4.2 方差 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦方差的概念、计算及应用，通过刘亮和李飞射击成绩案例导入，先计算平均数发现相同，再用图表展示数据波动差异，引导学生从偏差之和到平方和探究刻画离散程度的方法，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以现实情境案例培养数学眼光，通过偏差处理的逻辑推理发展数学思维，用方差公式和数据解释稳定性问题体现数学语言。例题和练习题结合实际，帮助学生理解方差意义，教师可借助清晰流程提升教学效率。

湘教版·八年级下册 第4章 数据的分析 4.2 方 差 学习目标 1.理解方差的概念及统计学意义； 2.会计算一组数据的方差； (重点) 3.能够运用方差判断数据的波动程度，并解决简单的实际问题.（难点） 刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. (1) 两人的平均成绩分别是多少？ (1) 刘亮成绩的平均数是 李飞成绩的平均数是 即两人的平均成绩相同. 【思考】 (2) 为了直观地看出这两组数据与其平构数的偏离程度，可以用图来表示数据的分布情况. 由上面两幅图可以发现，刘亮的射击成绩大多集中在平均成绩8环附近，而李飞的射击成绩与其平均成绩的偏离程度较大. 一组数据中的各数据与这组数据的平均数的偏离程度是数据的一个重要特征，它反映了一组数据的离散程度或波动大小. 如何找到一个数来刻画一组数据的离散程度呢？ 探究 归纳总结 分析：设一组数据为 x1，x2，···，xn ，则这组数据的各个数据与平均数的偏差之和 为(x1－ )＋(x2－ )＋ ··· ＋(x2－ )＝0. 这时由于出现了正负偏差抵消的情况，因而无法用各个数据与平均数的偏差之和来刻画这组数据的离散程度. 为解决这一问题，可以用各个数据与 的差的绝对值之和，或者利用各个数据与 的差的平方和来刻画这组数据的离散程度. 例如，有两组数据： (1) 4，5，6，7，8； (2) 3，6，6，6，9. | 4 - 6 | + | 5 - 6 | + | 6 - 6 | + | 7 - 6 | + | 8 - 6 | = 6， (4 - 6)² + (5 - 6)² + (6 - 6)² + (7 - 6)² + (8 - 6)² = 10. 对于 (1) ，这组数据的平均数 为 6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与 的差的平方和分别为 | 3 - 6 | + | 6 - 6 | + | 6 - 6 | + | 6 - 6 | + | 9 - 6 | = 6， (3 - 6)² + (6 - 6)² + (6 - 6)² + (6 - 6)² + (9 - 6)² = 18. (2) 3，6，6，6，9. 对于(2)，这组数据的平均数 为 6，则这组数据与 的差的绝对值之和、这组数据与元的差的平方和分别为 由此受到启发，我们可以用各个数据与平均数的差的平方和来刻画数据的离散程度. 1. 离差平方和的概念： 设一组数据为 x1，x2，…，xn，各个数据与平均数　 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作 S2. 即 知识要点 离差平方和 S2 刻画了一组数据与其平均数 的总离散程度. ① 2. 方差的概念 为了刻画一组数据与其平均数 的平均离散程度，引入下述概念： 由①式和②式得， 设一组数据为 x1，x2，…，xn，各个数据与平均数　 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 S2. 即 ② 2. 方差的意义 方差可用来衡量一组数据的离散程度或波动大小(即这组数据偏离平均数的大小). 方差越大，表明数据的离散程度越大，数据的波动越大，这组数据越不稳定； 方差越小，表明数据的离散程度越小，数据的波动越小，也就越稳定． 知识要点 离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制。 例1 分别计算本节“思考”栏目中，刘亮和李飞的射击成绩的离差平方和与方差，并判断谁的射击成绩更稳定. 刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 解：由前面的计算可知，刘亮和李飞的射击平均成绩均为8环， = (7 - 8)² + (8 - 8)² + (8 - 8)² + (9 - 8)² + (7 - 8)² + (8 - 8)² + (8 - 8)² + (9 - 8)² + (7 - 8)² + (9 - 8)² = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6， 刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 从而刘亮的射击成绩的离差平方和是 解：由前面的计算可知，刘亮和李飞的射击平均成绩均为8环， 刘亮和李飞参加射击训练的成绩(单位：环)如下： 刘亮：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9； 李飞：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9. 李飞的射击成绩的离差平方和是 = (6 - 8)² + (8 - 8)² + (7 - 8)² + (7 - 8)² + (8 - 8)² + (9 - 8)² + (10 - 8)² + (7 - 8)² + (9 - 8)² + (9 - 8)² = 4 + 1 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 + 1 = 14， 计算结果表明， ， 因此，刘亮的射击成绩比李飞稳定. 例2 有两个女生小合唱队，各由 5 名队员组成，她们的身高（单位：cm）为：甲队：160，162，159，160，159； 乙队：169，165，157，150，164. 试判断哪队队员身高比较整齐， 甲队队员身高的离差平方和是 = (160 - 160)² + (162 - 160)²+ (159 - 160)² + (160 - 160)²+(159 - 160)² = 6. 解 甲队队员的平均身高是 甲 = ( 160 + 162 + 159 + 160 + 159) = 160 (cm). 乙队队员的平均身高是 乙队队员身高的离差平方和是 = (160 - 160)² + (162 - 160)² + (159 - 160)² + (160 - 160)² + (159 - 160)² = 226. 乙 = (169 + 165 + 157 + 150 + 164) = 161 (cm). 计算结果表明， ，因此，甲队队员的身高比较整齐. 知识要点 在计算一组数据 x1，x2，…，xn，的离差平方和 S2 时，除了可利用①式外，还可以利用下述公式： 又方差 ① 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3 的 平均数为 ，方差为 ； ② 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3 的 平均数为 ，方差为 . 若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为 ，方差为 s2，则 x + 3 x - 3 x s2 s2 知识拓展 ③ 数据 x1±b，x2±b，…，xn±b 的平均数为 ， 方差为 ； ④ 数据 3x1，3x2，3x3，…，3xn 的平均数为 ，方差为 ； 9s2 ±b x s2 ⑤ 数据 ax1，ax2，…，axn 的平均数为 ，方差为 ； ax a2s2 ⑥ 数据 2x1-3，2x2-3，2x3-3，…，2xn-3 的平均数为 ，方差为 . -3 2x 4s2 1. 样本方差的作用是（ ） A. 表示总体的平均水平 B. 表示样本的平均水平 C. 准确表示总体的波动大小 D. 表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小 D 2. 人数相同的八年级（1）（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ， ， ， 则成绩较为稳定的班级是（ ） A. 甲班 B. 乙班 C. 两班成绩一样稳定 D. 无法确定 B 方差 方差的统计学意义(判断数据的波动大小)： 方差越大（小），数据的波动越大（小） 公式： $