2025-2026学年高一（下）期末模拟卷（范围：人教A版必修二）

**基本信息** 以人教A版必修二核心知识为载体，通过“爱我中华”演讲比赛、建党周年党史知识竞赛等文化情境及测量塔高、四棱锥模型等真实问题，分层考查数学眼光（空间观念）、思维（推理运算）与语言（数据意识），适配高一期末综合检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量投影、三角形形状判断等|基础巩固，聚焦概念理解| |多选题|3/18|分层抽样、圆幂定理应用等|知识辨析，考查逻辑推理| |填空题|3/15|向量数量积、概率命题判断等|概念辨析，强化数学表达| |解答题|5/60|解三角形、四棱锥线面角与二面角等|综合应用，关联高考真题趋势，突出运算与空间想象|

2025-2026学年高一（下）期末模拟卷（范围：人教A版必修二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(    ) A. B. C. D. 2.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 3.已知点，，，则在上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.已知在中，，则的形状为(    ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 5.某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分设对于某选手的演讲，个评委的原始评分分别为：、、、、、、，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是(    ) A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 6.甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球颜色相同的概率为(    ) A. B. C. D. 7.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 8.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某中学初一年级有人，初二年级有人，初三年级有人，关于该校学生的抽样调查，下列说法正确的是(    ) A. 用随机数法抽取样本时，若每人被抽到的可能性为，则样本容量为 B. 按分层随机抽样抽取容量为的样本，则初三年级应抽取的人数为 C. 若分层随机抽样抽取容量为的样本，且初一、初二、初三年级的样本平均数分别为，则样本的总体平均数为 D. 若分层随机抽样时，从初二年级抽取的人数比从初三年级多人，则样本容量为 10.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是(    ) A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 当时，面积的最大值为 D. 的取值范围是 11.如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面包括边界上运动，且平面，下面结论正确的是 A. 点的运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为，则平面与正方体的截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量，满足，，，则          ． 13.给出如下几个命题： 若是随机事件，则： 若事件与是互斥事件，则与一定是对立事件； 若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件； 事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大． 其中正确的是          填序号 14.在三棱锥中，，，点是的中点，若点在平面的射影恰好为的中点，则该三棱锥外接球的表面积与体积的比值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角所对的边分别为，已知，，且． 求角的大小； 若，的面积为，求的周长． 16.本小题分 已知在中，角，，的对边分别为，，，已知． 求角的值； 已知． 求面积的最大值； 求的最大值． 17.本小题分 为庆祝建党周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛现把名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题： 求的值； 这名党员成绩的众数、中位数及平均成绩； 试估计此样本数据的第百分位数 18.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． Ⅰ求异面直线与所成角的余弦值； Ⅱ求证：平面； Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值． 19.本小题分 如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． 证明：平面； 若，且与底面所成角的余弦值为． (ⅰ)求的长； (ⅱ)点满足，求二面角的正切值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一（下）期末模拟卷（范围：人教A版必修二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查复数的代数形式的乘除运算，属于基础题． 利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【解答】 解：． 故选：． 2.如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查斜二测画法，属于基础题． 根据斜二测法判断的形状，并求出各边边长，即可求周长． 【解答】 解：由题设知：原四边形中，且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中， 故， 综上，四边形的周长为． 故本题选B． 3.已知点，，，则在上的投影向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查向量的坐标运算和投影向量的概念，属于基础题． 先求出，，利用在方向上的投影向量为即可求解． 【解答】 解：由点，，，得，， 所以在方向上的投影向量为 ． 故选C． 4.已知在中，，则的形状为(    ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理，余弦定理和二倍角公式的应用，在对三角形的边角关系进行变形时，务必要做等价变形，否则会造成增解或漏解，属基础题． 法一：先用正弦定理将题中已知条件化为，又，得到，在中，，，或据此可得到答案． 法二：利用正余弦定理进行化简可得答案． 【解答】 解：方法一：， 由正弦定理得， 又，，． 在中，，，或， 或，为等腰三角形或直角三角形故选D． 方法二：， 由正弦定理、余弦定理得， ，， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形故选D． 5.某校举行“爱我中华”演讲比赛，评分规则如下：对每个选手的演讲，共有个评委打分，去掉一个最高分与一个最低分，剩下的分数作为有效分，以有效分的平均分作为该选手的得分设对于某选手的演讲，个评委的原始评分分别为：、、、、、、，则对比原始评分和有效分两组数据，下列特征数中，发生改变的是(    ) A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】C  【解析】【分析】求出原数据和新数据的平均数、中位数、众数、方差，比较后可得出结论． 【详解】原数据由小到大依次为：、、、、、、， 其平均数为，中位数为，众数为， 方差为， 将原数据中去掉一个最高分与一个最低分，剩余的数据由小到大依次为：、、、、， 新数据的平均数为，中位数为，众数为， 方差为， 故平均数、中位数、众数没有发生改变，方差发生改变， 故选：． 6.甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出两球，则取出的两球颜色相同的概率为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：从甲箱中取出红球的概率为，取出白球的概率为， 情况一：从甲箱取出红球放入乙箱：乙箱变为红白，共个球． 从乙箱取出两个红球的概率：， 从乙箱取出两个白球的概率：． 此时取出的两球颜色相同的概率为． 情况二：从甲箱取出白球放入乙箱：乙箱变为红白，共个球． 从乙箱取出两个红球的概率：， 从乙箱取出两个白球的概率：． 此时取出的两球颜色相同的概率为． 综上所述，取出的两球颜色相同的概率为． 故选：． 7.在空间中，，是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是(    ) A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查线、面位置关系的判断，为基础题． 【解答】 解：若，，，则与可能平行，也可能异面，故A错误； 若，，则与平面可能平行，也可能在平面内，故B错误； 若，，，与平面可相交，也可能在平面内，故C错误 若，，，则，正确故选D． 8.如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了正弦定理及解三角形的实际应用 ，考查同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式，属于中档题． 根据同角三角函数的基本关系求出，，利用两角和的正弦公式求出，根据正弦定理求出，在中求解即可． 【解答】 解：因为，， 所以，． 所以 ． 在中，由正弦定理可得， 即，解得． 在中， 故选C． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.某中学初一年级有人，初二年级有人，初三年级有人，关于该校学生的抽样调查，下列说法正确的是(    ) A. 用随机数法抽取样本时，若每人被抽到的可能性为，则样本容量为 B. 按分层随机抽样抽取容量为的样本，则初三年级应抽取的人数为 C. 若分层随机抽样抽取容量为的样本，且初一、初二、初三年级的样本平均数分别为，则样本的总体平均数为 D. 若分层随机抽样时，从初二年级抽取的人数比从初三年级多人，则样本容量为 【答案】ABD  【解析】随机数法中，样本容量总人数每人被抽到的可能性，即，A正确 分层随机抽样中，初三年级应抽取的人数为，B正确 分层随机抽样下，初一、初二、初三年级的样本抽取数分别为样本总体平均数为，C错误 设样本容量为，初二年级与初三年级的抽取人数差为若该差值为，则，解得，D正确故选ABD． 10.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径，点是圆内的定点，且，弦，均过点，则下列说法正确的是(    ) A. 为定值 B. 当时，为定值 C. 当时，面积的最大值为 D. 的取值范围是 【答案】ABD  【解析】【分析】 本题考查向量的数量积的概念及其运算，向量的数量积与向量的垂直关系及三角形面积公式，属于较难题． 过作直径，利用向量加减几何意义得，判断；根据垂直关系及，由向量数量积的运算律化简，判断；若为等边三角形，，可判断若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而可求其范围，判断． 【解答】 解：如图， 过作直径， 依题意， 为定值，A正确； 若，则， 则， 又，则， 由圆幂定理可得，故，B正确； 当时，若为等边三角形，则， 则， 下面说明此等边三角形存在的情况：取中点，连接， 则在中，，则， 又在中，，则，所以存在满足题意的点，C错误； 若为中点，连接，则 ， 由题意，则，D正确． 故选：． 11.如图，在正方体中，若为棱的中点，点在侧面包括边界上运动，且平面，下面结论正确的是 A. 点的运动轨迹为一条线段 B. 直线与所成角可以为 C. 三棱锥的体积是定值 D. 若正方体的棱长为，则平面与正方体的截面的面积为 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题以正方体为载体，考查面面平行的判定与性质，棱锥的体积以及多面体的截面问题，属于较难题． 对于，设，，分别为，，的中点，连接，， 通过证明平面平面，即可判断点的运动轨迹；对于，连接，因为为直角三角形，计算的正切即可判断；对于，由选项A的判定可知，平面与正方体的截面为等腰梯形，计算其面积即可判断． 【解答】 解：对于，设，，分别为，，的中点，连接，，如图所示：易知，在正方体中，，，所以，所以四点共面，又，，平面，， 平面，，所以平面平面， 因为点在侧面包括边界上运动，平面平面，所以一定在线段上，即点的运动轨迹为线段，A正确；                         图                                                         图 对于，如图所示：连接，因为平面，平面， 所以为直角三角形，，直线与所成角小于，所以B错误； 对于，如图所示：因为一定在线段上，而，则到的距离为定值，长为定值，所以的面积为定值，又点到平面的距离即三棱锥的高也为定值，所以三棱锥的体积是定值， C正确；                      图                                                               图  对于，由选项A的判定可知，平面与正方体的截面为等腰梯形，如图所示，因为正方体的棱长为，所以，， 所以梯形的高， 截面梯形的面积，D正确． 故选ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知平面向量，满足，，，则          ． 【答案】  【解析】由，则，由，则，解得． 13.给出如下几个命题： 若是随机事件，则： 若事件与是互斥事件，则与一定是对立事件； 若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件； 事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大． 其中正确的是          填序号 【答案】  【解析】【分析】 此题考查随机事件的概率，考查互斥事件、对立事件的关系及概率的性质，关键是熟练掌握相关知识． 逐个进行分析即可． 【解答】解：若是随机事件，则，必然事件发生概率为，不可能事件发生概率为，所以正确；    若事件与是互斥事件，则与不一定是对立事件，比如掷色子“朝上的面为”和”朝上的面为“互斥但不对立，所以不正确；    若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件，互斥事件包含对立事件，所以正确；    事件，中至少有一个发生的概率不一定比，中恰有一个发生的概率大，如果或的发生概率为或、互斥则概率一样大，所以错误． 故答案为． 14.在三棱锥中，，，点是的中点，若点在平面的射影恰好为的中点，则该三棱锥外接球的表面积与体积的比值为__________． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查三棱锥外接球的表面积，关键是利用已知条件求出外接球的半径． 【解答】 解： 因为， ， 设点在平面内的投影点为点， ，， 故三角形为直角三角形， ， 因为为中点， 故， 又因为三角形为直角三角形， 则三棱锥的外接球球心一定在过点且垂直于平面的直线上， 设球心为， 单独看平面， 如图乙， 故A， ，， 又， 即， 解得， 则该三棱锥外接球的表面积与体积的比值． 故答案为． 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 在中，内角所对的边分别为，已知，，且． 求角的大小； 若，的面积为，求的周长． 【答案】解：在中，内角，，所对的边分别为，，， 已知，， 且． 所以， 利用正弦定理整理得：， 所以， 即，由于， 故， 由于，所以． 由于的面积为， 所以，整理得． 利用余弦定理，解得， 所以周长．  【解析】本题考查的知识要点：平面向量的数量积的应用，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用， 16.本小题分 已知在中，角，，的对边分别为，，，已知． 求角的值； 已知． 求面积的最大值； 求的最大值． 【答案】解：依题意，， 则， 因为，故， 解得； 因为，故； 依题意，， 由余弦定理，，则，当且仅当时等号成立， 故，即面积的最大值为； 由正弦定理，， 所以， 所以 ， 其中且为锐角， 则当时，有最大值．   【解析】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，余弦定理，正弦定理，三角形面积公式，利用基本不等式求最值的应用． 由正弦定理可得，即，从而可求角的值； 利用余弦定理结合基本不等式可求出，然后利用三角形的面积公式可求得其最大值； 利用正弦定理表示，然后代入中利用三角函数恒等变换公式化简变形可求出结果． 17.本小题分 为庆祝建党周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史的了解某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛现把名党员的成绩绘制了频率分布直方图，根据图中数据回答下列问题： 求的值； 这名党员成绩的众数、中位数及平均成绩； 试估计此样本数据的第百分位数 【答案】解：根据频率分布直方图得： ，解得  由众数概念可知，众数是出现次数最多的数， 所以众数为， ， 前三个小矩形的面积的和为， 而第四个小矩形的面积为， 所以前四个小矩形的面积为， 中位数应位于内， 设中位数为，则， 解得 ，即中位数估计值为． 平均成绩估计值为 ． 前个小组的频率之和是 ， 所以第百分位数在第六小组内，设其为， 则，解得， 即估计此样本数据的第百分位数为．  【解析】详见答案 18.本小题分 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，． Ⅰ求异面直线与所成角的余弦值； Ⅱ求证：平面； Ⅲ求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】Ⅰ解：由已知， 故或其补角即为异面直线与所成的角， 因为平面，在平面上， 所以， 在中，由已知，得， 故， 所以异面直线与所成角的余弦值为； Ⅱ证明：因为平面，在平面上， 所以， 又因为，所以， 又，，，均在平面上， 所以平面； Ⅲ解：过点作的平行线交于点，连接，如图， 则与平面所成的角等于与平面所成的角， 因为平面，故为在平面上的射影， 所以为直线和平面所成的角， 由于，， 所以四边形为平行四边形， 故BF， 由已知，得， 因为平面，在平面上， ，又， 故BC， ， 在中，可得． 所以直线与平面所成角的正弦值为．  【解析】本题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角，是拔高题． 19.本小题分 如图，在四棱锥中，，底面是边长为的菱形，． 证明：平面； 若，且与底面所成角的余弦值为． (ⅰ)求的长； (ⅱ)点满足，求二面角的正切值． 【答案】解：证明：连接，交于点， 因为，四边形是菱形， 所以，， 又，且、平面， 所以平面； 取中点，连接，， 因为，，所以为正三角形， 所以， 因为，，且、平面， 所以平面，又平面 所以，所以， 设，连接， 因为平面，平面，所以， 又平面，平面，所以， 且，、平面， 则平面且即为直线与平面所成的角， 所以，所以， 因为，所以，所以； 由可知为二面角的平面角，且， 连接，因为，所以，所以平面， 作于，连接，则为二面角的平面角， 且，， 所以，所以， 设二面角的大小为，则．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $