3.3.2相似三角形判定定理的证明（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形判定定理（AA、SAS、SSS）的证明，承接上节平行线分线段成比例定理，通过构造辅助线（截等线段+作平行线）搭建“构造相似→证全等→等量代换”的学习支架，帮助学生梳理证明逻辑脉络。 其亮点在于以严格逻辑推导为核心，通过规范证明步骤、总结辅助线套路和易错点，培养学生推理能力与严谨思维。例题中证明逻辑填空和误区辨析，引导学生用数学语言表达推理过程，既助学生吃透相似本质，又为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 3.3.2相似三角形判定定理的证明 第三章 图形的相似 3.3.2 相似三角形判定定理的证明 同步讲义与习题 本节课是九年级相似章节的重难点核心，依托上一节「平行线分线段成比例定理」，严格证明三大三角形相似判定定理（AA、SAS、SSS）。区别于直接套用定理解题，本节侧重几何逻辑推导，是考试证明题、压轴题逻辑溯源，也是中考高频简答、证明考点。 一、证明核心依据（所有证明的基础） 所有相似判定定理的证明，唯一核心工具：平行线分线段成比例定理及三角形推论。 核心证明思路：构造平行线→造出比例线段→证明三角形全等→等量代换推出相似 辅助线通用做法：在大三角形边上截取线段等于小三角形边长，作平行线构造相似三角形。 二、三大判定定理完整证明（教材标准步骤） 1. 两角分别相等（AA）相似判定定理证明 定理：两角分别相等的两个三角形相似。 已知：在$$\triangle ABC$$和$$\triangle A'B'C'$$中，$$\angle A=\angle A'$$，$$\angle B=\angle B'$$。 求证：$$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$ 证明： 在$$\triangle ABC$$的边$$AB$$上截取$$AD=A'B'$$，过点$$D$$作$$DE\parallel BC$$，交$$AC$$于点$$E$$。 $$\because DE\parallel BC$$ $$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC$$（平行于三角形一边的直线截三角形，所得三角形与原三角形相似） $$\because \angle B=\angle B'$$，$$\angle ADE=\angle B$$（两直线平行，同位角相等） $$\therefore \angle ADE=\angle B'$$ 又$$\because \angle A=\angle A'$$，$$AD=A'B'$$ $$\therefore \triangle ADE \cong \triangle A'B'C'$$（ASA全等判定） $$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$（等量代换） 2. 两边成比例且夹角相等（SAS）相似判定定理证明 定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 已知：在$$\triangle ABC$$和$$\triangle A'B'C'$$中，$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$，$$\angle A=\angle A'$$。 求证：$$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$ 证明： 在$$AB$$上截取$$AD=A'B'$$，过点$$D$$作$$DE\parallel BC$$，交$$AC$$于点$$E$$。 $$\because DE\parallel BC$$ $$\therefore \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$$（平行线分线段成比例推论） $$\because \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$，$$AD=A'B'$$ 等量代换得：$$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}$$，即$$AE=A'C'$$ 又$$\because \angle A=\angle A'$$ $$\therefore \triangle ADE \cong \triangle A'B'C'$$（SAS全等判定） 又$$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$$ $$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$（等量代换） 3. 三边成比例（SSS）相似判定定理证明 定理：三边对应成比例的两个三角形相似。 已知：在$$\triangle ABC$$和$$\triangle A'B'C'$$中，$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$。 求证：$$\triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$ 证明： 在$$AB$$上截取$$AD=A'B'$$，作$$DE\parallel BC$$交$$AC$$于$$E$$。 $$\because DE\parallel BC$$ $$\therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC$$，且$$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AE}{AC}$$ $$\because \dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$，$$AD=A'B'$$ 可得：$$DE=B'C'$$，$$AE=A'C'$$ $$\therefore \triangle ADE \cong \triangle A'B'C'$$（SSS全等判定） $$\therefore \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C'$$（等量代换） 三、核心证明逻辑总结（必背） 1. 辅助线统一套路：截等线段 + 作平行线，构造与大三角形相似的小三角形； 2. 推导核心链条：平行线证相似 → 比例线段推边长相等 → 全等代换 → 原三角形相似； 3. 定理优先级：AA证明最简，SSS证明步骤最多，SAS边角对应最严谨。 四、高频易错扣分点 - 辅助线描述不规范：未说明「截取线段相等、作平行线」，直接推导结论； - 跳过全等步骤，直接默认三角形相等，逻辑断层扣分； - SAS证明中混淆夹角，误用非夹角进行推导； - 忽略「平行线构造相似」的前置依据，定理使用无源头。 五、经典例题精讲 例1 证明逻辑填空（基础必考） 证明两角分别相等的三角形相似，核心辅助线是________，先证________，再证________，最后等量代换得相似。 答案：作平行线；小三角形与原三角形相似；两个小三角形全等。 例2 辨析证明误区 判断：证明相似判定定理时，可以直接用待证定理推导。（×） 解析：定理证明属于逻辑溯源，不能循环论证，只能用平行线分线段成比例、全等三角形等前置定理。 六、同步练习题 （一）填空题（每空3分，共30分） 1. 相似三大判定定理的证明，核心依据是________。 2. 证明相似定理的通用辅助线做法：截取等线段 + ________。 3. AA相似证明中，最终通过________判定两个三角形全等。 4. SAS相似证明的关键是保证相等的角是________。 5. 定理证明严禁________论证，不能用待证定理推导自身。 （二）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列不能作为相似定理证明依据的是（ ） A. 平行线分线段成比例 B. 三角形全等判定 C. 相似判定定理本身 D. 同位角相等性质 2. SSS相似证明最后一步全等判定是（ ） A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS 3. 相似定理证明的核心逻辑是（ ） A. 直接判定相似 B. 构造相似+全等代换 C. 仅靠角度推导 D. 仅靠边长推导 （三）解答题（共50分） 1.（25分）完整书写AA相似判定定理的证明过程。 2.（25分）完整书写SAS相似判定定理的证明过程。 七、参考答案与解析 （一）填空题 1. 平行线分线段成比例定理及推论 2. 作平行线 3. ASA 4. 两组对应边的夹角 5. 循环 （二）选择题 1.C 解析：定理证明禁止循环论证，不能用自身证明自身。 2.C 解析：SSS相似证明最终通过三边对应相等证全等。 3.B 解析：通用逻辑：平行线构造相似，全等等量代换得证。 （三）解答题 1. 参考答案见本节「AA定理完整证明」，严格按照截取线段、作平行线、证相似、证全等、等量代换步骤书写即可。 2. 参考答案见本节「SAS定理完整证明」，严格遵循辅助线做法、比例推导、边长相等、全等代换步骤。 八、课时小结 1. 所有相似判定定理的证明，根基都是平行线分线段成比例定理； 2. 统一证明模板：截线段→作平行→构相似→证全等→代换得结论； 3. 证明核心禁忌：杜绝循环论证、步骤跳跃、辅助线描述不规范； 4. 熟练掌握证明逻辑，不仅应对简答题，更能吃透相似本质，攻克压轴几何。 1.了解相似三角形判定定理的证明过程，进一步发展推理能力。 2.在解决相似三角形判定问题的过程中，体会方法的多样性。 学习目标 2 在之前的学习中，我们通过探索得到了相似三角形的三个判定命题： 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 下面我们对它们进行证明。 3 知识点1 相似三角形判定定理的证明 问题1 证明：两角分别相等的两个三角形相似。 A A′ B C B′ C′ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A = ∠A′，∠B = ∠B′。 求证： △ABC∽△A′B′C′。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD = A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E，则 ∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C， = (平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例)。 过点D作AC的平行线，交BC于点F， 则 = (平行于三角形一边的直线与其他两边相交， 截得的对应线段成比例)。 A B C A′ B′ C′ D E F 知识点1 相似三角形判定定理的证明 ∴= 。 ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DFCE是平行四边形。 ∴DE = CF。 ∴= 。 ∴ = = 。 而∠ADE = ∠B，∠DAE = ∠BAC，∠AED = ∠C， ∴ △ADE∽△ABC(相似三角形的定义)。 ∵ ∠A = ∠A′，∠ADE = ∠B = ∠B′，AD = A′B′， A B C A′ B′ C′ D E F ∴ △ADE≌△A′B′C′。 ∴ △ABC∽△A′B′C′。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 问题2 证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 A A′ B C B′ C′ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A = ∠A′，。 求证： △ABC∽△A′B′C′。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 证明：在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD = A′B′，过点D作BC的平行线，交AC于点E， 则 ∠B = ∠ADE，∠C = ∠AED， ∴ △ABC∽△ADE(两角分别 相等的两个三角形相似)。 ∴ = 。 ∵ ，AD = A′B′， ∴ = 。∴ = 。 ∴ AE = A′C′。 A A′ B C B′ C′ D E 而∠A = ∠A′， ∴ △ADE≌△A′B′C′。 ∴ △ABC∽△A′B′C′。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 问题3 证明：三边成比例的两个三角形相似。 A A′ B C B′ C′ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中， 。 求证： △ABC∽△A′B′C′。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 证明：在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)上分别截取AD = AB′，AE = A′C′，连接DE。 ∵ ，AD = A′B′，AE = A′C′， ∴ 。 而 ∠BAC = ∠DAE， ∴ △ABC∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)。 ∴ 。 A B C A′ B′ C′ D E 知识点1 相似三角形判定定理的证明 又，AD = A′B′， ∴ 。 ∴ 。 ∴ DE = B′C′。 ∴ △ADE≌△A′B′C′。 ∴ △ABC∽△A′B′C′。 A B C A′ B′ C′ D E 定理 两角分别相等的两个三角形相似。 定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 定理 三边成比例的两个三角形相似。 相似三角形判定定理的证明思路： 第一步：构造一个与两个三角形中的一个三角形全等的三角形； 第二步：证明另一个三角形与所构造的三角形相似； 第三步：利用相似的传递性，得到原来的两个三角形相似。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 回顾相似三角形判定定理的证明过程，你对几何证明有哪些新的认识? 证明过程中，需要通过作辅助线用定理1证明定理2， 同样的定理3的证明用到了定理2，体现了数学转化的思想。 知识点1 相似三角形判定定理的证明 跟踪训练 你能类比判定定理2的证明过程，给出另一种证明方法吗? 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠BAC = ∠A′，。 求证：△ABC∽△A′B′C′。 证明：如图，在BA的延长线上取AD = A′B′， 过点D作DE∥BC，交CA的延长线于点E。 由判定定理1，易知△ABC∽△ADE， 则。 ∵ ，AD = A′B′， 知识点1 相似三角形判定定理的证明 ∴ ， ∴ ， ∴ AE = A′C′。 又∵ ∠A′ = ∠BAC = ∠DAE， ∴ △A′B′C′≌△ADE(SAS)。 故△ABC∽△A′B′C′。 你能类比判定定理2的证明过程，给出另一种证明方法吗? 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠BAC = ∠A′，。 求证：△ABC∽△A′B′C′。 跟踪训练 知识点1 相似三角形判定定理的证明 知识点1 相似三角形判定定理的证明 （第1题） 1. 如图， ,下列添加的条件不能 使 的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 16 （第2题） 2. 如图，点是等腰三角形的腰 上的 一点，过点作直线（不与直线 重合）截 ,使截得的三角形与原三角形相似，满 足这样条件的直线最多有( ) B A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 【点拨】,.如图，①作 ,可得 .②作,可得 .③作 ,可得 ,故选 B. 返回 考试考法 17 3.如图，在中，，点 在边 上移动（点不与点， 重合），满足 ，且点，分别在边， 上. （1）求证： ； 考试考法 18 【证明】， . ， ， . . 考试考法 19 （2）当点移动到的中点时，求证： 平分 . ， . 点是的中点, . . 易知, . ,即平分 . 返回 考试考法 20 两角分别相等的两个三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 证明思路： ①构造一个与两个三角形中的一个三角形全等的三角形； ②证明另一个三角形与所构造的三角形相似； ③利用相似的传递性，得到原来的两个三角形相似。 相似三角形 的判定定理 课堂小结 $