精品解析：陕西省西安市西光中学教育集团 2025-2026 学年第二学期初一年级期末数学学科试题

西光中学教育集团2025-2026学年度第二学期初一年级数学期末考试 时间：120分钟 满分：120分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（   ） A. B.   C. D. 2. 某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，有一块含有角的直角三角板两个顶点放在直尺对边上， 如果， 那么的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 海枯石烂 B. 画饼充饥 C. 瓜熟蒂落 D. 守株待兔 5. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 7．5 D. 10 7. 点在第二象限的角平分线上，则m的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 8. 如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有__________个． 10. 已知点关于y轴的对称点是，则______． 11. 若实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_______． 12. 根据你发现的规律填空：已知，若，则_________ 13. 如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 14. 如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 三、解答题（12道，共78分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，四边形中，，点为四边形边上一点，请用尺规作图确定点的位置，使（不写画法，保留作图痕迹）． 18. 西安是古丝绸之路的起点，也是“一带一路”核心枢纽城市，现有正面分别写有“最”“美”“西”“安”的卡片共20张，这些卡片除正面的字外其余完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“西”字的卡片有4张，写有“安”字的卡片有3张，洗匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）随机抽取一张，则抽到写有“美”字卡片的概率为________； （2）从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“西”字的卡片，洗匀后，背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取一张卡片，抽到写有“西”字卡片的概率为，求的值． 19. 小明利用一根长的竹竿来测量垂直于地面的路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竹竿在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 20. 如图，在中为的垂直平分线． （1）如果 ，，试求的周长； （2）如果，求的度数． 21. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，爆破点C周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于x轴对称的（点A，B，C的对称点分别为，，）； （2）写出点A'，B'，的坐标：___________，___________， ___________； （3）求的面积． 23. 如图，边长为 a的大正方形有一个边长为 b的小正方形，把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）． （1）上述操作能验证的等式是： （请选择正确的选项）： （2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知， 则 ． ②试说明（n为整数）是4 的倍数； 24. 如图，是平分线上的一点，若．试说明：． 25. 某运输公司派出甲、乙两车负责运送一批货物，已知两车同时从M城出发驶往N城，甲车到达N城后立即按原路返回M城（卸载货物的时间忽略不计），乙车到达N城后停止，如图是甲车、乙车离M城的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）的关系，请结合图象回答下列问题： （1）甲车返回M城的速度为___________千米/小时； （2）当甲车从N城返回M城的途中与乙车相遇时，相遇处离M城的距离为多少千米？ （3）在甲、乙两车相遇之前，当两车相距10千米时出发时间为何时？ 26. 综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图3中小明的证明； （2）如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； （3）如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西光中学教育集团2025-2026学年度第二学期初一年级数学期末考试 时间：120分钟 满分：120分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8题，每小题3分，共24分） 1. 下列计算正确的是（   ） A. B.   C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可． 【详解】A、∵和不是同类项，∴不能加减，故此答案错误，不符合题意； B、∵，∴此答案错误，不符合题意； C、∵，∴此答案错误，不符合题意； D、∵，∴此答案正确，符合题意． 故选D 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 2. 某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示时，一般形式为a×10-n.其中n的值由原数左边起第一个不为零数字前面的0的个数决定． 【详解】解：∵1nm=0.0000001cm． ∴5nm=0.0000005cm． ∴0.0000005cm=5×10-7cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n.其中1≤|a|＜10，n的值由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定． 3. 如图，有一块含有角的直角三角板两个顶点放在直尺对边上， 如果， 那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质求出的度数，再利用三角板角的度数计算即可． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 4. 下列成语描述的事件是随机事件的是（ ） A. 海枯石烂 B. 画饼充饥 C. 瓜熟蒂落 D. 守株待兔 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，可得答案． 【详解】解：A、海枯石烂是不可能事件，故此选项不符合题意； B、画饼充饥是不可能事件，故此选项不符合题意； C、瓜熟蒂落是必然事件，故此选项不符合题意； D、守株待兔是随机事件，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 6. 如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（ ） A. 5 B. 7 C. 7．5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，由角平分线的性质，得，然后求出的面积即可． 【详解】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图： ∵为的角平分线，于点， ∴， ∴的面积为：； 故选：A 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是正确的作出辅助线，从而进行计算． 7. 点在第二象限的角平分线上，则m的值为（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标的知识．根据第二象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值即可． 【详解】解：∵点在第二象限的角平分线上， ， 解得，， 故选：C． 8. 如图，点 E是的中点，， 平分，下列结论：； ；四边形的面积等于；． 四个结论中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质．过E作于F，可得，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质可得，，运用全等三角形的判定可得，再运用全等三角形的性质即可判断②④是否正确；根据即可判断①是否正确；由可判断③正确． 【详解】解：如图，过E作于F， ∵，平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴ 在和中，， ∴， ∴，，，故②正确； ∴，故④正确； ∵， ∴，故①正确． ∵， ∴，故③正确． 综上，四个结论中成立的是①②③④， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. “头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有__________个． 【答案】9600 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握用频率估计概率． 用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可． 【详解】解：根据表格可知，合格头盔的频率逐渐稳定在， 估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有（个）， 故答案为：9600． 10. 已知点关于y轴的对称点是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化，轴对称，熟知关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数是解题的关键． 根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点是， ∴，， ∴， 故答案为：． 11. 若实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再分情况讨论等腰三角形的腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：根据题意，由非负数的性质得，， 解得：，， ①当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， ∴周长为； ②当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能组成三角形， ∴周长为． 12. 根据你发现的规律填空：已知，若，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． 依据被开方数小数点向左或向右移动3位，对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 13. 如图，在中， ，，，将沿所在直线折叠（点、分别在上），使点与的中点重合，则线段的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则由折叠可得，，再对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可得， ∵，点D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ 解得， ∴线段的长为． 14. 如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 【答案】 【解析】 【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 三、解答题（12道，共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂，先进行零指数幂和负整数指数幂，去绝对值运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，6 【解析】 【分析】先去括号、再合并同类项将原式进行化简，然后将代入计算即可解答． 【详解】解：， ， ； 当时，原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、化简求值等知识点，正确利用整式混合运算法则化简成为解题的关键． 17. 如图，四边形中，，点为四边形边上一点，请用尺规作图确定点的位置，使（不写画法，保留作图痕迹）． 【答案】作图见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，涉及三角形的面积、角平分线的性质等知识，理解题意，掌握三角形面积公式是解题的关键．作的平分线交于点，连接，点即为所求． 【详解】解：如图所示： 点即为所求． 18. 西安是古丝绸之路的起点，也是“一带一路”核心枢纽城市，现有正面分别写有“最”“美”“西”“安”的卡片共20张，这些卡片除正面的字外其余完全相同，已知写有“最”字的卡片有8张，写有“西”字的卡片有4张，写有“安”字的卡片有3张，洗匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）随机抽取一张，则抽到写有“美”字卡片的概率为________； （2）从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“西”字的卡片，洗匀后，背面朝上放置在桌面上，从中随机抽取一张卡片，抽到写有“西”字卡片的概率为，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）首先确定写有“美”字的卡片数量，然后根据简单概率计算公式求解即可； （2）根据题意，从这些卡片中取出张写有“最”字的卡片，再放入张写有“西”字的卡片，则卡片中写有“西”字卡片的数量变为张，根据“从中随机抽取一张卡片，抽到写有“西”字卡片的概率为”，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，可知写有“美”字的卡片有张， 则随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为； 【小问2详解】 根据题意，可得， 解得， ∴的值为4． 19. 小明利用一根长的竹竿来测量垂直于地面的路灯的高度．他的方法如下：如图，在路灯前选一点P，使，并测得，然后把竖直的竹竿在的延长线上左右移动，使，此时测得．请根据这些数据，计算出路灯的高度． 【答案】 【解析】 【分析】先根据垂直的定义得到，再利用三角形内角和定理证明，即可证明，进而得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴路灯的高度为． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 20. 如图，在中为的垂直平分线． （1）如果 ，，试求的周长； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】（1）本题考查垂直平分线的性质，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等直接求解即可得到答案； （2）本题考查等边对等角及直角三角形两锐角互余，设，则得到，结合直角三角形两锐角互余列式求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：∵为的垂直平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则． 21. 如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上的另一停靠站B的距离为，且，为了安全起见，爆破点C周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？是否需要暂时封锁？ 【答案】有危险，需要暂时封锁 【解析】 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴公路段有危险，需要暂时封锁． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，， （1）在图中作出关于x轴对称的（点A，B，C的对称点分别为，，）； （2）写出点A'，B'，的坐标：___________，___________， ___________； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3） 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，利用网格求三角形面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据三个顶点的位置，作出关于x轴对称的； （2）根据关于x轴对称的特征求出三个顶点的坐标； （3）长方形的面积减去周围的三角形面积即可． 【小问1详解】 解：作出关于x轴对称的， 即为所求作； 【小问2详解】 解：∵关于x轴对称的，△ABC的三个顶点的坐标分别为，，， ∴，，， 故答案为：，，； 【小问3详解】 解： ． 23. 如图，边长为 a的大正方形有一个边长为 b的小正方形，把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2 所示）． （1）上述操作能验证的等式是： （请选择正确的选项）： （2）请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知， 则 ． ②试说明（n为整数）是4 的倍数； 【答案】（1）D （2）①7；②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了运用平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据图中阴影部分的面积进行解答即可； （2）①根据平方差公式变形进行计算即可；②利用平方差公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：图1中阴影部分的面积是，图2中阴影部分的面积为， ∵两个图中阴影部分的面积相等， ∴能验证的等式是，故D正确． 故选：D． 【小问2详解】 ①， ， ， 故答案为：7； ②． 所以（n为整数）是4 的倍数 24. 如图，是平分线上的一点，若．试说明：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，过点分别作于点，于点，由角平分线的性质可得，由补角性质可得，进而可证明，即可求证，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点分别作于点，于点， 则， ∵是的平分线，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 25. 某运输公司派出甲、乙两车负责运送一批货物，已知两车同时从M城出发驶往N城，甲车到达N城后立即按原路返回M城（卸载货物的时间忽略不计），乙车到达N城后停止，如图是甲车、乙车离M城的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）的关系，请结合图象回答下列问题： （1）甲车返回M城的速度为___________千米/小时； （2）当甲车从N城返回M城的途中与乙车相遇时，相遇处离M城的距离为多少千米？ （3）在甲、乙两车相遇之前，当两车相距10千米时出发时间为何时？ 【答案】（1）90 （2）75千米 （3）小时或小时 【解析】 【分析】本题主要考查函数的图象、一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，明确题意并从函数图像上得到所需信息成为解题的关键． （1）根据图像可得当小时时，离M城的距离是90千米，当小时时，离M城的距离是0千米，即可求得甲车返回M城的速度； （2）利用待定系数法求得甲车从N城返回M城的函数解析式和乙车路程和时间的函数解析式，求交点坐标即可得出相遇时间，进而可得相遇处离M城的距离； （3）分甲车到达M地前，甲车到达M城后与乙车相遇前两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：根据图像可得当小时时，离M城的距离是90千米，当小时时，离甲地的距离是0千米， ∴甲车返回M城的速度为(千米/小时) ． 故答案为：90． 【小问2详解】 解：设货车离M城的距离y(千米)与甲车行驶时间的函数解析式是,则,解得：， 所以函数解析式是； 设甲车在返回M城过程中离M城的距离y(千米)与甲车行驶时间x(小时)的解析式是， 则，解得：， 所以函数解析式是, 联立，解得：． 则甲车从N地返回M地的途中与货车相遇时，相遇处到甲地的距离是千米． 【小问3详解】 解：设两车出发a小时相距10千米，甲到达N地前，解得：； 甲车到达N城后与乙车相遇前:，解得：． 答:在甲、乙两车相遇之前，当两车相距10千米时出发时间或． 26. 综合与实践：如图1，数学活动课上，李老师带领学生在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同侧有两个定点A，B，在直线l上存在点C，使得的值最小． 小明的作法是：如图2，作点B关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为点C，且的最小值为的长． 如图3，为了证明点C的位置即为所求，小明经探究发现，在直线上另外取点，连接，，，证明即可． （1）请完成图3中小明的证明； （2）如图4，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________； （3）如图5，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小为________度． 【答案】（1）证明见解析 （2）11 （3）110 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可知，，，则，，可得，进而结论得证； （2）连接，则B是C关于m的对称点，当B、P、A三点共线时，即当P是与的交点时，的周长最小； （3）分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值，根据轴对称的性质解题即可． 本题考查“将军饮马”问题的探究、轴对称性的应用． 【小问1详解】 证明：由轴对称的性质可知，，， ∴，， ∴，， ∴当三点共线时，值最小， ∴点的位置即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵m是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， 当且仅当B、P、A三点共线时，等号成立， 即当P是与的交点时，的周长最小，最小为11， 故答案为：11； 【小问3详解】 解：如图，分别作关于、的对称点、，连接、，当、、四点共线时，的周长取最小值， 根据对称性可知，， ∴， ， ， ， ， 故答案为：110． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $