广东江门市新会东方红中学2024-2025学年高二第二学期第一次月考（3月）数学试题

**基本信息** 高二数学月考试卷聚焦数列核心知识，以《九章算术》织布问题、复利计算等情境设计，融合数学文化与实际应用，考查抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|等差等比基本量计算|第7题结合《九章算术》体现文化传承| |多选题|3/18|数列性质与前n项和|第11题大衍数列考查抽象概括能力| |填空题|3/15|数列实际应用|第13题溶液分配问题培养模型意识| |解答题|5/77|综合证明与求和|第19题递推关系证明等比数列，发展推理能力|

2024-2025学年度第二学期第一次月考试题 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题（或题组号）对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 首项为，公差为的等差数列，当时，序号等于（ ） A．33 B．34 C．35 D．36 2. A．108 B．109 C．110 D．111 3. 是等差数列，，，则该数列的前项和 A．130 B．143 C．156 D．169 4. 某等差数列共有13项，其中偶数项之和为30，则奇数项之和为（ ） A．34 B．35 C．36 D．不能确定 5. 若成等比数列，则函数零点的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不是 6．某人2011年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2016年1月1日可取回款的数额是（ ） A． B． C． D． 7. 《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若这女子织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（ ） A．6天 B．7天 C．8天 D．9天 8. 设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则 A． B． C．15 D．40 2、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知在等比数列中，满足，，是前n项和，则下列说法正确的是（ ）． A. 数列是等比数列 B. 数列是递增数列 C. 数列是等差数列 D. 数列中，，，仍成等比数列 10．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 是递增数列 B. C. 数列的最大项为和 D. 满足的最大的正整数为10 11．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ） A. 当为偶数时， B. 当为奇数时， C. D. 数列的前项和为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．数列中，，，且数列为等比数列，则 ． 13．把300毫升溶液分给5个实验小组，使每组所得成等差数列，且较多三组之和的是较少两组之和，则最少的那个组分得溶液 毫升． 14．设等比数列的公比q =2，前n项和为，则 四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 等比数列的公比为2，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16．（本小题满分15分） 已知数列的前项的和为，数列是公差为1的等差数列． (1)证明：数列是公差为2的等差数列； (2)设数列的前项的和为，若，证明． 17．（本小题满分15分） 已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 18．（本小题满分17分） 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 19.（本小题满分17分） 已知数列的首项，且满足. （1）求证：数列为等比数列； （2）若，求满足条件的最大整数. 高二数学 第4页 共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期第一次月考 高二数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B B C B A C C C AC BCD AB 5 9． 【答案】AC 【详解】依题意可知，所以，所以数列是等比数列，A选项正确. ，所以，且，所以数列是递减数列，B选项错误. 设，则，所以数列是等差数列，C选项正确.，因为，故数列{}中，不成等比数列，所以D选项错误. 故选：AC. 10．【答案】BCD 【详解】由得当时，， 当时，，时也满足， 故，，A错误，B正确，由二次函数的对称轴为，故当或时最大，故C正确，满足得，，最大正整数为10，故D正确，故选：BCD 11． 【答案】AB 【详解】令且，当时，①；当时，②，①②联立得，所以，累加得，令（且为奇数）得 ，当时仍成立，所以当为奇数时，，B正确；当为奇数时，，所以，其中为偶数，A正确； 当为偶数时，C错误； 数列前项和， 因为①， ②， 所以①-②，D错误； 故选：AB. 15．（本小题满分13分）【小问1详解】 已知等比数列的公比为2，且成等差数列， ………..1分 ， ， ………..3分 解得， ………..4分 ； ………..6分 【小问2详解】， ………..8分 . ………..10分 ； 综上， ………..13分 16．（本小题满分15分）【详解】（1）因为数列是公差为1的等差数列， 所以．………..2分 从而可得． ……….3分 当时，． ………..5分 即可得， ……….7分 所以数列是公差为2的等差数列； ………..8分 （2）根据第（1）问数列是公差为2的等差数列可得， 从而可得． 所以数列的通项公式． ………..10分 所以． ……….11分 从而可得． ……….14分 所以成立． ………..15分 17．（本小题满分15分）【详解】（1）设等差数列是公差为，且，且….1分 ∴，， ……….2分 又成等比数列，则， ……….3分 ∴，即，……….4分 即，解得或（舍），……….5分 ∴. ……….6分 （2）由（1）得，则，又，则， ……….8分 又， 所以①， ……….9分 ②， ……….11分 ②得：，……….14分 所以. ……….15分 18．（本小题满分17分）【小问1详解】设等差数列的公差为， ……….1分 由题意可得， ………..3分 即，解得， ………..5分 所以， ………..7分 【小问2详解】因为， ………..9分 令，解得，且， ………..10分 当时，则，可得；………..12分 当时，则，可得 ； ………..15分 综上所述：. ……….17分 19.（本小题满分17分）【详解】（1）， ……….1分 ， ， ， ……..5分 所以，数列为等比数列，首项，公比. ………..7分 （2）， 所以， ………..9分 …..14分 方法一因为， 所以，， 所以，故满足条件的最大整数. ………..17分 方法二令 ， 因为，所以，所以数列是单调递增数列， 又因为，， 故满足条件的最大整数. ………..17分 4 学科网（北京）股份有限公司 $