2026-2027学年高一上学期3.1函数的概念及其表示

**基本信息** 围绕“函数的概念及其表示”，分层设计梯度合理，从基础概念辨析到综合应用拓展，适配暑假知识巩固需求，体现数学抽象能力、推理意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|函数概念、定义域、解析式单一知识点|单选题1-5直接考查定义判断，解答题20-21巩固定义域求解与二次函数解析式，夯实基础| |中档|分段函数、定义域综合、函数性质初步应用|单选题6-10结合图像分析分段函数，多选题13-15辨析概念易错点，填空题16基础运算，深化理解| |提升|抽象函数、创新情境、跨知识点综合|单选题11-12涉及函数性质推理，填空题17-19融入映射与值域探究，解答题23-24综合函数建模，发展创新意识|

3.1函数的概念及其表示 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 一、函数的概念及其判断 1.函数的概念 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 二、函数的定义域 函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝，则定义域为{x|x≠0}. 易错分析 (1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化. (2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围. (3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围. (4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错. 三、函数的解析式 1.函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是的形式，可根据题目的条件转化为该形式. 2.求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 四、分段函数 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 一、单选题 1．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域 【详解】要使函数有意义， 需使，解得且， 所以函数的定义域为且. 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复合函数的定义域 【详解】的定义域为，的定义域需要满足 解得，且． 的定义域为． 3．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知f（g（x））求解析式、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【详解】令，则． 因为，所以， 所以，所以的值域为． 4．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数值 【分析】分别计算，代入验证即可. 【详解】因为， 所以， ， ， ，，，， 故选项C正确. 5．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知f（g（x））求解析式 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 6．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图象的应用 【分析】根据图像关于对称，可得，结合图像即可求解. 【详解】由题可得，由于图像关于对称，所以，， 得，， 所以不等式，即的解集为. 7．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数图像的识别、图象法表示函数 【分析】先分点在上时，点在上时，点在上时求得函数，再利用函数的性质来判断. 【详解】当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 当点在上时，即，. 因此 由函数可知，有三段直线，又当点在上时是减函数，故A选项符合. 8．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，有，对，都有，则（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【答案】C 【知识点】求函数值 【分析】利用题中给出的函数性质，代入特殊值，求出. 【详解】因为，， 当时，， 因为，都有， 所以， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以． 9．（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意实数x，y满足，且，若对所有，恒有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数的和与积、函数不等式恒成立问题 【分析】先利用函数方程推导的解析式，再结合时恒成立的约束，分情况求解参数的取值范围. 【详解】令，代入，得，故. 构造函数，则，故可设，其中. 因此，. 当时，，对任意，恒成立，符合要求； 当时，为开口向上的二次函数，零点为，，要使时恒成立，需零点，解得. 当时，为开口向下的二次函数，当时，不满足恒非负要求，舍去. 综上，的取值范围是. 10．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、根据二次函数的最值或值域求参数 【详解】， 又因为，所以， 所以，所以A、C无法判断， 对于B、D，， 所以，即. 11．（浙江省金华市2025-2026学年高一下学期6月期末质量检测数学试题）已知函数满足：对任意的实数，，都有成立，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】C 【知识点】求函数值 【分析】首先利用赋值，求出的值，构造辅助函数，推出其满足性质，继而设，则，，，由此结合各选项，即可判断出答案. 【详解】令， 令，则 ， 即，； 由此可知具有可加性，比如令，则，，以此类推， 设，则，得， ，， ，故，， 对于A，，则，则， 即时，，A错误； 对于B，，即，结合A的分析可知，B错误； 对于C，，即，即，则， 故，C正确； 对于D，，即，即，此时，D错误. 12．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期， ， 原式：， 令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即 ， ， ， ， 一个周期：， 一个周期和：，     . 二、多选题 13．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【知识点】抽象函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由已知条件判断所给不等式是否正确、利用不等式求值或取值范围 【详解】选项A：由，得. 因为，所以 ，即. 所以，，即，.故A不正确. 选项B：设，，则，. 由，得，. 所以，. 由得，. 由得，. 所以，.故B正确. 选项C：当时，恒成立； 当时，要使得不等式对一切实数恒成立，则需要满足： ，解得，. 综上所述，的取值范围为.故C项不正确. 选项D：因为函数的定义域为，所以，函数的定义域满足: ，解得，. 则函数的定义域为.故D项正确. 14．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．若的定义域为，则定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【知识点】已知f（g（x））求解析式、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、复合函数的定义域 【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用方程组法求函数解析式判断D. 【详解】对于A，因为定义域为， 对于函数，则，解得， 即定义域为，故A正确； 对于B，， 因为，所以，即函数的值域为.与选项给出的范围不符，故B不正确； 对于C，令，则，， 所以，， 所以当时，该函数取得最大值，最大值为， 所以函数的值域为，故C正确； 对于D，因为定义在上的函数满足①， 将替换成得②，由①②，得，所以，故D正确. 15．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【知识点】复合函数的定义域、已知f（g（x））求解析式、求函数值、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 三、填空题 16．（25-26高二下·浙江宁波·期末）函数，则______． 【答案】3 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【详解】由题意可得，， 所以. 17．（2026高三下·山东·竞赛）对平面直角坐标系中的点，有映射.已知，，，，则______________. 【答案】6 【知识点】函数与映射 【分析】根据平移变换过程中图形面积不发生改变求解即可. 【详解】由题意知，映射为平移变换，不改变图形面积，故. 18．（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 【答案】 【知识点】函数关系的判断、常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域 【分析】根据函数的概念，不同的定义域对应不同的函数，计算满足值域为的定义域个数即可. 【详解】当时，，解得，因此定义域必须包含，共种选择； 当时，，解得，值域需要包含， 因此定义域至少包含中的一个，可选方案为：，共种选择； 当时，，解得，同理，定义域至少包含中的一个，共种选择； 故可能得定义域又， ，共有个不同的函数. 19．（2026高三下·重庆·竞赛）定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 【答案】 【知识点】抽象函数的定义域、求函数值 【分析】通过给抽象函数进行赋值，由所给性质进行推导计算计算． 【详解】先求，因为，，由，所以， 且．又． 设，则，所以． 因为，，，所以，． 又，且， 由对称性得，设， 则，所以，又，即． 所以，，． 因此． 四、解答题 20．（25-26高一上·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，；当且时，. 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、作差法比较代数式的大小、具体函数的定义域 【分析】（1）根据函数定义域的要求，需保证二次函数在上恒非负，利用判别式，求解的取值范围； （2）通过作差法计算，化简后判断其符号，即可比较与的大小. 【详解】（1）由题意，，则， 因为函数的定义域为， 所以对任意，都有恒成立． 即，解得． 故a的取值范围是． （2）由题意，当时，， 所以 ．           所以当时，；当且时，． 21．（23-24高一上·河北唐山·期中）若二次函数，满足对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求二次函数的解析式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】（1）根据对称轴和已知函数值求二次函数解析式；（2）不等式恒成立参变分离转化为的最小值. 【详解】（1）二次函数，， 则， 对称轴为，，则， 所以. （2）不等式恒成立， 即恒成立， 即， 令， 对称轴为，所以在上单调递减， ， 所以， 实数的取值范围为. 22．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，求； 【答案】. 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】根据分段函数的定义域和值域求解. 【详解】由题设知：时， 时， 时， 又因为， 所以. 23．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 【答案】（1）；（2） 【知识点】函数方程组法求解析式、已知函数类型求解析式 【分析】（1）借助待定系数法，设，结合题目所给条件计算即可得； （2）借助方程组法，由可得，即可求出. 【详解】（1）设， 由，知，， 又由， 得， 即， 所以，解得， 所以； （2）由， 得， ，得， 即， 故的解析式是. 24．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【知识点】求解析式中的参数值、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）由中对应项系数相等可得； （2）由已知得的关系，不等式化简后，根据的大小分类讨论． 【详解】（1）当时，， ， 得，； （2），，， 由可得， 整理并代入得， 即， 已知，若，即时，或， 若，即时，， 若，即时，或， 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1函数的概念及其表示 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 一、函数的概念及其判断 1.函数的概念 两个集合A、B 设A、B是两个 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应 名称 称 为从集合A到集合B的一个函数 记法 y＝f(x)，x∈A 二、函数的定义域 函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ，与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ． (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)＝，则定义域为{x|x≠0}. 易错分析 (1)求函数定义域之前,尽量不要对函数的解析式进行变形,以免引起定义域的变化. (2)用换元法求值域或解析式时,一定要根据原函数和定义域求出新变量的范围. (3)f(φ(x))的定义域是指x的取值范围而不是φ(x)的取值范围. (4)分段求解是解决分段函数的基本原则,已知函数值求自变量值时,易因忽略自变量的取值范围而出错. 三、函数的解析式 1.函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是的形式，可根据题目的条件转化为该形式. 2.求函数的解析式时，一定要注意函数 的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 四、分段函数 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ． 一、单选题 1．（2026高二下·浙江·学业考试）函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 2．（25-26高二·全国·暑假作业）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北衡水·期末）若函数，则的值域是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 5．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，则（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，点在边长为1的正方形的边上运动，是的中点，当沿运动时，设点经过的路程为，的面积为，则函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 8．（2026·浙江绍兴·模拟预测）已知函数的定义域为，当时，有，对，都有，则（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 9．（25-26高二下·全国·期末）已知函数对任意实数x，y满足，且，若对所有，恒有，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一下·浙江杭州·期末）已知函数，且，则（     ） A． B． C． D． 11．（浙江省金华市2025-2026学年高一下学期6月期末质量检测数学试题）已知函数满足：对任意的实数，，都有成立，则下列结论一定成立的是（    ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 12．（2026·陕西安康·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 二、多选题 13．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）下列说法正确的是（ ） A．已知 若则 B．已知则 C．不等式对一切实数恒成立的充要条件是 D．若函数的定义域为，则函数的定义域为 14．（25-26高二下·河北石家庄·阶段检测）下列说法正确的是（     ） A．若的定义域为，则定义域为 B．函数的值域为 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 15．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 三、填空题 16．（25-26高二下·浙江宁波·期末）函数，则______． 17．（2026高三下·山东·竞赛）对平面直角坐标系中的点，有映射.已知，，，，则______________. 18．（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 19．（2026高三下·重庆·竞赛）定义在上的函数满足：对任意，均有，且对任意，均有．则的值为________． 四、解答题 20．（25-26高一上·上海·期中）已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 21．（23-24高一上·河北唐山·期中）若二次函数，满足对称轴为，且． (1)求的解析式； (2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围． 22．（26-27高一·全国·暑假作业）已知函数，求； 23．（25-26高二下·全国·期末）（1）已知是二次函数，且，，求的解析式； （2）已知函数满足，求的解析式． 24．（25-26高一下·河北唐山·开学考试）函数，， (1)当时，若，求实数的值； (2)已知，且，求的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $