专题04 二元一次方程组16大题型（暑假复习讲义）新八年级数学新教材苏科版

专题04 二元一次方程组 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 二元一次方程的定义与解 题型2 二元一次方程组的定义与解 题型3 已知二元一次方程组的解求参数 题型4 解二元一次方程组 题型5 二元一次方程组的特殊解法 题型6 二元一次方程组的错解复原问题 题型7 构造二元一次方程组求解 题型8 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型9 方程组的同解问题 题型10 三元一次方程组的相关问题 题型11 列二元一次方程组 题型12 方案问题 题型13 销售问题 题型14 几何问题 题型15 古代问题 题型16 二元一次方程组的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 二元一次方程 2. 二元一次方程组 3. 解二元一次方程组 4. 二元一次方程组的含参问题 5. 二元一次方程组的实际应用 1.基础考查代入、加减消元法，设置系数分数、负号计算陷阱 2.搭配方程组与一元一次不等式，综合求解参数取值范围 3.以行程、工程、利润等生活情境，列方程组解实际应用题 4.结合函数图像交点，利用数形结合转化求解方程组解 5.设计同解、错解题型，依托方程恒等求字母未知参数 考情解码：二元一次方程组是代数计算核心考点，题型覆盖选择、填空、解答。基础侧重两种消元运算，大题多结合实际应用列方程求解。常融合不等式、一次函数、含参错题综合命题，重点考查建模与计算能力。易错点集中符号处理、等量关系梳理，注重数学建模思想考察。 知识点一 二元一次方程 二元一次方程 1. 定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 二元一次方程的解 1. 定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 即时即练1．若是关于x，y的二元一次方程，则（    ） A．2 B．0 C．2或0 D．1 2．已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 知识点二 二元一次方程组 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 即时即练3．解下列方程组： (1)； (2)． 4．已知关于x，y的方程组，其中a是实数． (1)若，求a的值； (2)若方程组的解也是方程的一个解，求的值； (3)求k为何值时，代数式的值与a的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值． 知识点三 三元一次方程组 三元一次方程组的定义 1. 三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2. 三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 即时即练5．解下列方程组： (1) (2) 6．阅读材料：对问题“已知x、y是方程组的解，求一次式的值”，除了直接解该方程组得出答案外，也可以通过“待定系数法”直接求出的值，过程如下： ，得． 等式左边对比待求一次式的系数，便可构造以a、b为未知数的方程组． 解这个方程组，求出a、b的值后，进而可求出的值． (1)根据阅读材料，完成后续解答过程； (2)如果关于x、y的方程组有解，求m的值． 知识点四 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 即时即练7．夏季是传染病高发期，为做好防疫工作，某社区医院准备用3000元购买医用口罩和消毒液．若买医用口罩1000个，消毒液120瓶，则还差400元；若买医用口罩1200个，消毒液80瓶，则剩余200元． (1)求医用口罩和消毒液的单价（用二元一次方程组解问题）； (2)由于病毒检测需要，医院除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为8元的口罩m个，若需购买医用口罩和口罩共1500个，且，剩余的钱全部用来购买消毒液，恰好用完这3000元，则m可能的值为__________． 8．用如图1所示的长方形和正方形两种类型的纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，如图2所示（上方无盖）．（加工时接缝材料不计） (1)若现有长方形纸板张，正方形纸板张．则竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好将所有纸板全部用完； (2)有一种大型母板，每张大型母板可裁出如图1所示的张长方形纸板或张正方形纸板（一张大型母板只能裁剪一种类型纸板），现有该种大型母板张，所有大型母板经裁剪后，再加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，所裁剪的长方形或正方形纸板正好全部用完，若此时所加工的竖式纸箱的个数是横式纸箱的个数的倍，求分别用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数． 题型1 二元一次方程的相关概念 1．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值（     ） A．4 B．2 C． D．1 2．二元一次方程的正整数解的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如果是关于x、y的二元一次方程，则______． 4．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 题型2 二元一次方程组的相关概念 5．若 是关于x，y的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 6．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 8．解答下列各题： (1)已知二元一次方程，当时，求的值； (2)已知二元一次方程，当时，求的值； (3)结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 题型3 已知二元一次方程组的解求参数 9．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 10．如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，求的值． 11．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 12．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 题型4 解二元一次方程组 13．解方程组： (1)； (2)． 14．解方程组： (1) (2) 15．解下列方程组： (1)； (2)． 16．阅读小明同学数学作业本上的截图内容并完成任务： 解方程组： 解：由①，得．③…………第一步 把③代入①，得．…………第二步 整理，得．…………第三步 因为可以取任意实数，所以原方程组有无数个解．…………第四步 任务： (1)这种解方程组的方法称为___________消元法； (2)小明的解法正确吗？____________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，请指出错在第___________步； (3)请选择恰当的方法解该方程组． 题型5 二元一次方程组的特殊解法 17．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 18．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 19．已知关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5 1 … 则关于的二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 20．关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“差一”方程组． 例如：关于，的二元一次方程组：，解方程组得：， ， ∴方程组是“差一”方程组． (1)下列方程组是“差一”方程组的是_____________（只填写序号）； ①；②；③； (2)若关于，的方程组是“差一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“差一”方程组，求的值． 【易错警示】 代入、加减消元特殊解法易漏变符号，系数通分时漏乘常数项。遇系数互为相反数、倍数关系不会简便消元。错把加减消元的加减符号弄反，含分母方程组去分母漏乘不含分母项。同解、错解题型不检验，参数范围忽略取值限制，计算步骤潦草导致结果出错。 题型6 二元一次方程组的错解复原问题 21．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（   ） A．3 B．0 C．1 D．7 22．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 23．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为，则的值为_______ 24．已知关于，的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为________． (2)若该方程组的解满足，求的值． (3)若小宇同学在解此方程组时，看错了的符号，从而得到解为，则正确的值为________． 【易错警示】 错解复原易混淆看错系数的方程，误将错解代入正确方程。忽略仅看错单个未知数系数，区分不清正确、错误等式。计算时代入数值符号出错，求出参数后不回代验算。常遗漏方程组原有等量关系，直接拼凑等式，最终参数取值出现偏差。 题型7 构造二元一次方程组求解 25．在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 26．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 27．定义一种新运算“”，规定，其中a、b为常数，且，则______． 28．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 题型8 已知二元一次方程组解的情况求参数 29．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（     ） A．3 B．2 C． D．0 30．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（     ） A． B． C． D． 31．关于，的方程组的解，的和等于1，则的值是________． 32．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”． (1)方程组______（填“是”或“不是”）“关联方程组”； (2)如果关于x，y的方程组是“关联方程组”，求a的值． 【易错警示】 判断方程组解的情况求参数，易混淆系数比值关系，漏常数项比对。忽略系数分母为零的限制条件，直接列式计算。分不清唯一解、无解、无数解的判定标准，端点取值不验证，未分类讨论参数取值，最终范围出现遗漏或多余取值。 