精品解析：河南省漯河市郾城区2025-2026学年度下学期期末学业质量检测八年级数学

2025~2026学年度下学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共三个大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 下列曲线中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，结果错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于一次函数的图象和性质，下列叙述不正确的是（ ） A. 与轴交于点 B. 函数图象不经过第二象限 C. 当时 D. 随的增大而增大 7. 2026年3月是第12个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为（ ）分． A. 12 B. 9 C. 8 D. 10 8. 如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，对角线．且，，点，分别是边，的中点，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 2 10. 如图1，在中，，点从点出发沿运动到点时停止，过点作，交直角边（或）于点，设点运动的路程为，的面积为，与之间的函数关系图象如图2所示，当时，线段的长为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 12. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 13. 一组从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的第一四分位数为________． 14. 如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点．若点表示的实数是3，则点表示的实数是________． 15. 如图，在矩形中，，点为射线上一动点，连接，将沿着翻折得到对应，若点落在射线上，则的值为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各名司机月收入情况：（单位：千元）甲公司司机：4，5，9，10，4，5，5，5，4，9．乙公司司机：4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．整理数据，画出统计表和统计图如下： 甲公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数 3 4 2 1 乙公司网约车司机收入分布统计图 根据以上信息，分析数据如下表： 网约车公司 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 甲公司 6 5 5 乙公司 6 6 （1）请求出的值． （2）______，______，圆心角______． （3）林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数、众数和方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并给他的叔叔提供建议． 18. 在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，D到M的路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条路．测得千米，千米，千米． （1）是不是从村庄D到公路的最近路？请通过计算加以说明； （2）新路比原路短多少千米？ 19. 如图，在四边形中，为对角线，． （1）用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接AE．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，小米在证明（1）中得到的四边形是平行四边形时，考虑先用等边对等角与等量代换，得到一组角相等，进而证明两三角形全等，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形．请根据小米的证明思路写出证明过程． 20. 如图，已知直线与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． （1）求点A，B，C的坐标； （2）观察图象，直接写出直线在直线上方时对应的自变量取值范围； （3）若点是直线上的一个动点，且满足，求点P坐标． 21. 某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地，在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． （1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元？ （2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案，并求出最少费用． 22. 如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是，求的长． 23. 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师以正方形为背景设计的问题，请你解答． （1）观察发现 如图1，将正方形折叠，使点A的对应点．落在边上，折痕分别与，交于点E，F，则折痕和的数量和位置关系分别是_______． （2）类比探究 在（1）的条件下，设与交于点O，连接交于点G，如图2，求证：． （3）拓展应用 如图3，正方形的边长为，点M是边上的一动点，点N是边上的一点，且，连接，将正方形沿折叠，使点A，D分别落在点P，Q处，当点Q落在直线上时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度下学期期末学业质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，共三个大题，23小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如果在实数范围内有意义，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件为被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：由二次根式在实数范围内有意义的条件可得， 移项得， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得． 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：最简二次根式需要同时满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；对各选项逐一判断： A. ，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； B. ，被开方数含分母，不是最简二次根式； C. ，被开方数含分母，不是最简二次根式； D. ，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 3. 以下列各组线段为边，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合要求； B、，能构成直角三角形，符合要求； C、，不能构成直角三角形，不符合要求； D、，不满足三角形三边关系，且，不能构成直角三角形，不符合要求． 4. 下列曲线中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据函数的定义可知：对于自变量x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值， ∴符合y是x的函数只有B选项． 5. 下列计算中，结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对选项A和B进行判断，根据二次根式的除法法则对选项C进行判断，根据二次根式的性质对选项D进行判断，最后得出答案即可． 【详解】解∶ A．与不能合并，所以A选项的计算错误； B．，所以B选项的计算正确； C．=，所以C选项的计算正确； D．，所以D选项的计算正确； 故选∶A． 【点睛】本题考查了二次根式的计算∶先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，最后合并同类二次根式．熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 6. 关于一次函数的图象和性质，下列叙述不正确的是（ ） A. 与轴交于点 B. 函数图象不经过第二象限 C. 当时 D. 随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的交点求法、增减性、图象与系数的关系，逐项判断即可找出错误选项． 【详解】解：令，得，解得，故一次函数与轴交于点，A正确； ，，函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限，故B正确； ，当时，，，例如满足，此时，故C错误； ，随的增大而增大，故D正确． 7. 2026年3月是第12个全国近视防控宣传教育月，其主题是“有效减少近视发生，共同守护光明未来”．某校组织各班围绕这个主题开展板报宣传活动，并对各班的宣传板报进行评分，得分情况如图，则得分的众数为（ ）分． A. 12 B. 9 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据众数的定义可知：得分的众数为9分． 8. 如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先证明，利用四边形内角和求出，进而可求出的度数． 本题考查了正方形的性质，等边对等角，多边形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，在四边形中，对角线．且，，点，分别是边，的中点，则的长度是（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位线的性质，勾股定理；取的中点，连接，．根据中位线的性质可得,，，得到，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接，． ，分别是边，的中点， ，分别是，的中位线， ，且， ，且． 又， ， ． 故选：C． 10. 如图1，在中，，点从点出发沿运动到点时停止，过点作，交直角边（或）于点，设点运动的路程为，的面积为，与之间的函数关系图象如图2所示，当时，线段的长为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，当点N在上时，通过解直角三角形得到，当N与点C重合时，的面积最大，由图象可得此时， 可求出解得，过点C作于点D，则，当时，，点M在上，通过解直角三角形与线段的和差即可求出． 【详解】解：由题意得，当点N在上时， ∵，， ∴在中，， ∴， 当N与点C重合时，的面积最大，由图象可得此时， 解得（负值舍去）， 过点C作于点D，如图，当点N与点C重合时，点D与点M重合， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ， ∵当时，， ∴点M在上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 13. 一组从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的第一四分位数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定数据总个数，再根据第一四分位数的计算方法计算即可． 【详解】解：法一：由题意可知，这组数据已按从小到大的顺序排列，数据总个数， ∵计算得，结果为整数， ∴第一四分位数为第个数据与第个数据的平均值， ∵这组数据中第个数据为，第个数据为， ∴第一四分位数为； 法二：由题意可知，这组数据已按从小到大的顺序排列，数据总个数， ∴第一四分位数为前6个数据的中位数， ∵这组数据中第个数据为，第个数据为， ∴第一四分位数为． 14. 如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点．若点表示的实数是3，则点表示的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点C作交于点D，首先求出，勾股定理得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点C作交于点D ∵菱形的边长为2，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点表示的实数是3 ∴点表示的实数是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，实数与数轴，解题的关键是掌握以上知识点． 15. 如图，在矩形中，，点为射线上一动点，连接，将沿着翻折得到对应，若点落在射线上，则的值为______． 【答案】或10 【解析】 【分析】利用翻折的性质，得到，，，将求转化为求．在中，因为已知和的长度，所以可根据勾股定理求出的长度，进而得到的长度．设，用含的式子表示的长度，在中，根据勾股定理列方程求解．考虑点在射线上的两种位置：在线段上、在的延长线上，分别按上述步骤计算． 【详解】解：根据翻折的性质，， ∴ ，， 设 ，矩形中 ，， 分两种情况讨论： 点落在线段上（在边上）  在中，由勾股定理得： ， ∴ ，． 在中，由勾股定理： ， 即 ， 解得 ． 点落在的延长线上（在的延长线上） ， 同理可得 ， 此时 ，． 在中，由勾股定理： ， 即 ， 解得 。 综上，的值为​或． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 近年来，网约车给人们的出行带来了便利，林林和数学兴趣小组的同学对甲、乙两家网约车公司司机月收入进行了一项抽样调查，收集了两家公司各名司机月收入情况：（单位：千元）甲公司司机：4，5，9，10，4，5，5，5，4，9．乙公司司机：4，5，7，8，6，7，6，5，6，6．整理数据，画出统计表和统计图如下： 甲公司网约车司机收入频数分布表 月收入 4千元 5千元 9千元 10千元 人数 3 4 2 1 乙公司网约车司机收入分布统计图 根据以上信息，分析数据如下表： 网约车公司 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差/千元 甲公司 6 5 5 乙公司 6 6 （1）请求出的值． （2）______，______，圆心角______． （3）林林的叔叔决定从两家公司中选择一家做网约车司机，如果你是林林，请从平均数、中位数、众数和方差这几个统计量中选择两个统计量进行分析，并给他的叔叔提供建议． 【答案】（1）； （2），，； （3）因为两家公司司机的月收入平均数一样，乙公司的中位数、众数大于甲公司，且乙公司司机月收入的方差小，收入更稳定，所以建议他的叔叔去乙公司做网约车司机．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了统计图，平均数、中位数、众数，读懂题意，获取信息是解题的关键． （）根据算术平均数的计算公式可得的值； （）根据中位数的定义可得的值，用平均月收入千元总数即可求出的值，由用乘平均月收入千元所占比可得圆心角的度数； （）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：甲公司网约车司机收入从小到大排序后，中位数排在第，个司机的平均数， ∴（千元）， 乙公司网约车司机收入千元所占比， ， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解：因为两家公司司机的月收入平均数一样，乙公司的中位数、众数大于甲公司，且乙公司司机月收入的方差小，收入更稳定， 所以建议他的叔叔去乙公司做网约车司机．（答案不唯一） 18. 在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，D到M的路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条路．测得千米，千米，千米． （1）是不是从村庄D到公路的最近路？请通过计算加以说明； （2）新路比原路短多少千米？ 【答案】（1）是，理由如下： ，， ， 为直角三角形，即， ， ∴是D到公路的最近路． （2）新路比原路短1千米 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理及点到直线垂线段最短进行求解即可； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设千米，则千米． 在中，， ， 解得， ， ， （千米）； 答：新路比原路短1千米． 19. 如图，在四边形中，为对角线，． （1）用无刻度直尺和圆规在线段上求作一点E，使得，连接AE．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，小米在证明（1）中得到的四边形是平行四边形时，考虑先用等边对等角与等量代换，得到一组角相等，进而证明两三角形全等，再利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，得到四边形是平行四边形．请根据小米的证明思路写出证明过程． 【答案】（1） 如图，点E即为所求作． （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形AECD是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点即可； （2）证明，推出，，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，已知直线与直线交于点A，且直线分别与x轴，y轴交于点C，点B． （1）求点A，B，C的坐标； （2）观察图象，直接写出直线在直线上方时对应的自变量取值范围； （3）若点是直线上的一个动点，且满足，求点P坐标． 【答案】（1），， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）联立可得点A的坐标，分别令，可得B，C的坐标，进而问题可求解； （2）根据图象及（1）可直接进行求解； （3）设点P为，由题意易得，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：联立，解得， ， 在中，令，则， ， 令，则，解得：， ； 【小问2详解】 解：由图象可知：直线在直线上方时对应的自变量取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P为， ，， ，， ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，， 当时，， 或， 综上所述：点P的坐标为或． 21. 某中学为加强新时代中学生劳动教育，开辟了劳动教育实践基地，在基地建设过程中，需要采购煎蛋器和三明治机．经过调查，购买2台煎蛋器和1台三明治机需240元，购买1台煎蛋器和3台三明治机需395元． （1）求煎蛋器和三明治机每台价格各是多少元？ （2）学校准备采购这两种机器共50台，其中要求三明治机的台数不少于煎蛋器台数的一半，请你给出最节省费用的购买方案，并求出最少费用． 【答案】（1）煎蛋器每台价格65元，三明治机每台价格110元 （2）最节省费用的购买方案为：购买33台煎蛋器，17台三明治机，最少费用4015元 【解析】 【分析】（1）设煎蛋器每台价格x元，三明治机每台价格y元．由题意得：，然后进行求解即可； （2）设购买m台煎蛋器，则购买台三明治机，设所需总费用为W元．由题意得：，，然后根据一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设煎蛋器每台价格x元，三明治机每台价格y元．由题意得： ，解得； 答：煎蛋器每台价格65元，三明治机每台价格110元． 【小问2详解】 解：设购买m台煎蛋器，则购买台三明治机，设所需总费用为W元．由题意得： ， 解得：， ， ， 随m的增大而减小． 又，且m为正整数． 当时，W取最小值，此时， ； 答：最节省费用的购买方案为：购买33台煎蛋器，17台三明治机，最少费用4015元． 22. 如图，E，F是正方形的对角线上的两点，，，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接交于点O， 四边形为正方形， ，，， ， ，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点O，由题意易得，，，然后可得，进而根据菱形的判定定理进行求证即可； （2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ， 四边形为正方形． ， 在中，， ． 23. 王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师以正方形为背景设计的问题，请你解答． （1）观察发现 如图1，将正方形折叠，使点A的对应点．落在边上，折痕分别与，交于点E，F，则折痕和的数量和位置关系分别是_______． （2）类比探究 在（1）的条件下，设与交于点O，连接交于点G，如图2，求证：． （3）拓展应用 如图3，正方形的边长为，点M是边上的一动点，点N是边上的一点，且，连接，将正方形沿折叠，使点A，D分别落在点P，Q处，当点Q落在直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）1或4 【解析】 【分析】（1）过点F作于点H，设与交于点K．则四边形是矩形，由矩形的性质可得，再结合正方形的性质得出，由线段垂直平分线的性质可得，再证明，即可得出结果； （2）连接，，．先证明，得出，，结合线段垂直平分线的性质得出，求出，再结合得出，从而得出，即可得证； （3）连接，设，求出，，，分两种情况讨论：①当点Q在线段上时；②当点Q在的延长线上时，分别结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图1，过点F作于点H，设与交于点K． ， 四边形是矩形， ． 四边形是正方形， ， ． EF垂直平分， ， ． 又， ． 又， ， ． 【小问2详解】 证明：如图2，连接，，． ，，， ， ，． ∵垂直平分， ， ， ， ． 又， ， 在四边形中，． ， ． 又∵， ， ． 又， ． 【小问3详解】 解：连接，设． ，， ，， ． 分两种情况讨论． ①当点Q在线段上时，如图3． 在中，， ， 在中，， 又在中，， ， ． ②当点Q在的延长线上时，如图4． 在中，， ， 在中，． 又在中，， ， ． 综上所述，线段的长为1或4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $