集合：容斥原理、集合的运算与含参问题、集合新定义问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

集合：容斥原理、集合的运算与含参问题、集合新定义问题专项训练 集合：容斥原理、集合的运算与含参问题、集合新定义问题专项训练 考点目录 容斥原理 集合的运算与含参问题 集合新定义问题 考点一 容斥原理 例1．（25-26高一上·河北·期中）某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 例2．（25-26高一上·云南·期中）某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 例3．（25-26高一上·江西赣州·月考）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是 . 例4．（24-25高一上·福建厦门·月考）高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是 ． 例5．（25-26高一上·广西百色·月考）某校高一年级有60名学生参加科技兴趣小组或演讲兴趣小组，其中参加科技兴趣小组的有45人，参加演讲兴趣小组的有35人，则两个兴趣小组都参加的有 人． 变式1．（25-26高一上·北京·期中）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 变式2．（25-26高一上·山东烟台·期中）为培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 变式3．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有 人． 变式4．（25-26高一上·山西晋中·月考）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为 . 变式5．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）某花店统计了连续三天售出鲜花的种类情况：第一天售出种鲜花，第二天售出种鲜花，第三天售出种鲜花，前两天都售出的鲜花有种，后两天都售出的鲜花有种.则该花店第一天售出但第二天未售出的鲜花有 种，这三天售出的鲜花最少有 种. 考点二 集合的运算与含参问题 例1．（25-26高一上·上海金山·期末）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 例2．（25-26高一上·青海西宁·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 例3．（25-26高一上·吉林长春·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 变式1．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数的定义域为集合，集合. (1)若，求； (2)若，求m的取值范围． 变式2．（25-26高一上·河南·月考）已知集合 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 变式3．（25-26高一上·河南新乡·月考）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·北京石景山·期末）设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. (1)已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； (2)已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 例2．（25-26高一上·辽宁·期末）设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个元素，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么称为从到的一个联动. 例如：，，，，不是从到的一个联动； ，，，，是从到的一个联动. (1)若，，，，是从A到B的一个联动，求的取值范围； (2)已知n为常数，且，若，，，，是从到的一个联动，求的取值范围. 例3．（25-26高一上·上海·月考）若对于给定的正实数，集合定义域内任意都有. (1)若，证明：； (2)若，且，求实数的取值范围. 变式1．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 变式2．（25-26高一上·上海·期中）如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． (1)分别判断与是否为集（直接写出结论）； (2)当时，对于集，设，求证：； (3)当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 变式3．（25-26高一上·浙江·期中）对于集合，，记，，表示集合中元素的个数. (1)若，，求，； (2)试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； (3)已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $集合：容斥原理、集合的运算与含参问题、集合新定义问题专项训练 集合：容斥原理、集合的运算与含参问题、集合新定义问题专项训练 考点目录 容斥原理 集合的运算与含参问题 集合新定义问题 考点一 容斥原理 例1．（25-26高一上·河北·期中）某班有45名学生，其中20人喜欢篮球，25人喜欢乒乓球，10人对这两项运动都不喜欢.则同时喜欢篮球和乒乓球的人数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【详解】设喜欢篮球又喜欢乒乓球的人数为， 则只喜欢篮球的有，只喜欢乒乓球的有， 所以，解得， 所以同时喜欢篮球和乒乓球的人数为10， 故选：B. 例2．（25-26高一上·云南·期中）某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【答案】B 【详解】设只选择了白色的小朋友有人， 则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有人， 只选择了蓝色的小朋友有人， 所以，解得. 故选：B 例3．（25-26高一上·江西赣州·月考）为了增强公司的凝聚力，某公司举行羽毛球、乒乓球、网球三项比赛，共有80名员工参赛，其中参加羽毛球比赛的有40名，参加乒乓球比赛的有45名，参加网球比赛的有30名，同时参加羽毛球、乒乓球比赛的有20名，同时参加乒乓球、网球比赛的有15名，同时参加羽毛球、网球比赛的有10名，则这三项比赛都参加的员工人数是 . 【答案】10 【详解】设三项比赛都参加的员工为人，结合已知条件可知，只参加乒乓球、网球比赛的员工为人， 只参加羽毛球、乒乓球比赛的员工为人，只参加羽毛球、网球比赛的员工为人， 只参加乒乓球比赛的员工为人，只参加网球比赛的员工为人，只参加羽毛球比赛的员工为人， 如图所示： 故，解得， 故这三项比赛都参加的员工人数是10. 故答案为：10 例4．（24-25高一上·福建厦门·月考）高一共50名学生参加100米和400米两项体育测试并且每人至少有一项合格，100米和400米两项测试成绩合格的分别有29人和25人，则这两项成绩都合格的人数是 ． 【答案】. 【详解】设两项都合格的人数为，则由题意得 ，解得， 即这两项成绩都合格的人数是． 故答案为：. 例5．（25-26高一上·广西百色·月考）某校高一年级有60名学生参加科技兴趣小组或演讲兴趣小组，其中参加科技兴趣小组的有45人，参加演讲兴趣小组的有35人，则两个兴趣小组都参加的有 人． 【答案】 【详解】由于参加科技兴趣小组的有45人，参加演讲兴趣小组的有35人，参加科技兴趣小组或演讲兴趣小组的有60人，设两个兴趣小组都参加的有人， 则可得，解得. 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·北京·期中）在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 【答案】A 【详解】记这10部微电影为，. 先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于， 则此时优秀影片数目最多，为2部； 然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影， 则此时优秀影片数目最多为3部； 以此类推，在10部微电影中，最多可能有10部优秀影片. 故选：A 变式2．（25-26高一上·山东烟台·期中）为培养学生科学素养，某校开设了编程和创客两个社团，要求每位高一学生至少参加其中一个社团.若高一某班有25名学生参加编程社团，有35名学生参加创客社团，两个社团都参加的有15名学生，则该班学生总数为（   ） A．40 B．45 C．50 D．55 【答案】B 【详解】25-15=10（人），因此仅参加编程社团的有10人，同理可得仅参加创客社团的有20人，因此仅参加一个社团的学生数为10+20=30（人）. 又因为每个学生至少参加了一个社团，因此只需将仅参加一个社团的学生数加上参加两个社团的学生数，即为该班学生总数. 因此该班学生总数为30+15=45（人）. 故选：B. 变式3．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有 人． 【答案】8 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·山西晋中·月考）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为 . 【答案】4 【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则，，，， ，，， 设三项都参加的有人，即， 由， 则，解得，即三项都参加的有4人. 故答案为：4. 变式5．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）某花店统计了连续三天售出鲜花的种类情况：第一天售出种鲜花，第二天售出种鲜花，第三天售出种鲜花，前两天都售出的鲜花有种，后两天都售出的鲜花有种.则该花店第一天售出但第二天未售出的鲜花有 种，这三天售出的鲜花最少有 种. 【答案】 【详解】设三天都售出的鲜花有种，第一天售出第二天未售出且第三天售出的鲜花有种， 则三天售出鲜花的种类关系如图所示. 第一天售出但第二天未售出的鲜花种数有. 这三天售出的鲜花种数有, 由题意得，故当时，取最小值， 所以这三天售出的鲜花最少有种. 故答案为：；. 考点二 集合的运算与含参问题 例1．（25-26高一上·上海金山·期末）已知集合，． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）不等式，变形为，通分得：，等价于，解得， 故集合.因为，根据集合的性质可知：,所以，解得：， 所以实数m的取值范围是. （2）当时，，因为，所以，解得， 当时，且，所以，此时不等式组无解. 综上，实数m的取值范围是. 例2．（25-26高一上·青海西宁·期末）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 当时，， 则或， 所以； （2）因为是的充分条件， 所以， 当时，则，解得； 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为． 例3．（25-26高一上·吉林长春·期末）设集合，． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由解得，故， 当时，集合，由解得，故， 所以. （2）由题得，集合A是集合B的真子集，， ① 当时，即时，集合，不满足集合A是集合B的真子集，故不成立； ② 当时，即时，集合，若集合A是集合B的真子集，则有，解得； ③ 当时，即时，集合，若集合A是集合B的真子集，则有，此时无解. 综上，实数的取值范围是 变式1．（25-26高一上·广东广州·月考）已知函数的定义域为集合，集合. (1)若，求； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题可知，得，则，则， 若，则， 则. （2）由（1）可知，，，则. 若，则，解得； 若，则，得，则. 综上所述，. 变式2．（25-26高一上·河南·月考）已知集合 . (1)若 ，求 ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， 当 时， ， 则. （2）由 可得 ， 若 ，则方程 无实数根， 即 ，解得 . 若 ，则方程 的根都在区间 内， 由 ， 解得 或 . 综上， 的取值范围是 . 变式3．（25-26高一上·河南新乡·月考）已知集合、集合（）. (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意可知，又. 当时，，解得； 当时，，即时， 有或，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围为； （2）命题是命题的必要不充分条件，集合是集合的真子集， 当时，，解得； 当时，若集合是集合的真子集，则有（②式与③式等号不能同时成立）， 解得. 综上所述，实数的取值范围为. 考点三 集合新定义问题 例1．（25-26高一上·北京石景山·期末）设非空数集，若，都有，则称是一个“乘法封闭集”；若，有，则称为的一个“完美元素”. (1)已知含有两个元素的集合是一个“乘法封闭集”，求集合； (2)已知集合. （i）判断集合是否是一个“乘法封闭集”，并说明理由； （ii）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】(1)，或 (2)（i）是，证明见解析；（ii） 【详解】（1）设集合， 因为集合是一个“乘法封闭集”，所以，，， 所以或， 解得或，解得或， 所以或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时， 若令，则，所以，或，解得或（舍去），此时，或， 综上，，或； （2）（i）设，则， 所以， 因为，所以，， 所以，所以是一个“乘法封闭集”； （ii）因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以或， 假设，则，即为3的倍数， 设，若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 若，则，不是3的倍数， 所以. 例2．（25-26高一上·辽宁·期末）设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个元素，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么称为从到的一个联动. 例如：，，，，不是从到的一个联动； ，，，，是从到的一个联动. (1)若，，，，是从A到B的一个联动，求的取值范围； (2)已知n为常数，且，若，，，，是从到的一个联动，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题设，， 因为，；，， ，解得 所以，或，则的取值范围为. （2），，， 当时，由题意或，解得或或（舍去） 当时， ①若时，即时，由题意，解得或（舍去）， ②若时，即时，不符合题意， ③当时，即时，由题意，解得， 综上所述，的取值范围为. 例3．（25-26高一上·上海·月考）若对于给定的正实数，集合定义域内任意都有. (1)若，证明：； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，定义域为，且， 当时，若取时，有，不满足使得定义域内任意都有， 故. （2）由题知，对任意的，有， 又由题知，则需使，整理得，解得或（舍） 所以实数的取值范围为. 变式1．（25-26高一上·上海·期中）给定数集，若对于任意、，有，，则称集合为闭集合. (1)判断集合，集合是否为闭集合； (2)若集合、为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由； (3)已知集合、为闭集合，且，，证明：. 【答案】(1)不是闭集合；为闭集合，理由见解析 (2)不一定，理由见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）因为，，，所以不是闭集合； 任取，，设，，，， 则且， 所以，同理，，故为闭集合. （2）结论：不一定. 不妨令，， 则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，， 因此，不一定是闭集合. （3）不妨假设，则由，得存在且，故. 同理，存在且，故. 因为，所以或. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 若，则由为闭集合且，得，与矛盾. 综上，不成立，故. 变式2．（25-26高一上·上海·期中）如果正整数集的子集满足： ①； ②任意，存在，使得，则称为集． (1)分别判断与是否为集（直接写出结论）； (2)当时，对于集，设，求证：； (3)当时，若，求集中所有元素的和的最小值． 【答案】(1)不是集，是集. (2)证明见解析 (3)17 【详解】（1）不是集，是集. 因为A的元素3和5都不存在两个元素和与之相等，所以A不是集； 由于，符合集定义，所以B是集. （2）证明：因为是集，且. 因为是集合中最大的元素，且，所以，即. 又因为，所以，即. 同理，.相加可得， 即， 因为，所以，所以. （3）因为，且是集，所以7可以表示为集合中其他两个元素的和. 由于，所以集合中至少有4个元素. 由，且7是最大元素，； 若集合中含有元素6，则必有3，若有3，则必有2，此时; 若集合中含有元素5，则必有2和3，此时; 若集合中含有元素4，则必有2和3，此时; 所以集合中所有元素的和的最小值为. 变式3．（25-26高一上·浙江·期中）对于集合，，记，，表示集合中元素的个数. (1)若，，求，； (2)试判断：是否成立，若成立则加以证明，若不成立，请举出反例； (3)已知有限集，，满足，试用含，的式子表示满足条件的集合的个数. 【答案】(1)，. (2)成立，证明见解析 (3). 【详解】（1）由已知得：，， 则，， 故，. （2）由题意可知：，， 所以， 所以成立. （3）画出Venn图，将划分成个集合， 每一个集合的元素个数为，则， ，， ， 由条件可得： ， 化简得，即，得，即. 由，可知； 由，可知，故. 不妨设集合，其中集合，. 由于，所以， 即集合为集合的子集， 故满足条件的集合的个数等于满足条件的集合的个数，等于. 2 学科网（北京）股份有限公司 $