1.1.1空间向量的概念及线性运算课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念、线性运算及共线共面定理，通过滑翔伞运动受力场景引入，类比平面向量知识，搭建从平面到空间的认知支架，帮助学生实现知识迁移。 其亮点在于以类比探究与问题链引导教学，通过平面与空间向量概念、运算的对比，培养数学思维的迁移能力，结合平行六面体等模型的例题与练习，用数学语言表达空间关系，提升学生空间观念与推理意识，教师可依托清晰结构高效开展教学。

1.1.1 空间向量 及其线性运算 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 书2引入 章前图展示的是一个桌滑翔伞运动的场景，可以想象，在滑翔过程中飞行员会受到来自不同方向，大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？下面我们来类比平面向量研究空间向量，先从空间向量的概念和表示开始。 平面向量的概念 空间向量的概念 问题1 类比平面向量给出空间向量的概念？ 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模， 记作 或 ||. 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模， 记作 或||. 授新 一、 空间向量的相关概念 3 平面向量的表示法 空间向量的表示法 (1)有向线段 (1)有向线段 A (起点) B (终点) a (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y) (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y，z) a c b 印刷体： a 手写体： 追问1 你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？ 印刷体： a 手写体： 4 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 零向量： 单位向量： 相等向量： 相反向量： 追问2 从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念. 你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？ 模为 0 的向量，记作 ；零向量的方向任意； 模为 1 的向量； 模和方向都相同的两个向量，记作 ＝； 模相同，方向相反的两个向量，记作＝－ ； 5 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 追问2 从平面向量的概念出发，你能把这些概念推广到空间向量中吗？ 共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 ∥； 规定，零向量和任意向量共线. 共线向量：若表示空间向量的 有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 ∥； 规定，零向量和任意向量共线. 6 例1 (1)(多选)下列关于空间向量的命题中，不正确的是(　　) A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若a≠b，则|a|≠|b| D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 答案： BCD　 返回导航 7 解析：对于A，由相等向量的定义知A正确；对于B，平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错误；对于C，若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错误；对于D，相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错误． 返回导航 8 (2)如图所示，在平行六面体ABCD - A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有______________；与向量相反的向量有 ___________________．(要求写出所有适合条件的向量) 解析：根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，与向量相反的向量有. 返回导航 9 学霸笔记：空间向量的概念与平面向量的概念类似，平面向量的其他概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 返回导航 10 跟踪训练1　(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有 C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．任一向量与它的相反向量不相等 答案：BC 返回导航 11 解析：A项为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A项中向量a，b的方向不一定相同；B项为真命题，与的方向相同，模也相等，故；C项为真命题，由于空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，且向量的相等满足传递性，故m＝p；D项为假命题，零向量的相反向量仍是零向量． 返回导航 12 因此 空间向量是自由的，对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使他们的起点重合。因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面。 也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量。 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 a b . O α 授新 二、 空间向量的线性运算 14 平面向量、空间向量的线性运算 法则：三角形和平行四边形法则； b (1) (2) 1.加法： 2.减法： 数学中，引进一种量后，一个很自然的问题就是研究他们的运算。由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算。由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘的运算。 15 平面向量、空间向量的线性运算 3.数乘运算：实数λ与平面向量的积是一个向量，记作λ，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝. 16 平面向量、空间向量的线性运算及运算律 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律 （其中）： 交换律： 结合律： 分配律： 17 a c b 在平行六面体 ABCD－A'B'C'D'中，记 则 所以有：. 追问3 如何证明空间向量的加法结合律呢？ 18 一般地，对于三个不共面的向量 ，，，以任意点 O为起点，，为邻边作平行六面体，则++等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. a c b 授新 19 练习 书本P5 A C D B C′ D′ B′ A′ • E • F 20 练习 书本P5 A C D B C′ D′ B′ A′ 21 练习 书本P5 C D B F E A 4.如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量. = 22 练习 书本P5 5.如图，已知正方体ABCD−A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x，y的值. B D C A′ B′ C′ D′ A E • • F 23 例2 已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1). (2). 返回导航 24 例2　解析：(1)， 设P是线段CC′的中点，则， 向量如图所示． 返回导航 25 (2)＝， 设Q是线段A′C′的中点， 则， 向量如图所示． 返回导航 26 题后师说 空间向量线性运算的3个技巧 返回导航 27 问题3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？ 授新 追问1 对任意两个空间向量，如果，与 有什么位置关系？反过来，，有什么位置关系时，? 平面向量共线定理 空间向量共线定理 对任意两个平面向量，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ， 使＝λ . 对任意两个空间向量 ，(≠)， ∥的充要条件是存在实数λ， 使＝λ . 三、 向量共线定理 28 授新 向量共线定理 题型：判断向量共线或三点共线 推论：若三点共线，为直线外一点，， 则__. 1 对任意两个空间向量 ，(≠)，∥的充要条件是 存在实数λ，使＝λ . 29 授新 四、 直线的方向向量 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量， 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量. 这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得. • • 说明： (1) 直线的方向向量一定是非零向量； (2) 一条直线的所有方向向量都互相平行. 30 例1 如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1中，E在A1D1上，且 ，F在对角线A1C上，且，求证：E，F，B三点共线. 返回导航 31 证明：设＝c. ∵，∴， ∴(＝＋－)＝． ∴，又－c，∴，∴E，F，B三点共线． 返回导航 32 题后师说 证明空间三点共线的三种思路 返回导航 33 授新 五、 共面向量 向量平行于直线： 如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线. 向量平行于平面： 如果直线平行于平面或在平面内， 那么称向量平行于平面. 共面向量： 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 追问1：共面向量所在直线是何位置关系？ 平行、重合、相交或异面 34 追问2 任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？ 任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面. a b . O α c p 如何判断三个向量是否共面呢？ 35 追问3 你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ a b . O α p ＝x+y a b . O α p 若 在α内，则有 ＝x +y； p 若 ＝x +y，则在α内. 36 平面向量基本定理 空间向量共面的充要条件 若向量，是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得： ＝ +y. 两个向量，不共线，那么向量 与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得： ＝x+y. A B C 37 授新 向量共面定理 题型：判断三向量共面或四点共面 推论：对于不共线的三点A,B,C和面ABC外一点O， 空间一点P在平面ABC内的充要条件是 +，且__. 1 对空间任意两个不共线的向量，，向量 与向量 共面充要条件是存在唯一的有序数对(x，y)，使 =x+y. A B P C O 38 总结 A，B，P三点共线的充要条件是什么？ P与A,B,C 共面 P与A,B 共线 P与A，B，C四点共面的充要条件是什么？ 39 例1 如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA ，OB ，OC ，OD，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H，使 . 求证： E ，F ，G ，H 四点共面. 例题 40 追问1 如何证明E ，F ，G ，H 四点共面？ 追问2 如何证明这三个向量共面？ 根据向量共面的充要条件，用 表示 即可. 可以通过证明 这四点构成的三个向量，如 共面，来证明这四点共面. 四点共面→有公共起点的三个向量共面 41 证明:因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 . 因此， 因此， 共面，即 四点共面. 因为 ，所以 42 选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是用向量解决立体几何问题的常用方法. 总结 证明空间三向量共面或四点共面的三种思路 43 跟踪训练2　如图，在四面体PABC中，点M，N分别为PA，PB的中点，问：与是否共面？ 解析：∵，且M，N分别为PA，PB的中点，∴＝＝＝＝，因此，与共面． 返回导航 44 (1) 空间向量的概念： 定义；表示法；相关概念. (2) 空间向量的线性运算： 加、减、数乘运算及其运算律. (3) 线性运算的应用： 直线的方向向量；向量共面. 类比 猜想 证明或转化 推广 总结 1 空间向量及线性运算 2 类比平面向量的研究方法 45 【导练】—— 举一反三·随堂落实 1．设空间四点O，A，B，P满足，其中m＋n＝1，则(　　) A．点P一定在直线AB上 B．点P一定不在直线AB上 C．点P不一定在直线AB上 D．以上答案都不对 答案：A 解析：∵m＋n＝1，∴m＝1－n，而，＝(1－n)，∴＝n，则点P一定在直线AB上，故A正确． 返回导航 46 2．已知a，b，c不共面，e＝3a－tb－c，d＝－2ta＋6b＋2c，若e与d共线，则实数t的值为(　　) A．－3　　 B．1　　 C．3　　 D．－3或3 答案：C 解析：e＝3a－tb－c，d＝－2ta＋6b＋2c，若e与d共线，则有e＝λd，即解得则t的值为3. 返回导航 47 3．已知空间四面体OABC中，对空间内任一点M，满足，则下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是(　　) A．λ＝ B．λ＝ C．λ＝ D．λ＝ 答案：C 解析：根据空间中四点共面可知＋λ＝1，解得λ＝. 返回导航 48 4．如图，M，N分别是空间四边形ABCD的边AB，CD的中点，则向量与______．(填“共面”或“不共面”) 共面 解析：依题意，－，所以向量与共面． 返回导航 49 (2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得eq \o(OP,\s\up15(→))＝xeq \o(OA,\s\up15(→))＋yeq \o(OB,\s\up15(→))＋zeq \o(OC,\s\up15(→))(其中x＋y＋z＝1)． (3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如eq \o(PA,\s\up15(→))∥eq \o(BC,\s\up15(→)). (1)存在有序实数对(x，y)，使得eq \o(AP,\s\up15(→))＝xeq \o(AB,\s\up15(→))＋yeq \o(AC,\s\up15(→)). $