暑假作业01 二次根式化简与运算（10题型50题）（巩固培优）八年级数学新教材人教版

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 二次根式化简与运算（10题型50题） 【知识点1 二次根式的定义与有意义的条件】 1.二次根式定义 形如 的式子叫做二次根式。 根指数固定为2，通常省略不写； 核心前提：被开方数 必须是非负数，这是二次根式的本质属性。 2.二次根式有意义的条件（定义域） 单一二次根式：被开方数 ； 根式+分式结合：同时满足被开方数≥0且分母≠0； 多个根式相加/相减：每一个二次根式的被开方数都必须≥0。 3.二次根式两大基础性质（根号非负性核心） 性质1：（先开方、再平方，结果等于被开方数） 性质2：（先平方、再开方，结果为的绝对值，是符号易错重灾区） 【知识点2 最简二次根式与同类二次根式（判定类考点）】 1.最简二次根式判定标准（两个条件缺一不可） ① 被开方数不含分母（小数、分数都需化为整数）； ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2.同类二次根式定义与判定 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们为同类二次根式。 判定步骤：先化简 → 再对比被开方数（不可直接用原式判断）。 运算类比：同类二次根式可像整式同类项一样合并。 【知识点3 二次根式的乘法】 1.乘法法则 逆用：（用于根式化简） 2.除法法则 逆用： 【知识点4 二次根式加减基础运算】 1. 运算步骤：一化简、二判断、三合并 ① 将所有根式化为最简二次根式； ② 找出其中的同类二次根式； ③ 合并同类二次根式（根号部分不变，系数相加减）。 2. 运算规则：非同类二次根式不能合并。 【知识点5 基础阶段核心易错点（必规避）】 1.定义域易错 忽略分式型根式中分母不能为0； 多个二次根式共存时，只考虑部分被开方数非负，遗漏其余。 2.符号易错（高频） 混淆 与 ，计算 时直接去掉根号，忘记加绝对值。 3.判定易错 判断同类二次根式、最简二次根式时，不先化简，直接用原式下结论。 4.运算易错 根式加减运算中，强行合并非同类二次根式；乘除运算时忽略被开方数取值范围。 【知识点6 含参数二次根式的取值范围讨论】 1.题型特征：根式中含有字母参数（k、m、x 等），求参数的取值范围。 2.解题思路： 根据“被开方数≥0”列不等式/不等式组； 含多个参数、参数正负不确定时，结合分类讨论分析； 结合分式、零次幂、负整数指数幂等附加限制条件，综合求解定义域。 【知识点7 多重二次根式化简】 1.题型特征：双层、多层嵌套根式（如 型双重根式）。 2.化简思路： 观察被开方数结构，逆向运用完全平方公式变形； 多层根式遵循由内向外逐层化简原则，每一步都保证根式有意义。 【知识点8 二次根式混合运算 & 简便算法】 1. 运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 2. 简便运算技巧（培优常用）： 灵活运用乘法交换律、结合律、分配律； 优先使用平方差公式、完全平方公式凑整、消去根号，简化计算； 复杂分式根式优先整体约分，再进行分母有理化。 【知识点9 根式、绝对值、平方数综合化简】 1.核心依据：三大非负数性质 、、（平方、绝对值、二次根式结果均为非负数）。 2.常考题型： 已知几个非负数的和为0，则每一项都等于0，据此列方程求字母值； 结合字母取值范围，对 去绝对值、化简根式 【知识点10 分类讨论去根号】 1.出题形式：已知含字母的根式、绝对值式子，未明确字母正负，要求化简。 2.解题核心： 由 入手，根据字母取值范围分情况讨论： 当 a>0 时，|a|=a； 当 a=0 时，|a|=0； 当 a<0 时，|a|=-a。 3.适用场景：字母范围模糊、数轴结合根式化简、含参数根式化简。 【知识点11 整体代入求值】 1.出题形式：给出简单根式方程/代数式，不求单个字母的值，直接求复杂代数式的值。 2.解题思路： 对已知条件变形，构造整体代数式（如 x+y、xy、x2+y2 等）； 把复杂求值式拆分为含该整体的形式，整体代换计算，避免单独求解复杂根式。 【题型1 二次根式的识别】 1．下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【详解】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 2．给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ③∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 【题型2 求二次根式的值】 3．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 4．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了代数式求值，正确得出运算程序是解题的关键． （1）直接利用运算程序进而得出关于m的代数式； （2）把已知数据代入求出答案． 【详解】（1）解：由题意可得： ； （2）解：当时， ， ∴输出的结果是． 【题型3 二次根式有意义的条件】 5．若 在实数范围内有意义，则实数的值可以是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查二次根式和分式有意义的条件, 根据被开方数大于0, 分母不等于0求解的范围, 再判断选项即可． 【详解】要使在实数范围内有意义，二次根式的被开方数须非负, 且分母不能为0， ， 解得：， 选项中只有满足． 6．若，则________． 【答案】2 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则可得，再代入计算可得的值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， ∵， ∴， ∴． 【题型4 利用二次根式的性质化简】 7．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 8．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【答案】 【分析】由三角形三边关系求得c的取值范围；然后判断被开方数的正负，再化简开方，计算． 【详解】解：由三边关系定理，得，即， ∴， ∴原式 ． 【题型5 二次根式的乘除混合运算】 9．计算题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式， ， ． 10．已知、为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得，，再化简，代入计算即可． 【详解】解：由二次根式有意义的条件，得：且， 解得且， 所以， 将代入，得：． 当，时， 原式 ． 【题型6 最简二次根式的判断】 11．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式； D选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 12．下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：，被开方数含有分母，不是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽的因数9，不是最简二次根式， ，分母中含有根号，不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 是最简二次根式， 所以最简二次根式有2个． 【题型7 已知最简二次根式求参数】 13．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 14．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 【题型8 同类二次根式】 15．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 16．若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 【题型9 二次根式的混合运算】 17．计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式除法运算规则拆分化简，再结合二次根式的性质计算即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开后，合并同类项得到结果． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【题型10 二次根式的混合运算的应用】 20．在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵， (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ①______； ②计算： 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）把变形为，然后把代入计算即可； （2）①把分子分母都乘以化简即可； ②先分母有理化，再算加减即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：①； ② ． 21．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2)46或14 【分析】（1）利用平方差公式分母有理化，利用完全平方公式化简，然后合并同类二次根式即可． （2）先推导出，得到 ∴，继而推导出，求出或，再分别代入求出a的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：， ∵ ∴， ∵a，m，n为正整数， ∴， 即， ∴或， ∴当时，， 当时，， 综上所述，a的值为46或14． 1．若，则（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】利用完全平方公式展开左边，根据等式两边无理数部分系数相等列方程，即可求出a． 【详解】解：，， ∴， 解得． 2．估计的值应在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 【答案】A 【分析】先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再估算无理数的取值范围，即可得到原式的大小范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 即的值在和之间． 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式得到，算出的值，即可算出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件与二次根式的性质，先根据二次根式有意义确定的取值范围，再利用化简原式，最后解方程得到的值． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 根据二次根式性质，化简原式 原等式左边 ∵，∴，∴ ， 原等式右边，∵，∴， 将化简结果代入原等式得 ， 移项得 ， 两边平方得 ， 解得． 5．在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 【答案】B 【分析】将二次根式分母有理化并找到规律进行计算即可． 【详解】解：由题意可得： ， ， ， ． 6．当时，计算的结果是__________． 【答案】/ 【分析】先对原式通分化简为最简分式，再代入计算结果． 【详解】解：原式， 当时，原式． 7．已知，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】先将代数式变形为，再将代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 8．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： 第2行： 第3行： 第4行： 第5行： …… 请根据上述规律，解答下面的问题： (1)第7行、第2列上的二次根式是_________； (2)我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察表格可知，每行有5个二次根式，被开方数为连续正整数，奇数行从左往右是从小到大，偶数行是从右往左是从小到大，计算出第7行，第2列上的二次根式是第32个二次根式，即可解答； （2）计算可得是第406行从左往右第5个二次根式，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：第7行，第2列上的二次根式是第个二次根式， ∴第7行，第2列上的二次根式为； （2）解：∵， ∴是第406行， ∵第406行为偶数行，被开方数从左到右依次减小， ∴从左往右是第5个二次根式， 即位于第406行第5列，记作． 9．若（其中，为有理数），______． 