题型9 方程组相同解问题 33．已知方程组 与同解，则的值为（     ） A． B． C． D． 34．若关于，的方程组与有相同的解．则的值为（     ） A． B． C．0 D．2 35．若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为______． 36．方程组和拥有完全相同的解，求、的值． 【易错警示】 同解方程组易混淆两组方程共用解的条件，错将解分别单独代入。未联立不含参数方程先求出公共解，直接带参计算。判定参数范围时常忽略分母不为零，求出参数后不回代验证，易出现增根、漏解，符号运算失误导致参数结果出错。 题型10 三元一次方程组的解与应用 37．已知方程组，则的值是（    ） A． B．9 C． D．6 38．已知在等式中，当时，；当时，；当时，．求时，________． 39．将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表，根据以下信息，最大数所对应的卡片编号为________． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 40．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ 题型11 列二元一次方程组 41．《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有人，辆车，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 42．二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）：九百九十九文钱，甜果苦果买一千．甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？其大意是：用文钱去买甜果和苦果，一共买了个果子．甜果个要文钱，苦果个要文钱．请问：甜果和苦果各买了多少个？买甜果和苦果分别花了多少钱？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意可以列出方程组（     ） A． B． C． D． 43．甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 44．设适当的未知数，列出二元一次方程组： (1)甲、乙两数的和为14，甲数的比乙数的2倍少7，求这两个数； (2)摩托车的速度是货车速度的倍，两车从相距75km的两地同时出发，相向而行，45min后相遇，求摩托车和货车的速度； (3)某种时装的单价是某种皮装单价的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元，求时装和皮装的单价． 题型12 方案问题 45．脆饼、麻虾酱、狼山烧鸡是南通的特色美食．在某超市了解到以下信息：麻虾酱价格为38元/瓶，1袋狼山烧鸡比2包脆饼贵48元；购买1袋狼山烧鸡和5包脆饼，支付160元．“五一”来临之际，该超市推出两种礼盒装，其中礼盒包含两包脆饼，一瓶麻虾酱，一袋狼山烧鸡；礼盒包含两袋狼山烧鸡． (1)求脆饼、狼山烧鸡的单价． (2)超市举行“五一”促销活动，礼盒打八折，礼盒打九折，某公司现购入两种礼盒（两种礼盒均有购买），最终支付2400元，写出所有购买方案． 46．江苏城市足球超级联赛（苏超）开赛，某校足球队准备购买“鸭嘟嘟”和“蟹嘟嘟”两款官方纪念品，“鸭嘟嘟”49元/个，“蟹嘟嘟”35元/个． (1)若两款纪念品共购买12个，花费490元，问“鸭嘟嘟”，“蟹嘟嘟”各买了几个（用二元一次方程组解决问题）？ (2)若购买这两款纪念品恰好花费700元（两款纪念品都要购买），有哪几种购买方案？ 47．如皋市某中学组织七年级师生前往国家级景区水绘园开展“寻访园林文化”研学活动．学校计划租用座和座两种新能源客车，要求每辆车均坐满． (1)若两种客车共租用辆，且恰好一次载完全部师生人，求这两种客车各租用了多少辆？ (2)研学途中，师生们参观如派盆景展览．工作人员计划在一个面积为平方分米的矩形展台上完全摆满两种规格的盆景底座：大号底座每个占地平方分米，小号底座每个占地平方分米．要求两种底座都必须使用，且展台无空隙、无重叠． ①请写出所有满足条件的摆放方案（需列明大号、小号底座各多少个）； ②若大号底座每个制作成本为元，小号底座每个制作成本为元，为节约成本，应选择哪种方案？最低成本是多少元？ 48．洛川苹果是陕西特色农产品，声名远播，今年又是一个丰收年，某经销商为了打开销路，对1000个精品苹果进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示． 1.纸盒装每箱8个苹果 2.编织袋装每袋18个苹果 3.纸盒装每箱售价64元 4.编织袋装每袋售价126元 (1)若销售箱纸盒装和袋编织袋装的苹果的收入共950元，求的值； (2)假设用这两种打包方式恰好装完全部苹果，当销售总收入为7280元时： ①若这批苹果全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋？ ②若该经销商留下（，为正整数）箱纸盒装送人，其余苹果全部售出，求的值； (3)若为回馈顾客，经销商推出优惠活动：每买一箱纸盒装赠送一个苹果，每买一编织袋装赠送两个苹果．若优惠后所有苹果（含赠送）恰好全部出完货且无剩余，且两种包装均有售卖，请直接写出纸盒装、编织袋装的包装数量的所有可能情况． 题型13 销售问题 49．某商店促销甲、乙两种饮料活动规则如图所示．小明买了甲，乙饮料各1杯，用了12元；小华买了3杯甲饮料和5杯乙饮料，用了38元．甲，乙两种饮料每杯分别是多少元？ 50．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆A型和2辆B型汽车需要万元，2辆A型和3辆B型汽车需要万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售A、B两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和1.2万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 51．列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费310元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少10元． (1)求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ (2)为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降m元，每个乐融融摆件的销售单价降2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了560元，购买乐融融摆件花费了1280元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的2倍．求m的值． 52．用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 题型14 几何问题 53．“骐骥驰骋纹”寓意着生生不息、开拓进取的民族精神．如图①，小明绘制了一个横距比纵距多的“小马”．将“小马”先水平向右平移，再竖直向上平移，且水平向右平移的距离是竖直向上平移距离的2倍，记作一次变换．如图②，将一个“小马”以相同的方式连续变换三次，得到了一个由四匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案．已知该图案横距为，纵距为，求一个“小马”的纵距和一次变换中“小马”竖直向上平移的距离． 54．一副三角板如图放置（，，边与重合），同时绕点O匀速旋转，且三角板比三角板旋转的速度慢． (1)如果三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上；如果三角板、三角板都按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上．求两块三角板每秒分别旋转多少度？ (2)在（1）的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边上？ 55．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 56．我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：．基于此，请解答下列问题： 【知识生成】 （1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为，宽为）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______； 【类比应用】 （2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为，宽为，求的值． 【知识迁移】 （3）如图③所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池（其中，），并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长． 题型15 古代问题 57．我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．设合伙人数为人、羊价为钱，下列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 58．《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______． 59．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 60．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 题型16 二元一次方程组的新定义问题 61．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 62．对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 63．对有理数，定义一种新运算“”：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么________． 64．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 1．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则：明文a，b对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，那么密文，13对应的明文应是（     ） A．5，1 B．13， C．5，3 D．，11 2．表1中的每对，的值都是二元一次方程的解，表2中的每对，的值都是二元一次方程的解，则方程组的解为（     ） 0 1 0 1 0 1 2 4 1 　　　表1        表2 A． B． C． D． 3．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，两只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了两棵树，余树均栖满，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有2只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则会空出2棵树．”设有树x棵，乌鸦y只，依题意可列方程组（     ） A． B． C． D． 4．小敏观察到某地砖图案（如图1），其平面示意图（如图2）是由块大小完全相同的小长方形拼成的大长方形．若，则其中一个小长方形的面积为（     ） A． B． C． D． 5．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．对有理数，定义一种新运算“”：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么________． 7．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为__________． 8．已知关于，的二元一次方程组的解是．若，满足，则的值为________． 9．已知关于，的方程，当时，写出与的数量关系式______；若无论为何值时，方程总有一组解为（其中是常数），则的值为_____． 10．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 11．解方程组： (1)； (2)； 12．已知关于，的二元一次方程组． (1)当时，求方程组的解； (2)当这个方程组的解，的值互为相反数时，求的值． 13．校园“文明之星”积分兑换问题，为鼓励学生参与校园文明志愿活动，某校推出“文明积分”兑换政策，学生可通过参与不同类型的志愿活动获得积分，并兑换学习用品，规则如下： 活动类型 单次活动积分 参与次数上限 A类：教室卫生值日 每次10分 最多参与10次 B类：校园图书整理 每次20分 最多参与10次 C类：文明督导岗执勤 每次30分 最多参与5次 (1)若学生小李参与A类活动3次、B类活动4次、C类活动2次，则他总共获得的积分为 分． (2)若学生小王参与A、B、C三类活动共12次，其中A类活动参与了4次，且总积分恰好为240分．求B类、C类活动各参与了多少次？ (3)若学生小张只参与A类和C类两类活动，总积分仍为240分，且参与次数均为正整数、不超过各自上限．请求出所有符合条件的参与方案． 14．定义：若点的坐标满足，则称点为“好点”． (1)判断点 、是否为“好点”； (2)若点和点都是“好点”，求、的值； (3)已知关于，的方程组的解对应的点恰好是“好点”，且，为正整数，方程组的解，也是整数，求，的一组值． 15．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 二元一次方程的定义与解 题型2 二元一次方程组的定义与解 题型3 已知二元一次方程组的解求参数 题型4 解二元一次方程组 题型5 二元一次方程组的特殊解法 题型6 二元一次方程组的错解复原问题 题型7 构造二元一次方程组求解 题型8 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型9 方程组的同解问题 题型10 三元一次方程组的相关问题 题型11 列二元一次方程组 题型12 方案问题 题型13 销售问题 题型14 几何问题 题型15 古代问题 题型16 二元一次方程组的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 二元一次方程 2. 二元一次方程组 3. 解二元一次方程组 4. 二元一次方程组的含参问题 5. 二元一次方程组的实际应用 1.基础考查代入、加减消元法，设置系数分数、负号计算陷阱 2.搭配方程组与一元一次不等式，综合求解参数取值范围 3.以行程、工程、利润等生活情境，列方程组解实际应用题 4.结合函数图像交点，利用数形结合转化求解方程组解 5.设计同解、错解题型，依托方程恒等求字母未知参数 考情解码：二元一次方程组是代数计算核心考点，题型覆盖选择、填空、解答。基础侧重两种消元运算，大题多结合实际应用列方程求解。常融合不等式、一次函数、含参错题综合命题，重点考查建模与计算能力。易错点集中符号处理、等量关系梳理，注重数学建模思想考察。 知识点一 二元一次方程 二元一次方程 1. 定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 二元一次方程的解 1. 定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 即时即练 1．若是关于x，y的二元一次方程，则（    ） A．2 B．0 C．2或0 D．1 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义得到且，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得 解得或， 综上所述，． 2．已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是利用整体思想代入求解，将已知的方程的解代入原方程，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入二元一次方程中， ∴， ∴； ∴． 知识点二 二元一次方程组 二元一次方程组的概念 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 即时即练 3．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由①得③， 把③代入②，得：，解得， 把代入③，得， ∴方程组的解是； （2）解： 由①得③， 由②得④， ，得⑤， ，得，解得， 把代入④得， ∴方程组的解是． 4．已知关于x，y的方程组，其中a是实数． (1)若，求a的值； (2)若方程组的解也是方程的一个解，求的值； (3)求k为何值时，代数式的值与a的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)当时，代数式的值与a的取值无关，始终是一个定值，定值为． 【分析】（1）把看作已知数，利用加减消元法求出解，再根据求解即可； （2）把方程组的解代入方程计算求出的值，代入原式计算即可求出值； （3）将代入得到，由，即可求解． 【详解】（1）解：方程组， 得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为； ， ， ； （2）解：把方程组代入方程得：， 解得：， 则； （3）解：∵， ∴， ∵代数式的值与a的取值无关， ∴，即， 定值为． 知识点三 三元一次方程组 三元一次方程组的定义 1. 三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2. 三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 即时即练 5．解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由①得，， 代入②得， ， 解得：， 将代入①，得， 解得： （2）解： ③分别代入①②得，， 即， 两式相加得 ， 解得， 将代入③得，， 将代入①得，， 解得：， 6．阅读材料：对问题“已知x、y是方程组的解，求一次式的值”，除了直接解该方程组得出答案外，也可以通过“待定系数法”直接求出的值，过程如下： ，得． 等式左边对比待求一次式的系数，便可构造以a、b为未知数的方程组． 解这个方程组，求出a、b的值后，进而可求出的值． (1)根据阅读材料，完成后续解答过程； (2)如果关于x、y的方程组有解，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据材料中所给解题思路求解即可； （2）仿照（1）中解题思路求解即可． 【详解】（1）解：，得， 令 ，得，解得 将代入③，得，则， ∴， ∴； （2）解：，得， ∵该方程组有解， ∴令 ，得 将代入④，得，解得， ∴， ∴， ∴． 知识点四 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 即时即练 7．夏季是传染病高发期，为做好防疫工作，某社区医院准备用3000元购买医用口罩和消毒液．若买医用口罩1000个，消毒液120瓶，则还差400元；若买医用口罩1200个，消毒液80瓶，则剩余200元． (1)求医用口罩和消毒液的单价（用二元一次方程组解问题）； (2)由于病毒检测需要，医院除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为8元的口罩m个，若需购买医用口罩和口罩共1500个，且，剩余的钱全部用来购买消毒液，恰好用完这3000元，则m可能的值为__________． 【答案】(1)医用口罩单价为元，消毒液单价为元 (2)或 【分析】（1）根据两种购买方案的总金额关系，列二元一次方程组求解单价； （2）根据总费用和数量关系整理得到关于的关系式，结合的取值范围和整数性质得到的可能值． 【详解】（1）解：设医用口罩单价为元，消毒液单价为元． 根据题意可得：， 化简方程组得：， 得：， 解得， 将代入，得， 解得． 答：医用口罩单价为1元，消毒液单价为20元； （2）解：设购买消毒液瓶，为非负整数． 由题意得，购买医用口罩个，总费用为元， 因此：， 整理得：， 变形得， ∵为非负整数， ∴是的倍数， ∵是的倍数， ∴是的倍数． 又∵和互质， ∴是的倍数． ∵，且为正整数， ∴符合条件的为和， ∴可能的值为或． 8．用如图1所示的长方形和正方形两种类型的纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，如图2所示（上方无盖）．（加工时接缝材料不计） (1)若现有长方形纸板张，正方形纸板张．则竖式纸箱、横式纸箱各加工多少个，恰好将所有纸板全部用完； (2)有一种大型母板，每张大型母板可裁出如图1所示的张长方形纸板或张正方形纸板（一张大型母板只能裁剪一种类型纸板），现有该种大型母板张，所有大型母板经裁剪后，再加工成竖式与横式两种无盖的长方体纸箱，所裁剪的长方形或正方形纸板正好全部用完，若此时所加工的竖式纸箱的个数是横式纸箱的个数的倍，求分别用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数． 【答案】(1)加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个 (2)用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张 【分析】（1）设加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用长方形纸板张，正方形纸板张，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得解； （2）设加工横式纸箱个，用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得解． 【详解】（1）解：设加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个， 根据题意得：， 解得； 答：加工竖式纸箱个，加工横式纸箱个． （2）解：设加工横式纸箱个，用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张． 根据题意得：， 解得， ； 答：用于裁成长方形纸板和裁成正方形纸板的大型母板的张数分别为张，张． 题型1 二元一次方程的相关概念 1．若是关于x，y的二元一次方程，则m的值（     ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，可得两个条件：x的系数不为0，y的次数为1，据此列关系式求解即可得到m的值． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴且， 解得：． 2．二元一次方程的正整数解的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，可得，根据、是正整数，则是的倍数，可得或，据此即可求解． 【详解】解：方程可化为， ∵、均为正整数， 当时，；当时，， 方程的正整数解为，，有2个． 3．如果是关于x、y的二元一次方程，则______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，该方程需要含有两个未知数，所含未知数的项的次数都为1，且x的系数不为0，据此列出关于m的条件求解即可． 【详解】∵是关于x、y的二元一次方程， ∴， 解绝对值方程，得或，即或， 由不等式，得， 综上可得，． 4．已知方程是关于x，y的二元一次方程． (1)求m，n的值； (2)当时，求y的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由二元一次方程的定义可得，，且，，计算即可得出结果； （2）由（1）可得原方程为，把代入得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，，且，， 解得，； （2）解：由（1）可得原方程为， 把代入得， 解得：． 题型2 二元一次方程组的相关概念 5．若 是关于x，y的二元一次方程组，则m的值是（     ） A． B．3 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】根据二元一次方程组的定义求解，需满足两个条件：所有未知数的次数为1，且x的系数不为0，保证方程组符合二元一次的要求，据此列方程组求解即可． 【详解】解：原方程组是关于，的二元一次方程组， 解得：且 m的值是． 6．下列方程组中，①；②；③；④；属于二元一次方程组的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】二元一次方程组需满足三个条件：①方程组共含有两个未知数；②每个未知数的最高次数为1次；③方程组中的方程都是整式方程，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程组的定义逐个判断： ∵①中含有三个未知数， ∴①不属于二元一次方程组； ∵②中共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴②属于二元一次方程组； ∵③共含两个未知数，未知数最高次数为1，均为整式方程，满足定义， ∴③属于二元一次方程组； ∵④中未知数的最高次数为2， ∴④不属于二元一次方程组； 综上，属于二元一次方程组的共个． 7．在下列方程组中，只有一个解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可通过化简方程组，根据两个方程系数的关系判断解的个数，两个一次方程对应未知数系数不成比例时，方程组只有一个解． 【详解】选项A：对于，将第二个方程两边同除以3，得，与第一个方程完全相同，因此方程组有无数个解，故A不符合要求； 选项B：对于，将第二个方程两边同除以2，得，与矛盾，因此方程组无解，故B不符合要求； 选项C：对于，将第一个方程两边同乘2，得，与矛盾，因此方程组无解，故C不符合要求； 选项D：对于，化简第二个方程得，两个方程未知数对应系数不成比例，联立可求得唯一解，因此方程组只有一个解，故D符合要求． 8．解答下列各题： (1)已知二元一次方程，当时，求的值； (2)已知二元一次方程，当时，求的值； (3)结合（1）（2）的计算结果，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入二元一次方程，求解即可； （2）将代入二元一次方程，求解即可； （3）综合（1）（2），由二元一次方程组解的定义即可判断． 【详解】（1）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （2）解：对于二元一次方程，当时，，解得； （3）解：， 由（1）知是方程①的一组解；由（2）知是方程②的一组解； 综上所述，是方程组的解． 题型3 已知二元一次方程组的解求参数 9．若是关于和的二元一次方程的解，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程的解的含义，把代入即可得到答案. 【详解】解：∵是关于和的二元一次方程的解， ∴， 解得：， 故选：C 10．如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，求的值． 【答案】． 【分析】首先利用加减消元法解二元一次方程组，得到、关于的表达式；再根据方程解的定义，将、代入，得到关于的一元一次方程，最后解该方程求出的值． 【详解】解：解方程组，得， ∵二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解， ∴代入方程得：， 解得． 11．【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 12．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 题型4 解二元一次方程组 13．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ①代入②得， 将代入①得， ∴方程组的解为； （2）解： ①②得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 14．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 将代入②，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 由②得，， 化简得③， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． 15．解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 由①得③， 把③代入②，得：，解得， 把代入③，得， ∴方程组的解是； （2）解： 由①得③， 由②得④， ，得⑤， ，得，解得， 把代入④得， ∴方程组的解是． 16．阅读小明同学数学作业本上的截图内容并完成任务： 解方程组： 解：由①，得．③…………第一步 把③代入①，得．…………第二步 整理，得．…………第三步 因为可以取任意实数，所以原方程组有无数个解．…………第四步 任务： (1)这种解方程组的方法称为___________消元法； (2)小明的解法正确吗？____________（填“正确”或“不正确”），如果不正确，请指出错在第___________步； (3)请选择恰当的方法解该方程组． 【答案】(1)代入 (2)不正确，二 (3) 【分析】（1）根据消元法的定义判断方法名称即可； （2）根据代入消元法的操作要求，小明错将变形后的方程代回原变形方程，因此解法错误；（3）按照正确的代入消元法步骤求解即可得到方程组的解． 【详解】（1）解：这种解方程组的方法称为代入消元法． （2）解：代入消元法需要将变形后的方程代入另一个未变形的原方程，小明将③代入变形所用的方程①，因此解法不正确，错在第二步． （3）解：， 由①，得．③ 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 即， 所以方程组的解为． 题型5 二元一次方程组的特殊解法 17．已知关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用整体换元思想，将待解方程组变形为与已知解的原方程组结构一致的形式，通过对应关系建立关于，的方程即可求解． 【详解】解：由得，， 令，， ∴， ∴该方程组与结构相同， ∴，即， 解得． 18．若方程组的解是，则方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对比两个方程组的结构，将新方程组中的和看作整体，对应原方程组中的和，结合原方程组的解即可求解新方程组. 【详解】解：设，. 则所求方程组可化为 ， ∵方程组的解是， ∴方程组的解是， ∴所求方程组的解满足， ∴所求方程组的解为． 19．已知关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5.5 5 4.5 4 3.5 3 … 关于的二元一次方程的解如下表： … 0 1 2 … … 5 1 … 则关于的二元一次方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元思想，将和看作整体，先找出两个原二元一次方程的公共解，得到关于的新方程组，再用消元法求解． 【详解】解：可化为， 由表格可知，，同时满足两个原方程， 因此可得，整理得 得：，解得， 将代入得 ，解得， 因此方程组的解为． 20．关于，的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“差一”方程组． 例如：关于，的二元一次方程组：，解方程组得：， ， ∴方程组是“差一”方程组． (1)下列方程组是“差一”方程组的是_____________（只填写序号）； ①；②；③； (2)若关于，的方程组是“差一”方程组，求的值； (3)若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“差一”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“差一”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入到，可求出，的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得，， 此时，， ①不是“差一”方程组； ②，解得，， 此时，， ②是“差一”方程组； ③，解得，， 此时，， ③是“差一”方程组． 故答案为：②③． （2）解：， ①得，， ②③得，， ． 把代入①得，， ， 所以方程组的解是． 关于，的方程组是“差一”方程组， ，即， 解得，或． （3）解：若对于任意的无理数，关于，的方程组都是“差一”方程组，则， 联立得，， 解得，或． 把代入中， 得， 即． 为无理数， ，， 解得，，， ； 把代入中， 得， 即． 为无理数， ，， 解得，，， ； 综上所述，或． 【易错警示】 代入、加减消元特殊解法易漏变符号，系数通分时漏乘常数项。遇系数互为相反数、倍数关系不会简便消元。错把加减消元的加减符号弄反，含分母方程组去分母漏乘不含分母项。同解、错解题型不检验，参数范围忽略取值限制，计算步骤潦草导致结果出错。 题型6 二元一次方程组的错解复原问题 21．两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，则的值为（   ） A．3 B．0 C．1 D．7 【答案】D 【分析】将代入中，得到，解得；将代入中，得，可得二元一次方程组，解得，即可求解． 【详解】解：∵甲同学由正确地解出， ∴； ∴， ∵乙同学因把写错了解得， ∴将代入中，得， ∴可得二元一次方程组，解得， ∴． 22．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 【答案】 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解，将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 【详解】解：将和分别代入方程，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 23．已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为，则的值为_______ 【答案】0 【分析】分别把x，y的值代入正确的方程求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：把代入 得：， 解得； 把代入， 得， 解得， ∴． 24．已知关于，的方程组． (1)方程有一组正整数解，请再写出一组正整数解为________． (2)若该方程组的解满足，求的值． (3)若小宇同学在解此方程组时，看错了的符号，从而得到解为，则正确的值为________． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3) 【分析】（1）取，求出对应的值即可； （2）求出方程组的解，代入即可得出结果； （3）根据题意，得到是方程的解，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， 故方程的一组正整数解可以为（答案不唯一）； （2）解：由题意，方程组与方程组同解， 解，得， 把代入，得， 解得. （3）解：由题意，是方程的解 ∴， ∴. 【易错警示】 错解复原易混淆看错系数的方程，误将错解代入正确方程。忽略仅看错单个未知数系数，区分不清正确、错误等式。计算时代入数值符号出错，求出参数后不回代验算。常遗漏方程组原有等量关系，直接拼凑等式，最终参数取值出现偏差。 题型7 构造二元一次方程组求解 25．在等式中，当时，；当时，，则这个等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知两组，的对应值代入等式，得到关于，的二元一次方程组，解方程组求出，的值，即可得到所求等式． 【详解】解：当时，；当时，， 代入，得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 把，代入得． 26．若，则，的值分别是（   ） A．，0 B．3，2 C．1，4 D．2，3 【答案】B 【分析】根据平方和绝对值的非负性，两个表达式之和为零则每个表达式均为零，由此列出方程组求解． 本题考查了非负数的意义，二元一次方程组的解法，根据题意列出方程组并正确求解是解题关键． 【详解】解：∵ 且 ， 又∵ ， ∴ ， 解得 故选：B． 27．定义一种新运算“”，规定，其中a、b为常数，且，则______． 【答案】 【分析】根据新运算的定义，结合已知条件列出关于、的二元一次方程组，求解得到、的值后，再根据新运算规则计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， 整理得， 第二个方程减第一个方程得， 解得， 将代入，得， ∴， ∴． 28．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 题型8 已知二元一次方程组解的情况求参数 29．若关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（     ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】C 【分析】原方程组的解同时满足和，先联立这两个方程求出，的值，再代入含的方程即可求出的值． 【详解】解：由题意可得，方程组的解满足，， ∵将两个方程相加得， ∴， 将代入，得， 将，代入，得， 解得：． 30．已知，满足方程组，则无论取何值，，恒有的关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二元一次方程组的消元法，要得到，的恒有关系式，只需消去参数即可． 【详解】解：方程组， ∵得：， 两边消去，整理得：， ∴无论取何值，，恒有关系式． 31．关于，的方程组的解，的和等于1，则的值是________． 【答案】 【分析】根据已知，的和为，与原方程组第一个方程联立，先求出和的值，再代入含的方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解方程组得：， 把代入得：， 解得：． 32．如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”． (1)方程组______（填“是”或“不是”）“关联方程组”； (2)如果关于x，y的方程组是“关联方程组”，求a的值． 【答案】(1)是 (2) 【分析】（1）方程组是“关联方程组”，利用，可得出，进而可得出方程组是“关联方程组”； （2）利用，可得出，结合关于 ，的方程组是“关联方程组”，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】（1）解：方程组是“关联方程组”，理由如下： ， 得：， 方程组是“关联方程组”； （2）解：， 得：． 又 关于 ，的方程组是“关联方程组”， ， 解得：， 的值为． 【易错警示】 判断方程组解的情况求参数，易混淆系数比值关系，漏常数项比对。忽略系数分母为零的限制条件，直接列式计算。分不清唯一解、无解、无数解的判定标准，端点取值不验证，未分类讨论参数取值，最终范围出现遗漏或多余取值。 题型9 方程组相同解问题 33．已知方程组 与同解，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程组同解，说明它们的解相同，因此先联立两个不含参数的方程求出公共解，再代入含参数的方程所组成的方程组中解答即可求出的值． 【详解】解：∵两个方程组同解， ∴同时满足两个方程组中的所有方程， 由，解得， 把代入，得， ①②，得， ∴． 34．若关于，的方程组与有相同的解．则的值为（     ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】两个方程组有相同的解，说明该解满足所有方程，先解方程组，再代入含参数的方程组求出，，最后计算的值即可． 【详解】解：， 得，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∴， 得，解得， 把代入得，解得， ∴． 35．若关于、的方程组和关于、的方程组有相同的解，则的值为______． 【答案】 【分析】将方程组中不含、的两个方程联立，求得、的值，再联立含有、的两个方程，把、的值代入，两方程相加即可求得的值． 【详解】解：把方程组中不含、的两个方程联立得， ， ，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴方程组的解为， 把方程组中含、的两个方程联立得， ， 把代入，得， ，得， ∴． 36．方程组和拥有完全相同的解，求、的值． 【答案】， 【分析】先求解出与的值，再代入第二个方程组求出与的值． 【详解】解：， 将，得， 解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为， 将代入，得， ， 整理，得， 将，得， 解得， 将代入③，得， 解得， ∴，． 【易错警示】 同解方程组易混淆两组方程共用解的条件，错将解分别单独代入。未联立不含参数方程先求出公共解，直接带参计算。判定参数范围时常忽略分母不为零，求出参数后不回代验证，易出现增根、漏解，符号运算失误导致参数结果出错。 题型10 三元一次方程组的解与应用 37．已知方程组，则的值是（    ） A． B．9 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查解三元一次方程组，负整数指数幂，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 将三个方程相加并整理后求得的值，再利用负整数指数幂即可求得答案． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加可得， ∴， ∴． 38．已知在等式中，当时，；当时，；当时，．求时，________． 【答案】22 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， 当时， ． 39．将正面记为A，B，C，D，E的五张卡片按如图所示放置，每张卡片反面都写有一个数．现依次将相邻两张卡片反面的数之和记录如表，根据以下信息，最大数所对应的卡片编号为________． 卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A 两数和 【答案】 【分析】设卡片对应的数分别为，根据表格数据列出关于的方程组，通过整体求和及代入消元的方法求出各数的值，比较大小即可确定最大数对应的卡片编号． 【详解】解：设卡片对应的数分别为， 由题意得：， 得：， ⑥， 得：， 把代入④得：， 把代入③得：， 把代入②得：， 把代入①得：， ， ， 最大数所对应的卡片编号为． 40．先阅读下列材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足①，②，求和的值.本题常规思路是将两式联立组成方程组，解得、的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)请说明关于，的方程组中，无论取何值，的值始终不变； (3)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ 【答案】(1)， (2)见解析 (3)购买支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需110元 【分析】本题考查加减消元法及实际应用，能够理解整体思想是解题的关键． （1）根据题目中的步骤运用整体思想，即可求解； （2）利用加减消元法将消掉即可得证； （3）根据实际信息列式求解即可． 【详解】（1）解： 得，， 则， 得，； （2）解： 得，， 则， 的值始终不变； （3）解：设购买1支铅笔需元，1块橡皮需元，1本日记本需元，由题意得： 得，， ， 答：购买支铅笔、10块橡皮、10本日记本共需110元． 题型11 列二元一次方程组 41．《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行．问：人与车各多少？设有人，辆车，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设有人，辆车， ∵3人坐一辆车时，有2辆车是空的， ∴被使用的车辆数为，总人数满足； ∵2人坐一辆车时，有9人需要步行， ∴坐上车的人数为，这部分人刚好坐满辆车，可得． 因此符合题意的方程组为． 42．二果问价（源自我国古代算书《四元玉鉴》）：九百九十九文钱，甜果苦果买一千．甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？又问各该几个钱？其大意是：用文钱去买甜果和苦果，一共买了个果子．甜果个要文钱，苦果个要文钱．请问：甜果和苦果各买了多少个？买甜果和苦果分别花了多少钱？设甜果买了个，苦果买了个，根据题意可以列出方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出单个甜果、苦果的价格，再根据总数量和总花费列方程组即可． 【详解】根据甜果个要文钱，苦果个要文钱可知：单个甜果文钱，单个苦果文钱， 根据果子总数量为个，总花费为文钱， 有：． 43．甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 【答案】 【分析】本题根据行程问题中追及和相遇的路程关系列方程组，同向追及时，相同时间内甲车行驶路程比乙车多A、B两地的距离；相向相遇时，两车行驶路程和等于A、B两地的距离，据此即可列出方程组． 【详解】解： 已知甲车速度为，乙车速度为，A、B两地相距， 当两车匀速同向而行，甲车后追上乙车，可得甲车行驶路程减去乙车行驶路程等于两地距离，列方程得， 当两车匀速相向而行，后相遇，可得两车行驶路程和等于两地距离，列方程得， 因此可列方程组为． 44．设适当的未知数，列出二元一次方程组： (1)甲、乙两数的和为14，甲数的比乙数的2倍少7，求这两个数； (2)摩托车的速度是货车速度的倍，两车从相距75km的两地同时出发，相向而行，45min后相遇，求摩托车和货车的速度； (3)某种时装的单价是某种皮装单价的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元，求时装和皮装的单价． 【答案】(1)设甲数为，乙数为，二元一次方程组为 (2)设货车速度，摩托车速度，二元一次方程组为 (3)设皮装单价元，时装单价元，二元一次方程组为 【分析】（1）设甲数为，乙数为，根据“甲、乙两数的和为14，甲数的比乙数的2倍少7”，即可得出关于的二元一次方程组； （2）设货车速度，摩托车速度，根据“摩托车的速度是货车速度的倍，两车从相距75km的两地同时出发，相向而行，45min后相遇”，即可得出关于的二元一次方程组； （3）设皮装单价元，时装单价元，根据“某种时装的单价是某种皮装单价的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元”，即可得出关于的二元一次方程组． 【详解】（1）解：设甲数为，乙数为， 依据题意：甲乙和为14，得：； 甲数比乙数2倍少7，即，整理：， 故方程组： ． （2）解：设货车速度，摩托车速度， 由摩托速度是货车倍：；， 相向相遇路程和75：， 方程组： ． （3）解：设皮装单价元，时装单价元， 时装单价是皮装1.4倍：， 5件皮装比3件时装贵700：， 方程组： ． 题型12 方案问题 45．脆饼、麻虾酱、狼山烧鸡是南通的特色美食．在某超市了解到以下信息：麻虾酱价格为38元/瓶，1袋狼山烧鸡比2包脆饼贵48元；购买1袋狼山烧鸡和5包脆饼，支付160元．“五一”来临之际，该超市推出两种礼盒装，其中礼盒包含两包脆饼，一瓶麻虾酱，一袋狼山烧鸡；礼盒包含两袋狼山烧鸡． (1)求脆饼、狼山烧鸡的单价． (2)超市举行“五一”促销活动，礼盒打八折，礼盒打九折，某公司现购入两种礼盒（两种礼盒均有购买），最终支付2400元，写出所有购买方案． 【答案】(1) 脆饼单价为元/包，狼山烧鸡单价为元/袋 (2) 所有购买方案为：①购入礼盒份，礼盒份；②购入礼盒份，礼盒份；③购入礼盒份，礼盒份 【分析】（1）根据题目中的等量关系列出方程组，通过解方程组求出脆饼和狼山烧鸡的单价； （2）根据礼盒的组成计算相关费用，再结合促销活动列出方程，通过分析方程的解来确定购买方案． 【详解】（1）解：设脆饼的单价是元/包，狼山烧鸡的单价是元/袋， 根据题意得：， 解得：， 答：脆饼的单价是16元/包，狼山烧鸡的单价是80元/袋． （2）解：礼盒原价为：（元）， 打八折后的价格为：（元） 礼盒原价为：（元）， 打九折后的价格为：（元）． 设购买礼盒个，购买礼盒个， 根据最终支付2400元，可得， 即， 得． 均为正整数， 必须是5的倍数， 当时， ； 当时， ； 当时， ． 答：购买方案有三种，方案一为购买礼盒14个，礼盒5个；方案二为购买礼盒8个，礼盒10个；方案三为购买礼盒2个，礼盒15个． 46．江苏城市足球超级联赛（苏超）开赛，某校足球队准备购买“鸭嘟嘟”和“蟹嘟嘟”两款官方纪念品，“鸭嘟嘟”49元/个，“蟹嘟嘟”35元/个． (1)若两款纪念品共购买12个，花费490元，问“鸭嘟嘟”，“蟹嘟嘟”各买了几个（用二元一次方程组解决问题）？ (2)若购买这两款纪念品恰好花费700元（两款纪念品都要购买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)“鸭嘟嘟”买了5个，“蟹嘟嘟”买了7个 (2)有2种购买方案：“鸭嘟嘟”买5个，“蟹嘟嘟”买13个或“鸭嘟嘟”买10个，“蟹嘟嘟”买6个 【分析】（1）“鸭嘟嘟”买了个，“蟹嘟嘟”买了个，根据“两款纪念品共购买12个，花费490元”列方程组求解即可； （2）根据题意得到关于，的二元一次方程，根据，都是整数取合适的解即可． 【详解】（1）解：设“鸭嘟嘟”买了个，“蟹嘟嘟”买了个， 根据题意得：， 解得． 答：“鸭嘟嘟”买了5个，“蟹嘟嘟”买了7个； （2）解：设“鸭嘟嘟”买了个，“蟹嘟嘟”买了个， 由题意得：，因为，都是正整数， 所以或． 答：有2种购买方案：“鸭嘟嘟”买5个，“蟹嘟嘟”买13个或“鸭嘟嘟”买10个，“蟹嘟嘟”买6个． 47．如皋市某中学组织七年级师生前往国家级景区水绘园开展“寻访园林文化”研学活动．学校计划租用座和座两种新能源客车，要求每辆车均坐满． (1)若两种客车共租用辆，且恰好一次载完全部师生人，求这两种客车各租用了多少辆？ (2)研学途中，师生们参观如派盆景展览．工作人员计划在一个面积为平方分米的矩形展台上完全摆满两种规格的盆景底座：大号底座每个占地平方分米，小号底座每个占地平方分米．要求两种底座都必须使用，且展台无空隙、无重叠． ①请写出所有满足条件的摆放方案（需列明大号、小号底座各多少个）； ②若大号底座每个制作成本为元，小号底座每个制作成本为元，为节约成本，应选择哪种方案？最低成本是多少元？ 【答案】(1)45座客车6辆，30座客车6辆 (2)①共3种方案：大号底座3个、小号底座11个；大号底座6个、小号底座6个；大号底座9个、小号底座1个； ②大号底座9个、小号底座1个最省钱，最少243元． 【分析】（1）设45座客车x辆，30座客车y辆，根据车辆总数和座位总数建立二元一次方程组求解． （2）①设大号底座x个，小号底座y个，由面积关系列不定方程，求正整数解． ②将①中各方案逐一计算费用，比较得出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设45座客车租用x辆，30座客车租用y辆， 根据题意，得： 解得：， 45座客车租用6辆，30座客车租用6辆． （2）解：①设大号底座x个，小号底座y个， 根据题意，得：， ， ，，且x、y均为正整数， ，即， 当时，； 当时，； 当时，， 满足条件的安排共有3种： 方案一：大号底座3个，小号底座11个； 方案二：大号底座6个，小号底座6个； 方案三：大号底座9个，小号底座1个． ②分别计算各方案的费用： 方案一：（元）， 方案二：（元）， 方案三：（元）， ， 方案三最省钱， 安排大号底座9个、小号底座1个最省钱，最少费用为243元． 48．洛川苹果是陕西特色农产品，声名远播，今年又是一个丰收年，某经销商为了打开销路，对1000个精品苹果进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示． 1.纸盒装每箱8个苹果 2.编织袋装每袋18个苹果 3.纸盒装每箱售价64元 4.编织袋装每袋售价126元 (1)若销售箱纸盒装和袋编织袋装的苹果的收入共950元，求的值； (2)假设用这两种打包方式恰好装完全部苹果，当销售总收入为7280元时： ①若这批苹果全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋共包装了多少袋？ ②若该经销商留下（，为正整数）箱纸盒装送人，其余苹果全部售出，求的值； (3)若为回馈顾客，经销商推出优惠活动：每买一箱纸盒装赠送一个苹果，每买一编织袋装赠送两个苹果．若优惠后所有苹果（含赠送）恰好全部出完货且无剩余，且两种包装均有售卖，请直接写出纸盒装、编织袋装的包装数量的所有可能情况． 【答案】(1) (2)①纸盒装装了35箱，编织袋装了40袋；② (3)纸盒装装100箱，编织袋装5袋；或纸盒装装80箱，编织袋装14袋；或纸盒装装60箱，编织袋装23袋；或纸盒装装40箱，编织袋装32袋；或纸盒装装20箱，编织袋装41袋 【分析】（1）根据“单价销售箱数收入”的等量关系，列出关于的方程，求出． （2）设纸盒装共包装了箱，编织袋共包装了袋，根据题意，可以列出以下方程组，即可求出结果，由题意列出方程组，求出值． （3）设纸盒装共包装了 箱，编织袋共包装了袋，根据题意，纸盒装每箱个苹果，编织袋装每袋个苹果，根据苹果总数是固定的列出方程． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得：． （2）解：设纸盒装共包装了箱，编织袋装共包装了袋． 由题意可得， ， 解方程组得，， 答：纸盒装装了箱，编织袋装了袋． 解：由题意得， ， 由得， ， 代入得， ， 化简得，，观察可知为的倍数， ∵、、均为整数，且、、， ∴，此时，满足题意． （3）解：设纸盒装共包装了 箱，编织袋装共包装了袋． 由题意得， ∵、正整数， ∴， ∴， 枚举得所有解： ，． ，． ，． ，． ，； 答：纸盒装装100箱，编织袋装5袋；或纸盒装装80箱，编织袋装14袋；或纸盒装装60箱，编织袋装23袋；或纸盒装装40箱，编织袋装32袋；或纸盒装装20箱，编织袋装41袋． 题型13 销售问题 49．某商店促销甲、乙两种饮料活动规则如图所示．小明买了甲，乙饮料各1杯，用了12元；小华买了3杯甲饮料和5杯乙饮料，用了38元．甲，乙两种饮料每杯分别是多少元？ 【答案】甲饮料每杯5元，乙饮料每杯7元 【分析】设甲，乙两种饮料每杯分别是元，元，根据“甲，乙饮料各1杯共12元”得出；小华买了3杯甲饮料和5杯乙饮料，根据促销规则，实际付费为，然后列方程组求解即可. 【详解】解：设甲，乙两种饮料每杯分别是元，元， 根据题意，得， 解得， 答：甲饮料每杯5元，乙饮料每杯7元. 50．中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进1辆A型和2辆B型汽车需要万元，2辆A型和3辆B型汽车需要万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售A、B两种型号的汽车每辆分别可获得利润1万元和1.2万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)A型汽车进价为万元，B型汽车进价为万元 (2)有2种购买方案，分别是第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆 (3)第一种方案获利最大，最大利润为7.4万元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是解题的关键． （1）设A型汽车进价为x万元，B型汽车进价为y万元，由此列式求解即可； （2）设A型汽车购买了a辆，B型汽车购买了b辆，由此列式，并根据题意，代入合适的值计算并比较即可求解； （3）根据各种方案的情况，分别计算出各自的利润进行比较即可． 【详解】（1）解：设A型汽车进价为x万元，B型汽车进价为y万元，依题意得 ∴，解得，； ∴A型汽车进价为万元，B型汽车进价为万元； （2）解：设A型汽车购买了a辆，B型汽车购买了b辆，依题意得 整理得． ，b为正整数， ∴是3的倍数． 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时， ； 当时，； 综上所述，符合题意的有2种购买方案，分别是第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆． （3）解：由（2）可得，共有有2种购买方案，第一种方案：A型汽车购买5辆，B型汽车购买2辆；第二种方案：A型汽车购买1辆，B型汽车购买5辆． ∴第一种方案的利润为：（万元）， 第二种方案的利润为：（万元）， ∴第一种方案的利润最大，最大利润为万元． 51．列方程解下列问题： 十五运会和残特奥会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”深受人们喜爱，其周边商品持续热销．甲顾客在某专卖店购买了3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件，共花费310元．已知喜洋洋挂件的销售单价比乐融融摆件的销售单价少10元． (1)求该专卖店中喜洋洋挂件和乐融融摆件的销售单价分别是多少？ (2)为回馈顾客，该专卖店决定，每个喜洋洋挂件的销售单价降m元，每个乐融融摆件的销售单价降2m元．乙顾客购买喜洋洋挂件花费了560元，购买乐融融摆件花费了1280元，且购买乐融融摆件的数量是购买喜洋洋挂件的数量的2倍．求m的值． 【答案】(1)喜洋洋挂件的销售单价为58元，乐融融摆件的销售单价为68元． (2)m的值为2． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，可化为一元一次方程的分式方程的应用，根据题目条件找出等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设喜洋洋挂件的销售单价为元，根据喜洋洋挂件单价比乐融融摆件的销售单价少10元，可表示出乐融融摆件的销售单价．再根据购买3个喜洋洋挂件和2个乐融融摆件共花费310元，列出方程求解； （2）先分别表示出降价后喜洋洋挂件和乐融融摆件的单价，再根据乙顾客购买两种商品的数量关系列出方程求解． 【详解】（1）解：设喜洋洋挂件的销售单价为元，则乐融融摆件的销售单价为元．根据题意，得 ， 解得， ， 答：喜洋洋挂件的销售单价为58元，乐融融摆件的销售单价为68元； （2）降价后喜洋洋挂件的单价为元，乐融融摆件的单价为元．根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：的值为2． 52．用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 【答案】(1)医用口罩：1.5元/个，消毒液：20元/瓶 (2)120或160 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶，根据“某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）由题意可得，整理可得，在结合，均为正整数，且即可得解． 【详解】（1）解：设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶， 由题意可得：， 解得：， ∴医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， ∵，均为正整数，且， ∴为的倍数， ∴或． 题型14 几何问题 53．“骐骥驰骋纹”寓意着生生不息、开拓进取的民族精神．如图①，小明绘制了一个横距比纵距多的“小马”．将“小马”先水平向右平移，再竖直向上平移，且水平向右平移的距离是竖直向上平移距离的2倍，记作一次变换．如图②，将一个“小马”以相同的方式连续变换三次，得到了一个由四匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案．已知该图案横距为，纵距为，求一个“小马”的纵距和一次变换中“小马”竖直向上平移的距离． 【答案】一个“小马”的纵距为，一次变换中“小马”竖直向上平移的距离为 【分析】设“小马”的纵距为，则横距为，设“小马”竖直向上平移的距离为，则水平向右平移的距离为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设“小马”的纵距为，则横距为，设“小马”竖直向上平移的距离为，则水平向右平移的距离为， 由题意得， 解得 答：一个“小马”的纵距为，一次变换中“小马”竖直向上平移的距离为． 54．一副三角板如图放置（，，边与重合），同时绕点O匀速旋转，且三角板比三角板旋转的速度慢． (1)如果三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上；如果三角板、三角板都按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上．求两块三角板每秒分别旋转多少度？ (2)在（1）的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边上？ 【答案】(1)三角板每秒旋转，三角板每秒旋转； (2)经过秒点D第二次落在边上． 【分析】（1）由题意得，设三角板每秒旋转，三角板每秒旋转，根据三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，后，点D第一次落在边上，三角板、三角板都按逆时针旋转，后，点D第一次落在边上．建立二元一次方程组求解即可； （2）设经过秒点D第二次落在边上，由（1）中结论结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 设三角板每秒旋转，三角板每秒旋转，且， 根据题意得，解得， 答：三角板每秒旋转，三角板每秒旋转； （2）解：设经过秒点D第二次落在边上， 由题意得， 解得， 答：经过秒点D第二次落在边上． 55．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【答案】(1)； (2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【分析】（1）根据图1、图2列二元一次方程即可； （2）联立（1）中两二元一次方程求解即可； （3）设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，根据题干图列方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 56．我们已经知道，通过不同方式计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，利用图①可得：．基于此，请解答下列问题： 【知识生成】 （1）如图②，用4个完全相同的长方形（它的长为，宽为）围成一个正方形，用两种不同的方式表示图中阴影部分的面积．由此，可得到等式：______； 【类比应用】 （2）已知长方形的周长为6，面积为1，设该长方形的长为，宽为，求的值． 【知识迁移】 （3）如图③所示，某校计划在一块面积为的长方形空地中划出长方形和长方形，在这两个长方形重叠部分的区域建一个长方形水池（其中，），并将长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，求和的长． 【答案】（1）；（2）；（3）和的长分别为 、． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题关键． （1）直接计算阴影部分的面积或由大正方形面积减去小正方形面积即可得出结论， （2）利用完全平方公式变形求解即可； （3）设，，根据长方形面积可得，根据长方形和长方形两个区域建为花园，且这两个花园的总周长为，可得，再模仿（2）求出，联立方程即可求解． 【详解】（1）解：， （2）依题意得：，， ， ， ∵ ， （3）设，， 由题意可知： ，即， ∴， 又∵， ∴， 联立可得：， 解得， 答：和的长分别为 、． 题型15 古代问题 57．我国古代数学的经典著作《九章算术》中有一道“盈不足术”问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出七钱，还差三钱．设合伙人数为人、羊价为钱，下列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到总出资金额和羊价的关系，即可列出正确方程组． 【详解】设合伙人数为人，羊价为钱， ∵每人出5钱，还差45钱，所有人出的总钱数比羊价少45， ∴可得方程, ∵每人出7钱，还差3钱，所有人出的总钱数比羊价少3， ∴可得方程, 因此方程组为． 58．《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______． 【答案】 【分析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有五十钱，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y， 根据题意：． 59．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的有_________个． 甲：设客房有x间，则； 乙：设客人有y人，则； 丙：设客房有x间，客人有y人，则． 【答案】 2 【分析】对于甲的方案，因为设客房有间，根据“每间住7人多7人”可得客人总数为，根据“每间住9人空一间”可得客人总数为，如果这两个表达式都表示客人总数，那么可列出等式，据此判断甲的方程是否正确． 对于乙的方案，因为设客人有人，根据“每间住7人多7人”可得客房数为，根据“每间住9人空一间”可得客房数为，如果乙的等式中客房数的表达式符合题意，那么判断乙的方程是否正确． 对于丙的方案，因为设客房间、客人人，根据“每间住7人多7人”可列，根据“每间住9人空一间”即住满的房间共间，客人总数为，变形可得，如果这两个方程符合等量关系，那么判断丙的方程组是否正确． 最后统计正确方案的个数． 【详解】解：甲：设客房有间，根据总人数相等列方程， 每间住人，总人数为，每间住人，空出间，总人数为，因此，甲正确. 乙：设客人有人，根据客房数量相等列方程， 每间住人，人无房住，客房数量为，每间住人，空出间，客房数量为，因此方程应为，乙所列方程错误，乙不正确. 丙：设客房有间，客人有人，根据题意可得， 由一房七客多七客，得，即， 由一房九客一房空，得，整理得， 因此方程组正确，丙正确. 综上，甲丙两人正确，正确的个数为. 60．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每头牛值金两，每头羊值金两 (2)方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 【分析】（1）设每头牛值金两，每头羊值金两，根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两”，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买牛头，羊头，根据购买牛和羊恰好用金34两，列出方程，求方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组， 解得：， 答：每头牛值金两，每头羊值金两． （2）解：设购买牛头，羊头， 可得方程：， ， 是正整数 ∴，， 答：有2种方案：方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头． 题型16 二元一次方程组的新定义问题 61．对定义一种新运算“※”，规定：（其中均为非零实数），若，，则的值是（   ） A．13 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．根据题意联立二元一次方程组，解出的值，再代入运算中即可求解． 【详解】解：由题意得：， 整理得， 得：， 把代入②得：， ∴， 则， 故选：B． 62．对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据新运算法则可得关于m、n的方程组，再两式相减可得答案. 【详解】解：因为， 所以，两式相减可得， 即； 故选：B. 【点睛】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是关键. 63．对有理数，定义一种新运算“”：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么________． 【答案】 【分析】理解新运算的规则，根据已知条件得到关于，的二元一次方程组，求解出，后计算的值即可． 【详解】解：根据新运算的定义，由，得： ， 解得：， ． 64．阅读理解： 已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解为，我们就定义该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，因为，所以方程是“和解方程”．请根据上述定义解答下列问题： (1)方程______“和解方程”；（填“是”或“不是”） (2)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3)已知关于的一元一次方程是“和解方程”，且它的解是x=b，求，的值． 【答案】(1)不是 (2)m= (3) 【分析】（1）根据定义计算判断即可； （2）根据定义列方程求出m即可； （3）根据定义列方程组求解即可． 【详解】（1）解：方程3x=-6的解为x=-2， ∵-2≠-6+3， ∴方程3x=-6不是“和解方程”， 故答案为：不是； （2）由题意得， 解得m=； （3）由题意得， 解得， ∴． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确理解题意中的定义列得方程或方程组解决问题是解题的关键． 1．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则：明文a，b对应的密文为，．例如：明文1，2对应的密文是，4，那么密文，13对应的明文应是（     ） A．5，1 B．13， C．5，3 D．，11 【答案】C 【分析】根据给定的加密规则，由已知密文列出关于明文，的二元一次方程组，解方程组即可得到对应的明文． 【详解】解：设密文,对应的明文为,，根据加密规则可得 将第二个方程两边同乘，得 将所得方程与第一个方程相加，得 ，解得 把代入，得，解得 ∴明文为，， 故选C． 2．表1中的每对，的值都是二元一次方程的解，表2中的每对，的值都是二元一次方程的解，则方程组的解为（     ） 0 1 0 1 0 1 2 4 1 　　　表1        表2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得：是方程的解，也是的解， ∴方程组的解为． 3．阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，两只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了两棵树，余树均栖满，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有2只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则会空出2棵树．”设有树x棵，乌鸦y只，依题意可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据两种栖息情况，分别找出乌鸦总数的等量关系即可列出方程组． 【详解】解：设有树x棵，乌鸦y只． ∵ 每棵树上栖2只乌鸦，有5只没去处，总乌鸦数为y， ∴ ； 又∵每棵树上有5只，则会空出2棵树，总乌鸦数为y， ∴ 有乌鸦的树共棵，可得； 因此可列方程组． 4．小敏观察到某地砖图案（如图1），其平面示意图（如图2）是由块大小完全相同的小长方形拼成的大长方形．若，则其中一个小长方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形列方程组，然后解方程组求得x、y值，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形，得，解得， 则小长方形的长为，宽为， ∴小长方形的面积为． 5．已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程，因此先联立两个不含、的方程求出公共解、，再将解代入含、的方程，即可计算得到的值． 【详解】解： 两个方程组的解相同 联立不含、的方程得 ， 得 ，解得 ． 把代入得 ，解得 ． 将，代入含、的方程得， 方程④两边同除以得 ． ． 6．对有理数，定义一种新运算“”：，其中，为常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，已知，，那么________． 【答案】 【分析】理解新运算的规则，根据已知条件得到关于，的二元一次方程组，求解出，后计算的值即可． 【详解】解：根据新运算的定义，由，得： ， 解得：， ． 7．已知关于x，y的方程组，若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】将方程组中两个方程相加整理得到关于的表达式，再结合已知条件列一元一次方程，即可求解的值． 【详解】解： 得： ， ∴， ∵ ∴， 解得：． 8．已知关于，的二元一次方程组的解是．若，满足，则的值为________． 【答案】 【分析】利用整体思想，对比已知方程组与所求方程组的结构，得到关于，的等式，将求得的，值代入计算即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是． 若令，则方程组的解与方程组的解相同， 则，解得， ． 9．已知关于，的方程，当时，写出与的数量关系式______；若无论为何值时，方程总有一组解为（其中是常数），则的值为_____． 【答案】 1 【分析】将代入关于，的方程中整理后可得x与a的数量关系式；再将代入该方程，然后根据题意列得关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：将代入方程得， 将代入中得， 整理得：， 即， 关于的方程，无论为何值时，总有一组解为（其中是常数）， ∴， 解得：． 10．学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 【答案】 【分析】设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据两种购买方案列出方程组，推导得到未知数之间的关系，再计算实际购买后剩余的钱数即可． 【详解】解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据题意得： ， 得：， ∴， 得：， 整理得：， 将代入得： ， 整理得：， 实际购买后剩余钱数为： （元）． 11．解方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）使用代入消元法即可求解； （2）使用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得， ∴方程组的解为． （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为． 12．已知关于，的二元一次方程组． (1)当时，求方程组的解； (2)当这个方程组的解，的值互为相反数时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入原方程组，再进一步解方程组即可； （2）两个方程相加，得到，求出，根据方程组的解x，y的值互为相反数可得a的值． 【详解】（1）解：当时， ， 得，， 两边同除以3得，③， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解是. （2）解：， 得，， 两边同除以3得，， ∵方程组的解x，y的值互为相反数， ∴， ∴， 解得. 13．校园“文明之星”积分兑换问题，为鼓励学生参与校园文明志愿活动，某校推出“文明积分”兑换政策，学生可通过参与不同类型的志愿活动获得积分，并兑换学习用品，规则如下： 活动类型 单次活动积分 参与次数上限 A类：教室卫生值日 每次10分 最多参与10次 B类：校园图书整理 每次20分 最多参与10次 C类：文明督导岗执勤 每次30分 最多参与5次 (1)若学生小李参与A类活动3次、B类活动4次、C类活动2次，则他总共获得的积分为 分． (2)若学生小王参与A、B、C三类活动共12次，其中A类活动参与了4次，且总积分恰好为240分．求B类、C类活动各参与了多少次？ (3)若学生小张只参与A类和C类两类活动，总积分仍为240分，且参与次数均为正整数、不超过各自上限．请求出所有符合条件的参与方案． 【答案】(1) (2)B类活动参与了4次，C类活动参与了4次 (3)小张参与A类活动9次，参与C类活动5次 【分析】（1）分别计算出A类，B类，C类活动的积分，三者求和即可得到答案； （2）设B类活动参与了x次，C类活动参与了y次，根据小王参与A、B、C三类活动共12次，且总积分恰好为240分建立方程组求解即可； （3）设小张参与A类活动m次，参与C类活动n次，根据总积分为240分建立方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：分， ∴他总共获得的积分为170分； （2）解：设B类活动参与了x次，C类活动参与了y次， 由题意得， ， 解得， 答：B类活动参与了4次，C类活动参与了4次； （3）解：设小张参与A类活动m次，参与C类活动n次， 由题意得，， ∴， ∵参与次数均为正整数、不超过各自上限， ∴m是不大于10的正整数，n是不大于5的正整数， ∴只有，这种情况满足题意， ∴符合条件的参与方案为：小张参与A类活动9次，参与C类活动5次． 14．定义：若点的坐标满足，则称点为“好点”． (1)判断点 、是否为“好点”； (2)若点和点都是“好点”，求、的值； (3)已知关于，的方程组的解对应的点恰好是“好点”，且，为正整数，方程组的解，也是整数，求，的一组值． 【答案】(1)点 、是“好点” (2)， (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了新定义问题，解题关键是准确理解新定义，熟练运用二元一次方程组求解． （1）根据“好点”的定义代入求解即可； （2）根据“好点”的定义判定即可； （3）先解方程组，再根据，为正整数，方程组的解，也是整数，求解即可． 【详解】（1）解：：，是“好点”； ：，是“好点”． （2）解：∵点和点都是“好点”， ∴，；，． （3）解：， 由得，代入， 得：，， ∴， 因为，为整数，且为正整数， 所以必须整除，且为整数． 当：，得； 当：，； 当：， ； 当： ，； 当：，；等等． 任选一组即可，例如 ，此时 ，，符合整数条件． 答：（答案不唯一）． 15．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）三个式子相加即可求解； （2）根据方程组的结构可得，再加减消元即可； （3）利用整体法结合加减消元即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为 ∴， 解得； （3）解：由题可得， 得：， 解得， 把代入，得， 解得， ，． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $