天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高一下学期第二次质量监测数学试卷

自理自学勇争第一 天津一中滨海学校2025-2026-2第二次质量监测 高一数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分. 考试时间：100分钟.考试结束后，将答题纸交回.祝各位考生考试顺利！ 参考公式 ·柱体的体积公式V=Sh,其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高； 密 ·锥体的体积公式口=}S,其中S表示锥体的底面面积，表示锥体的高； 3 封 球的体积公式V=号πR,球的表面积公式S=4R,其中R表示球的半径. ·如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)· 线 一组数据 ，x,,x的平均数为下，它的方差为 内 -[(西到+(-矿++化-门 不 第I卷选择题(60分) 要 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项 中，选出符合题目要求的一项.) 答 在复平面内，与复数对应的点位于· 题 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.“k<3”是“向量=(k,1)与向量b=(2,-6)的夹角为钝角”的() A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 童 3.在△ABC中，A 3'cosc=2 > BC=√万，则AB=() A.2 B.3 C.25 D.4 高一下学期第二次质量监测第1页共4页 4.为提高学生学习数学的热情，天津一中滨海学校举行高二数学竞赛，以下 数据为参加数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）78,70,72,86,79， 80,81,84,56,83,则这10人成绩的第80百分位数是() A.83 B.83.5 C.84 D.70 5.珠算是以算盘为工具进行数字计算的一种方法，2013年年底联合国教科文 组织将中国珠算项目列入人类非物质文化遗产名录.算盘的每个档（挂珠的 杆)上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面的两颗珠叫“上珠”，下面的5颗叫“下 珠”，从最右边两档的14颗算珠中任取1颗，则这一颗是上珠的概率为() A B. 2-5 C. 2-7 6.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”， 事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”， 则下列说法正确的是() A.A与B是对立事件 B.B与C是对立事件 C.A与C是互斥事件 D.A与B是互斥事件 7.己知，B,Y是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列说法 正确的是（) A.若∥B,mC,ncB,则∥n B.若m⊥a,m⊥n,则n∥o C.若a⊥y,B⊥y,则a∥B D.若m⊥，n⊥B,a⊥B,则m⊥n 自理自学勇争第一 8.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC 上一点，当PAI/平面EBF时， B A. B.1 2 6 2-3 D. 9已知向量ā=Q,V5),b3,且向量a在向量6上的投影向量为五，则 3 |a-b=() A1 B.2 c.万 D.√19 10.1000名高一学生参加数学质量监测，从中随机抽取200名学生的成绩（单 位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法中，正确的个数是() 频率组距 6a 3a 2a 05060708090100成绩/分 ①频率分布直方图中a的值为0.005 ②估计这200名学生竞赛成绩的第60百分位数为80 ③估计这200名学生竞赛成绩的众数为78 ④估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为150 A.1 B.2 C.3 D.4 高一下学期第二次质量监测第2页共4页 11.已知AB,CD分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB⊥CD,O, O分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三 棱锥A-BCD的体积为18，则该圆柱的侧面积为() A.9元 B.12元 C.16π D.18π 12.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D中，AC∩BD=O,E是线段 B,C(含端点)上的一动点， 密 ①OE⊥BD; 封 ②OE∥平面AC1D; 线 ③三棱锥A,-BDE的体积为定值： ④OE与A,C1所成的最大角为90°. 内 上述命题中正确的个数是() 不 D A 要 答 D 题 A.4 B.3 C.2 .1 第Ⅱ卷非选择题(90分) 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分.） 13.已知复数z=2i(1-3i),则z的共轭复数三= 自理自学勇争第一 14.如图，△A'B'C'是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D'是 B'C的中点，且A'D'1/y轴，B'C'∥x'轴，AD'=1,B'C'=2,则△ABC的面 积为 15.已知向量a=(-3,2),b=(-1,0),向量a+b与a-2五垂直，则实数的值 16.记样本x、x3、、xm的平均数为x,样本、y3、、yn的平均数为y (≠).若样本、、…、、、为、、的平均数为=+2， 44 则”的值为 17.联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗 产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日.为弘扬中 国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、 乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已 、乙答对问题的概率分别为和，且每轮 对与否互不影响，各轮结果也互不影响.则甲在两轮活动中答对两个问题的 概率为 一，“粽队”在两轮活动中至少答对三个问题的概率为 18.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于 中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点.若正 八面体的表面积为12、5，则正八面体外接球的体积为 高一下学期第二次质量监测第3页共4页 F 2 F3 F6 密 19.如图，正三棱柱ABC-AB,C的所有棱长均相等，点M,P,N分别 是棱AA,BB,BC的中点，则二面角P-A,C-B,的正弦值为 封 异面直线MW与PC,所成的角的余弦值为 线 内 B B 不 M 要 20.在边长为1的正方形ABCD中，E为线段CD的三等分点，DB= 二EC, 答 BE=BA+LBC,则九+u= F为线段BE上的动点，G为 题 AF中点，则AF.DG的最小值为 自理自学勇争第一 三、解答题（共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 21.（本小题满分12分)已知向量a,方满足a=(1,2),=25. (I)若a/乃，求向量b的坐标： (IⅡ)若(a+b)1(5a-2b),求a与b的夹角6. 22.(本小题满分12分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.满 2sinC sin A+cos Atan B. (I)求角B的大小： (Ⅱ)设a=4,b=2√万. (i)求c的值； (i)求sim(2C+B)的值. 高一下学期第二次质量监测第4页共4页 23.（本小题满分13分)如图，在多面体PABCD中，PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC,且PA1ICD,PA=CD=L,M为BD的中点. D 密 子 (I)求证：PM//平面ABC; 封 (II)求证：BC⊥平面PAB: 线 (II)若AB=V3,BC=1,求直线AC和平面PBC所成的角的正弦值. (请用几何法作答此题) 内 不 要 24.（本小题满分13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知BD为边AC上的中线，点M,N分别为边AB与BC上的动点，若直 答 线N与8D交于点H,且C=4,ABC-行，且满足 题 2c·sin BcosA=b·sinB-a.sinA+a·sinC. (I)求边AB的长度； (II)若△ABC的面积是△BN面积的4倍，求B五.MN的最小值.天津一中滨海学校2026年6月份质量监测 高一数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1 2 3 6 7 8 9 10 11 12 D y C D D A C 0 D A 二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 13 14 15 16 17 1 6-2i 2 92 -7 3 16:3 18 19 20 4V3π 1√5 54 2:10 39 三、解答题：本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21.（本小题满分12分) (I)根据题意，a1b,设b=a=(k,2k),(2分) 若=25，则=k2+4h2=5k2=20,(4分) 解得k=±2，故b=(2,④或五=(-2，-4).(6分) (Ⅱ)由题知ā=(1,2)，则ld=1+4=5,(7分) 若(a+b)1(5a-2b),则(a+b5a-2b)=5-26+3a.b=0,(9分) 即5×5-2×20+3×V5×2W5.cos0=0, 解行c四0：片又0s0E,(11分) 所以6-牙(12分) 1 22.（本小题满分12分) (I)解：由2sinC=sinA+cos Atan B, 2sinC=sin A+cos Ax sin Bsin Acos B+cos Asin B sin(+B)_sinC (2分) cos B cos B cos B cos B 所以2 sinC cos B=sinC, 因为C∈(0，)，所以sinC>0, 所以aB-方(3分） 又因为Be(0,,所以B=子(4分) ()由(1)知，B=子且a=4,b-2万， (i)在△ABC中，由余弦定理，得b=a2+c2-2 ac cos B,（5分) 1 即(2W7)=42+c2-2×4c× 2' .c2-4c-12=0, 解得c=6或c=-2(舍去)，所以c=6.(6分) (ii)在△ABC中，由余弦定理得 cosC= +b-c2.4+(27j-62V万 2ab 2×4×2√7-14 ∴.sinC 14 3,(8分) 14 所以sin2C=2 2sinCcC-3V3 14 (10分) ,c0s2C=2c082C-1=-13 则mc1m3c&o2c(15(12分) 23.(本小题满分13分) (I)取BC中点N,连接wMN,AW,由M为BD的中点，得MNIICD,.MW=CD,(1分) 而PA/CD,PA-CD,则PAN,PA=W,四边形M为平行四边形，(2分) 因此PM/1AN, 又PM丈平面ABC,ANC平面ABC, 所以PM1I平面ABC.（4分) (I)在平面PAB内过A作AE⊥PB于E,(5分) 由平面PAB⊥平面PBC,平面PAB∩平面PBC=PB,AEC平面PAB, 得AE⊥平面PBC,而BCc平面PBC,则BC⊥AE,（7分) 由PA⊥平面ABC,BCC平面ABC,得BC⊥PA, 又AE∩PA=A,AEC平面PAB,PAC平面PAB, 所以BC⊥平面PAB.（9分) (II)由(IⅡ)知，AE⊥平面PBC,则EC为斜线AC在平面PBC上的射影， ∠ACE为AC和平面PBC所成的角，（10分) 在R△PAB中，AB=V5,PA=1,由勾股定理得PB=2,AE-PA:AB_5,(11分) PB 2 5 在Rt△1BC中，AC=2,m∠ACg=AE-之5， 所以直线4C和平面PBC所成的角的正弦值为V5.( 13分) 4 3 24.（本小题满分13分) （I)因为2 csinBcosA=bsinB-asinA+asinC, 由正弦定理得2bcco4=b2-a2+ac,（1分) 由余弦定理得2c+cd-b-4+ac,(2分) 2bc 所以c2=ac,故a=c=4.(4分) (IⅡ)设BM=xBA,BN=yBC,，BH=BD, 由于M,H,N共线，故存在L,使得B旺=uBM+(1-)BN.（6分) 因为Saw所以Has-a41Bcn, 即BABC-B4BC,即y=O,(8分) 因为8D=BA+8C),所以有 B服=BD=A(BA+BC)=+BC BH=jBM+(1-u)BN=uxBA+(1-u)yBC (= 2x 即 整理有 解得元=20②. 传A0y x+y 1-u= 2y 1 由①②得元 2(x+ (10分) 园为旺D-网.=-=- 所以aa4中+Cac-)ac-a+0--网 .16r16r0小44少(12分) 二 0<x≤1 0y=且等号不同时取得即子s1,此时y6为单调造减两数。 4x 因此当x=1时，@a0的=g.(13分) 4