3.2　探索三角形相似的条件第2课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“利用两边及其夹角判定三角形相似”，通过校园三角形窗户模型制作的现实情境导入，提出夹角是否影响相似的问题，衔接相似三角形基本概念，以问题链为支架引导探究定理。 其亮点在于用情境化问题培养数学眼光，通过例题推理和跟踪训练发展数学思维（推理能力），以表格符号梳理知识强化数学语言（符号意识）。采用讲练结合与易错点对比小结，帮助学生提升逻辑推理与应用能力，为教师提供结构化教学资源。

第三章　3.2　探索三角形相似的条件 第2课时　利用两边及其夹角 判定三角形相似 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.理解定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，能熟练运用该定理判定三角形相似.(重点、难点) 2.在解决问题的过程中，提高逻辑推理能力，增强符号感.(难点) 情境引入 学校教学楼的西侧有几扇造型特别的三角形窗户，总务处想让咱们班帮忙制作一批缩小版的模型用于校园文化展示.已知原三角形窗户的其中两条邻边长度分别是 40 cm 和 30 cm，这两条边的夹角(也就是窗框的一个内角)是 60°，现在要求模型与原窗户的相似比是1∶10，所以大家需要先确定模型三角形的对应边长——按照比例，模型的两条邻边长度应该分别是 4 cm 和 3 cm. 不过在制作过程中有两个疑问：第一，我们画的模型三角形，两条邻边长度确实是 4 cm 和 3 cm，夹角也和原窗户一样是 60°，这样能保证模型三角形和原窗户三角形相似吗？第二，如果有同学不小心把夹角画成了 50°，但两条邻边长度还是 4 cm 和 3 cm，这时候模型和原窗户的三角形还能相似吗？ 利用两边及其夹角判定三角形相似 相等 知识梳理 定理 符号表示 两边 且夹角 的两个三角形相似   如图所示，在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A'，=，那么△ABC∽△A'B'C' 成比例 相等 例　(课本P68例2)如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长. 解　∵AE=1.5，AC=2， ∴=. ∵=， ∴=. 又∵∠EAD=∠CAB， ∴△ADE∽△ABC(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). 例　(课本P68例2)如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且=，求DE的长. 解　∴==. ∵BC=3， ∴DE=BC=×3=. 反思感悟 在利用两边成比例且其夹角相等判定三角形相似时，一定要注意“夹角”这个条件，为避免出现类似错误，可从两个方面入手，一是看“对应相等的角”是否为“对应成比例的两边的夹角”；二是看“对应成比例的两边的夹角”是否为“对应相等的角”. 跟踪训练　(1)如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC=∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是 A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C.AC2=BC·CD D.= 解析　在△ADC和△BAC中，∠ADC=∠BAC，如果△ADC∽△BAC，需满足的条件有①∠DAC=∠ABC或CA是∠BCD的平分线；②=. √ (2)如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，点E在AB上，且=，连接BD，DE，求证：△AED∽△ADB. 证明　∵D是AC的中点， ∴=，∵=，AB=AC，∴=，∵∠EAD=∠DAB， ∴△AED∽△ADB. 课堂小结 1.如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是 A.OA·OC=OD·OB B.∠B=∠C C.∠A=∠D D.= 随堂演练 √ 随堂演练 解析　A项，由OA·OC=OD·OB，可得=，又因为∠AOB=∠DOC，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可以判定△AOB和△DOC相似； B项，∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，根据两角分别相等的两个三角形相似，可以判定△AOB和△DOC相似； C项，∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，根据两角分别相等的两个三角形相似，可以判定△AOB和△DOC相似； D项，不能判定. 2.如图所示，已知△ABC，则下列四个三角形中，与△ABC相似的是 随堂演练 √ 随堂演练 解析　观察可知，△ABC是等腰三角形且顶角为30°，对照各选项，A是等腰三角形但顶角是75°，排除； B是等边三角形，排除； C符合题意； D是等腰三角形但顶角是40°，排除. 3.如图，在△ABC纸片中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC纸片沿图中的直线剪开，下列四种剪开的方法中，剪下的阴影三角形与原三角形相似的是 随堂演练 A.①② B.③④ C.①②③④ D.①②④ √ 随堂演练 解析　①阴影三角形与原三角形有两个角分别相等，故两个三角形相似； ②阴影三角形与原三角形有两个角分别相等，故两个三角形相似； ③由于BC的长度没有给出，所以两个三角形的对应边不一定成比例，故无法判定两个三角形相似； ④两个三角形对应边成比例(4-1)∶6=(6-4)∶4，且夹角相等，故两个三角形相似. 4.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AD=8，CD=6， 当BD=　　时，△ADC∽△CDB.此时∠ACB=　　　.  随堂演练 90° 解析　∵在△ADC与△CDB中，∠ADC=∠CDB=90°， ∴△ADC∽△CDB只需AD∶CD=CD∶BD，即8∶6=6∶BD，解得BD=， ∵△ADC∽△CDB，∴∠A=∠BCD，又∵∠A+∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，即∠ACB=90°. 谢谢观看 $