精品解析：广东深圳市沙井中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题

沙井中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二年级数学 试卷 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 计算的值是（ ） A. 62 B. 102 C. 152 D. 540 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列是公比为实数的等比数列，，，则（ ） A. 13 B. C. D. 5 4. 2024年11月份，文化和旅游部、交通运输部等六部门共同遴选出第二批68个交通运输与旅游融合发展示范案例，并正式公布．四川3个案例——“川九”旅游公路、夜游锦江（活水公园一东湖公园段）、“熊猫”旅游列车入选．甲、乙等四人准备各自从上述3个案例的路线中选一条，寒假各自按自己选择的路线去旅游，且甲、乙结伴而行（甲、乙选择的路线相同），则不同的选择方案有（ ） A. 6种 B. 9种 C. 12种 D. 27种 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则 （ ） A. B. C. 2 D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 9 B. 15 C. 21 D. 24 7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60． B. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 C. 从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D. 把5封不同的信投入4个不同的信箱，每个信箱至少投1封，不同的投法共有种 10. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有项系数和为64 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 11. 设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上） 12. 设 是 函 数的 导函 数 ， 且 ，则 ____________. 13. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他骑共享单车去上班的概率为_____． 14. 为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为 ，则______． 四、解答题（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，且. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 16. 在等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，，成等比数列，求 的值； （3）设，求数列的前 项和. 17. 如图，在四棱锥 中，，点 是 的中点． （1）求证：平面 ； （2）若 平面 ，求平面与平面 夹角的正弦值． 18. 某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名． （1）若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率． （2）现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分，后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为X，求X的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率． 19. 已知函数， . （1）当 时，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沙井中学2024-2025学年第二学期期中考试 高二年级数学 试卷 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷和答题卡交回． 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1. 计算的值是（ ） A. 62 B. 102 C. 152 D. 540 【答案】A 【解析】 【分析】利用组合和排列数公式计算 【详解】 故选：A 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 3. 已知数列是公比为实数的等比数列， ，，则（ ） A. 13 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合等比数列通项公式求出公比，由此可求. 【详解】设数列的公比为， 因为 ，， 所以，即， 所以， 故选：D. 4. 2024年11月份，文化和旅游部、交通运输部等六部门共同遴选出第二批68个交通运输与旅游融合发展示范案例，并正式公布．四川3个案例——“川九”旅游公路、夜游锦江（活水公园一东湖公园段）、“熊猫”旅游列车入选．甲、乙等四人准备各自从上述3个案例的路线中选一条，寒假各自按自己选择的路线去旅游，且甲、乙结伴而行（甲、乙选择的路线相同），则不同的选择方案有（ ） A. 6种 B. 9种 C. 12种 D. 27种 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意甲、乙结伴而行，可将甲，乙看作一个整体，与剩下2人进行选择线路，利用分步乘法计数原理可解. 【详解】根据题意，甲、乙结伴而行，可将甲，乙看作一个整体， 与剩下2人从3个案例的路线中选一条，共有种． 故选：D 5. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为 ，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 9 B. 15 C. 21 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】由的展开式中求出包含和的项，然后由多项式乘法可得． 【详解】二项式的展开式的通项公式为. 所以含的项为． 故选：A． 7. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 8. 我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数求出函数的极值点，再逐一判断各个选项即可. 【详解】，则， 令，则， 如图，作出函数的图象， 由图可知函数的图象有两个交点， 即函数有两个零点，且， 令 ，则或，令 ，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为 . 对于A，函数在上单调递减，在单调递增， 所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符； 对于B，函数在上单调递增，在单调递减， 所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符； 对于C，， 当或时，，当时，， 所以函数的极大值点为，极小值点为 ，故C选项符合题意； 对于D，， 则函数的极小值点为，极大值点为 ，故D选项不符. 故选：C. 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60． B. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 C. 从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生，共有194种选法 D. 把5封不同的信投入4个不同的信箱，每个信箱至少投1封，不同的投法共有种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，从5个中选3个即可；对于B，每封信都有3种可能；对于C，有3种分类：1男3女，2男2女，3男1女；对于D，先分组再分配即可. 【详解】对于A，参观券相同，只需从5人中选出3人，方法有种，故A错误； 对于B，将5封信投入3个邮筒，每封信都有3种选择，故不同的投法有种，故B正确； 对于C，从6名男生和4名女生中选4人参加比赛，若4人中必须既有男生又有女生， 包含的类别有，1男3女，2男2女，3男1女，即种，故C正确； 对于D，现将5封信分成4组有种，再将分好的4组全排列，对应4个信箱，有种， 则不同的投发共有种，故D正确. 故选：BCD. 10. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有项系数和为64 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 【答案】BD 【解析】 【分析】赋值法判断A；应用二项式的展开式的性质判断B、C、D. 【详解】A：令 ，则，A错； 由，， 当时，二项式系数最大，B对； 当 时，，C错； 当时，常数项为，D对. 故选：BD. 11. 设离散型随机变量X的分布列如下表 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 若离散型随机变量Y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列性质可求出m的值，判断A；根据期望和方差公式计算判断B；利用期望和方差性质可判断CD. 【详解】由离散型随机变量X的分布列性质可得，A正确； ， ，B正确； 由于，故，C错误，D正确； 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上） 12. 设 是 函 数的 导函 数 ， 且 ，则 ____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求导可得，从而可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得，所以， 则，即. 故答案为： 13. 随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他骑共享单车去上班的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率和条件概率公式求解即可. 【详解】设事件A：这一天他迟到，事件B：他骑共享单车去上班， 由题可知， 所以， 故答案为：. 14. 为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、武术类三个体育社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，记三位同学所参加的社团种类的个数为 ，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】 的可能取值为，分别求出相应的概率，再求. 【详解】依题意 的可能取值为， 当时，甲、乙、丙三位同学选择同一个社团，有3种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学仅选择两个社团，有种选法； 当时，甲、乙、丙三位同学选择不同的社团，有种选法； 则， ， ， 所以． 故答案为： 四、解答题（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数，且. （1）求单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为和； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）写出函数导数，由求得的值，然后令导数小于0，求得函数的单调区间； （2）由（1）知函数在上的单调性，即可求出函数的最值. 【小问1详解】 ，∴， ∴ ，即， 令 ，则，令，则或， ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为和， 【小问2详解】 由（1）可知函数在上单调递增，在上递减， ∴， ，， ∴函数在区间上的最大值为，最小值为. 16. 在等差数列中， ，. （1）求的通项公式； （2）若，，成等比数列，求的值； （3）设，求数列的前 项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出公差，进而求出通项公式； （2）根据等比中项的概念列式运算求解； （3）利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 设数列的公差为 ，由题意得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 依题意得，则，得 . 【小问3详解】 由，得， 则. 17. 如图，在四棱锥 中，，点 是 的中点． （1）求证：平面 ； （2）若 平面 ，求平面与平面 夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质可得线线平行，即可根据线面平行的判定求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 取 的中点 ，连接, 由于， 是 的中点， 故且， 因此且，故四边形为平行四边形，故, 平面 ,平面 ,故平面 【小问2详解】 由于 平面 ， 平面，故平面平面 ， 取 中点为 ，连接 , ，且平面平面 ， 平面 ，故 平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 设平面的法向量为， 则，取 ，则， 设平面 的法向量为， 则，取，则， 设平面与平面 夹角为 ， 则， 故， 18. 某中学选拔出20名学生组成数学奥赛集训队，其中高一学生有8名、高二学生有7名、高三学生有5名． （1）若从数学奥赛集训队中随机抽取3人参加一项数学奥赛，求抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一的概率． （2）现学校欲对数学奥赛集训队成员进行考核，考核规则如下：考核共4道题，前2道题答对每道题计1分，答错计0分，后2道题答对每道题计2分，答错计0分，累积计分不低于5分的学生为优秀学员．已知张同学前2道题每道题答对的概率均为，后2道题每道题答对的概率均为，是否正确回答每道题之间互不影响．记张同学在本次考核中累积计分为X，求X的分布列和数学期望，并求张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率． 【答案】（1） （2）X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 P ；；【解析】 【分析】（1）利用组合数和古典概率求解； （2）分别计算不同计分的概率，列出分布列，算出期望，再求出获得优秀学员的概率即可. 【小问1详解】 设事件A为“抽取的3名同学中恰有2名同学来自高一”， 则. 【小问2详解】 由题意可知 的取值可为， 前两道题答错的概率为，后两道题答错的概率也为， ， ， ， ， ， ， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 6 P 数学期望为， 因为累积计分不低于5分的学生为优秀学员， 所以张同学在本次考核中获得优秀学员称号的概率为. 19. 已知函数， . （1）当 时，求的极值点； （2）讨论的单调性； （3）若函数在上恒小于0，求a的取值范围. 【答案】（1）极大值点 ，无极小值点； （2）当 时，函数单调递减；当 时，函数在上单调递增，在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）当 时，利用导数求得函数 的单调区间，进而得到极值． （2）求导得到，讨论 和 两种情况，计算得到答案. （3）讨论 ，，，四种情况，根据单调性得到函数最值得到答案. 【小问1详解】 当 时，，定义域为. ， 令，得 , 当 时， ，单调递增；当时， ，单调递减. 在 时取得极大值，无极小值. 所以的极大值点是 ，无极小值点. 【小问2详解】 ，则， ， 当 时，恒成立，函数单调递减； 当 时，， ，，函数单调递增， ，，函数单调递减. 综上所述：当 时，函数单调递减；当 时，函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 函数在上恒小于0，等价于. 由（2）知， 当 时，函数单调递减，故恒成立，故 符合题意； 当 时，若，即，函数在上单调递减， 故，成立，故符合题意； 若，即，函数在上单调递增，在上单调递减， 故，即，解得，故； 若，即，函数在上单调递增， 故，解得， 故无解. 综上所述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $