4.2方差 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

这是一份初中数学期末复习课件，共27页，围绕“方差”展开。从已学的集中趋势量导入，依次讲解离差平方和与方差的概念、公式及意义，通过射击训练等实例探究数据离散程度，结合例题与练习巩固，助力期末复习。 资料以问题链驱动探究，通过“如何刻画数据离散程度”引导学生用数学眼光观察，对比差之和、绝对值之和与平方和培养推理意识，结合射击成绩比较、麦穗长计算等实例发展数据意识。创新采用探究式学习，从概念到应用层层递进，帮助学生理解方差本质，提升数据分析能力，也为教师提供完整教学支架，便于高效教学。

4.2 方差 第4章 数据分析 导入新课 我们前面学习了哪些量能反映一组数据的集中趋势？ 众数 平均数（算术平均数）： x = (x1+ x2 + x3+… + xn) n 1 x1w1 + x2w2 +…+ xnwn 加权平均数： 中位数 在数据分析中还有其他情况出现：如：数据与其平均数的偏离程度。 今天，我们一起来学习 ——方差。 知1－讲 知识点 离差平方和与方差 1 1. 离差平方和：设一组数据为x1，x2，x3，…，xn，各个数据与平均数x之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作S2，即S2=(x1-x)2+(x2- x)2+… +(xn-x)2. 2. 方差：设一组数据为x1，x2，…，xn，各个数据与平均数x之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作s2，即s2=［(x1- x)2+(x2- x)2+… +(xn- x)2］. s2= 感悟新知 3. 方差的意义：方差刻画了一组数据与其平均数的平均离散程度.一组数据的方差越小，表明这组数据的离散程度越小，这组数据也就越稳定. 在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制. 知1－讲 感悟新知 4.两组相关数据的方差的关系： 知1－讲 数据 方差 x1，x2，x3，x4，…，x n s2 x1+a，x2+a，…，xn+a s2 kx1，kx2，kx3，kx4，…，kxn k2s2 kx1+a，kx2+a，…，kxn+a k2s2 新知探究 思 考 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. （1）两人的平均成绩分别是多少？ (1)刘亮成绩的平均数是 7+8+8+9+7+8+8+9+7+9 10 =8； 李飞成绩的平均数是 6+8+7+7+8+9+10+7+9+9 10 =8. 即两人的平均成绩相同. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 刘亮和李飞参加射击训练的成绩（单位：环）如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 将刘亮和李飞的射击成绩分别描在统计图中。 新知探究 观察统计图，你发现了什么？ 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 刘亮的射击成绩 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 射击次数 射击成绩/环 6 8 7 10 9 李飞的射击成绩 新知探究 刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近. 李飞的射击成绩与其平均成绩8的偏离程度较大. 一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？ 探究 归纳总结 分析：设一组数据为 x1，x2，···，xn ，则这组数据的各个数据与平均数的偏差之和 为(x1－ )＋(x2－ )＋ ··· ＋(x2－ )＝0. 这时由于出现了正负偏差抵消的情况，因而无法用各个数据与平均数的偏差之和来刻画这组数据的离散程度. 为解决这一问题，可以用各个数据与 的差的绝对值之和，或者利用各个数据与 的差的平方和来刻画这组数据的离散程度. 知1－练 感悟新知 [母题 教材P142练习T1]今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10 株小麦，测得其麦穗长(单位：cm))分别为8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，求这一组数据的离差平方和与方差. 例1 解题秘方：紧扣离差平方和与方差的计算公式进行计算. 知1－练 感悟新知 解：这组数据的平均数为=8， 离差平方和S2=(8-8)2×4+(6-8)2+(7-8)2×2+(9-8)2×2+(10- 8)2=12，方差s2=×12=1.2. 新知探究 探 究 如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？ 以小组为单位，小组合作完成 问题1：用各个数据与平均数的差之和能不能刻画这组数据的离散程度？ 问题2：用各个数据与平均数的差的绝对值之和能不能刻画这组数据的离散程度？ 问题3： 用各个数据与平均数的差的平方和能不能刻画这组数据的离散程度？ 不能刻画数据的离散程度. 能刻画数据的离散程度.和越大，离散程度就越大 能刻画数据的离散程度.和越大，离散程度就越大 以下列两组数据为例： （1）4，5，6，7，8；（2）3，6，6，6，9. 有两组数据：（1）4，5，6，7，8；（2）3，6，6，6，9. 