精品解析：湖南邵阳市邵阳县石齐学校2025-2026学年高一下学期数学期末考试模拟卷

湖南省邵阳市邵阳县石齐学校 2025-2026年高一数学期末考试模拟卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ） A. 20，2 B. 21，2 C. 21，4 D. 20，4 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 5. 如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. － D. 7. 已知定义在上的偶函数满足且，则（ ） A. B. C. D. 8. 如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（ ） A. B. 3 C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与的夹角为30° D. 10. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 的轨迹长度为 D. 取最小值 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知复数，则复数的模为________． 13. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 14. 在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________． 四、解答题（共5大题，共77分） 15. 某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖. 16. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，. （1）用，表示，； （2）若，，，求与的夹角的余弦值. 17. 已知函数. （1）求函数在上的最小值； （2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长. 18. 在多面体ABCDEF中，，且，. （1）证明：； （2）若平面平面，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求该多面体的体积. 19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）求函数在内的“倒域区间”； （3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省邵阳市邵阳县石齐学校 2025-2026年高一数学期末考试模拟卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由交集概念即可求解. 【详解】由，， 可得：. 故选：A 2. 已知均值为10，方差为1，则的均值和方差分别为（ ） A. 20，2 B. 21，2 C. 21，4 D. 20，4 【答案】C 【解析】 【分析】利用均值和方差的性质可得结果. 【详解】因为均值为10，方差为1， 所以的均值为，方差为. 故选：C. 3. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作出梯形的还原图，再计算对角线的长度. 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， . 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 【答案】A 【解析】 【分析】利用公式将条件化简得到，再利用数量积的坐标运算求的值. 【详解】若，则，展开整理得. 又向量，， 所以，. 故选：A. 5. 如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由侧面展开图可确定圆台的上下底面半径和母线长，利用圆台的体积公式求解即可. 【详解】由圆台的侧面展开图可求得圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2， 从而圆台的高为，所以圆台的体积. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. － D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角的正弦公式即可求解. 【详解】 ， 故选：B 7. 已知定义在上的偶函数满足且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期性与对称性可得解. 【详解】由， 令，得， 又令得， 再令，， 又，所以， 又，， 所以，为的一个周期，， 即， 故选：A． 8. 如果函数在区间上是凸函数，那么对于区间内的任意，，…，，都有，若在区间上是凸函数，那么在中，的最大值是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“凸函数”的定义得到恒成立的不等式，利用三角形的内角和为，即可求出最大值． 【详解】因为在区间，上是“凸函数”， 所以 得 即：的最大值是 故选：D. 【点睛】本题考查理解题中的新定义，并利用新定义求最值，还运用三角形的内角和． 二、多选题（每题6分，共18分，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 在如图所示的网格中，每一个小正方形的边长均为1，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在方向上的投影向量为 C. 与的夹角为30° D. 【答案】AD 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，求出，，，四点坐标，利用坐标进行向量的坐标运算即可求解. 【详解】以点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系， 在平面直角坐标系下，，,，， 所以,， ，， 由于，所以，A正确； 根据投影向量的定义，结合图象，在方向上的投影向量为，B错误； ， 所以与的夹角不是为30°，C错误； ，则，D正确． 故选：AD 10. 设正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：先分析的范围，然后将平方再开方并结合基本不等式可求解出最大值；B：先分析出的取值范围，结合对数函数的单调性可知的最小值；C：将式中化为，然后化简并结合基本不等式求解出最小值，D：将原式乘以，然后化简并结合基本不等式求解出最小值. 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为，故A错误； 对于B：因为，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 由对数函数单调性可知， 所以的最小值为，故B正确； 对于C：因为， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D：因为 ， 当且仅当，即时等号，故D正确； 故选：BCD. 11. 已知正方体的棱长为1，，其中，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成的角为 C. 的轨迹长度为 D. 取最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可得在线段上，通过面面平行的判断定理可得平面平面，再由性质定理即可判断A；由异面直线所成角，可知直线与所成的角为，根据是边长为的等边三角形，即可判断B；由A可知的轨迹为线段，即可判断C；将矩形与正三角形展开在同一平面内，利用余弦定理求解后，即可判断D． 【详解】因为，其中，，且， 所以在线段上， 在正方体中，， 又因为平面,平面， 所以平面， 同理可得平面， 又因为，平面,， 所以平面平面， 又因为平面， 所以平面，故A正确； 因为， 所以异面直线与所成的角为， 易知是边长为的等边三角形， 所以， 即异面直线与所成的角为，故B错误； 由A可知的轨迹为线段，其长度为，故C正确； 将矩形与正三角形展开在同一平面内，如图所示： 当为与的交点时，取最小值， 此时在中，，，, 由余弦定理可得 ， 即取最小值为，故D错误. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知复数，则复数的模为________． 【答案】 【解析】 【详解】， 则． 13. 第十五届全国运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”一亮相，好评不断，这对吉祥物不仅在体育赛事中扮演着重要角色，还成为了文化自信与家国情怀的象征．现工厂决定从只“喜洋洋”，只“乐融融”和个全运会会徽中，采用分层随机抽样的方法，抽取一个容量为的样本进行质量检测，若“喜洋洋”抽取了只，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的比例即可得到答案. 【详解】总体中“喜洋洋”、“乐融融”和会徽的数量分别为、和， 已知“喜洋洋”抽取了只，抽样比为，根据分层随机抽样， 则样本中“乐融融”的抽取数量为，会徽的抽取数量为， 因此，样本总量. 14. 在中，角、、所对的边分别是、、，已知，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由三角恒等变换可得，从而可得，，从而可求得，由正弦定理及三角恒等变换得，结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】因为，即， 所以，即， 所以， 因为，所以， 所以，， 由，解得， 所以 ， 因为，所以，， 所以. 四、解答题（共5大题，共77分） 15. 某学校举办了一场党史知识竞赛活动，共有名学生参加了此次竞赛活动.为了解本次竞赛活动的得分情况，从中抽取了名学生的得分（得分均为整数，满分为分）进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组，得到如下的频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计此次竞赛活动中学生得分的第百分位数； （2）根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动学生得分的平均值.若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的名学生中有多少名学生获奖. 【答案】（1），第百分位数为分 （2）平均值为分，名学生获奖 【解析】 【分析】（1）根据频率和为可求得；由频率分布直方图估计百分位数的方法可求得结果； （2）根据频率分布直方图估计平均值的方法可求得，进而估计得到得分不低于平均值的频率，由频率和频数关系可求得估计值. 【小问1详解】 由频率分布直方图知：，解得：； 设此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分， 数据落在内的频率为，落在内的频率为，， ，解得：， 即此次竞赛活动学生得分的第百分位数为分. 【小问2详解】 由频率分布直方图及（1）知：数据落在，，，的频率分别为，，，， 此次竞赛活动学生得分的平均值， 此次竞赛活动学生得分不低于分的频率为， 在参赛的名学生中，估计有名学生获奖. 16. 如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点.设，. （1）用，表示，； （2）若，，，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可求解 （2）根据向量夹角公式即可求解； 【小问1详解】 因为点是的中点，点，分别是，的四等分点 所以， 因为，. 所以 【小问2详解】 因为，，， 所以， 所以 ， 令与的夹角为 ， 所以与的夹角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）求函数在上的最小值； （2）已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求边的长. 【答案】（1）；（2）8. 【解析】 【分析】（1）先用和的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简，即可根据的范围求出最小值； （2）由可求出，由可得，再利用正弦定理即可解出. 【详解】（1） ， 又，所以， 所以当即时，取得最小值， 所以， （2）因为，， 所以， 又，所以，所以由正弦定理有，所以. 【点睛】本题考查简单的三角恒等变换，考查正弦定理的应用，属于基础题. 18. 在多面体ABCDEF中，，且，. （1）证明：； （2）若平面平面，求二面角的余弦值； （3）在（2）的条件下，求该多面体的体积. 【答案】（1）证明见解析； （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得，再利用勾股定理可得，同理可得，由线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质可得； （2）根据线段长度作出二面角的平面角，再由余弦定理即可求得结果； （3）将多面体分割成四棱锥和三棱锥两部分，再利用体积公式求出两部分体积相加即可. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理可得，即； 满足，即； 又，所以； 同理可得， 因为，平面，， 所以平面, 又平面，所以； 又因为，，所以四边形是平行四边形； 因此， 所以. 【小问2详解】 若平面平面,由（1）知， 所以可得平面，平面，所以， 且，， 由勾股定理可知， 取的中点为，连接，如下图所示： 易知，即可得即为二面角的平面角， 显然，，又， 在中，， 即可得二面角的余弦值为. 【小问3详解】 连接，如下图所示： 易知多面体的体积等于四棱锥的体积加上三棱锥的体积； 由（2）可知和分别是四棱锥和三棱锥的高， 易知， ， 可得多面体的体积. 19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”．定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）求函数在内的“倒域区间”； （3）若函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数m，使集合恰含有2个元素？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，． 【解析】 【分析】（1）运用奇函数的性质即可求得函数的解析式； （2）根据题意列出方程组，从而求解； （3）分析题意得出，从而只需考虑或两种情况；再根据（2）的结论求出，从而根据方程思想求m的值． 【小问1详解】 当时，， 所以 【小问2详解】 设，显然在上递减， 所以，整理得， 即为方程在上的两个根，且， 所以解得， 所以在内的“倒域区间”为． 【小问3详解】 因为在时，函数值y的取值区间恰为，其中，， 所以，即a，b同号，所以只需考虑或， 当时，根据的性质知，最大值为1，，， 所以，由（2）知在内的“倒域区间”为； 当，最小值为，，， 所以，同理知在内的“倒域区间”为． 所以． 依题意：抛物线与函数的图像有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限． 因此，m应当使方程在内恰有一个实数根， 并且使方程在内恰有一个实数． 由方程在内恰有一根知； 由方程在内恰有一根知， 综上所述：． 【点睛】关键点点睛：（3）根据题中的意义我们需要将集合恰含有2个元素转化为与函数的图像有两个交点，来求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $