2.3 第3课时 一元二次不等式的应用—含参不等式的解法 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 2.3 第3课时一元二次不等式的应用——含参一元二次不等式的解法 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1.能够准确识别含参一元二次不等式的类型，明确参数对不等式求解的影响。 2.掌握含参一元二次不等式求解的核心思路，即通过分类讨论转化为不含参的一元二次不等式求解。 3.能够熟练处理常见的含参情形（如二次项系数含参、判别式含参、根的大小关系含参），并正确写出不等式的解集。 教学内容 教学重点： 1.含参一元二次不等式分类讨论的依据和标准。 2.常见含参情形（二次项系数含参、根的大小关系含参）的不等式求解方法。 教学难点： 1.准确确定分类讨论的层次和边界，避免重复或遗漏。 2.当参数出现多个影响因素时，能够有序进行分类讨论并整合求解结果。 教学过程 1、 情境导入 1.回顾提问：教师通过PPT展示不含参的一元二次不等式，如“解不等式 x2 - 3x + 2 < 0”“解不等式2x2 + 5x - 3≥0”，引导学生回顾求解步骤：第一步判断二次项系数正负，确定抛物线开口方向；第二步计算判别式△，判断方程根的个数；第三步求出方程的根；第四步结合函数图像写出不等式的解集。 2.提出问题：若将上述不等式中的常数替换为参数，如“解不等式ax2 - 3x + 2 < 0（a∈R）”，此时求解会遇到什么问题？学生思考后回答，教师总结：二次项系数含参时，无法直接确定开口方向；若判别式含参，无法直接确定根的个数；若根的表达式含参，无法直接确定根的大小关系。由此引出本节课的主题——含参一元二次不等式的解法。 2、 新知探究 1.情形一：二次项系数含参（核心：判断是否为二次不等式） 例如：解不等式ax2 - 3x + 2 < 0（a∈R）。 引导学生分析：参数a的取值会影响不等式的类型，当a = 0时，不等式变为一次不等式；当a≠0时，才是二次不等式。因此，第一步应按a = 0和a≠0进行分类。 （1）当a = 0时，不等式化为-3x + 2 < 0，求解得x > ，解集为(, +∞)。 （2）当a≠0时，为二次不等式，需判断开口方向和根的情况。先计算判别式△= 9 - 8a。 ① 当a > 0时，抛物线开口向上。再按△< 0、△= 0、△> 0分类： ② 当a < 0时，抛物线开口向下。此时△ = 9 - 8a > 0（因为a < 0，-8a > 0，所以9 - 8a > 9 > 0），方程有两个不等实根，引导学生判断根的大小。 教师总结：当二次项系数含参时，首要分类标准是“二次项系数是否为0”，再在二次项系数不为0的情况下，按“开口方向”“判别式大小”分类，确保不重复、不遗漏。 2.情形二：根的大小关系含参（二次项系数确定） 例如：解不等式x2 - (m + 1)x + m < 0（m∈R）。 引导学生分析：二次项系数为1，开口向上，先对不等式左边因式分解，求出对应方程的根。此时参数m的取值影响两根的大小关系，因此分类标准为“m与1的大小关系”。 教师总结：当二次项系数确定、判别式恒正（或可因式分解）时，分类标准为“根的大小关系”，通过比较根的大小，结合函数图像写出解集。 3.教师引导学生小组讨论，归纳含参一元二次不等式的求解步骤： （1）定类型：判断二次项系数是否含参，若含参，先按“二次项系数为0”和“不为0”分类，“为0”时转化为一次不等式求解；“不为0”时为二次不等式。 （2）定开口：对于二次不等式，判断二次项系数的正负，确定抛物线开口方向。 （3）定根况：计算判别式△，若△含参，按“△< 0，△= 0，△> 0”分类，判断方程根的个数；若方程可因式分解，直接求出根，再判断根的大小关系（若根含参）。 （4）写解集：结合开口方向和根的情况，利用二次函数图像写出不等式的解集。 强调核心思想：分类讨论，将含参问题转化为不含参问题求解；分类标准要明确，层次要清晰，避免重复和遗漏。 3、 典例分析 类型1：按二次项的系数的符号分类和按根的大小分类; 例1 解不等式 解： 当时，不等式为，解集为； (2) 当时， 当时，<0，二次函数轴无交点， 所以不等式解集为； 当时， >0，不等式可化为（x+1）(ax+1)>0，解得方程的两根为 当，所以>0，>， 结合二次函数图象得原不等式解集为}. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时, 解集为}. 类型2：按判别式的符号分类 例2 解不等式. 解： ①当，即时，解集为； ②当，即时，解集为； ③当或，即时，此时两根，显然， 不等式的解集为或. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当或，解集为或. 总结：①当求解一元二次不等式时，它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与轴有交点，就不需要考虑判别式. 常见的形式有， 等，若判别式是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解； ②在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析. 四、课堂小结 1.回顾含参一元二次不等式的两种常见情形及求解方法。 2.强调分类讨论的核心思想和注意事项（分类标准明确、层次清晰、不重不漏）。 五、课后作业 1.基础题：解不等式2x2+(a-1)x-a> 0(a∈R）.（设计意图：巩固根的大小关系含参的情形，训练因式分解能力） 2.提升题：解不等式ax2+2x+a>0(a∈R）.（设计意图：综合考查二次项系数含参、判别式含参的情形，提升分类讨论的全面性） 学科网（北京）股份有限公司 $