .5cm,6cm,11cm不能用它们组成三角形，故C不符合； .6+12=18<20, ∴.6cm,12cm,20cm不能用它们组成三角形，故D不符合， 故选：B. 4.B 解：A、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意； B、图形中，能表示△ABC的BC边上的高，本选项符合题意； C、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意； D、图形中，不能表示△ABC的BC边上的高，本选项不符合题意； 故选：B. 5.A 解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点. 故选：A. 6.A 解：，DE垂直平分AB, ∴.AD=BD=4, ∴.AC=AD+CD=4+2=6, 故选：A. 7.B 解：.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB .DE=DC. 又.BC=7,BD=4 ∴.DC=BC-BD=7-4=3 DE=DC ∴.DE=3 故选：B· 8.A 解：在△ABC和△ADC中， ..AB=AD,BC=DC,AC=AC. .∴.△ABC≌△ADC(SSS, .∠BAC=∠DAC, .AE就是∠PRQ的平分线. 故选：A 9.B 解：A、当a=5,b=3时，a=25,b2=9,满足a>b,但a2>b2,是错误的反例，此项不符题意； B、当a=-1,b=-2时，a2=1,b2=4,满足a>b,但a2<b2,是正确的反例，此项符合题意； C、当a=2,b=0时，a=4,b2=0,满足a>b,但a2>b2,是错误的反例，此项不符题意； D、当a=b=时，不清足Q>b,是错误的反例，北项不符题意： 故选：B. 10.D 解：如图所示，过点A作AH⊥BC于点H,连接BF, B D 设S△BEr=X,S△BFD=y,S△ABc=S, x+y=7, ..CD=2BD,AE=BE. ∴.S△ABD=S△ABr+S△BFD=2X+y= 号S,Sar=5aa+56既=X+3y=5, x+y=7 联立2x+y= 3 x+3y-=2 :S3×BC×AH=30, .AH=10. .当AB=AH时，AB最小为10， 故选：D 二、填空题 11.72 解：：△ABC与△U全等，BC和EF是对应边， ∴∠D=∠A=72°， 故答案为：72。 12.62° 解：如图，三角板EFG与直尺ABCD分别交AB于点F、H. B .AB‖DC ∴.∠2=∠FHG .∠1+∠E=∠FHG, .∴.∠2=∠1+∠E=32°+30°=62： 13.CE/EC 解：'AD=ED,∠ADB=∠CDE,DC=DB, ∴.△ABD≌△ECD|SAS, ∴.AB=CE, 即要知道AB的长度，应该测量线段CE. 故答案为：CE 14.55°/55度 解：：'∠BAC=∠DAE, .∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠1=∠EAC 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE .∴.△BAD≌△CAE SAS' .∠2=∠ABD=30°， .∠1=25， .∴.∠3=∠1+∠ABD=25°+30°=55， 故答案为：55 15.12 解：由作图步骤可知， 步骤①中，以点P为圆心画弧，交直线1于点B,D, .PB=PD' 步聚②中，分别以点尽点D为圆心，大于BD的长为半径作孤相交于点E ,:.直线PE是线段BD的垂直平分线， ∴.BP=DF=2,PE⊥BD? .'BD=2BF=4 :四边形PBED的对角线PE与BD互相垂直， Sw=号PE~BF+号PE~DF=PEBD=3×6x4=12. 故答案为：12. 16.36cm或56cm 解：设点D,E运动的速度分别为3xCm/s,4xcm/s,它们运动的时间为ts,则BD=3tcm, AD=84-3xt cm'BE=4xt cm' :MA⊥AB于点A,NB⊥AB于点B, .∠A=∠B=90, 当AC=BE=4xt,AD=BD时，△ACD≌△BED|SAS, 即84-3xt=3xt, xt=84=14, 6 .∴.AC=4×14=56cm9 当AC=BD=3t,AD=BE时，△ACD≌△BDE SAS, 即84-3xt=4xt, t=84=12, 7 .∴.AC=3×12=36cm 综上所述，AC的长为36cm或56cm. 故答案为：36cm或56cm, 三、解答题 17.解：：CF‖AB,∴.∠A=∠FCE,∠ADE=∠F. ∠A=∠FCE 在△ADE和△CFE中， ∠ADE=∠F DE=FE .∴△ADE≌△CFEAAS: ∴.AD=CF=5 .AB=7, .BD=AB-AD=7-5=2: 一题多解法： CF‖AB .∴.∠ADE=∠F ∠ADE=∠F 在△ADE和△CFE中， DE=FE ∠AED=∠CEF ∴.△ADE≌△CFE ASA .∴.AD=CF=5 .‘AB=7 ∴.BD=AB-AD=7-5=2 18.（1)证明：连接AE. B D E :EF垂直平分AC, ∴.AE=EC, ,AD⊥BC,BD=DE' ∴.AD垂直平分BE, ∴.AB=AE ∴.AB=EC (2).△ABC的周长为21cm, .∴.AB+BC+AC=21cm .AC=8cm' ∴.AB+BC=13cm' AB=EC'BD=DE' AB+BD-EG+DE-AB+BC)-6.5cm, .∴.DC=6.5cm' 19.(1)解：△ABC≌△DBE: '△ABC绕着点B旋转（顺时针）90°到△DBE, ∴.△ABC≌△DBE, ∴.对应边为：AB与DB,AC与DE,BC与BE: 对应角为：∠A与∠D,∠ABC与∠DBE,∠ACB与∠E: (2)直线AC与DE相互垂直，理由如下： 延长AC交DE于点F, B C D .'△ABC≌△DBE, ∠A=∠D, .∠ACB=∠DCF, .∴.∠AFD=∠ABC=90°， ∴.直线AC与DE相互垂直. 20.(1)解：如图所示：点E即为所求； (2):DE垂直平分AB, ∴.AE=BE: :△AEC的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=21+27=48: 21.(1)解：延长AD到点M,使DM=AD,连接BM, D是BC中点， ∴.BD=CD CD=BD 在△ACD和△MBD中， ∠ADC=∠MDB AD=MD .∴△ACD≌△MBD SAS .∴.AC=BM=6, 在△ABM中，AB-BM<AM<AB+BM, 10-6<AM<10+6即4<AM<16 又：'AM=AD+DM=2ADDM=AD, 4<2AD<16,即2<AD<8: 故答案为：2<AD<8. (2)ACBM,AC=BM.理由如下： .'△ACD≌△MBD' .∴.∠CAD=∠BMD,AC=MB' .AC‖BM: (3)EF=2AD,AD⊥EF.证明如下： 如图，延长AD到点Q,使得DQ=AD,连接BQ. E 同理可证△QDB≌△ADC SAS, .∴.∠QBD=∠ACD'QB=AC .∵AC=AF, ∴.BQ=AF· 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， .∴.∠BAC+∠ABC+∠DBQ=180°， ∴.∠BAC+∠ABQ=180°· .∠BAE=∠FAC=90, .∠BAC+∠EAF=180°， .∴.∠ABQ=∠EAF· AB=EA, 在△ABQ和△EAF中∠ABQ=∠EAF, BQ=AF, .∴.△ABQ≌△EAF SAS ∴.AQ=EF,∠BAQ=∠AEF· 如图，延长DA交EF于点P. .∠BAE=90°， .∴.∠BAQ+∠EAP=90°， ∴.∠AEF+∠EAP=90°， .∴.∠APE=90 .AD⊥EF· ∵AD=DQ' .AQ=2AD .AQ=EF' .'EF=2 AD 综上所述，EF=2AD,AD⊥EF, 22.（1)解：如图1所示： 图1 由三角形的外角定理可知：∠DEC=∠ABC+∠BDE, 且∠DEC=∠g+∠CEF,∠=∠ABC, ∴.∠BDE=∠CEF, ∠DBE=∠ECF 在△DBE和△ECF中， ∠BDE=∠CEF BE=CF .∴.△DBE≌△ECF AAS, ∴.DE=EFa (2)解：成立，理由如下： 过点E、F分别作EM⊥AB于点M,FN⊥BC于点N,如图2所示： D 人9 M R E 图2 .'EM⊥AB,FN⊥BC, .∴.∠BME=∠CNF=90o, 又.'∠ABC=∠ACB, ∠MBE=∠NCF 在△MBE和△NCF中， ∠BME=∠CNF BE=CF ∴.△MBE≌△NCF(AAS) .'ME=FN' 又，DE=EF, '.Rt△DME≌Rt△ENF(HL), .∴.∠MDE=∠NEF, 又，'∠DEC=∠g+∠CEF,∠DEC=∠MDE+∠ABC, ∴.∠g=∠ABC· 即若DE=EF,则∠=∠ABC此命题成立. 23.(1)解：①.∠BAC=80°，∠B=∠C, ÷∠B=∠C=180-80=50y .PD⊥AB,PE⊥AC ∴.∠BPD=90°-50°=40°=∠CPE, ∴.∠DPE=180°-2×40°=100°； ②.∠APB=3∠PAC, 设∠PAC=x,则∠APB=3∠PAC=3x, .∠BAC=80°， ∴.∠BAP=80°-X, ∠B=∠C=50° ∴.80-x+50+3x=180, 解得：x=25, ∴.∠PAC=25°，∠APB=75°， .∠BPD=40°， ∴.∠APD=75°-40°=35； (2)解：BF=PD+PE,理由见解析； .PD⊥AB,PE⊥AC,BF⊥AC, Sm号ACB服，S号AB-PD.S-号ACPE, 2 ...AB=AC, AC BF-ABPD+ACPE-AC-IPD+PEl .'.BF=PD+PE 24.(1)解：当t=1时，△ACP与△BPQ全等；线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ, 理由如下： ,'点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3CmS,且运动的时间t=1S, ∴.AP=3cm,BQ=3cm, ∴.AP=BQ=3cm, .'AB=10cm, .∴.BP=AB-AP=7Cm, 又.AC=7cm, ∴.AC=BP=7cm, AC⊥AB,BD⊥AB, .∠A=∠B=90°， 在△ACP与△BPQ中， AP=BQ ∠A=∠B=90° AC=BP .△ACP≌△BPQ(SAS), .∠C=∠BPQ, 在Rt△APC中，∠C+∠APC=90°， ∴.∠BPQ+∠APC=90°， ∴.∠CPQ=180°-（∠BPQ+∠APC)=90°， ∴.PC⊥PQ; (2)依题意得：AP=3tcm,BQ=xtcm, ...AB=10cm, .BP=AB-AP=10-3t cn, 又.AC=7Cm,∠CAB=∠DBA, ①当AP=BQ:AC=BP时，△ACP≌△BPQ, 由AP=BQ,得：3t=t, 解得：x=3, 由AC=BP,得：7=10-3t, 解得：t=1, ②当AP=BP,AC=BQ时，△ACP≌△BQP, 由AP=BP,得：3t=10-3t, 解待：景 由AC=BQ,得：7=t, 解得：x=21 综上所述：当t=1时，x=3cms:当t=时，x= 21 3 5 cm/s.