对于（1）， =6，则这组数据与的差的绝对值之和： | 4－6 |+| 5－6 |+| 6－6 |+| 7－6 |+| 8－6 |=6 这组数据与的差的平方和： (4－6)2+(5－6)2+(6－6)2+(7－6)2+(8－6)2=10 对于（2）， =6，则这组数据与的差的绝对值之和： | 3－6 |+| 6－6 |+| 6－6 |+| 6－6 |+| 9－6 |=6 这组数据与的差的平方和： (3－6)2+(6－6)2+(6－6)2+(6－6)2+(9－6)2=18 可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度. 新知探究 例如，有两组数据： (1) 4，5，6，7，8； (2) 3，6，6，6，9. | 4 - 6 | + | 5 - 6 | + | 6 - 6 | + | 7 - 6 | + | 8 - 6 | = 6， (4 - 6)² + (5 - 6)² + (6 - 6)² + (7 - 6)² + (8 - 6)² = 10. 对于 (1) ，这组数据的平均数 为 6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与 的差的平方和分别为 | 3 - 6 | + | 6 - 6 | + | 6 - 6 | + | 6 - 6 | + | 9 - 6 | = 6， (3 - 6)² + (6 - 6)² + (6 - 6)² + (6 - 6)² + (9 - 6)² = 18. (2) 3，6，6，6，9. 对于(2)，这组数据的平均数 为 6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与元的差的平方和分别为 由此受到启发，我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度. 知1－练 感悟新知 母题 教材P142练习T2 某射击队欲从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了8 次测试，测试成绩(单位：环)如下表： 例2 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 甲 10 8 9 8 10 9 10 8 乙 10 7 10 10 9 8 8 10 知1－练 感悟新知 根据两人的成绩，应该推荐谁参加全国比赛？ 解题秘方：紧扣方差的计算公式及方差的意义解答. 解：甲运动的平均成绩是x甲=(10+8+9+8+10+9+10+ 8)=9(环).甲运动员成绩的离差平方和S2甲=(10-9)2+(8-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(10-9)2 +(9-9)2+(10-9)2+(8-9)2=6，于是方差s2甲==0.75. 知1－练 感悟新知 乙运动员的平均成绩是x乙=(10+7+10+10+9+8+8+ 10)=9(环).乙运动员成绩的离差平方和S2乙=(10-9)2+(7-9)2+(10-9)2+(10-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(8-9)2+(10-9)2=10，于是方差s2乙==1.25.因为x甲= x乙，且s2甲<s2乙，所以应该推荐甲运动员参加全国比赛. 新知探究 总结归纳 离差平方和的概念： 设一组数据为 x1，x2，…，xn，各个数据与平均数　 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作 S2。 求离差平方和的公式： 离差平方和的意义： 离差平方和 S² 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. 如何刻画一组数据与其平均数的平均离散程度呢？ 方差 新知探究 总结归纳 方差的概念： 求方差的公式： 方差的意义： 设一组数据为 x1， x2，…， xn，各个数据与平均数 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 s2. s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]. x x x n 1 s2 = 方差反映了一组数据的离散程度或波动大小。 方差越小，说明数据越集中，数据离散或波动的程度就越小； 方差越大，说明数据越分散，数据离散或波动的程度也就越大。 1. 离差平方和的概念： 设一组数据为 x1，x2，…，xn，各个数据与平均数　 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作 S2. 即 知识要点 离差平方和 S2 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. ① 2. 方差的概念 为了刻画一组数据与其平均数 的平均离散程度，引入下述概念： 由①式和②式得， 设一组数据为 x1，x2，…，xn，各个数据与平均数　 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 S2. 即 ② 2. 方差的意义 方差可用来衡量一组数据的离散程度或波动大小(即这组数据偏离平均数的大小). 方差越大，表明数据的离散程度越大，数据的波动越大，这组数据越不稳定； 方差越小，表明数据的离散程度越小，数据的波动越小，也就越稳定． 知识要点 离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制。 新知探究 总结归纳 求方差的公式： s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]. x x x n 1 s2 = 知1－练 感悟新知 解法提醒 先看平均数，在平均数相同或相近的情况下，再分析稳定性，而方差是反映数据离散程度的量，因此可以通过比较方差的大小解决问题. 方差 方差的统计学意义(判断数据的波动大小)： 方差越大（小），数据的波动越大（小） 公式： $