二次根式化简与运算重点题型归纳 2026年人教版数学八升九暑假专项提升

**基本信息** 聚焦二次根式概念-性质-运算-应用全链条，通过分层题型系统提炼定义辨析、分母有理化等6类解题方法，渗透抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-5题|定义判断法、最简根式特征分析|从二次根式定义生成有意义条件，构建概念认知基础| |性质应用|填空11-14题|同类根式参数法、规律归纳法|由性质推导参数关系，衔接数与式的逻辑关联| |运算技巧|解答17-22题|分母有理化步骤、程序框图计算法|整合化简与运算规则，强化运算能力与符号意识| |综合探究|解答23-25题|材料迁移法、几何建模法|结合规律探究与黄金矩形应用，发展创新意识与几何直观|

暑假专项提升--二次根式化简与运算重点题型归纳 2025-2026学年初中数学人教版（2024）八年级下学期 一、单选题 1．给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 3．若 在实数范围内有意义，则实数的值可以是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 5．下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 9．在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 10．已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．若，则________． 12．若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 13．已知，则代数式的值为________． 14．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： 第2行： 第3行： 第4行： 第5行： …… 请根据上述规律，解答下面的问题： (1)第7行、第2列上的二次根式是_________； (2)我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_________． 15．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 16．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 三、解答题 17．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 18．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 19．已知、为实数，且，求的值． 20．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 21．规定一种新运算：，． (1)计算：______； (2)求的值． 22．计算和化简求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 23．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 24．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： (1)化简：__________； (2)化简： 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽． (3)黄金矩形ABCD的长____________； (4)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论： (5)在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________． 25．阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； (2)利用上面的规律，则__________； (3)写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D D B C D D B A 1．B 根据二次根式的定义即可作出判断．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ③∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 2．C 本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 3．D 本题考查二次根式和分式有意义的条件, 根据被开方数大于0, 分母不等于0求解的范围, 再判断选项即可． 要使在实数范围内有意义，二次根式的被开方数须非负, 且分母不能为0， ， 解得：， 选项中只有满足． 4．D 由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 5．B 根据最简二次根式定义判断即可． 解：，被开方数含有分母，不是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽的因数9，不是最简二次根式， ，分母中含有根号，不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 是最简二次根式， 所以最简二次根式有2个． 6．C 解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 7．D 利用完全平方公式得到，算出的值，即可算出答案． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．D 本题考查二次根式有意义的条件与二次根式的性质，先根据二次根式有意义确定的取值范围，再利用化简原式，最后解方程得到的值． 解：∵二次根式有意义， ∴，即， 根据二次根式性质，化简原式 原等式左边 ∵，∴，∴ ， 原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ， 移项得 ， 两边平方得 ， 解得． 9．B 将二次根式分母有理化并找到规律进行计算即可． 解：由题意可得： ， ， ， ． 10．A ①若，整理得，，得到，结合推出，可判断①错误；若，，则，整理得，，得出可判断②错误；③计算，得出，由，均为正整数，推出，，可判断③错误． 解：①若， 则， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若成立， 解得，与已知，均为正整数矛盾， ∴不正确， ∴①错误； ②若，， 则， ∴， 整理得，， ∴， ∵左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等， ∴不存在满足条件的m，n， ∴②错误； ③， ∵均为正整数，且不是完全平方数， 比较等式两边的有理部分与无理部分可得． 两边平方得． ∵均为正整数， ∴． ∵为正整数，必为45的约数中的完全平方数， ∴，即， 此时，满足为正整数且不是完全平方数的条件． ∵， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴不存在正整数，，，使等式成立， ∴没有符合条件的A，B， ∴③错误． 综上可知，三个说法均错误． 11．2 根据二次根式有意义的条件可得，则可得，再代入计算可得的值，由此即可得． 解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． 12． 由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 13． 先将代数式变形为，再将代入求解即可． 解： ， 当时， 原式 ． 14．(1) (2) （1）观察表格可知，每行有5个二次根式，被开方数为连续正整数，奇数行从左往右是从小到大，偶数行是从右往左是从小到大，计算出第7行，第2列上的二次根式是第32个二次根式，即可解答； （2）计算可得是第406行从左往右第5个二次根式，即可解答． （1）解：根据题意可得：第7行，第2列上的二次根式是第个二次根式， ∴第7行，第2列上的二次根式为； （2）解：∵， ∴是第406行， ∵第406行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第406行第5列，记作． 15．1 先表示出不等式组的解集，根据不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和即可． 解：， 不等式组的解集是：， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得：，即整数，0，1，2，3， ∵关于a的代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴符合条件的所有整数a的值是，0，2， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 16．27 设和的两个小正方形的边长为a，b，则，，根据题意可知，，，即，由完全平方公式求得即可． 解：设和的两个小正方形的边长为a，b，则，， 根据题意可知，，，即， 由得： ， ∴． 17．(1)； (2)． 本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键． （1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式； （2）把已知数据代入求出答案． （1）解：由题意可得： ； （2）解：当时， ， ∴输出的结果是． 18． 由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算． 解：由三边关系定理，得，即， ∴， ∴原式 ． 19． 根据二次根式有意义的条件，可得，，再化简，代入计算即可． 解：由二次根式有意义的条件，得：且， 解得且， 所以， 将代入，得：． 当，时， 原式 ． 20．(1)1或 (2)2或 本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． （1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 21．(1)； (2)． （1）解：； （2）解：． 22．(1) (2)， （1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时， 原式． 23．(1) (2)46或14 （1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先推导出，得到 ∴，继而推导出，求出或，再分别代入求出a的值即可． （1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 24．(1) (2) (3) (4)见解析 (5) （1）仿照题干中的过程进行计算即可； （2）仿照题干中的过程进行计算，然后化简即可； （3）根据黄金矩形定义结合AB=1进行计算即可； （4）根据题意计算出AD的长，从而可得DF，证明DF和EF的比值为即可； （5）在图②中，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，根据三角形AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可． （1）化简：． 故答案为：． （2）解：原式＝ （3）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD的宽， 黄金矩形ABCD的长BC为：． 故答案为：． （4）矩形DCEF是黄金矩形，理由如下： 由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1， 根据黄金矩形的性质可知： ， FD=EC=AD-AF， ， 所以矩形DCEF是黄金矩形； （5） 如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G， ∵AB=EF=1，， ， 在△AED中， ， ， ， 解得， 以点D到线段AE的距离为， 故答案为：． 25．(1)29 (2)2025 (3)，见解析 （1）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （2）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （3）用n表示连续的整数，结合完全平方公式，写出规律再证明即可． （1）解：根据题意，得； （2）解： ； （3）猜想：． 证明： ． 学科网（北京）股份有限公司 $