第1章 三角形 能力评价 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学三角形单元卷，覆盖全等判定、性质应用等核心知识，结合池塘测距、支架设计等生活情境，凸显几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三边关系、三角尺摆放、垂直平分线|第1题以池塘测距考三角形三边关系，体现模型意识| |填空题|6/18|全等性质、平行线性质、半角三角形|第13题结合支架结构考几何应用，发展空间观念| |解答题|8/72|全等证明、动点问题、一线三垂直|第23题动点全等探究，第24题一线三垂直模型迁移，强化推理能力|

第1章 三角形 能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.为估计池塘两岸A，B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA=16 m，OB=12 m，那么AB的距离不可能是(　D　) A.5 m B.15 m C.20 m D.30 m 　　　 第1题图 第2题图 2.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1的度数为(　D　) A.45° B.50° C.60° D.75° 3.如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别相交于点E，F，作直线EF，交AB于点O，在直线EF上任取一点P(不与点O重合)，连结PA，PB。下列结论中，不一定成立的是(　C　) A.PA=PB B.OA=OB C.OP=PE D.PO⊥AB 　　　 第3题图 第4题图 4.如图，若AB=AC，则添加下列条件中的一个后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是(　C　) A.∠B=∠C B.AE=AD C.BE=CD D.∠AEB=∠ADC 5.对于命题“若a2＞b2，则a＞b。”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是(　B　) A.a=3，b=2 B.a=－3，b=2 C.a=3，b=－1 D.a=－1，b=3 6.如图，给出一个画图的过程，这个画图过程能说明的事实是(　C　) A.两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C.两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D.两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 7.如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB=7 cm，AC=3 cm，则BE的长为(　A　) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 8.我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是 (　D　) A.BO=DO，AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC，AD=AB C.∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC，BO=DO 【解析】 ∵BO=DO，AC⊥BD， ∴AC是BD的垂直平分线， ∴AB=AD，CB=CD， ∴四边形ABCD是筝形， ∴A不符合题意； 在△ACD与△ACB中， ∵ ∴△ACD≌△ACB(SAS)， ∴CD=CB， ∴四边形ABCD是筝形， ∴B不符合题意； 在△ACD与△ACB中， ∵ ∴△ACD≌△ACB(ASA)， ∴AD=AB，CD=CB， ∴四边形ABCD是筝形， ∴C不符合题意； 由∠ADC=∠ABC，BO=DO，不能证明四边形ABCD是筝形， ∴D选项符合题意。 9.如图，已知∠C=∠D，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠1=∠2；④∠B=∠E。其中能使△ABC≌△AED的条件有(　B　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【解析】 ①∵∠C=∠D，AC=AD，AB=AE， ∴△ABC和△AED不一定全等，不符合题意； ②∵∠C=∠D，AC=AD，BC=DE， ∴△ABC≌△AED(SAS)，符合题意； ③∵∠1=∠2， ∴∠1＋∠EAB=∠2＋∠EAB， ∴∠CAB=∠DAE。 又∵∠C=∠D，AC=AD， ∴△ABC≌△AED(ASA)，符合题意； ④∵∠B=∠E，∠C=∠D，AC=AD， ∴△ABC≌△AED(AAS)，符合题意。 综上所述，能使△ABC≌△AED的条件有3个。 10.如图，∠A=70°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D＋∠E为(　B　) A.30° B.40° C.60° D.70° 第10题图 第10题答图 【解析】 如答图，连结BC，设BE与CD相交于点M。 在△ABC中，∠A=70°，∠ABM=40°，∠ACM=30°， ∴∠MBC＋∠MCB=180°－∠A－∠ABM－∠ACM=180°－70°－40°－30°=40°。 又∵∠D＋∠E＋∠DME=180°，∠MBC＋∠MCB＋∠BMC=180°，∠DME=∠BMC， ∴∠D＋∠E=∠MBC＋∠MCB=40°。 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)如图，已知△ACF≌△DBE，AD=9 cm，BC=5 cm，则AB的长为　2　cm。  　 第11题 图第12题图 12.(3分)如图，直线AB∥CD，OA⊥OB。若∠1=142°，则∠2的度数为　52　°。  13.(3分)如图1是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图。托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，支撑板的顶端C恰好是托板AB的中点。现量得AB=10 cm，当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到直线DE的距离是　5　cm。  　　 第13题图 14.(3分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”。如果一个“半角三角形”的最大内角的度数为120°，那么这个“半角三角形”的“半角”为　20　°。  15.(3分)如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，BD=CF，BE=CD，则∠EDF的度数是　60　°。  【解析】 在△BDE与△CFD中，∵ ∴△BDE≌△CFD(SAS)， ∴∠BDE=∠CFD， ∴∠EDF=180°－(∠BDE＋∠CDF)=180°－(∠CFD＋∠CDF)=180°－(180°－∠C)=∠C=60°。 16.(3分)如图，在△ABC中，CD，BE分别是边AB和AC上的高线，点M在BE的延长线上，且BM=AC，点N在CD上，且AB=CN，连结AM，AN，则∠MAN的度数为　90　°。  【解析】 ∵CD，BE分别是边AB和AC上的高线， ∴∠ADC=∠AEB=90°， ∴∠ABM＋∠BAC=180°－∠AEB=90°，∠BAC＋∠NCA=180°－∠ADC=90°， ∴∠ABM=∠NCA。 在△ABM和△NCA中， ∵ ∴△ABM≌△NCA(SAS)， ∴∠BAM=∠CNA。 又∵∠CNA=∠ADC＋∠BAN， ∠BAM=∠MAN＋∠BAN， ∴∠MAN=∠ADC=90°。 三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE=∠CDF，∠ACB=∠ACD。求证：AB=AD。 证明：∵∠CBE=∠CDF，∴180°－∠CBE=180°－∠CDF， ∴∠ABC=∠ADC。 在△ABC和△ADC中， ∵ ∴△ABC≌△ADC(AAS)， ∴AB=AD。 18.(8分)如图，∠ABE=∠BAF，CE=CF。求证：AE=BF。 证明：∵∠ABE=∠BAF，∴CB=CA。 ∵CE=CF，∴CB＋CE=CA＋CF，即BE=AF。 在△ABE和△BAF中， ∵ ∴△ABE≌△BAF(SAS)， ∴AE=BF。 19.(8分)如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠A。 (1)(4分)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。 (2)(4分)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系。 第19题图 第19题答图 解：(1)如答图。 (2)DE∥AC。理由如下： ∵DE平分∠BDC，∴∠CDE=∠BDC。 ∵∠BDC=∠ACD＋∠A，∠ACD=∠A， ∴∠BDC=2∠ACD， ∴∠CDE=∠ACD，∴DE∥AC。 20.(8分)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D，边AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6。 (1)(4分)求BC的长。 (2)(4分)分别连结OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长。 解：(1)∵l1是边AB的垂直平分线，l2是边AC的垂直平分线， ∴AD=BD，EA=EC。 又∵△ADE的周长为6， ∴BC=BD＋DE＋EC=AD＋DE＋EA=6。 (2)∵△OBC的周长为16， ∴OB＋OC＋BC=16， ∴OB＋OC=16－BC=10。 又∵l1是边AB的垂直平分线，l2是边AC的垂直平分线， ∴OA=OB=OC=5。 21.(8分)如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，连结AO，∠1=∠2，求证：OB=OC。小聪同学的证明过程如下： 证明：在△ADO和△AEO中， ∵ ∴△ADO≌△AEO(①)， ∴OE=OD(②)， …　 　　 请解决下列问题： (1)(2分)小聪同学的证明过程中依据①是　AAS　，依据②是　全等三角形的对应边相等　。  (2)(2分)按小聪同学的思路将证明过程补充完整。 (3)(4分)图中共有　4　对全等三角形，它们是　△ADO≌△AEO，△BOD≌△COE，△ABO≌△ACO，△ABE≌△ACD　。  解：(2)在△ADO和△AEO中， ∵ ∴△ADO≌△AEO(AAS)， ∴OE=OD。 在△BOD和△COE中， ∵ ∴△BOD≌△COE(ASA)， ∴OB=OC。 22.(10分)如图，已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD∥BC，E是线段AC上的一点，AE=BC且DE⊥AB于点F，连结DC。 (1)(5分)求证：AB=DE。 (2)(5分)若BC=4，CE=3，求AD的长。 解：(1)∵∠ACB=90°，AD∥BC， ∴∠DAE=180°－∠ACB=90°=∠ACB， ∴∠CAB＋∠DAB=90°。 ∵DE⊥AB，∴∠AFD=90°， ∴∠ADE＋∠DAB=180°－∠AFD=90°， ∴∠CAB=∠ADE。 又∵CB=AE， ∴△ABC≌△DEA(AAS)， ∴AB=DE。 (2)∵△ABC≌△DEA， ∴CA=AD。 ∵AE=BC=4，CE=3， ∴CA=CE＋AE=7， ∴AD=7。 23.(10分)如图，已知在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，∠B=∠C，D为AB的中点。如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动。设点P运动的时间为t秒。 (1)(3分)用含t的式子表示PC的长为　8－3t　cm。  (2)(3分)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，求证：△BPD≌△CQP。 (3)(4分)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 解：(2)∵AB=AC=10 cm，D为AB的中点，∴BD=5 cm。 ∵BP=CQ=3×1=3(cm)， ∴CP=8－3=5(cm)，∴CP=BD。 在△DBP和△PCQ中，∵ ∴△DBP≌△PCQ(SAS)。 (3)设点Q的运动速度为x(cm/s)。 ∵BD=5 cm，BP=3t cm，CP=(8－3t)cm， ∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等。 ①3t=xt，5=8－3t，解得x=3(不合题意，舍去)； ②3t=8－3t，5=xt，解得x=。 综上所述，点Q的运动速度为 cm/s。 24.(12分)【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°。当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形。 (1)(4分)①(2分)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段DE，使AD⊥DE，BE⊥DE，则CD与BE的数量关系是　CD=BE　。  ②(2分)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段CE，使BE⊥CE，过点A作AD⊥CE于点D。若AD=2.5，DE=1.6，则BE的长为　0.9　。  【变式运用】 (2)(4分)如图3，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠CDA=90°，CD=2，求△BDC的面积。 【拓展迁移】 (3)(4分)如图4，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=15，以AC为边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连结BD，请直接写出△BCD的面积。 　　 图1 图2 　　 图3 图4 解：(1)①∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠DAC＋∠ACD=90°。 ∵∠ACB=90°，∴∠ACD＋∠ECB=90°，∴∠DAC=∠ECB。 在△ADC和△CEB中，∵ ∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD=BE。 ②∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠CBE＋∠ECB=90°。 ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB＋∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠CBE。 在△ADC和△CEB中，∵ ∴△ADC≌△CEB(AAS)， ∴AD=CE=2.5，CD=BE， ∴BE=CD=CE－DE=2.5－1.6=0.9。 (2)如答图1，过点B作BE⊥CD，垂足为E。 第24题答图1 ∵AC=BC，∠ACB=∠ADC=∠BEC=90°， ∴同(1)②可得，BE=CD=2， ∴S△BDC=CD·BE=2。 (3)过点A作AN⊥BC于点N，则BN=NC=3，S△ABC=BC·AN=15， ∴AN=5。 分情况讨论： ①如答图2，当∠ACD=90°时，过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F。 第24题答图2 同(1)①可得，DF=CN=3， ∴S△BCD=BC·DF=×6×3=9。 ②如答图3，当∠CAD=90°时，过点D分别作AN，BC的垂线，垂足分别为G，F。 第24题答图3 同(1)①可得，AG=CN=3， ∴易知DF=GN=AG＋AN=3＋5=8， ∴S△BCD=BC·DF=×6×8=24。 ③如答图4，当∠ADC=90°时，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点F，过点A作AN的垂线，交FD的延长线于点P。 第24题答图4 同(1)①可得，AP=DF，DP=CF。 设CF=x，则DP=x， ∴易知DF=AP=NF=NC＋CF=3＋x，PF=DP＋DF=x＋3＋x=5， 解得x=1，∴DF=4， ∴S△BCD=BC·DF=×6×4=12。 综上所述，△BCD的面积为9或12或24。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.为估计池塘两岸A，B间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点O，测得OA=16 m，OB=12 m，那么AB的距离不可能是( ) A.5 m B.15 m C.20 m D.30 m 　　　 第1题图 第2题图 2.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则∠1的度数为( ) A.45° B.50° C.60° D.75° 3.如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别相交于点E，F，作直线EF，交AB于点O，在直线EF上任取一点P(不与点O重合)，连结PA，PB。下列结论中，不一定成立的是( ) A.PA=PB B.OA=OB C.OP=PE D.PO⊥AB 　　　 第3题图 第4题图 4.如图，若AB=AC，则添加下列条件中的一个后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是( ) A.∠B=∠C B.AE=AD C.BE=CD D.∠AEB=∠ADC 5.对于命题“若a2＞b2，则a＞b。”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是( ) A.a=3，b=2 B.a=－3，b=2 C.a=3，b=－1 D.a=－1，b=3 6.如图，给出一个画图的过程，这个画图过程能说明的事实是( ) A.两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等 B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等 C.两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等，这两个三角形不一定全等 D.两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等 7.如图，在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB=7 cm，AC=3 cm，则BE的长为( ) A.4 cm B.3 cm C.2 cm D.1 cm 8.我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是 ( ) A.BO=DO，AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC，AD=AB C.∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC，BO=DO 9.如图，已知∠C=∠D，AC=AD，增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；③∠1=∠2；④∠B=∠E。其中能使△ABC≌△AED的条件有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图，∠A=70°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D＋∠E为( ) A.30° B.40° C.60° D.70° 第10题图 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)如图，已知△ACF≌△DBE，AD=9 cm，BC=5 cm，则AB的长为 cm。  　 第11题 图第12题图 12.(3分)如图，直线AB∥CD，OA⊥OB。若∠1=142°，则∠2的度数为 °。  13.(3分)如图1是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图。托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，支撑板的顶端C恰好是托板AB的中点。现量得AB=10 cm，当CD⊥AB，且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，点B到直线DE的距离是 cm。  　　 第13题图 14.(3分)当三角形中一个内角α是另一个内角β的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中α称为“半角”。如果一个“半角三角形”的最大内角的度数为120°，那么这个“半角三角形”的“半角”为 °。  15.(3分)如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，BD=CF，BE=CD，则∠EDF的度数是 °。  16.(3分)如图，在△ABC中，CD，BE分别是边AB和AC上的高线，点M在BE的延长线上，且BM=AC，点N在CD上，且AB=CN，连结AM，AN，则∠MAN的度数为 °。  三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上，∠CBE=∠CDF，∠ACB=∠ACD。求证：AB=AD。 18.(8分)如图，∠ABE=∠BAF，CE=CF。求证：AE=BF。 19.(8分)如图，点D在△ABC的边AB上，且∠ACD=∠A。 (1)(4分)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)。 (2)(4分)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系。 第19题图 20.(8分)如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线l1交BC于点D，边AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6。 (1)(4分)求BC的长。 (2)(4分)分别连结OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长。 21.(8分)如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，连结AO，∠1=∠2，求证：OB=OC。小聪同学的证明过程如下： 证明：在△ADO和△AEO中， ∵ ∴△ADO≌△AEO(①)， ∴OE=OD(②)， …　 　　 请解决下列问题： (1)(2分)小聪同学的证明过程中依据①是 ，依据②是 。  (2)(2分)按小聪同学的思路将证明过程补充完整。 (3)(4分)图中共有 对全等三角形，它们是 。  22.(10分)如图，已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD∥BC，E是线段AC上的一点，AE=BC且DE⊥AB于点F，连结DC。 (1)(5分)求证：AB=DE。 (2)(5分)若BC=4，CE=3，求AD的长。 23.(10分)如图，已知在△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=8 cm，∠B=∠C，D为AB的中点。如果点P在线段BC上以3 cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动。设点P运动的时间为t秒。 (1)(3分)用含t的式子表示PC的长为 cm。  (2)(3分)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，求证：△BPD≌△CQP。 (3)(4分)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 24.(12分)【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°。当模型中有相等的线段时，则模型中就有可能存在全等三角形。 (1)(4分)①(2分)如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段DE，使AD⊥DE，BE⊥DE，则CD与BE的数量关系是 。  ②(2分)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作线段CE，使BE⊥CE，过点A作AD⊥CE于点D。若AD=2.5，DE=1.6，则BE的长为 。  【变式运用】 (2)(4分)如图3，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=∠CDA=90°，CD=2，求△BDC的面积。 【拓展迁移】 (3)(4分)如图4，在△ABC中，AB=AC，BC=6，S△ABC=15，以AC为边向右侧作一个等腰直角三角形ACD，连结BD，请直接写出△BCD的面积。 　　 图1 图2 　　 图3 图4 学科网（北京）股份有限公司 $