【答案】 【分析】先对等式左边的分式进行分母有理化，整理等式后分离有理数部分与无理数部分，根据对应系数相等得到关系，计算得出的值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 10．计算和化简求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 当时， 原式． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先通分计算括号内的分式的减法，然后把除法转化为乘法，分子、分母因式分解后约分化成最简分式后，把x的值代入再分母有理化即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 12．计算与化简： (1)计算： (2)化简： 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2） . 13．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 【答案】1 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和即可． 【详解】解：， 不等式组的解集是：， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得：，即整数，0，1，2，3， ∵关于a的代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴符合条件的所有整数a的值是，0，2， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 14．已知算式：，其中第四个根号下的被开方数“□”模糊不清． (1)若“□”猜成50，求原式的值； (2)若原式的结果为，求“□”表示的数． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：由题，可得， ， ． 15．规定一种新运算：，． (1)计算：______； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解：； （2）解：． 16．阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： (1)计算： ＝ ； (2)若n为正整数，请你猜想 ＝ ； (3)请化简： 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 17．阅读下面的材料，解答后面提出的问题： 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： ①，②．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得______； (2)已知，则______； (3)利用上面所提供的解法，请化简； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题干①作答即可； （2）将x与y分母有理化化简后代入原式计算即可得到结果． （3）原式各项分母有理化，合并即可得到结果． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ∴； （3）解： ． 18．阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； (2)利用上面的规律，则__________； (3)写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)29 (2)2025 (3)，见解析 【分析】（1）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （2）根据规律，得第一个因数与第四个因数结合，第二个因数与第三个因数结合，求解即可； （3）用n表示连续的整数，结合完全平方公式，写出规律再证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解： ； （3）猜想：． 证明： ． 1．对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．则有①；②；③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为；④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．说法正确的个数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，且，再结合新定义的运算进行分析即可． 【详解】解：由数轴得：，且， ①，故①说法错误； ②， ， 则，故②说法正确； ③使运算结果与原代数式之和为，则运算结果与原代数式互为相反数， ， ， 则，即，故③说法正确； ④运算结果为， 不能加新运算， ， ， 则不存在一种“新运算操作”，使运算结果为，故④说法错误． 综上所述，说法正确的有个． 2．对于任意实数，均能写成整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如：，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，，则； ③若，则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】估算无理数的取值范围，可判断①；估算无理数的取值范围，计算出，进而可判断②；根据可判断③；举反例可判断④． 【详解】解：， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ，， ， ，， ， 所有可能的值为6和7；故③正确； 若，， 那么，， 此时，故④错误； 综上可知，结论正确的有3个． 3．已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】①若，整理得，，得到，结合推出，可判断①错误；若，，则，整理得，，得出可判断②错误；③计算，得出，由，均为正整数，推出，，可判断③错误． 【详解】解：①若， 则， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若成立， 解得，与已知，均为正整数矛盾， ∴不正确， ∴①错误； ②若，， 则， ∴， 整理得，， ∴， ∵左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等， ∴不存在满足条件的m，n， ∴②错误； ③， ∵均为正整数，且不是完全平方数， 比较等式两边的有理部分与无理部分可得． 两边平方得． ∵均为正整数， ∴． ∵为正整数，必为45的约数中的完全平方数， ∴，即， 此时，满足为正整数且不是完全平方数的条件． ∵， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴不存在正整数，，，使等式成立， ∴没有符合条件的A，B， ∴③错误． 综上可知，三个说法均错误． 4．如果，那么的值是_________． 【答案】 【分析】通过换元法，令，，（），将原方程中的用表示后代入等式，再通过配方将方程整理为三个平方项相加等于的形式，利用“非负数之和为则每一项均为”的性质求出的值，进而反推得到的值，最后计算的结果． 【详解】解：令，，（）， ∴，，， ∵， ∴， 移项整理得：， ， 即：， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 5．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 【答案】27 【分析】设和的两个小正方形的边长为a，b，则，，根据题意可知，，，即，由完全平方公式求得即可． 【详解】解：设和的两个小正方形的边长为a，b，则，， 根据题意可知，，，即， 由得： ， ∴． 6．西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：     因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 【答案】 2 90 【分析】根据题意，先明确记号中各部分的定义，第一个数为所求无理数的整数部分，再仿照题目给出的的变形过程归纳规律，计算得到结果． 【详解】解：对于因为，所以的整数部分， ∴仿照的变形过程： ； 因此，故； 对于因为，所以的整数部分，根据，的规律，可得循环节的第二个数为，因此． 7．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 【答案】(1)； (2)或3 (3) 【分析】（1）根据“整数区间”的定义求解即可； （2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可； （3）由题意可得、，得出，进而得出、，两式相减可得，再根据“整数区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴的“整数区间”是，的“整数区间”是； （2）解：∵无理数的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“整数区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，的值为或3． （3）解：∵， ∴、， ∴， ∴， ∵ ∴、， 两式相减，得，即， ∴， ∵， ∴， ∴的“整数区间”是． 8．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意给出的公式进行求解即可； （2）先将化为，得到，继而化简即可； （3）先化简，得到，继而推导出， 则， 再化简代数式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 9．在学习二次根式的过程中，对于代数式M定义新的运算： (1) ， ， ; (2)若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， 化简： (3)若，求的值. 【答案】(1)5，0，5 (2) (3)6 【分析】首先明确新运算的本质：，所有运算均转化为绝对值的相关计算． （1）直接根据绝对值的代数意义，分别计算正数、0、负数的绝对值即可． （2）先根据数轴确定、的取值范围，再判断每个绝对值内表达式的正负性，根据绝对值的性质去绝对值符号后合并同类项． （3）先将方程转化为，根据绝对值的非负性得到确定的取值范围，再去掉绝对值符号解方程求出，最后代入所求式子，按新运算规则计算． 【详解】（1）根据，可得： ，，． （2）由数轴可得：判断符号： ，，因此； ，，因此。 代入化简： ． （3）由得： 绝对值结果非负，因此，即， 此时， 去绝对值得： 解得 代入： ． 10．某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 6+6＝2＝12；； 0.3+0.3＝2＝0.6；＝2； 0.2+3.2＞2＝1.6；． 【猜想结论】 如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）． 【证明结论】 ∵≥0 ∴①当且仅当＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2； ②当≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2． 综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时，等号成立）． (1)【应用结论】已知函数与函数，则当 时，取得最小值为 ． (2)【应用结论】对于函数y＝（x＞4），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？ (3)【拓展应用】疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积，问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？ 【答案】(1)1，2； (2)当x=5时，最小值是6； (3)当长=6米，宽为4米时，钢丝网长度最短，最短长度是72米 【分析】（1）将x和分别看成结论中的a和b，即可求出答案； （2）将函数y＝变形为：y＝，然后运用结论解题即可； （3）设每间隔离房与墙平行的边为m米，与墙垂直的边为米，所用钢丝网长度为w米，结合周长公式得出w的表达式，运用结论即可求解． 【详解】（1）解：∵已知函数与函数， ∴＝， ∵x＞0， ∴≥2， 即≥2，当且仅当x＝即x2＝1，只取x＝1时，等号成立； ∴≥2， ∴当x＝1时，取得最小值为2． 故答案为：1，2 （2）解：∵x＞4， ∴x－4＞0， ∵ ， ∴2， ∴y＝＝≥6， 此时， 解得，， 经检验，是分式方程的根， ∵x＞4， ∴x＝5， ∴当x＝5时，函数y＝（x＞4）的值最小，最小值是6． （3）解：设每间隔离房与墙平行的边为m米，与墙垂直的边为米，所用钢丝网长度为w米， 由题意得：w＝6m+9×＝+6m， 即：w＝+6m， ∴+6m≥2， ∵2＝2×36＝72， ∴w＝+6m≥72，当且仅当＝6 m时，等号成立， 即6m2＝216， 解得m＝6或﹣6（不合题意，舍去）， ∴m＝6， 此时＝4， ∴每间隔离房的长、宽各为6米和4米时，所用钢丝网长度最短，最短长度是72米． 【点睛】此题是考查规律的总结和应用，考查学生的分析和计算能力，同时第（2）问中还考查了学生的整体思想的运用．在解题的过程中，关键要注意抓住“当且仅当a＝b时等号成立”这一条件，得出取得最大值和最小值时的条件． 11．综合与实践 【阅读材料】小明在学习了二次根式的运算之后，对教材第16页阅读与思考的“海伦－秦九韶公式”进行了探究．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，古希腊几何学家海伦给出了这个三角形的面积公式为 （S表示三角形的面积，p表示三角形周长的一半），我国南宋数学家秦九韶给出的面积公式为，小明通过对秦九韶给出的公式进行变形可以得到海伦给出的公式，说明这两个公式实质上是同一个公式． 根据上面信息，解答以下问题： 【学以致用】（1）一个三角形的三边长分别为，，． ①请利用海伦给出的公式，计算p和S的值； ②请利用秦九韶给出的公式求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）如图，在中，是高，若，，，求的长及的面积． 【答案】（1）①，；②24；（2）， 【分析】此题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，理解定义，正确化简二次根式是解题关键． （1）直接利用已知公式求出p的值，进而代入海伦的三角形面积公式中得出答案；②直接利用秦九韶给出的公式代入求值即可． （2）因为三角形的三边长都是整数，所以代入海伦公式求出求p和S，然后根据面积求出三角形的高，根据勾股定理求出，再利用三角形面积公式即可解答． 【详解】解：（1）①因为，，， 所以．     所以 =     ．     ②           ．     （2），，， 所以．     所以．     ∵， ∴．     ∴． ∴ ． 12．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： (1)化简：__________； (2)化简： 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽． (3)黄金矩形ABCD的长____________； (4)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论： (5)在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 (5) 【分析】（1）仿照题干中的过程进行计算即可； （2）仿照题干中的过程进行计算，然后化简即可； （3）根据黄金矩形定义结合AB=1进行计算即可； （4）根据题意计算出AD的长，从而可得DF，证明DF和EF的比值为即可； （5）在图②中，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，根据三角形AED的面积不同算法列出方程，解出DG的长即可． 【详解】（1）化简：． 故答案为：． （2）解：原式＝ （3）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形ABCD的宽， 黄金矩形ABCD的长BC为：． 故答案为：． （4）矩形DCEF是黄金矩形，理由如下： 由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1， 根据黄金矩形的性质可知： ， FD=EC=AD-AF， ， 所以矩形DCEF是黄金矩形； （5） 如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G， ∵AB=EF=1，， ， 在△AED中， ， ， ， 解得， 以点D到线段AE的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割、平方差公式、分母有理化、二次根式的混合运算、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 二次根式化简与运算（10题型50题） 【知识点1 二次根式的定义与有意义的条件】 1.二次根式定义 形如 的式子叫做二次根式。 根指数固定为2，通常省略不写； 核心前提：被开方数 必须是非负数，这是二次根式的本质属性。 2.二次根式有意义的条件（定义域） 单一二次根式：被开方数 ； 根式+分式结合：同时满足被开方数≥0且分母≠0； 多个根式相加/相减：每一个二次根式的被开方数都必须≥0。 3.二次根式两大基础性质（根号非负性核心） 性质1：（先开方、再平方，结果等于被开方数） 性质2：（先平方、再开方，结果为的绝对值，是符号易错重灾区） 【知识点2 最简二次根式与同类二次根式（判定类考点）】 1.最简二次根式判定标准（两个条件缺一不可） ① 被开方数不含分母（小数、分数都需化为整数）； ② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 2.同类二次根式定义与判定 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，则称它们为同类二次根式。 判定步骤：先化简 → 再对比被开方数（不可直接用原式判断）。 运算类比：同类二次根式可像整式同类项一样合并。 【知识点3 二次根式的乘法】 1.乘法法则 逆用：（用于根式化简） 2.除法法则 逆用： 【知识点4 二次根式加减基础运算】 1. 运算步骤：一化简、二判断、三合并 ① 将所有根式化为最简二次根式； ② 找出其中的同类二次根式； ③ 合并同类二次根式（根号部分不变，系数相加减）。 2. 运算规则：非同类二次根式不能合并。 【知识点5 基础阶段核心易错点（必规避）】 1.定义域易错 忽略分式型根式中分母不能为0； 多个二次根式共存时，只考虑部分被开方数非负，遗漏其余。 2.符号易错（高频） 混淆 与 ，计算 时直接去掉根号，忘记加绝对值。 3.判定易错 判断同类二次根式、最简二次根式时，不先化简，直接用原式下结论。 4.运算易错 根式加减运算中，强行合并非同类二次根式；乘除运算时忽略被开方数取值范围。 【知识点6 含参数二次根式的取值范围讨论】 1.题型特征：根式中含有字母参数（k、m、x 等），求参数的取值范围。 2.解题思路： 根据“被开方数≥0”列不等式/不等式组； 含多个参数、参数正负不确定时，结合分类讨论分析； 结合分式、零次幂、负整数指数幂等附加限制条件，综合求解定义域。 【知识点7 多重二次根式化简】 1.题型特征：双层、多层嵌套根式（如 型双重根式）。 2.化简思路： 观察被开方数结构，逆向运用完全平方公式变形； 多层根式遵循由内向外逐层化简原则，每一步都保证根式有意义。 【知识点8 二次根式混合运算 & 简便算法】 1. 运算顺序：先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内。 2. 简便运算技巧（培优常用）： 灵活运用乘法交换律、结合律、分配律； 优先使用平方差公式、完全平方公式凑整、消去根号，简化计算； 复杂分式根式优先整体约分，再进行分母有理化。 【知识点9 根式、绝对值、平方数综合化简】 1.核心依据：三大非负数性质 、、（平方、绝对值、二次根式结果均为非负数）。 2.常考题型： 已知几个非负数的和为0，则每一项都等于0，据此列方程求字母值； 结合字母取值范围，对 去绝对值、化简根式 【知识点10 分类讨论去根号】 1.出题形式：已知含字母的根式、绝对值式子，未明确字母正负，要求化简。 2.解题核心： 由 入手，根据字母取值范围分情况讨论： 当 a>0 时，|a|=a； 当 a=0 时，|a|=0； 当 a<0 时，|a|=-a。 3.适用场景：字母范围模糊、数轴结合根式化简、含参数根式化简。 【知识点11 整体代入求值】 1.出题形式：给出简单根式方程/代数式，不求单个字母的值，直接求复杂代数式的值。 2.解题思路： 对已知条件变形，构造整体代数式（如 x+y、xy、x2+y2 等）； 把复杂求值式拆分为含该整体的形式，整体代换计算，避免单独求解复杂根式。 【题型1 二次根式的识别】 1．下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．给出下列各式：．其中二次根式的个数是（      ） A．2 B．3 C．4 D．5 【题型2 求二次根式的值】 3．根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 4．任意给出一个非零实数m，按如图所示的程序进行计算． (1)用含m的代数式表示该程序的运算过程并化简； (2)当时，求输出的结果． 【题型3 二次根式有意义的条件】 5．若 在实数范围内有意义，则实数的值可以是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．若，则________． 【题型4 利用二次根式的性质化简】 7．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 8．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【题型5 二次根式的乘除混合运算】 9．计算题 (1) (2) 10．已知、为实数，且，求的值． 【题型6 最简二次根式的判断】 11．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 12．下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 已知最简二次根式求参数】 13．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 14．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【题型8 同类二次根式】 15．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 16．若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【题型9 二次根式的混合运算】 17．计算∶ (1)； (2)． 18．计算： (1)； (2)． 19．计算 (1)； (2)． 【题型10 二次根式的混合运算的应用】 20．在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：∵， (1)请你帮助小明接着完成这道题； (2)请你根据小明的思路，解决如下问题 ①______； ②计算： 21．阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务． 材料一： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会遇到如 的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 我们就称这个过程为分母有理化． 材料二： 形如 的化简，只要我们找到两个正数 ，使 ，则∶ 我们就称 为“理想二次根式”，则上述过程就称之为化简“理想二次根式”． 任务： (1)根据材料中的方法进行化简与计算：已知 求的值 (2)若 且a，m，n为正整数，求a的值． 1．若，则（    ） A． B．3 C． D．9 2．估计的值应在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．若实数满足，则的值为（   ） A．-2 B．9 C．11 D．14 5．在学习二次根式的过程中，嘉淇发现一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系，如：由，可得与互为倒数，即，．根据嘉淇发现的规律，可得，则整数n的值为（   ） A．400 B．200 C．199 D．20 6．当时，计算的结果是__________． 7．已知，则代数式的值为________． 8．一组二次根式按如下规律排列： 第1行： 第2行： 第3行： 第4行： 第5行： …… 请根据上述规律，解答下面的问题： (1)第7行、第2列上的二次根式是_________； (2)我们规定一个二次根式落在第a行、第b列，可记作，如落在第2行、第4列，记作，则 可记作_________． 9．若（其中，为有理数），______． 10．计算和化简求值 (1)计算：； (2)先化简，再求值：，其中． 11．先化简，再求值：，其中． 12．计算与化简： (1)计算： (2)化简： 13．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 14．已知算式：，其中第四个根号下的被开方数“□”模糊不清． (1)若“□”猜成50，求原式的值； (2)若原式的结果为，求“□”表示的数． 15．规定一种新运算：，． (1)计算：______； (2)求的值． 16．阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： (1)计算： ＝ ； (2)若n为正整数，请你猜想 ＝ ； (3)请化简： 17．阅读下面的材料，解答后面提出的问题： 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌，这是武侠小说中的常见描述，其意思是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如：，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解： ①，②．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题： (1)将分母有理化得______； (2)已知，则______； (3)利用上面所提供的解法，请化简； 18．阅读下列解题过程： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请回答下列问题： (1)观察上面的解答过程，请写出第4个等式__________； (2)利用上面的规律，则__________； (3)写出你猜想的第为正整数）个等式：__________（用含的等式表示），并证明． 1．对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．则有①；②；③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为；④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为．说法正确的个数是（  ） A． B． C． D． 2．对于任意实数，均能写成整数部分与小数部分的和，即，其中称为的整数部分，表示不超过的最大整数，称为的小数部分．如：，，，则下列结论正确的有（   ） ①； ②若，，则； ③若，则所有可能的值为6和7； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如果，那么的值是_________． 5．如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值为__________． 6．西汉末年刘歆在制定《三统历》时，使用了一种有趣的算法——“调日法”，它是中国古代独创的加权分数逼近法．某数学兴趣小组借助这一数值调整技巧，通过把一个无理数化成所有分子全是1的“简单连分数”形式，从而得到这个数的近似值．他们把这一类无理数写成“简单连分数”表达形式，如：     因此记为，其中[ ]中的“1”表示的整数部分，[ ]中的“”表示循环节是1，2并无限重复下去；类似地我们可以将的“简单连分数”表达形式记为，其中__________，将的“简单连分数”表达形式记为其中__________． 7．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为；同理规定无理数的“整数区间”为．例如：因为，所以，所以的“整数区间”为，的“整数区间”为．请解答下列问题： (1)的“整数区间”是_____；的“整数区间”是____． (2)若无理数（为正整数）的“整数区间”为，的“整数区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的“整数区间”． 8．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 9．在学习二次根式的过程中，对于代数式M定义新的运算： (1) ， ， ; (2)若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， 化简： (3)若，求的值. 10．某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 6+6＝2＝12；； 0.3+0.3＝2＝0.6；＝2； 0.2+3.2＞2＝1.6；． 【猜想结论】 如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）． 【证明结论】 ∵≥0 ∴①当且仅当＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2； ②当≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2． 综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时，等号成立）． (1)【应用结论】已知函数与函数，则当 时，取得最小值为 ． (2)【应用结论】对于函数y＝（x＞4），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？ (3)【拓展应用】疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积，问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？ 11．综合与实践 【阅读材料】小明在学习了二次根式的运算之后，对教材第16页阅读与思考的“海伦－秦九韶公式”进行了探究．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，古希腊几何学家海伦给出了这个三角形的面积公式为 （S表示三角形的面积，p表示三角形周长的一半），我国南宋数学家秦九韶给出的面积公式为，小明通过对秦九韶给出的公式进行变形可以得到海伦给出的公式，说明这两个公式实质上是同一个公式． 根据上面信息，解答以下问题： 【学以致用】（1）一个三角形的三边长分别为，，． ①请利用海伦给出的公式，计算p和S的值； ②请利用秦九韶给出的公式求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）如图，在中，是高，若，，，求的长及的面积． 12．随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题， 阅读观察： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如，化简． 解：将分子、分母同乘以得，． 类比应用： (1)化简：__________； (2)化简： 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽． (3)黄金矩形ABCD的长____________； (4)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论： (5)在图②中，请连接AE，则点D到线段AE的距离为____________． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $