2027届高考一轮复习4.2.2 指数函数的图象和性质

**基本信息** 本练习通过“基础认知-性质应用-综合提升”三级分层，覆盖指数函数图象判断、定义域值域、单调性等核心知识点，从单一概念辨析到综合问题解决，构建递进式知识巩固路径，适配一轮复习基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|图象形状判断、定点问题、定义域|以选择填空题为主，如图象识别题（1-9题）、定点求解（10-14题），强化几何直观与抽象能力| |性质应用|值域、单调性、大小比较|结合函数性质（24-29题单调性判断）、不等式求解（30-36题），培养推理能力与运算能力| |综合提升|奇偶性、恒成立问题、实际应用|解答题（38-41题）综合考查函数性质证明与应用，体现模型观念与应用意识|

4.2.2 指数函数的图象和性质 知识点一 判断指数型函数的图象形状 1．函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）对于函数且），，在同一直角坐标系下的图象可能为（　　） A．   B．   C．   D．   5．已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 7．已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 8．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．如图是指数函数的部分图象，已知取这四个值，则曲线相对应的依次为（　　） A． B． C． D． 知识点二 指数型函数图象过定点问题 10．函数必经过（    ） A． B． C． D． 11．函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 12．已知函数的图象恒过定点A，且A点在直线上，则的最小值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 13．幂函数在上单调递增，则函数（）图象过定点（   ） A． B． C． D． 14．函数（，且）的图象过定点，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 知识点三 求指数（型)函数的定义域 15．函数的定义域为 （    ） A． B． C． D． 16．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 17．设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 知识点四 求指数（型)函数的值域 19．已知函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 20．若是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 21．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 22．已知函数，且在R上存在最值，则的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D．或 23．函数的值域为（ ） A． B． C． D． 知识点五 指数函数单调性 24．下列函数中，既是奇函数又是增函数是（    ） A． B． C． D． 25．下列函数中，在区间上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 26．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 27．若函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 知识点六 指数函数性质应用 30．已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 31．已知定义在R上的奇函数满足，当时，，则，，间的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 32．定义在上的函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C．[0，1] D． 33．已知，则（    ） A． B． C． D． 34．设，则（   ） A． B． C． D． 35．已知，那么（    ） A． B． C． D． 36．设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 37．设，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点七 指数函数综合应用 38．已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 39．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 40．已知定义在R上的函数满足：对任意都有，且当时，. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)证明：函数的单调性； (3)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 41．已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 4.2.2 指数函数的图象和性质 参考答案 1．D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 2．B 【分析】利用函数的奇偶性和值域可得答案. 【详解】由解析式知，函数定义域为R，且，为奇函数，排除A,C; 时，，排除D. 3．A 【分析】先求定义域，再求出为偶函数，再得到当时，，A正确. 【详解】定义域为， 又，故为偶函数，排除BD； 当时，，故，排除C选项，A正确. 故选：A 4．【答案】AD 【解析】当a＞1时，f（x）＝ax是指数函数，单调递增，且图象过点（0，1）， 而g（x）＝ax2﹣x＝a（x）2，对称轴x1，故A正确，B错误； 当0＜a＜1时，f（x）＝ax是指数函数，单调递减，且图象过点（0，1）， 而g（x）＝ax2﹣x＝a（x）2，对称轴x，故D正确，C错误. 故选：AD． 5．D 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：D 6．D 【分析】根据图象平移结合题中函数图象分析判断即可. 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 7．D 【分析】根据指数函数图象性质可知，对选项逐一判断可得出结论. 【详解】对于A，根据图象为单调递减的，可知，即A错误； 对于B，由函数图象与轴交点在负半轴上，即可得，可得，因此B错误； 对于C，根据已有分析可知，所以，即C错误； 对于D，由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上， 因此可知函数的图象不经过第四象限. 故选：D 8．C 【分析】分和，两种情况讨论，画出函数的图象，结合图象，得出关于不等式，即可求解. 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C.      9．D 【分析】令，结合图象即可得到. 【详解】当时，越大，越大．的值小于的值小于的值小于的值. 故选：D. 10．A 【详解】由，所以函数必经过点，故A正确； 因为无意义，所以函数不经过点，故B错误； 因为无意义，所以函数不经过点，故C错误； 由，所以函数不经过点，故D错误. 11．D 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 12．C 【分析】根据指数函数的图象恒过点可求出点A的坐标，代入直线方程可得到的关系式，根据基本不等式中“1”的妙用可得解. 【详解】因为函数的图象恒过定点，所以. 又A点在直线上，所以，即， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为2. 13．C 【分析】由幂函数定义求得，然后由指数函数的性质求得定点坐标. 【详解】由题意可知，∴， ∴，令，即，， ∴函数图象过定点. 故选：C. 14．A 【分析】根据得到定点坐标，即可得到答案. 【详解】因为，所以定点为， 则，故. 故选：A 15．C 【分析】根据被开方式大于等于0求解定义域，并结合指数函数单调性解不等式. 【详解】根据题意，函数， 则函数，即， 所以. 故选：C 16．D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 17．D 【分析】求出的定义域后可求的定义域， 【详解】因为，所以，故， 故的定义域为， 令，则，故的定义域为. 故选：D. 18．C 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数． 【详解】解：对于，函数定义域为，定义域为，定义域相同，但对应关系不同，故不是同一函数； 对于，函数，定义域为,的定义域为，定义域不同，不是同一函数； 对于，函数定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域相同，对应关系也相同，故是同一函数； 对于，函数，函数，， 定义域不相同，故不是同一函数． 故选：C． 19．A 【分析】求出函数在上的值域，对实数的取值进行分类讨论，求出该函数在上的值域，结合已知条件可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，，则，故， 若，当时，，此时函数在上的值域为，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为，不是，不符合题意； 若，当时，， 此时函数在上的值域为， 所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 20．A 【分析】根据给定条件，结合指数函数单调性求出在上的值域，再利用偶函数的性质求出指定区间上的值域. 【详解】当时，，，函数在上单调递减， 当时，，又函数是上的偶函数， 则当时，，所以函数在上的值域为. 故选：A 21．A 【分析】利用指数函数单调性求出函数值域. 【详解】函数在上单调递增，则， 所以的值域为. 故选：A 22．C 【分析】根据分段函数解析式，应用分类讨论，结合一次函数、指数函数的单调性研究的区间值域，进而判断其是否存在最值，即可得. 【详解】当且， ，在上单调递增，则， 若时，在上单调递减，则，此时，存在最大值； 若时，在上单调递增，则，此时没有最值； 当时，，此时，存在最小值； 当， ，在上单调递减，则， 在上单调递增，则，此时，存在最小值； 综上，或. 故选：C 23．C 【分析】根据指数函数的值域为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数的值域为， 故选：C. 24．D 【分析】根据函数的奇偶性定义以及函数的单调性，一一判断各选项中的函数性质，即可得答案． 【详解】对于A，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，且为偶函数， 不符合题意； 对于C，设，定义域为R，满足， 故函数为奇函数； 当时，在上单调递减，且， 当时，在上单调递减，且， 故在R上单调递减，不符合题意； 对于D，设，定义域为R，且满足， 故为奇函数； 又在R上单调递增，在R上单调递减， 故在R上单调递增，D正确， 25．A 【详解】对A，根据幂函数性质知在上单调递增，故A正确； 对B，，则在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C，，根据指数函数性质知其在上单调递减，故C错误； 对D，因为可化为，函数在上单调递减，则在上单调递减. 26．C 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 27．A 【分析】令，则在上单调递增，从而得到即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 令， 又因为单调递减，则在上单调递增， 则，所以实数的取值范围是. 28．C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 29．B 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性规则计算判断即可. 【详解】对于函数，令，即，解得或， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即函数的单调递减区间为. 故选：B 30．A 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 31．A 【分析】先根据已知条件求出函数的周期和对称性，再化简的值，最后利用指数函数的性质即可求出. 【详解】，函数的图像关于直线对称，， 又是定义在R上的奇函数，，，则， 即，故，函数的周期为， ，再根据对称性可得， ，， 当时，为增函数， 则，， 故. 32．B 【分析】根据题意，求得为奇函数，且为单调递增函数，把不等式转化为，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数的定义域为关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 又由，可得函数为递增函数， 则不等式，即， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 33．B 【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为， 函数是减函数，所以， 同理，函数是增函数，所以. 综上，可得. 故选：B 34．C 【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 35．B 【分析】利用指数函数单调性判断的范围，再结合指数函数和幂函数单调性比较大小关系即可. 【详解】指数函数，底数，因此是上的减函数, 原不等式可改写为：, 根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：. 指数函数，底数，因此是减函数， 因为，所以. 幂函数，指数，因此在上是增函数. 因为，所以 所以 36．B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 37．B 【详解】若，则，但推不出，例如：当时，，但，所以充分性不成立； 若，则，因为是增函数，所以，所以必要性成立. 则是的必要不充分条件. 38．(1) (2)． 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解； （2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案. 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和， 可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立， 即当时，恒成立， 即在上恒成立， 又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减， 所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 39．(1) (2)减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3）因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 40．(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）用赋值法，结合奇函数的定义进行证明即可； （2）运用函数单调性的定义，结合已知进行判断证明即可； （3）运用函数的的单调性和奇函数的性质，结合常数分离法、换元法、构造函数法进行求解即可. 【详解】（1）令 ，得，所以． 证明：令 ，得 ， 所以， 所以为奇函数； （2）设，所以. 由， 因为当时，，所以， ∴是增函数； （3）由题意知：对任意恒成立， 即对任意恒成立， 又是定义在上的增函数， 所以对任意恒成立， 所以， 所以， 令，，则， 当时，， 所以． 41．(1) (2)20 (3) 【分析】（1）由代入可得； （2）设，换元后利用二次函数的性质可得； （3）先将条件转化为，因，故对任意的恒成立，即在上恒成立，进而可得. 【详解】（1）由，得，解得. （2）当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最大值，所以在区间上的最大值为. （3）若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又， 所以， 所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，. 令，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $