第5讲 1.3全等三角形的判定（第2课时）暑假预习讲义 2026-2027学年苏科版七升八年级数学上册

苏科版数学八年级上册暑假预习讲义 第5讲　1.3　全等三角形的判定（第2课时） 【学习目标】 1. 探索并理解“角边角”判定方法（ASA），知道“两角及其中一角的对边分别相等”（AAS）也能判定全等。 1. 掌握“两角及其夹边分别相等”的两个三角形全等这一基本事实。 1. 能运用“角边角”判定方法证明两个三角形全等。 1. 理解ASA与AAS的联系与区别，能根据题目条件灵活选择判定方法。 【知识梳理】 一、回顾与思考 已学判定方法：SAS（边角边）——两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 核心问题：如果已知两个三角形有两组角分别相等，能否判定它们全等？还需要什么条件？ 研究路径：从“两角分别相等”出发，探索还需要添加什么条件才能判定两个三角形全等。 思考：两个三角形中，如果有两角分别相等，那么第三角是否也相等？由此能推出什么结论？ 二、“角边角”判定方法（ASA） 基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 符号语言： 如图，在△ABC 和 △A′B′C′ 中， ∵ ∴ △ABC ≌ △A′B′C′（ASA） 关键理解：ASA中的“边”必须是两角的夹边，即两个角的公共边。 夹边与对边的区别： 含义 举例 夹边 两个角的公共边 ∠B与∠C的夹边是BC 对边 某个角所对的边 ∠A的对边是BC，∠B的对边是AC 易错提醒：ASA中的边必须是夹边，不是任意边。 三、“角角边”判定方法（AAS） 判定方法：两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 符号语言： 如图，在△ABC 和 △A′B′C′ 中， ∵ ∴ △ABC ≌ △A′B′C′（AAS） 说明：AAS可由ASA结合三角形内角和定理推出。因为两角相等，第三角也相等，问题就转化为ASA。 四、ASA与AAS的联系与区别 ASA AAS 条件 两角 + 夹边 两角 + 其中一角的对边 边与角的关系 边是两角的夹边 边是其中一角的对边 关系 基本事实 可由ASA推出 记忆口诀 角边角，夹边找 角角边，角对边 五、尺规作图：已知两角及其夹边作三角形 已知：线段 和 、。 求作：△ABC，使 ，，。 作法： 1. 作线段 ； 1. 在 的同侧，分别以 、 为顶点作 ，； 1. 射线 与 相交于点 ，△ABC 即为所求。 作图的意义：已知两角及其夹边，只能作出唯一的三角形，说明ASA判定是合理的。 做一做（即时练习）： 1. 如图，，是的高线，与相交于点．若，则能判断的依据是__________. 1. 如图，点在△ABC 的外部，点在边上，交于点．若，，，则（　　） A． B． C． D． 1. 如图，已知的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与一定全等的三角形是（    ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 1. 如图，已知，，，便能得到，这所依据的是（   ） A． B． C． D． 1. 判断题：有两角和一边分别相等的两个三角形一定全等。（　　） 【典例精讲】 【例1】（用ASA证明全等） 已知：点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求证：△ABC≌△DEF． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠F， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【反思】 ASA的证明格式与SAS类似，关键是确认边是两角的夹边。 【例2】（先找隐含条件——公共角或对顶角） 如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE． 求证：（1）OD＝OE； （2）△ABE≌△ACD． 【分析】（1）直接利用AAS即可判定△BOD≌△COE，根据全等三角形的性质即可得解； （2）由题意得AD＝AE，AB＝AC，根据SAS即可判定△ABE≌△ACD． 【解答】证明：（1）在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD＝OE； （2）∵点D、E分别是AB、AC的中点， ∴AD＝BDAB，AE＝CEAC， ∵BD＝CE． ∴AD＝AE，AB＝AC， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【反思】 判定两个三角形全等时，要灵活选择判定方法。当已知两角和一边时，要判断边是夹边还是对边，从而选择ASA或AAS。 【跟踪练习1】 1. 如图，已知，添加下列条件能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 1. 如图，，，． 求证：． 1. 如图，D在上，E在上，且，要说明． （1）若以“”为依据，还须添加的一个条件是 ； （2）若以“”为依据，还须添加的一个条件为 ． 【举一反三】 1. 如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（　　） A．50° B．30° C．45° D．25° 1. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块）你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（   ）    A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去 1. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是（　　） · A. 三个角分别相等　　B. 两角及其中一角的对边分别相等 · C. 两边及其中一边的对角分别相等　　D. 两边分别相等 1. 根据下列已知条件，能确定△ABC的形状和大小的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 1. 如图，已知，要说明，若以"ASA" 为依据，则需添加一个条件是_______． 6.如图四边形中，，，．求证：． 7.如图，已知△ABC中，，，且平分．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. “角边角”判定方法简写为______，其中“边”必须是两角的______。 1. 如图，已知，，，便能得到，这所依据的是（   ） A． B． C． D． 1. 如图，已知∠1＝∠2，若用“AAS”证明△ACB≌△BDA，还需加上条件（　　） A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA 1. 如图，∠A＝∠D，OA＝OD，∠DOC＝50°，∠DBC的度数为（　　） A．50° B．30° C．45° D．25° 1. “角角边”判定方法简写为______，它可由______结合三角形内角和定理推出。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。（　　） 1. 两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。（　　） 1. 有三个角分别相等的两个三角形全等。（　　） 三、选择题。 1. 下列条件中，能判定两个三角形全等的是（　　） · A. 三个角分别相等　　B. 两角及其中一角的对边分别相等 · C. 两边及其中一边的对角分别相等　　D. 两边分别相等 1. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，若，，，则m的值是（     ）    A．15 B．16 C．18 D．20 ◆ B组·能力提升 1. 如图，有一种简易的测距工具，为了测量地面上的点M与点O的距离（两点之间有障碍无法直接测量），在点O处立竖杆PO，并将顶端的活动杆PQ对准点M，固定活动杆与竖杆的角度后，转动工具至空旷处，标记活动杆的延长线与地面的交点N，测量点N与点O的距离，该距离即为点M与点O的距离．此种工具用到了全等三角形的判定，其判定理由是______．      1. 如图，，，分别过点A，B作过点C的直线的垂线，．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 1. 王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合． （1）求证：△ADC≌△CEB； （2）求两堵木墙之间的距离． ◆ C组·思维拓展 14. 如图，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点D运动，则点F的运动速度为 ，使得A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等． 15.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：△ADC≌△CEB； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE的等量关系？并说明理由． 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 ASA基本事实 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 边必须是两角的夹边 AAS判定方法 两角及其中一角的对边分别相等的两个三角形全等 可由ASA推出 ASA与AAS 联系：都是两角一边；区别：边是夹边还是对边 灵活选择 隐含条件 公共角、对顶角、直角 证明时注意挖掘 ASA与AAS的辨析 ASA AAS 条件 两角 + 夹边 两角 + 其中一角的对边 图例 ∠A = ∠A′，AB = A′B′，∠B = ∠B′ ∠A = ∠A′，∠B = ∠B′，BC = B′C′ 记忆口诀 角边角，夹边找 角角边，角对边 常见错误提醒 错误类型 正确理解 把AAS当成ASA写 要分清边是夹边还是对边，对应写法不同 认为AAA能判定全等 三个角相等只能说明相似，不能说明全等 证明格式不规范 规范写法：①写“在△XXX和△YYY中”；②列条件；③写判定依据 忽略隐含条件 公共角、对顶角、直角等要充分利用 学习建议 1. 判断ASA时，先找两组角相等，再确认其夹边是否相等。 1. 判断AAS时，先找两组角相等，再确认其中一个角的对边是否相等。 1. 区分ASA和AAS——关键在于判断“边”是“夹边”还是“对边”。 1. 记口诀： 角边角，夹边找；角角边，角对边。 ASA和AAS，都是两角一边判；夹边对边要分清，位置关系是关键。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：ASA 1. 答案：D 1. 答案：B 1. 答案：B 1. 答案：× 解析：有两角和一边分别相等，必须强调边是“夹边”（ASA）或“其中一角的对边”（AAS），否则不能判定全等。例如AAA只能判定相似，不能判定全等。 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：A 1. 解：， ，， 在和中， ， ． 1. 解：（1）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）条件是， 理由是：在和中， ， ∴， 故答案为： 举一反三 1. 答案：D 1. 答案：B 1. 答案：B 解析：A是AAA不能判定；B是AAS能判定；C是SSA不能判定；D只有两边不能判定。 1. 答案：D 1. 答案： 1. 证明：∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7.答案：（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∵， ∴，    ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，掌握相关定理，灵活运用是解题关键． A组·基础过关 1. 答案：ASA；夹边 1. 答案：B 1. 答案：C 1. 答案：D 1. 答案：AAS；ASA 1. 答案：√ 1. 答案：√ 1. 答案：× 1. 答案：B 1. 答案：C B组·能力提升 1. 答案：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 1. 答案： 13.（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC 在△ADC和△CEB中， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由题意得：AD＝2×3＝6（cm），BE＝7×2＝14（cm）， ∵△ADC≌△CEB， ∴EC＝AD＝6cm，DC＝BE＝14cm， ∴DE＝DC+CE＝20（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm． C组·思维拓展 1. 答案：或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，一元一次方程的应用，设运动的时间为，点F的运动速度为，分两种情况：①，；②，，列出方程，求出结果即可． 【详解】解：设运动的时间为，点F的运动速度为， ， A、C、E三点构成的三角形与B、E、F三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， ， ； ②，， 则，， 解得：，， 故答案为：或． 1. 答案： 解：（1）∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵BE⊥MN， ∴∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠ACD＝∠CBE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （3）DE＝AD﹣BE， 理由如下：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°， ∵AD⊥MN， ∴∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（10题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（2题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 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