专题05 一元一次不等式14大题型（暑假复习讲义）新八年级数学新教材苏科版

专题05 一元一次不等式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 不等式的定义与解集 题型2 不等式的基本性质 题型3 一元一次不等式的定义 题型4 求一元一次不等式的解集 题型5 求一元一次不等式的整数解 题型6 数轴上表示一元一次不等式的解集 题型7 求不等式组的解集 题型8 求一元一次不等式组的整数解 题型9 由一元一次不等式组解集求参数 题型10 由不等式组解集的情况求参数 题型11 不等式组和方程组结合的问题 题型12 不等式组的应用问题（经济、方案、阶梯收费） 题型13 不等式组的应用问题（几何） 题型14 一元一次不等式组的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 一元一次不等式 2. 解一元一次不等式 3. 一元一次不等式组 4. 一元一次不等式组的含参问题 5. 一元一次不等式（组）的实际应用 1.重点考查不等式基本性质，乘除负数变号为高频易错考点 2.求解一元一次不等式并在数轴规范表示解集，规范书写步骤 3.不等式组求整数解，结合限定条件筛选符合要求的数值 4.结合生活实际场景，建立不等式模型解决最值应用问题 5.搭配方程、方程组设置含参题型，逆向求参数取值范围 考情解码：一元一次不等式属于代数高频考点，选择填空考查性质与解集，解答题必考解不等式组。常结合整数解、实际方案分配出题，频繁联动二元一次方程组出含参综合题。易错点集中乘负变号、数轴空心实心区分，侧重数学建模、分类讨论与数形结合思想。 知识点一 不等式的概念与性质 不等式的概念 1.不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 注意： 凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2.常用不等号的意义和读法 名称 符号 读法 意义 例子 小于号 < 小于 表示左边的量比右边的量小 x<5 大于号 > 大于 表示左边的量比右边的量大 x>2 小于或 ≤ ①小于或等于; 表示左边的量“不大于”右边的量 x≤3 等于号 ②不大于 大于或 ≥ ①大于或等于; 表示左边的量“不小于”右边的量 x≥-1 等于号 ②不小于 不等号 ≠ 不等于 表示左边的量“不等于”右边的量 x≠-3 3.易错点提示： (1)不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意交换， (2)有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2：有些不等式中含有未知数，如2x>5中，x表示未知数， (3)对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立：否则，不等式不成立 列不等式表示不等关系 1.列不等式 列不等式就是用不等式表示不等关系 2.列不等式通常有以下两种情形 (1)根据数量关系列不等式. (2)根据实际问题列不等式。 3.列不等式的基本步骤 (1)认真审题，分清题目中包含的数量间的大小关系： (2)将题目中的不同数量用代数式表示出来； (3)用不等号以及运算符号连接所列的代数式，列出不等式 4.常见的不等式基本语音与符号 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a>0 a是负数 a<0 a是非正数 a≤0 a是非负数 a≥0 a,b同号 ab>0 a,b异号 ab<0 不等式的基本性质 1. 不等式的基本性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 2. 不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果a>b,c>0,那么ac>bc或> 如果a>b,c<0,那么ac<bc或< 3.注意事项 要正确理解“不等号的方向不变”和“不等号的方向改变”的含义： 例如“不等号的方向不变”指的是如果原来是“>”，那么结果仍是“>”。“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”;如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥” 4.解题技巧 （1）运用不等式的基本性质1时，需要注意不等式的两边必须同加或同减，且必须是同一个数或同 一个整式，不等号方向不变； （2）用不等式的基本性质2将不等式变形时，要特别注意不等式两边都乘（或除以）同一个负数的情况，此时不等号的方向必须改变 1．解决以下问题 (1)从“数”的角度证明：当时，； (2)从“形”的角度证明：当时，． 【答案】(1) 证明：∵， 又∵， ∴， ∴ ∴； (2) 证明：当时，构造图形如下，为正方形， 长方形的面积为，长方形的面积为， 由图可得长方形的面积大于长方形的面积， ∴， ∴． 【分析】（1）利用完全平方的非负性进行证明即可； （2）根据题意，构造图形，根据图形面积的关系，进行证明即可. 【详解】（1）略 （2）略 2．阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性如下例题： 例：已知实数、满足，证明：． 证明：因为且，均为正， 所以 ， （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)若，，尝试证明：． 【答案】(1)， (2) 证明：∵，， ∴； 又∵，， ∴； ∴． 【分析】（1）由不等式的性质得到，，再利用不等式的传递性求解即可； （2）根据不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变得到，，进而不等式的传递性可证得结论． 【详解】（1）证明：因为且m，n均为正， 所以，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以．（不等式的传递性） （2）略 知识点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 不等式的解、不等式的解集 1.不等式的解 （1）不等式的解是指在某一特定范围内的数，一般情况下不等式的解有无数个，用它代替不等式中的未知数，不等式一定成立； （2）不等式的解与一元一次方程的解的区别：不等式的解的个数是不确定的，一个不等式若有解，则一殼会有无数个解：而一个一元一次方程若有解，则它的解只有一个 2.不等式的解集 （1）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集： （2）不等式的解集必须精合两个条件： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立： ②能够使不等式成立的所有的数值都在该解集中， 3.不等式的解与不等式的解集的区别与联系 (1)不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立， (2)不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解. (3)不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而 不等式的解集是指满足这个不等式的所有未知数的值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个 元素. 不等式的解集的表示 1.用不等式表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是某个范围，这个范围（即解集）可用一个简 单的不等式x>a(或x≥a)或x<a(x≤a)的形式表示出来.例如：不等式2x<6的解集是x<3,不等式x+1≥5的解集是x≥4. 2.用数轴表示 (1)我们知道所有的有理数和无理数都可以利用数轴上的点表示出来，而“不等式的解集”表示的是一个范 围，不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来 (2)我们知道数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，可以根据这一特点来描述不等式的 解集；下面分四种情况研究不等式解集的表示，列表如下： 不等式 的解集 x>a x≥a x<a x≤a 意义 在数轴上表 示数a的点 的右边的点 对应的数, 不包括a 在数轴上表 示数a的点 的右边的点 对应的数,包 括a 在数轴上表 示数a的点 的左边的点 对应的数, 不包括a 在数轴上表 示数a的点 的左边的点 对应的数,包 括a 画法 从a开始向 右画,在表示 a的点处画空 心圆圈 从a开始向· 右画,在表示 a的点处画实 心圆点 从a开始向 左画,在表示 a的点处画空 心圆圈 从a开始向 左画,在表示 a的点处画实 心圆点 一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2. 解一元一次不等式的各步骤依据和注意事项 解一元一次不等式 依据 注意问题 解法 步骤 解的 情况 ①去分母 不等式的基本性质2 不要漏乘不含分母的项 ②去括号 去括号法则 当括号前是“-”时,要注意去 括号后括号内的各项都要改变 符号 ③移项 不等式的基本性质1 移项是从不等式的一边移到另 一边,一定要变号 ④合并同类项 合并同类项法则 只需把同类项的系数相加减 ⑤系数化为1 不等式的基本性质2 若不等式两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号的方向要改变 一般有无 数个解 不等式的所有解组成解集 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 3．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示如下： 【分析】根据一元一次不等式的解法计算． 【详解】解：不等式的两边都乘6，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得，， 这个不等式的解集在数轴上表示略 4．已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入求出，把代入，然后求出的值即可； （）得，，根据，列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴把代入得： ， 解得：． （2）解：， 得，， ∵， ∴， ∴． 知识点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等 式组. 2.注意：(1)不等式组中不等式的个数可以是两个，也可以是多个. (2)不等式组中各个不等式必须含有同一个未知数. 3.归纳：判断一个不等式组是不是一元一次不等式组，需满足两个条件： (1)组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同： (2)不等式组中的不等式至少有2个，也可以多于2个 不等式组的解集 1.不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定. 2.利用数轴表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况 3.利用数轴确定不等式组的解集的步骤 (1)将两个一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确 地表示出来（表示时注意空心圆圈与实心圆点的区别). (2)确定数轴上的公共部分，若有公共部分，则公共部分就是此不等式组的解集；若没有公共部分，此时，我们说这个不等式组无解。 解不等式组 1.解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组， 2.解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)把各个不等式的解集在数轴上表示出来； (3)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有 公共部分，那么说这个一元一次不等式组无解. 3.解一元一次不等式组与解二元一次方程组的区别 解一元一次不等式组是“先分后合”，即先解不等式组中的每个不等式，再确定公共部分：解二元一次方程组是“先合再分”，即先将两个方程转化为一个方程，再分别求出两个来知数的值 4.确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集.如果没有公共部分，则这个不 等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握. （2）口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 5．解下列方程组或不等式（组）： (1) (2) (3)解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2) (3)，数轴表示为： 【详解】（1）解： 由得， 解得 将代入①得，，解得 ∴原方程组的解为； （2）解： 解得 ∴不等式的解集为； （3）解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为 数轴表示见答案． 6．【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围．”有如下解法： 解：， ， 又， ， ， 又， ①， 同理②， 由得， 的取值范围是． 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是 ； (2)已知，且，，试确定的取值范围（用含有a的式子表示）； 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题； (3)已知，且，，试确定的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料提示方法得到，，结合不等式的性质计算即可得到； （2）根据材料提示方法得到，，结合不等式的性质计算即可得到； （3）根据材料提示方法得到，则，，结合不等式的性质计算即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， 又∵， ∴， 同理，，且， ∴， 解得，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， 又∵， ∴， 同理，，且， ∴， 解得，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， 又∵， ∴，则， 同理，，且， ∴， 解得，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 知识点四 一元一次不等式组的实际应用 由实际问题列一元一次不等式 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3.列一元一次不等式解决实际问题首先弄清题中数量关系，用字母表示未知数．再根据题中的不等关系列出不等式． 一元一次不等式实际问题的一般步骤 列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题类似，所不同的是一个是列方程，另一个是列不等式.列不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及它们的关系，找出题目中的不等关系，要抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“最多等词语； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题目中的不等关系列出不等式：无去 (4)解：解出所列不等式的解集； (5)答：检验求得的解或解集是否符合实际意义，并写出答案 即时即练 7．某饮品店果汁的价格如下表所示： 杯型 容量（毫升/杯） 价格（元/杯） 小杯 350 8 大杯 500 10 (1)某天该店果汁的总销量为57升，收入为1200元，求这天该店小杯果汁、大杯果汁各卖了多少杯？ (2)若某天该店小杯果汁、大杯果汁一共卖了150杯，且总收入不低于1375元．那么小杯果汁最多卖多少杯？ 【答案】(1)这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯； (2)小杯果汁最多卖杯． 【分析】（1）这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设小杯果汁卖了杯，则大杯果汁卖了杯，根据题意列出一元一次不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯， 根据题意得， 解得， 答：这天该店小杯果汁卖了杯，大杯果汁卖了杯； （2）解：设小杯果汁卖了杯，则大杯果汁卖了杯， 根据题意得， 解得， 因为是正整数， 所以最大取62， 答：小杯果汁最多卖杯． 8．扬州牛皮糖是国家级非物质文化遗产，也是扬州最具代表性的传统特产之一，有着“江南一绝”的美誉，是很多游客来扬州必带的伴手礼． 某超市购进A、B两种规格的扬州牛皮糖销售，进价分别为18元/袋、30元/袋，售价保持不变．近两天销售情况如下： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 5袋 2袋 240元 第二天 3袋 4袋 270元 （说明：本题中，A、B两种规格扬州牛皮糖的进价、售价均保持不变） (1)求A、B两种规格牛皮糖的销售单价． (2)若该超市准备用不超过1320元再购进这两种规格牛皮糖共60袋，求B规格牛皮糖最多能采购多少袋． (3)在（2）的条件下，销售完这60袋牛皮糖，能否实现利润为795元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)种规格牛皮糖的销售单价为元/袋，种规格牛皮糖的销售单价为元/袋． (2)规格牛皮糖最多能采购袋． (3)解：不能实现利润为元的目标，理由如下： 根据题意得：， 解得：， 又， 不符合题意，舍去， 在（2）的条件下，销售完这60袋牛皮糖，不能实现利润为795元的目标． 【分析】（1）设规格牛皮糖的销售单价是元袋，规格牛皮糖的销售单价是元袋，利用销售收入销售单价销售数量，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购规格牛皮糖袋，则采购规格牛皮糖袋，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不超过1320元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论； （3）在（2）的条件下，销售完这60袋牛皮糖，利用总利润每袋的销售利润销售数量（进货数量），可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再结合（2）中的取值范围，即可得出结论． 【详解】（1）解：设规格牛皮糖的销售单价是元袋，规格牛皮糖的销售单价是元袋， 根据题意得：， 解得：． 答：规格牛皮糖的销售单价是30元袋，规格牛皮糖的销售单价是45元袋； （2）解：设采购规格牛皮糖袋，则采购规格牛皮糖袋， 根据题意得：， 解得：， 的最大值为20． 答：规格牛皮糖最多能采购20袋； （3）解：略． 题型1 不等式的定义与解集 1．下列各式中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题主要考查不等式的定义，根据不等式的定义“用不等号连接的式子”进行判断即可． 【分析】解：不等式是用不等号（如“”、“”、“”、“”、“”等）连接的式子， 选项A： 是代数式，不含等号或不等号，不是不等式； 选项B： 用“”连接，符合不等式的定义； 选项C： 是等式，用“”连接； 选项D： 是等式，同样用“”连接； 故选：B． 2．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的定义，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫作不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：． 【详解】解：①；②；⑤；⑥是不等式， ∴共个不等式． 故选：A． 3．已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 【答案】D 【分析】已知不等式解集为，根据不等式解的定义，判断每个选项是否符合解集条件即可得到结论． 【详解】解：对于A选项，， ∴ -3不是这个不等式的解，A错误； 对于B选项，， ∴ 1是这个不等式的解，B错误； 对于C选项，例如，但，不是不等式的解， ∴ C错误； 对于D选项，所有大于的数都满足， ∴ 大于的数都是这个不等式的解，D正确． 4．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式两边同除以一个正数，不等号方向不变是解题关键． 根据不等式解集的形式，确定系数符号，进而求出参数范围． 【详解】解：原不等式为解集为， ∴且， ∴． 故选：A． 题型2 不等式的基本性质 5．已知，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A，∵，根据不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不改变，∴，A正确； 选项B，∵，根据不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不改变，∴，B错误； 选项C，∵，根据不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不改变，∴，即，C错误； 选项D，∵，根据不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，∴，D错误． 6．若，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， 对选项A，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，故A错误； 对选项B，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，故B错误； 对选项C，不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C错误； 对选项D，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，故D正确． 7．对于有理数a、b，如果，，则b____（用“”，“”，“”填空）． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴根据不等式的性质可得：， ∴． 8．证明：如果，，那么． (1)请补全小明的证明过程； (2)再用一种不同的方法证明． 【答案】(1)； (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）根据不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）略 【易错警示】 不等式性质高频易错点集中在乘除负数不变号，这是核心失分点。含字母系数时不分类讨论正负直接化简，易得出错误解集。混淆加减与乘除变形规则，误以为加减负数也要翻转不等号。去分母、移项时常忽略符号变化，做含参题型缺少对系数为零的讨论，解题需时刻留意不等号方向变化。 题型3 一元一次不等式的定义 9．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的判断，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式，判断各选项即可． 【详解】解：A、，只含未知数x，次数为1，且有不等号“”，故是一元一次不等式； B、，含有两个未知数x和y，故不是一元一次不等式； C、，没有不等号，故不是一元一次不等式； D、，未知数x的最高次数为2，故不是一元一次不等式； 故选：A． 10．已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题关键是掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，得出，且，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， ∴， 故选：C． 11．有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键． 【详解】解：依题意，①；②；③；⑥都是一元一次不等式， ∴一元一次不等式有4个， 故选：B． 12．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为______． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义得到，即可求解． 本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得． 故答案为：． 题型4 求一元一次不等式的解集 13．解不等式：． 【答案】 【分析】先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 14．解不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 15．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为即可求解，熟练掌握解不等式的方法及步骤是解题的关键． 【详解】解： ， ∴ ∴． 16．解不等式：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式．根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1求出不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母，得． 移项，得． 合并同类项，得， 系数化为1，得． 题型5 求一元一次不等式的整数解 17．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得， 移项并合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴范围内的负整数为，共2个． 18．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可. 【详解】解：， ①②得 ， 解得 ， 由②得 ， ∵方程组有正整数解，为整数， ∴均为正整数，只需为正整数， ∴为正整数，且， ∴是的正约数，且， ∴的可能取值为， ∴对应整数为，共个． 19．若不等式的最大整数解是，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先解关于的一元一次不等式，再根据不等式的最大整数解为列出关于的不等式，求解得到的取值范围。 【详解】解：， 移项得， 系数化为得：， 不等式的最大整数解是， ， ∴． 20．解不等式，并写出此不等式的最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】此题考查解一元一次不等式，求不等式的整数解，正确解不等式是解题的关键． 按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解： ， 解得：， ∴最小整数解为． 【易错警示】 求解不等式整数解常出现三大失误：解不等式时乘负忘记变号，解集本身出错；数轴区分空心、实心点失误，边界数值判断偏差；求整数解漏找、多取正负整数，忽略题目限定范围。含参题型未结合参数范围筛选整数，审题遗漏正数、非负等限制条件，造成答案不全。 题型6 数轴上表示一元一次不等式的解集 21．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示如下： 【分析】根据一元一次不等式的解法计算． 【详解】解：不等式的两边都乘6，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 两边都除以，得，， 这个不等式的解集在数轴上表示略 22．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示如图：． 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 23．解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 【答案】， 解集在数轴上表示如下： 【分析】按照解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 数轴略． 24．解一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项得， 系数化为1，得， 不等式的解集为：， 在数轴上表示为： （2）解： 去分母，得 移项、合并同类项得， 系数化为1，得， 不等式的解集为：， 在数轴上表示为： 题型7 求不等式组的解集 25．解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 【答案】， 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ． 26．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，解集在数轴上表示如下： 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 则不等式组的解集为， 解集在数轴上表示略． 27．解下列不等式（组） (1)解不等式：； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 28．解不等式组：． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是． 题型8 求一元一次不等式组的整数解 29．不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查由不等式组整数解的情况求参数，涉及解含参数不等式组、不等式组的整数解等知识，根据题意，求出不等式组的解集为，再由不等式组整数解的情况求出或，由不等式的性质分情况讨论求解即可得到答案，熟练掌握由不等式组整数解的情况求参数的方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解的和为7， 或， 当时，解得，则整数的值有共3个； 当时，解得，则整数的值有共3个； 综上所述，满足题意的整数的值有个， 故选：B． 30．若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 【详解】解：∵于x的不等式组有且仅有两个整数解，且不等式组的解集为， ∴， 故选：D． 31．若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再结合不等式组有解且最多有4个整数解的条件，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得； 不等式组有解， 不等式组的解集为， ∴ 不等式组最多有个整数解， 不等式组的整数解最多为，不能包含， ∴ 综上，的取值范围是． 32．我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)3；，0，1 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）由不等式，得，分和两种情况，求出解集，结合进行判断即可； （3）用a表示不等式组的解集，根据恰有3个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为：，0，1； 故答案为：3；，0，1． （2）解： 由不等式，得， 当即时，， 结合得解集为：4和中的较小值， “长度”， ， 解得，满足，符合题意； 当即时，， 结合得解集为：，无法满足“长度”，不合题意； 综上可知，a的值为； （3）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组有3个“整点”， ∴，其中， 设3个整数解为k，，， 则， 变形得， ， ，， 根据有3个“整点”，可得整数解可能为，，0，或，0，1，或0，1，2， 其中，当整数解为，，0，即时， 可得 解得a的取值范围为，符合题意； 当整数解为，0，1，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 当整数解为0，1，2，即时， 可得， 该不等式组无解，不合题意； 综上可知，a的取值范围为． 题型9 由一元一次不等式组的解集求参数 33．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式组的解集是 ． 34．一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解不等式的解，再根据不等式组的解判断的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式组为， 由①可得，，解得， 由②可得，， ∵不等式组的解集为， ∴． 35．若不等式组的解集为，则的取值范围是_________________． 【答案】 【详解】解：由题意，，解得. 36．已知解关于m的不等式组． (1)求不等式组的解集； (2)化简； (3)在m的取值范围内，当整数 时，关于x的不等式的解集是． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先分别求出两个不等式的解集，再求出公共解即可； （2）根据（1）中的取值范围，利用绝对值的性质即可化简； （3）根据不等式的解集结合不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：， 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为； （2）解：∵， ∴， 则原式； （3）解：不等式整理得：， ∵不等式的解集为， ∴， 解得：，即， ∴当整数或时，关于x的不等式的解集是． 【易错警示】 此类题型极易忽略临界值能否取等，混淆空心与实心边界。解不等式后未结合 “同大取大、同小取小” 判断参数范围，未分类讨论参数大小。常遗漏不等式组无解、有整数解等限定条件，直接列式不检验，端点取舍判断失误，最终参数取值范围出现多解或缺解。 题型10 由不等式组解集的情况求参数 37．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再根据一元一次不等式组无解的解集规律，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∵不等式组无解，两个解集没有公共部分， ∴， 解得． 38．已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组有解的条件，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定a的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 故选：D． 39．若关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】不等式组解集的确定原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先分别求解两个不等式，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵原不等式组无解， ∴． 40．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是________； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则________； (3)已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）求出不等式解集，利用题目所给定义求出“解集长度”； （2）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求出的值； （3）求出不等式解集，表示出其“解集长度”，结合题目条件即可求的取值范围，这里注意这个条件． 【详解】（1）解：， ①移项得，解得， ②移项得，解得， 故原不等式组的解集为， 故其“解集长度”为； （2）解：， 解①得， ②移项得， 解得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”为2， ， 解得； （3）解：， ①化简得，移项得，解得， 解②得， 故原不等式组的解集为， 其“解集长度”小于3， ， ①化简得，解得， ②化简得，解得， ． 题型11 不等式组和方程组结合的问题 41．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，不等式组的求解，解题的关键是掌握相关的计算法则和步骤． 先求出方程组的解，然后列出不等式组进行求解即可． 【详解】解： 解方程组得， 根据题意得， 解得， ∴整数的最小值为1， 故选：C． 42．关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，一元一次不等式的解集问题． 求出，根据计算即可． 【详解】解： 得：， 即， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 43．若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 44．阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，．又，．．又，①；同理可得②．由①②得，即，的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，试确定的取值范围； (2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照阅读材料求出的取值范围即可； （2）解二元一次方程组，建立一元一次不等式组，仿照阅读材料求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． ． 且， 同理可得 由①②得， 即． （2）解：解方程组，得， ， ， ， ，， ， 解得，即， 则， ． 【易错警示】 联立方程组与不等式综合题，易解错方程组基础解。代入不等式时符号处理失误，乘除负数忘变号。忽略参数端点能否取等，不验证临界值。审题遗漏正数、整数等限制条件，分类讨论不完整，直接合并范围易产生增解、漏解，最后未检验结果合理性。 题型12 不等式组的应用问题（经济、方案、阶梯收费） 45．某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费______元； (2)某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，通过零售和套餐销售两种方式全部售出，当天总收入超过1500元．若两种套餐售出数量恰好相等，则每种套餐最多售出多少份？ 【答案】(1)20 (2)每种套餐最多售出39份 【分析】（1）购买两个套餐①，再买一杯牛奶即可； （2）设每种套餐售出x份，根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：（元） 答：若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费20元； （2）解：设每种套餐售出x份， 根据题意得， 解得 ∵x是整数 ∴x的最大值为39 ∴每种套餐最多售出39份． 46．2026年4月1日淮安市中小学迎来了第一个春假，某校七年级师生共280人，准备租车前往盱眙黄花塘新四军军部纪念馆研学一天．某出租公司有两种车型可供选择，具体信息如下： 车型 载客量 日租金 A型大巴 40人/辆 800元/辆 B型中巴 30人/辆 600元/辆 学校对租车提出了以下基本要求：①总费用不超过6000元；②为了不浪费，只允许最后一辆车有空位，其他车必须坐满；③两种车型至少各租1辆． 设租用A型大巴x辆，B型中巴y辆． (1)请根据题意，列出关于x、y的不等式组（无需求解）； (2)请你用列表法找出符合题意的租车方案，并给出最省钱的租车方案； (3)现在出租公司推出如下优惠方案：每辆B型中巴的日租金减免元．已知学校租用A型大巴和B型中巴共8辆，所花费用不超过5500元．请求出m的最小值． 【答案】(1) (2)符合题意的租车方案有：①A型1辆，B型8辆；②A型2辆，B型7辆；③A型3辆，B型6辆；④A型4辆，B型4辆；⑤A型5辆，B型3辆；⑥A型6辆，B型2辆；最省钱的租车方案为租A型1辆B型8辆或租A型4辆B型4辆，总费用均为5600元 (3)的最小值为 【分析】（1）根据“总费用不超过6000元”得；根据“为了不浪费，只允许最后一辆车有空位，其他车必须坐满”得；根据“两种车型至少各租1辆”得，，为整数； （2）先化简不等式组得，且，，为整数，再列表即可解答； （3）根据总费用不超过5500元得，整理得，再根据载客量得且可求出为4或5或6，从而求出的最小值． 【详解】（1）解：根据题意，列出不等式组如下： ； （2）解：解不等式组得：，且，，为整数， 列表如下： 的值 的可能值 的值 总费用（元） 是否符合条件 28 1 8 是 28 4 4 是 28 7 0 舍去 否 29 2 7 是 29 5 3 是 30 3 6 是 30 6 2 是 所以，最省钱的租车方案为租A型1辆B型8辆或租A型4辆B型4辆，总费用均为5600元 （3）解：∵， ∴，且，（为整数）， ∴， 整理得， ∵， 解得， 当最后一辆为A型大巴车时，则且， 解得, ∵为整数， ∴为4，5，6，7, 当时，， ∴为4，5，6， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 但，此情况不存在，舍去； 当时，， 解得：； 但，此情况不存在，舍去； 综上，的最小值为． 47．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 48．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用100张正方形硬纸片和200张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，且正方形硬纸片的使用数量不超过134张，那么需要正方形和长方形硬纸片各多少张？ (3)如图2，丙种纸盒为有盖长方体纸盒，如果用这种硬纸片制作甲、乙、丙三种纸盒（每种纸盒都需制作），其中长方形硬纸片的数量是正方形硬纸片的数量的4倍少50个，你能确定乙、丙两种纸盒的数量吗？若能，求出乙、丙两种纸盒的个数之和；若不能，请说明理由． 【答案】(1)能制作甲种纸盒20个，乙种纸盒40个 (2)需要正方形硬纸片134张，长方形硬纸片366张 (3)能，乙、丙两种纸盒的个数之和为11或12 【分析】（1）设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，根据制作两种纸盒共用100张正方形硬纸片和200张长方形硬纸片，可列出关于x，y的二元一次方程:组，解之即可得出结论； （2）设制作甲种纸盒m个，则乙种纸盒为个，根据题意列出不等式组，求解得甲乙两种纸盒的数量，从而可求出需要正方形和长方形硬纸片的张数； （3）设制作甲、乙、丙三种纸盒的个数分别为a，b，c，根据长方形硬纸片的数量是正方形硬纸片的数量的4倍少50个列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设恰好能制作甲种纸盒x个，乙种纸盒y个，根据题意得： ， 解得：， 答：恰好能制作甲种纸盒20个，乙种纸盒40个； （2）解：设制作甲种纸盒m个，则乙种纸盒为个，根据题意，得： ， 解得：， 因为m为整数，所以， 此时乙种纸盒数量为：（个）； 需要正方形硬纸片： （张）；需要长方形硬纸片：（张）； 答：需要正方形硬纸片134张，长方形硬纸片366张； （3）解：设制作甲、乙、丙三种纸盒的个数分别为a，b，c，根据题意，得： ， 化简得：， 因为a，b，c均为正整数， 所以，当时，，此时； 当时，，此时； 当b取其他偶数时，c不为正整数； 所以，乙、丙两种纸盒的个数之和为11或12． 题型13 不等式组的应用问题（几何） 49．如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】存在，t的取值范围为或 【分析】当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别根据的面积大于的面积的一半，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：存在，理由如下： 当点P在上，点Q在上，时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 当点P在上，点Q在上，当点P到达终点时，所需的时间为，即当时，则有， 由题意得：， 解得：， ∴当时，的面积大于的面积的一半； 综上所述，当或时，的面积大于的面积的一半． 50．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． 51．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在；或 (3)存在；或 【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 52．如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 题型14 一元一次不等式组的新定义问题 53．对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，理解新定义运算的运算法则是本题的关键． （1）根据新定义列出不等式，根据一元一次不等式的解法解出不等式即可； （2）根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，然后根据“的解集中有3个整数解”求出的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， 的解集中有3个整数解， 的整数解为，，， ， ． 54．定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过比较和2的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，解得， ∴的取值范围为； （3）解：①当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组无解； ②当时， ∴， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴此不等式组的解集为， 综上可知，的取值范围为 【点睛】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式是解题的关键． 55．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义运算与一元一次不等式（组）的综合应用，解题的关键是根据新运算定义准确判断运算双方的大小关系，选择对应运算公式，第三问需分情况讨论并合并解集． （1）比较与的大小，选用计算； （2）由等式右边运算形式确定，解不等式； （3）分和两种情况，分别用对应公式列不等式，求解后取并集． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：． （2）解：， ， 解得， 故答案为：． （3）解：当，即时，， 解得，即， 故； 当，即时，， 解得，，无解； 综上，， 答：的取值范围是． 56．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则． 例如： 试解决下列问题： (1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________； (2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围； (3)求满足的所有非负实数x的值． 【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5； (2)1.5≤a＜2.5； (3)0，，． 【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值； ②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围； （2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围； （3）利用＜x＞设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可． 【详解】（1）①由题意可得：＜π＞=3； 故答案为：3， ②∵＜x-1＞=3， ∴2.5≤x-1＜3.5 ∴3.5≤x＜4.5； 故答案为：3.5≤x＜4.5； （2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞， 由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2， 故1.5≤a＜2.5； （3）∵x≥0，为整数， 设=k，k为整数，则x=k， ∴＜k＞=k， ∴k-≤k＜k+，k≥0， ∴0≤k≤2， ∴k=0，1，2， 则x=0，，． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键． 1．若关于的方程组满足，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：关于的方程组， 由②①得， 即， 又∵， ∴，解得． 2．已知是不等式的解，不是该不等式的解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解的定义，将已知的x值代入不等式，得到关于a的不等式组，求解不等式组即可得到a的取值范围. 【详解】解：∵是不等式 的解， ∴将代入不等式得， 化简得：，即， 解得； 又∵不是该不等式的解， ∴不满足不等式， ∴，化简得，即， 解得； 综上，的取值范围是. 3．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再根据一元一次不等式组无解的解集规律，得到关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∵不等式组无解，两个解集没有公共部分， ∴， 解得． 4．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集“同小取小”的确定法则，结合已知解集列出关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵关于的不等式组的解集是， ∴， 解得． 5．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用消元法得到关于的表达式，变形后根据条件筛选出符合要求的整数，统计个数即可. 【详解】解：， ①②得 ， 解得 ， 由②得 ， ∵方程组有正整数解，为整数， ∴均为正整数，只需为正整数， ∴为正整数，且， ∴是的正约数，且， ∴的可能取值为， ∴对应整数为，共个． 6．已知方程组的解满足，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】两个方程相减得出，结合得出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解： 得， ， ， ， 解得． 7．已知关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及根据整数解的个数确定参数的取值范围，先解不等式组得到解集，再根据恰有三个整数解确定整数解的具体值，列出关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得 ， 结合不等式②， 可得不等式组的解集为：， 恰有三个整数解， 满足的连续三个整数为， ， 解不等式， 得：， 解不等式， 得：， ． 8．一家商店以每辆元的进价购入一批自行车共辆，并以每辆元的价格销售．两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用，这时至少已售出_______辆自行车． 【答案】 【分析】找出题目中的不等关系是解题关键，设已售出自行车的数量为，根据销售额超过进货总费用列不等式，求解后取符合题意的最小正整数即可． 【详解】解：设这时已售出辆自行车， 根据题意得：， 计算得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为． 9．已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有个整数解确定的取值范围，找出范围内所有整数，计算其和即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式，不等式两边同乘得， 展开得，移项得， ∴不等式组的解集为， 不等式组有且只有个整数解， 三个整数解为，可得， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数为，和为． 10．对于x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，则满足的x的整数解是________． 【答案】9 【分析】根据题意列出不等式组，求出整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， ∴x的整数解是9． 11．请你阅读解题过程并完成相应任务． 解不等式组：，下面是某同学解不等式①的过程： 解：去括号，得……第一步， 移项，得……第二步， 合并同类项，得………第三步， 系数化为1，得…………第四步． (1)该同学的解答过程中第 步出现了错误； (2)写出解这个不等式组的正确过程． 【答案】(1)四 (2) 解：， 解不等式①，去括号，得， 移项得，， 合并同类项，得， 系数化为1，得； 解不等式②，去分母，得， 去括号，得， 移项得，， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ∴原不等式组的解集为． 【分析】（1）第四步不等式两边同时除以时，不等号没有改变方向； （2）分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：由解题过程可知，第四步出现了错误，错误原因是不等式两边同时除以时，不等号没有改变方向； （2）略 12．解不等式组，并写出所有的整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】分别求解不等式组中的两个不等式，然后取它们的交集得到不等式组的解集即可解答． 【详解】解：解不等式， 移项得，， 系数化为1得，， 解不等式， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 不等式组的解集为，所有整数解为． 13．已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）把代入求出，把代入，然后求出的值即可； （）得，，根据，列出不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴把代入得： ， 解得：． （2）解：， 得，， ∵， ∴， ∴． 14．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程是关于的不等式组的“子方程”，则的取值范围是 ． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）求出不等式组的解集为，再分别求出两个方程的解，结合“子方程”的定义判断即可得出结果； （2）求出不等式组的解集为，解方程得，最后由“子方程”的定义计算即可得出结果； （3）求出不等式组的解集为，解方程得，最后由“子方程”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 解方程得， 解方程得， ∴不等式组的“子方程”是①； （2）解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 解方程得， ∵关于的方程是不等式组的“子方程”， ∴， 解得； （3）解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， 解方程得， ∵方程是关于的不等式组的“子方程”， ∴， 解得． 15．综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ 【答案】(1) (2)每份早餐中牛肉为，牛奶为 (3)共有三种选择方案：选择A套餐2天，B套餐3天；或A套餐3天，B套餐2天；或A套餐4天，B套餐1天 【分析】（1）分别用蔬菜、牛肉、牛奶的质量乘以对应的蛋白质含量占比，再相加即可求解； （2）设每份早餐中牛肉为克，牛奶为克，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （3）设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天，根据题意列出不等式组，求出的范围，结合是整数，即可解答． 【详解】（1）解：， ∴该份早餐中蛋白质总含量为； （2）解：设每份早餐中牛肉为克，牛奶为克， 由题意得，， 解得：， 答：每份早餐中牛肉为，牛奶为； （3）解：设每个学生每周午餐可以选择A套餐天，则选择B套餐天， 由题意得，， 解得：， ∵是整数， ∴， 当时，， 当时，， 当时，， ∴每个学生每周午餐可以选择A套餐2天，B套餐3天，或选择A套餐3天，B套餐2天，或选择A套餐4天，B套餐1天． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次不等式 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 不等式的定义与解集 题型2 不等式的基本性质 题型3 一元一次不等式的定义 题型4 求一元一次不等式的解集 题型5 求一元一次不等式的整数解 题型6 数轴上表示一元一次不等式的解集 题型7 求不等式组的解集 题型8 求一元一次不等式组的整数解 题型9 由一元一次不等式组解集求参数 题型10 由不等式组解集的情况求参数 题型11 不等式组和方程组结合的问题 题型12 不等式组的应用问题（经济、方案、阶梯收费） 题型13 不等式组的应用问题（几何） 题型14 一元一次不等式组的新定义问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 一元一次不等式 2. 解一元一次不等式 3. 一元一次不等式组 4. 一元一次不等式组的含参问题 5. 一元一次不等式（组）的实际应用 1.重点考查不等式基本性质，乘除负数变号为高频易错考点 2.求解一元一次不等式并在数轴规范表示解集，规范书写步骤 3.不等式组求整数解，结合限定条件筛选符合要求的数值 4.结合生活实际场景，建立不等式模型解决最值应用问题 5.搭配方程、方程组设置含参题型，逆向求参数取值范围 考情解码：一元一次不等式属于代数高频考点，选择填空考查性质与解集，解答题必考解不等式组。常结合整数解、实际方案分配出题，频繁联动二元一次方程组出含参综合题。易错点集中乘负变号、数轴空心实心区分，侧重数学建模、分类讨论与数形结合思想。 知识点一 不等式的概念与性质 不等式的概念 1.不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 注意： 凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2.常用不等号的意义和读法 名称 符号 读法 意义 例子 小于号 < 小于 表示左边的量比右边的量小 x<5 大于号 > 大于 表示左边的量比右边的量大 x>2 小于或 ≤ ①小于或等于; 表示左边的量“不大于”右边的量 x≤3 等于号 ②不大于 大于或 ≥ ①大于或等于; 表示左边的量“不小于”右边的量 x≥-1 等于号 ②不小于 不等号 ≠ 不等于 表示左边的量“不等于”右边的量 x≠-3 3.易错点提示： (1)不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意交换， (2)有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2：有些不等式中含有未知数，如2x>5中，x表示未知数， (3)对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立：否则，不等式不成立 列不等式表示不等关系 1.列不等式 列不等式就是用不等式表示不等关系 2.列不等式通常有以下两种情形 (1)根据数量关系列不等式. (2)根据实际问题列不等式。 3.列不等式的基本步骤 (1)认真审题，分清题目中包含的数量间的大小关系： (2)将题目中的不同数量用代数式表示出来； (3)用不等号以及运算符号连接所列的代数式，列出不等式 4.常见的不等式基本语音与符号 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a>0 a是负数 a<0 a是非正数 a≤0 a是非负数 a≥0 a,b同号 ab>0 a,b异号 ab<0 不等式的基本性质 1. 不等式的基本性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 2. 不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果a>b,c>0,那么ac>bc或> 如果a>b,c<0,那么ac<bc或< 3.注意事项 要正确理解“不等号的方向不变”和“不等号的方向改变”的含义： 例如“不等号的方向不变”指的是如果原来是“>”，那么结果仍是“>”。“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”;如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥” 4.解题技巧 （1）运用不等式的基本性质1时，需要注意不等式的两边必须同加或同减，且必须是同一个数或同 一个整式，不等号方向不变； （2）用不等式的基本性质2将不等式变形时，要特别注意不等式两边都乘（或除以）同一个负数的情况，此时不等号的方向必须改变 1．解决以下问题 (1)从“数”的角度证明：当时，； (2)从“形”的角度证明：当时，． 2．阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性如下例题： 例：已知实数、满足，证明：． 证明：因为且，均为正， 所以 ， （不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： (1)请将上面的证明过程填写完整； (2)若，，尝试证明：． 知识点二 一元一次不等式 一元一次不等式的概念 1.一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 不等式的解、不等式的解集 1.不等式的解 （1）不等式的解是指在某一特定范围内的数，一般情况下不等式的解有无数个，用它代替不等式中的未知数，不等式一定成立； （2）不等式的解与一元一次方程的解的区别：不等式的解的个数是不确定的，一个不等式若有解，则一殼会有无数个解：而一个一元一次方程若有解，则它的解只有一个 2.不等式的解集 （1）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集： （2）不等式的解集必须精合两个条件： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立： ②能够使不等式成立的所有的数值都在该解集中， 3.不等式的解与不等式的解集的区别与联系 (1)不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立， (2)不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解. (3)不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而 不等式的解集是指满足这个不等式的所有未知数的值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个 元素. 不等式的解集的表示 1.用不等式表示 一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，它的解集是某个范围，这个范围（即解集）可用一个简 单的不等式x>a(或x≥a)或x<a(x≤a)的形式表示出来.例如：不等式2x<6的解集是x<3,不等式x+1≥5的解集是x≥4. 2.用数轴表示 (1)我们知道所有的有理数和无理数都可以利用数轴上的点表示出来，而“不等式的解集”表示的是一个范 围，不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来 (2)我们知道数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，可以根据这一特点来描述不等式的 解集；下面分四种情况研究不等式解集的表示，列表如下： 不等式 的解集 x>a x≥a x<a x≤a 意义 在数轴上表 示数a的点 的右边的点 对应的数, 不包括a 在数轴上表 示数a的点 的右边的点 对应的数,包 括a 在数轴上表 示数a的点 的左边的点 对应的数, 不包括a 在数轴上表 示数a的点 的左边的点 对应的数,包 括a 画法 从a开始向 右画,在表示 a的点处画空 心圆圈 从a开始向· 右画,在表示 a的点处画实 心圆点 从a开始向 左画,在表示 a的点处画空 心圆圈 从a开始向 左画,在表示 a的点处画实 心圆点 一元一次不等式的解法 1. 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2. 解一元一次不等式的各步骤依据和注意事项 解一元一次不等式 依据 注意问题 解法 步骤 解的 情况 ①去分母 不等式的基本性质2 不要漏乘不含分母的项 ②去括号 去括号法则 当括号前是“-”时,要注意去 括号后括号内的各项都要改变 符号 ③移项 不等式的基本性质1 移项是从不等式的一边移到另 一边,一定要变号 ④合并同类项 合并同类项法则 只需把同类项的系数相加减 ⑤系数化为1 不等式的基本性质2 若不等式两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号的方向要改变 一般有无 数个解 不等式的所有解组成解集 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 3．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 4．已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足不等式，求的取值范围． 知识点三 一元一次不等式组 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等 式组. 2.注意：(1)不等式组中不等式的个数可以是两个，也可以是多个. (2)不等式组中各个不等式必须含有同一个未知数. 3.归纳：判断一个不等式组是不是一元一次不等式组，需满足两个条件： (1)组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同： (2)不等式组中的不等式至少有2个，也可以多于2个 不等式组的解集 1.不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定. 2.利用数轴表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况 3.利用数轴确定不等式组的解集的步骤 (1)将两个一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确 地表示出来（表示时注意空心圆圈与实心圆点的区别). (2)确定数轴上的公共部分，若有公共部分，则公共部分就是此不等式组的解集；若没有公共部分，此时，我们说这个不等式组无解。 解不等式组 1.解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组， 2.解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)把各个不等式的解集在数轴上表示出来； (3)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有 公共部分，那么说这个一元一次不等式组无解. 3.解一元一次不等式组与解二元一次方程组的区别 解一元一次不等式组是“先分后合”，即先解不等式组中的每个不等式，再确定公共部分：解二元一次方程组是“先合再分”，即先将两个方程转化为一个方程，再分别求出两个来知数的值 4.确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集.如果没有公共部分，则这个不 等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握. （2）口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 5．解下列方程组或不等式（组）： (1) (2) (3)解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 6．【阅读思考】阅读下列材料： “已知，且，，试确定的取值范围．”有如下解法： 解：， ， 又， ， ， 又， ①， 同理②， 由得， 的取值范围是． 【启发应用】请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是 ； (2)已知，且，，试确定的取值范围（用含有a的式子表示）； 【拓展推广】请按照上述方法，完成下列问题； (3)已知，且，，试确定的取值范围． 知识点四 一元一次不等式组的实际应用 由实际问题列一元一次不等式 1.由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． 2.列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 3.列一元一次不等式解决实际问题首先弄清题中数量关系，用字母表示未知数．再根据题中的不等关系列出不等式． 一元一次不等式实际问题的一般步骤 列一元一次不等式解决实际问题与列方程解决实际问题类似，所不同的是一个是列方程，另一个是列不等式.列不等式解决实际问题的一般步骤如下： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及它们的关系，找出题目中的不等关系，要抓住题目中的关键词，如“大于”“小于”“不大于”“不小于”“至少”“最多等词语； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题目中的不等关系列出不等式：无去 (4)解：解出所列不等式的解集； (5)答：检验求得的解或解集是否符合实际意义，并写出答案 即时即练7．某饮品店果汁的价格如下表所示： 杯型 容量（毫升/杯） 价格（元/杯） 小杯 350 8 大杯 500 10 (1)某天该店果汁的总销量为57升，收入为1200元，求这天该店小杯果汁、大杯果汁各卖了多少杯？ (2)若某天该店小杯果汁、大杯果汁一共卖了150杯，且总收入不低于1375元．那么小杯果汁最多卖多少杯？ 8．扬州牛皮糖是国家级非物质文化遗产，也是扬州最具代表性的传统特产之一，有着“江南一绝”的美誉，是很多游客来扬州必带的伴手礼． 某超市购进A、B两种规格的扬州牛皮糖销售，进价分别为18元/袋、30元/袋，售价保持不变．近两天销售情况如下： 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 5袋 2袋 240元 第二天 3袋 4袋 270元 （说明：本题中，A、B两种规格扬州牛皮糖的进价、售价均保持不变） (1)求A、B两种规格牛皮糖的销售单价． (2)若该超市准备用不超过1320元再购进这两种规格牛皮糖共60袋，求B规格牛皮糖最多能采购多少袋． (3)在（2）的条件下，销售完这60袋牛皮糖，能否实现利润为795元的目标？若能，直接写出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 题型1 不等式的定义与解集 1．下列各式中，是不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知某个不等式的解集是，下列说法正确的是（     ） A．是这个不等式的解 B．1不是这个不等式的解 C．大于的数都是这个不等式的解 D．大于的数都是这个不等式的解 4．关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型2 不等式的基本性质 5．已知，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式正确的是（     ） A． B． C． D． 7．对于有理数a、b，如果，，则b____（用“”，“”，“”填空）． 8．证明：如果，，那么． (1)请补全小明的证明过程； (2)再用一种不同的方法证明． 【易错警示】 不等式性质高频易错点集中在乘除负数不变号，这是核心失分点。含字母系数时不分类讨论正负直接化简，易得出错误解集。混淆加减与乘除变形规则，误以为加减负数也要翻转不等号。去分母、移项时常忽略符号变化，做含参题型缺少对系数为零的讨论，解题需时刻留意不等号方向变化。 题型3 一元一次不等式的定义 9．下列各式中是一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 10．已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 11．有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 12．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为______． 题型4 求一元一次不等式的解集 13．解不等式：． 14．解不等式： (1) (2) 15．解不等式： 16．解不等式：． 题型5 求一元一次不等式的整数解 17．不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 19．若不等式的最大整数解是，则的取值范围是_______． 20．解不等式，并写出此不等式的最小整数解． 【易错警示】 求解不等式整数解常出现三大失误：解不等式时乘负忘记变号，解集本身出错；数轴区分空心、实心点失误，边界数值判断偏差；求整数解漏找、多取正负整数，忽略题目限定范围。含参题型未结合参数范围筛选整数，审题遗漏正数、非负等限制条件，造成答案不全。 题型6 数轴上表示一元一次不等式的解集 21．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 22．解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 23．解不等式：，并把不等式的解集表示在数轴上． 24．解一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 题型7 求不等式组的解集 25．解不等式组：，并在数轴上表示其解集． 26．解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 27．解下列不等式（组） (1)解不等式：； (2)． 28．解不等式组：． 题型8 求一元一次不等式组的整数解 29．不等式组的所有整数解的和为7，则整数的值有（    ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 30．若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则a取值范围为（    ） A． B． C． D． 31．若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，则的取值范围是________． 32．我们规定：不等式组，，，的“长度”均为（），不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该规定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”_____ ；“整点”为 _________ ； (2)若关于的不等式组的“长度”，求的值； (3)若关于的不等式组恰有3个“整点”，求的取值范围． 题型9 由一元一次不等式组的解集求参数 33．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 34．一元一次不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．若不等式组的解集为，则的取值范围是_________________． 36．已知解关于m的不等式组． (1)求不等式组的解集； (2)化简； (3)在m的取值范围内，当整数 时，关于x的不等式的解集是． 【易错警示】 此类题型极易忽略临界值能否取等，混淆空心与实心边界。解不等式后未结合 “同大取大、同小取小” 判断参数范围，未分类讨论参数大小。常遗漏不等式组无解、有整数解等限定条件，直接列式不检验，端点取舍判断失误，最终参数取值范围出现多解或缺解。 题型10 由不等式组解集的情况求参数 37．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 38．已知关于的不等式组有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．若关于的不等式组无解，则的取值范围是__________． 40．当时，若关于的不等式组的解集为，则称为该不等式组的“解集长度”，如不等式组的解集为，则其“解集长度”为． (1)不等式组的“解集长度”是________； (2)已知关于的不等式组的“解集长度”为2，则________； (3)已知关于的不等式组的“解集长度”小于3，求的取值范围． 题型11 不等式组和方程组结合的问题 41．若关于的方程组的解均为正数，则整数的最小值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 42．关于x，y的方程组的解满足不等式，则m的取值范围是______． 43．若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是_______． 44．阅读下列材料： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，．又，．．又，①；同理可得②．由①②得，即，的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，试确定的取值范围； (2)已知，且关于、的方程组中，，求的取值范围（结果用含的式子表示）． 【易错警示】 联立方程组与不等式综合题，易解错方程组基础解。代入不等式时符号处理失误，乘除负数忘变号。忽略参数端点能否取等，不验证临界值。审题遗漏正数、整数等限制条件，分类讨论不完整，直接合并范围易产生增解、漏解，最后未检验结果合理性。 题型12 不等式组的应用问题（经济、方案、阶梯收费） 45．某早餐店主营牛奶、面包和饭团，其店内海报如图，请根据海报信息解答如下问题： (1)若某同学购买3杯牛奶和2个饭团，则他最低需花费______元； (2)某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，通过零售和套餐销售两种方式全部售出，当天总收入超过1500元．若两种套餐售出数量恰好相等，则每种套餐最多售出多少份？ 46．2026年4月1日淮安市中小学迎来了第一个春假，某校七年级师生共280人，准备租车前往盱眙黄花塘新四军军部纪念馆研学一天．某出租公司有两种车型可供选择，具体信息如下： 车型 载客量 日租金 A型大巴 40人/辆 800元/辆 B型中巴 30人/辆 600元/辆 学校对租车提出了以下基本要求：①总费用不超过6000元；②为了不浪费，只允许最后一辆车有空位，其他车必须坐满；③两种车型至少各租1辆． 设租用A型大巴x辆，B型中巴y辆． (1)请根据题意，列出关于x、y的不等式组（无需求解）； (2)请你用列表法找出符合题意的租车方案，并给出最省钱的租车方案； (3)现在出租公司推出如下优惠方案：每辆B型中巴的日租金减免元．已知学校租用A型大巴和B型中巴共8辆，所花费用不超过5500元．请求出m的最小值． 47．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 48．如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等． (1)现用100张正方形硬纸片和200张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多少个？ (2)如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半，且正方形硬纸片的使用数量不超过134张，那么需要正方形和长方形硬纸片各多少张？ (3)如图2，丙种纸盒为有盖长方体纸盒，如果用这种硬纸片制作甲、乙、丙三种纸盒（每种纸盒都需制作），其中长方形硬纸片的数量是正方形硬纸片的数量的4倍少50个，你能确定乙、丙两种纸盒的数量吗？若能，求出乙、丙两种纸盒的个数之和；若不能，请说明理由． 题型13 不等式组的应用问题（几何） 49．如图，在长方形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿A→B→C运动，到点C停止运动，设点P运动的时间为t秒：若动点Q从点C与点P同时出发，以的速度沿C→B→A运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，问是否存在这样的t，使得的面积大于的面积的一半？如果存在，请求出t的取值范围；如果不存在，请说明理由． 50．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 51．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 52．如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    题型14 一元一次不等式组的新定义问题 53．对于任意实数，，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义解决以下问题： (1)若，求实数的取值范围． (2)若，且的解集中有3个整数解，求实数的取值范围． 54．定义一种新运算“”：当时，：当时，．例如：． (1)填空：_____； (2)若，则的取值范围为_____； (3)已知，求的取值范围． 55．定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，． (1)填空：________． (2)若，则的取值范围是________． (3)已知，求的取值范围． 56．新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；反之，当为非负整数时，如果，则． 例如： 试解决下列问题： (1)填空：①_________（为圆周率）；②如果，则实数x的取值范围为_________； (2)若关于的不等式组的整数解恰有3个，求a的取值范围； (3)求满足的所有非负实数x的值． 1．若关于的方程组满足，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知是不等式的解，不是该不等式的解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．方程组有正整数解，则整数的个数是（    ） A． B． C． D． 6．已知方程组的解满足，则的取值范围是______． 7．已知关于的不等式组恰有三个整数解，则实数的取值范围为_______． 8．一家商店以每辆元的进价购入一批自行车共辆，并以每辆元的价格销售．两个月后，自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用，这时至少已售出_______辆自行车． 9．已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 10．对于x，符号表示不大于x的最大整数，如：，，则满足的x的整数解是________． 11．请你阅读解题过程并完成相应任务． 解不等式组：，下面是某同学解不等式①的过程： 解：去括号，得……第一步， 移项，得……第二步， 合并同类项，得………第三步， 系数化为1，得…………第四步． (1)该同学的解答过程中第 步出现了错误； (2)写出解这个不等式组的正确过程． 12．解不等式组，并写出所有的整数解． 13．已知关于，的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足不等式，求的取值范围． 14．【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】 (1)在方程①，②中，不等式组的“子方程”是 （填序号）； (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程是关于的不等式组的“子方程”，则的取值范围是 ． 15．综合与实践：七年级某学习小组围绕“学校膳食结构”开展主题学习活动．他们发现学校为学生提供的每份早餐包含一份的蔬菜，一份牛肉和一份牛奶．（食物的营养成分见表一）学校每天为学生提供的午餐有两种套餐（见表二），为了平衡膳食，该小组建议学生控制主食和肉类的摄入量，每周每位学生午餐主食的摄入量不超过，午餐肉类摄入量不超过．（一周按五天计算） 表一：食物的营养成分表 食物 蛋白质 碳水化合物 脂肪 蔬菜 牛肉 牛奶 表二：学校每天提供的，两种套餐 套餐 主食 肉类 其他 A B (1)若一份早餐包含一份的蔬菜，一份的牛肉和一份的牛奶，则该份早餐中蛋白质总含量为_________； (2)学校为学生提供的每份早餐的总质量为，每份早餐的蛋白质总含量占早餐总质量的，则每份早餐中牛肉和牛奶各多少克； (3)为平衡膳食，每个学生每周午餐可以选择A，B套餐各几天？ / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $