2.1 图形的轴对称 教学设计 2025--2026学年浙教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“图形的轴对称”核心知识，通过北京故宫建筑实例及图片观察导入，从现实情境感知轴对称特征，为抽象概念铺垫，梳理从具体到抽象的知识脉络。 以中式美学实例培养几何直观，合作学习推导性质发展抽象能力，最短路径问题通过转化思想提升推理意识与创新意识。帮助学生理解知识联系，提升教师教学效率，落实核心素养培养。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 2.1图形的轴对称 教学目标 1. 通过具体实例，理解轴对称图形的概念，会判断一个图形是否为轴对称图形；通过观察、想象，找出轴对称图形的对称轴，掌握轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段，发展空间观念、几何直观和抽象能力。 2. 经历画已知点关于给定直线的对称点的过程，理解图形的轴对称的概念及其性质，进一步发展几何直观和抽象能力。 教学重难点 教学重点： 1. 图形的轴对称的概念和性质； 2. 体会轴对称图形和成轴对称的图形之间的联系和区别 教学难点： 1. 轴对称图形的性质的得出，需要一个较为复杂的探索过程，对学生的抽象能力较高； 2. 找到直线上的某点能使得该直线的同方向的两点到该点的距离和最短； 教学过程 1、 情景引入 1. 中式美学：北京故宫建成于1420年，整个宫殿建筑布局沿 中轴线向东西两侧展开，呈现轴对称的结构。由于轴对称给人 以美感，因此被广泛应用于建筑设计上。 2. 观察图中的几组图片和图形，它们有什么共同特点？ 师生活动：教师引导，学生回答，它们都关于一条直线对称。 设计意图：让学生通过观察图片，感知具体的轴对称图形的特征，为抽象出轴对称图形的概念作铺垫。 2、 探索新知 1. 概念：如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。例如：如图1，长方形是有两条对称轴的轴对称图形；如图2，正方形是有四条对称轴的轴对称图形；如图3，圆也是轴对称图形，任何过圆心的直线都是它的对称轴。 设计意图：通过例子，对轴对称的本质特征进行再认识。 2. 合作学习 2.1 观察上述各图： 问题1 哪些图形是轴对称图形？怎样判断？ 师生活动：学生思考并回答。①②④是轴对称图形，③不是轴对称图形。教师总结判定 方法：找出一条直线，把图形沿着这条直线折叠，看直线两侧的部分是否互相重合。 问题2 对于以上各轴对称图形，能找出对称轴吗？ 答：①②只有一条纵向的对称轴。④有纵横两条对称轴 2.2 如图，AD平分∠BAC，AB=AC。 问题3 四边形ABDC是轴对称图形吗？如果你认为是， 说出它的对称轴。哪一个点与点B对称？ 答：对称轴是直线AD，与点B对称的点是点C 问题4 如图，连结BC，交AD于点E。把四边形ABDC沿AD对折，BE与CE重合吗？∠AEB与∠AEC呢？由此你得到什么结论？ 答：BE与CE重合，∠AEB=∠AEC=90°。 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。 当沿AD对折时，射线AB与射线AC重合。 因为AB=AC，所以点B与点C重合，点E与点E重合， 所以∠AEB与∠AEC重合。 因为∠AEB+∠AEC=180°， 所以∠AEB=∠AEC=90°。 师生活动：教师引导学生总结本题中：对称轴AD垂直平分两个对称点的连线BC。并得到轴对称图形有下面的性质：对称轴垂直平分连接两个对称点的线段。 设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明结论的过程，体会概念在探索性质 中的重要作用。 3. 实践应用 例1 如图2-6，已知△ABC和直线m。以直线 m为对称轴，求作以点A，B，C的对称点A'，B'， C'为顶点的△A'B'C'。 追问1：如果要作出△A'B'C'，那应该作出什么就可以了？ 追问2：如何作出对称点A'，B'，C'呢？ 师生活动：教师引导学生回忆对称点的性质，帮助学生总结作法： 如图。 ①作AP⊥m，延长AP至A'，使A'P=AP。 ②按上述方法作出点B的对称点B'，点C的对称点C'。 ③依次连结A'B'，B'C'，C'A'，△A'B'C'就是所求作的三角形。 小结：如果把如图沿直线m折叠，那么△A'B'C'就和△ABC重合， 这时我们说△A'B'C'与△ABC关于直线m成轴对称。一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形变化叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴。 追问1：观察概念，图形的轴对称指的是什么？指的图形变化。 追问2：两个图形折叠后互相重合说明什么？说明两个图形全等。 总结得到图形的轴对称有下面的性质：成轴对称的两个图形是全等图形。 设计意图：通过作一个图形的轴对称图形，得到图形的轴对称的画法，复习了轴对称图形的性质，从而得到图形的轴对称的概念以及图形的轴对称的性质。 4. 概念辨析 设计意图：由于本课时的概念较多，所以对两个重要概念进行辨析，了解两个概念之间的区别和联系。 3、 课堂小练 练习1 线段、角是轴对称图形吗？如果你认为是轴对称图形，分别说出它们的对称轴。 答：都是轴对称图形。线段的对称轴是线段的垂直平分线，角的对称轴是角平分线所在 的直线。 练习2 如图，已知图形X和直线l。以直线l为 对称轴，图形X的轴对称图形是（ C ） 练习3 如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，其中∠B＝90°，AB＝4 cm，DF＝5 cm，BC＝3 cm。 （1）直线l与线段AD有什么关系？若连结BE，CF，则线段AD，BE，CF之间有什么位置关系？ 答：因为△ABC与△DEF关于直线l对称，所以直线l垂直平分AD；同理，直线l垂直平分BE，CF，所以AD∥BE∥CF。 （2）求∠E的度数，及△DEF的面积。 答：因为△ABC与△DEF关于直线l对称，所以△ABC≌△DEF，所以∠E＝∠B＝90°，DE=AB=4 cm，EF=BC=3 cm，所以S△DEF=1/2DE·EF=1/2×4×3=6 cm2。 设计意图：通过基础练习复习本节课的重要知识点。复习了轴对称图形，图形的轴对称的画法，第三题则是对图形的轴对称的性质的综合应用，第一小题中用到了轴对称图形的性质（对称轴垂直平分连接两个对称点的线段），第二小题用到了图形的轴对称的性质（成轴对称的两个图形是全等图形）。 4、 拓展延伸 例2 如图，直线l表示草原上的一条河流.一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中.他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线. 问题5 这是个实际问题，我们可以把它抽象成一个数学问题，如图，在直线l同侧有点A和点B，请在直线l上取一点C使得AC+BC最短。那么要使AC+BC最短，符合条件的点C在哪呢？ 问题6 先看一个熟悉的问题。如果点A,点B在直线l的异侧，在直线l上取一点C要使得AC+BC最短，这个符合条件的点C在哪呢？ 追问1：可以利用什么知识点找到点C呢？ 答：根据“两点之间，线段最短”，我们发现连结AB，与直线l的交点就是符合条件的点C。 追问2：现在回到这个题目当中，两点由异侧变为同侧，要在直线l上取一点C使AC+BC最短，那你有思路了吗？ 追问3：类比这两个问题，自然我们会想到将在同侧A,B两点转化为异侧，那该如何进行转化呢？ 答：根据“对称轴垂直平分连接两个对称点的线段。”找到点A的对称点A'，连接A'C，根据垂直平分线的性质就可以得到AC=A'C，此时AC+BC最短就转化为A'C+BC最短。 师生活动：学生思考，让学生进行思路分享，教师进行总结。只需找到点A的对称点A'，那么此时根据“对称轴垂直平分两个对称点的连线”可以得到AP=A'P。如果要A'P+BP最短，那么点P就在A'B的连线上，那么此时A'P+BP最短，AP+BP也最短。 那我们来小结一下基本过程：① 作点A关于直线l的对称点A'； ②连结A'B，交直线l于点C； ③连结AC。 骑马少年沿折线A-C-B的路线行走时路程最短。 追问4：那如何证明这就是最短路径呢？ 下面给出证明： 设P是直线l上任意一点，连结AP，A'P。 由作图知，直线l垂直平分AA'， 则AC=A'C,AP=A'P(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）. 所以A'P+BP≥A'B, AP+BP≥A'B=A'C+BC=AC+BC， 即AP+BP≥AC+BC， 所以沿折线A-C-B的路线行走时路程最短。 解后反思：首先我们将实际问题抽象为数学问题，在直线l的同侧有两个点A，B，要在直线l上取一点C，使得AC+BC最小。通过轴对称的性质找到点A关于直线l的对称点A'，将同侧的点转化到了异侧，把问题转化为在直线l的异侧有两个点A'，B，要在直线l取一点C，使得A'C+BC最小，此时我们根据“两点之间线段最短”就可以得到线段A'B与直线l的交点C就是所求的点。实现了把求同侧的折线长度转化为求异侧的折线长度，最后转化为求线段的长度。充分体现了数学转化思想在本题当中的应用。 设计意图：在本题中，我们先进行设问，把问题转化为熟知的题目，让学生根据已有的只是进行解决，在通过引导解决原问题，利用轴对称的性质，将同侧点转化为异侧。既让学生掌握了轴对称的性质，又进行了对“两点之间，线段最短”的复习，并且体会了数学中转化思想的应用。 5、 回顾本节课所学内容，请回答以下问题： （1）轴对称图形，两个图形成轴对称以及图形的轴对称的概念及区别是什么？ （2）轴对称图形，图形的轴对称的性质是什么？ 设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心——轴对称的性 质，进一步体会轴对称图形的作用，为下面的学习做好铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $