广东云浮市邓发纪念中学2024-2025学年高二第二学期期中测试数学试题

2024至2025学年度第二学期高二级期中测试数学答案 一、单选题1.D2.A3.D4.C5.D6.A7.C8.C 二、多选题9.BCD10.AD11.ACD 三、填空题12.- 13.614: 四、解答题 15.解：①fx)=ex(ax+b)-x2-4x, f(x)=e*(ax+a+b)-2x-4, 2分 曲线y=f(x)在点(0，f(O)处切线方程为y=4x+4, ∴f(0)=e(0+b)-0-0=4, 3分 f'(0)=e(a+b)-0-4=4 .b=4,a+b=8 5分 解得：a=4,b=4: 6分 (四由)知，f(x)=4e(x+1)-x2-4x, f')=4e*(cx+2）)-2x-4=4x+2(e*-7), ----7分 令f′(x)=0,得x=-ln2或x=-2 ∴x∈(-∞，-2)或(-ln2,+∞)时，f'(x)>0: ---8分 x∈(-2，-n2)时，f'(x)<0 -9分 ∴f(x)的单调增区间是(-∞，-2)，(-ln2,+o), 10分 单调减区间是(-2，-ln2) --11分 当x=-2时，函数f(x)取得极大值， 12分 极大值为f(-2)=4(1-e-2): --13分 16.解析：(1)将所有的三位偶数分为两类： ()若个位数为0，则共有A经=12（个）， -----2分 ()若个位数为2或4，则共有2×3×3=18（个）， ---4分 第1页，共7页 所以，共有30个符合题意的三位偶数： 5分 (2)将这些“凹数”分为三类： ()若十位数字为0，则共有A=12(个)， 7分 (团若十位数字为1，则共有A号=6（个）， 8分 (ii0)若十位数字为2，则共有A好=2（个）， 9分 所以，共有20个符合题意的“凹数”： 10分 (3)将符合题意的五位数分为三类： (回若两个奇数数字在一、三位置，则共有A好·A=12(个)， 12分 ()若两个奇数数字在二、四位置，则共有A好CA号=8（个）， ---13分 (i)若两个奇数数字在三、五位置，则共有AC3·A=8(个)， ---14分 所以，共有28个符合题意的五位数. 15分 17.解：（①f)的定义域为(0，+），f)=-a, 2分 ①若a≤0，则f′(x)>0,所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， 3分 ②若a>0,则当x∈(0，)时，f'()>0:当x∈（总+∞）时，f'()<0, 所以fo在(0，)上单调递增，在（台+∞）上单调递减： -5分 综上可知，当a≤0时，函数fx)在(0，+∞)上单调递增， 当a>0时，函数fx)在(0，)上单调递增，在(：，+∞)上单调递减： ----7分 (2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，+o)上无最大值； 8分 当a>0时，f)在x=处取得最大值， 最大值为f(份=ln(月+a(1-)=-lma+a-1, 9分 因此f(月)>2a-2等价于mn+a-1<0, 10分 令g(a)=lna+a-1, 11分 第2页，共7页 g@)=+1>0 12分 则g(@)在(0，+∞)上单调递增，g(1)=0, 13分 于是当0<a<1时，g(a)<0;当a>1时，g(a)>0. 14分 因此a的取值范围是(0,1). 15分 18.解：(f的定义域为(0，+o),f'()=是-1= -2分 当a≤0时，f'(x)<0恒成立，故fx)在(0，+o)上单调递减； ---。3分 当a>0时，令f′(x)>0得：x∈(0，a),令f'(x)<0得：x∈(a,+o), 故f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,+o∞)上单调递减 ---5分 综上：当a≤0时，f(x)在(0，+o∞)上单调递减： 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a,+o)上单调递减. -7分 (2)由(1)可知，要想f(x)有两个相异的零点x1,x2,则a>0,不妨设x1>x2>0, 因为fx1)=f(x2)=0,所以alnx1-x1=0,alx2-x2=0, 所以x1-x2=a(lnx1-lnx2): 8分 要证x1x2>e2,即证lnx1+lnx2>2,等价于1+2>2， 10分 a a 而。-2，所以等价于证明2>2 即ln1>2x1-x2 --11分 X1-X2 X1-X2 x1+x2 X2 x1+x2 令t=号，则t>1,于是等价于证明nt>2t-少成立， 13分 X2 t+1 设g因=1成-2t>1, 14分 g0==品>0，所以g0在(1，+四)上单湖适拥。 -(t-1)2 --15分 故g)>g1)=0,即1nt>2成立， 16分 t+1 所以x1·x2>e2,结论得证. 17分 第3页，共7页 19.解：（④函数f)=的定义域为R,求导得：f'(因=-三， ----1分 当x<0时，f'(x)>0:当x>0时，f′x)<0, 2分 函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 所以当x=0时，f(x)max=f(O)=1. 4分 (2)(1知，Vx∈R,牛≤1，即x+1≤e*, 5分 因此对x>-1,n(x+1)≤x<x+1≤e*, 6分 当a≤1时，对x>-a,x+a≤x+1,则有n(x+a≤n(x+1)<ex, 于是当a≤1时，对x>-a,ex-n(x+a)≥0恒成立： -------7分 当a>1时，函数g(x)=ex-ln(x+a)的定义域为(-a,+o),0∈(-a,+∞)， 必有g(0)=1-lna≥0，解得a<e, 8分 而a为整数，则a最大值不大于2， 因为对x>-1,n(x+1)≤x恒成立， 则对x>-2,有n(x+2)≤x+1恒成立，当且仅当x=-1时取等号， ---9分 又Hx∈R,x+1≤ex恒成立，当且仅当x=0时取等号， 于是对x>-2,n(x+2)<ex, 10分 综上得当a≤2时，对x>-a,e-ln(x+a)≥0恒成立， -11分 即整数amx=2,所以整数a的最大值为2. 12分 (3)由(2)知，Vx>-2,n(x+2)<e*, 13分 取x=-1+片neW,有n(-1+片+2)<e1片， 14分 因此（血牛）》”<e1, 15分 从而n2+m2+(m)3+…+m生)”<1+e1+e2+…+em+1.-16分 片所以原不等式现立 17分 第4项，共7页 7f()=e*(sinx+a),x).f()=e*(sinx+cosx+a), 由于函数f)在区间(-)上单调递增， 则xe(-,),f'(x≥0，simx+cosx+a≥0， 得a>-sinx-cosx=-V2sin(cx+罩)， 当-<x<时，-<x+异<平则-竖<smc+)<1, V2<-√2sim(x+4)<1,4a≥1， 因此，实数a的取值范围是[1，+o),故选C. 8.解：因为y'=(x2+2x)e*, 所以曲线y=x2e在点(xo,xeo)处的切线方程为y-x6eo=(x行+2xo)eo.(x-xo), 将(3,0)代入，得xoe0·(x名-2x0-6)=0,则x=0或x6-2x0-6=0, 因为4>0，所以方程x2-2x-6=0有两个不同的根，且根不为0， 所以方程xe0·(x名-2x0-6)=0共有3个不同的根， 即经过点(3,0)所作曲线y=x2e的切线有3条.故选：C. 9解：对于A,由f)=专x-x2-2x+1,得f'6)=x2-x-2=(x-2)(x+1), 所以在(-o∞，-1)和(2，+oo)上，f′(x)>0,函数f(x)单调递增： 在(-1,2)上，f(x)<0,函数f(x)单调递减，故A错误； 对于D,由A知，函数f)的极大值为f(-1)=-言-+2+1-号 极小值f(2)=9-2-4+1=-子则f(-1)+f(2)=-言故D正确： 对于8，f-3)=-9-+6+1=<f2), 结合函数在[-3,3]上的单调性可知：fx)mm=f(-3)=-号，故B正确： 对于C,f1-x)=1-)3-21-x刘2-2(1-)+1， 第5页，共7页 所以f1-刘+f0)=3(1-x灯3-1-对2-2(1-)+1+3x3-3x2-2x+1=-名 故函数f)图象关于点（侵，-）中心对称，故C正确。故选：BCD. 10解：函数的定义域为{xx∈R且x≠1} y-De+告e-字y-0,得x=0威x- (x-102 x-1 当0<x<1或1<x<时y'<0,函数单调递减： 当x<0或x>时y>0,函数单调递增， 可知函数的极大值点为x=0,极小值点为x=多函数在(1，+)上不单调，在(1，受)上单 调递减.故选AD 11解：函数y=名则y'=。长令y'=0,得x=1 当xe(-∞，1)时，y'>0,y=单调递增； 当xE(1,+∞)时，y'<0,y=单调递减，y=的最大值为号 同理，函数=竖y'=兴令y=0得x=e, 当x∈(0，e)时，y'>0,y=单调递增： 当xE(e,+∞)时，y'<0,y=单调递减，“y=的最大值为2 作出函数y=和函数y=的图象，如图所示， 号=a,得x2=ae,故A正确， “斋=务=a=2=盛 x2 elnx2 且y=在(0,1)上单调递增， 又0<x1<1,1<x2<e,0<lnx2<1,.x1=nx2,故B错误， 第6页，共7页 密-器=a-婴y-在(e,+0止单调递减，e(e,e名>e, x3 Y .e2=x3,故C正确， x1x3=e2x2=2·Qx2=x,X1+x3>2Vx1写=2x2.故D正确，故选ACD. a 14解：(1)当t=0时，点P在轮子最高点处， 由图可知，轮子距离船底1m,半径3m,设为r, 则H=rcost+1+r=3cost+4,t≥0， 当点P第一次入水时，水面到船底的距离是2.5m,即H=2.5, 代入H=30st+4得，c0st=-2 第一次入水即在满足cost=- 的情况下满足现实条件t≥0后可取的最小值，t=2严 3 (2)瞬时变化率取得最大值，即H'(t)最大，H'(t)=-3sint, 当-3sint=3时，瞬时变化率取得最大值，此时，to的最小值为贸 故答案为：①号π：②3 第7页，共7页2024至2025学年度第二学期高二级期中测试 数学科试题 考试范围：导数及应用，排列与组合：考试时间：120分钟： 命题人： 审核：备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知函数f(x)=(2x-1)2的导数为f(x),则f'(1)=() A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数f(x)=e+x在点(0,1)处的切线方程为() A.y=2x+1 B.y=x+1 C.y=ex+1 D.y=(e+1)x+1 3.函数f(x)=x-ln(2x+1)的单调递增区间是() A(,0) B() c.(-2+∞) D.(分，+o) 4.算盘是中国古代的一项重要发明，现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示 个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字 1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数 为() 圭 十位个位 十位个位 图1 图2 A.4 B.6 C.8 D.10 第1页，共4页 5.己知函数f()=nx+(a∈R)的最小值为1，则a=() A.a B.e C. D.1 6.已知函数f(x)=x-lnx,则f(x)的图象大致为() D 7.若函数f()=e*(sinx+a)在区间(-，)上单调递增，则实数a的取值范围是() A.[V2,+∞) B.(1,+o) C.[1,+∞) D.(-√2，+o) 8.经过点(3,0)所作曲线y=x2e的切线有() A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知函数f)=专x-x2-2x+1,则函数f(() A.单调减区间为(-2,1) B.在区间[-33]上的最小值为-号 C.图象关于点（行-）中心对称 D.极大值与极小值的和为-君 10.已知函数y=e,则财() A.函数的极大值点为x=0 B.函数的极小值点为x=0 C.函数在(1，+o)上单调递增 D.函数在(0,1)上单调递减 第2页，共4页 11.己知直线y=Q与曲线y=二相交于A,B两点，与曲线y=m相交于B,C两点，A,B, C的横坐标分别为x1,x2,x3,则() A.x2=aex2 B.x2 In x1 C.x3=ex2 D.x1+X3>2x2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f()=x2-2x-x,则f()的极小值为 13.己知C+1+A2=51,则正整数n=一· 14.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导. 如图，某桨轮船的轮子的半径为3m,它以1rad/s的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一 点P,点P到船底的距离是H(单位：)，轮子旋转时间为t(单位：s).当t=0时，点P在轮 子的最高点处， ①当点P第一次入水时，t= ②当t=to时，函数H(t)的瞬时变化率 取得最大值，则to的最小值是 3m Hm 水面 1.5m fim 船底 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 己知函数f(x)=e*(ax+b)-x2-4x,曲线y=fx)在点(0，f(0)处切线方程为 y=4x+4. (1)求a,b的值： (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值. 第3页，共4页 16.(本小题满分15分) 用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数： (2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这 个数为“凹数”，如301,423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数： (3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数. 17.(本小题满分15分) 设函数f(x)=lnx+a(1-x). (1)讨论：f(x)的单调性 (2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围. 18.(本小题满分17分) 己知a是实数，函数f(x)=alnx-x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个相异的零点x1,x2且x1>x2>0,求证：x1·x2>e2 19.(本小题满分17分) 已知函数f()=(e为自然对数的底数). (1)求f(x)的最大值： (2)设a为整数，若e≥n(x+a)在定义域上恒成立，求a的最大值： 3)证明1n2+m)2+m专)3+…+(m)”<。二 第4页，共4页