专题21.1 一元二次方程的概念与解法 【暑假预习】讲义 2026-2027学年沪教版（五四制）数学八年级上册

专题21.1 一元二次方程的概念与解法（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）及各系数含义。 · 掌握一元二次方程的解（根）的概念，能利用根的定义求参数或代数式的值。 · 熟练运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，能根据方程特征选择合适解法。 · 能结合三角形三边关系、等腰三角形等几何背景，综合运用一元二次方程知识解决问题。 · 体会“整体代入”“换元”“分类讨论”等数学思想在解题中的应用。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 · 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 · 判断关键：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数最高次数为2；④ 二次项系数不为0。 ☑ 典型例题 1 （2024秋·丰南区期末）若方程 (a+3)x|a|−1 − x = 2 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值为（　） A．﹣3   B．3   C．±3   D．不存在 【解析】 由一元二次方程定义，最高次数为2且二次项系数不为0。 ∴ |a|−1 = 2 且 a+3 ≠ 0，解得 a = 3（a = −3 时系数为0，舍去）。 答案：B ☆ 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）。 · 将方程化为一般形式时，通常移项使右边为0，并按 x 的降幂排列。 · 二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c 都包含符号。 ☑ 典型例题 2 （2025秋·汕尾期末）一元二次方程 5x2 − 4x + 1 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　） A．5，4，﹣1   B．5，﹣4，1   C．﹣5，﹣4，1   D．﹣5，﹣4，﹣1 【解析】 对照一般形式 ax2+bx+c=0，a=5，b=−4，c=1。 答案：B ☆ 3. 一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 · 若 x0 是方程 ax2+bx+c=0 的根，则 ax02+bx0+c=0。 · 常利用根的定义“整体代入”求代数式的值。 ☑ 典型例题 3 （2026春·沙坪坝区校级期中）若 a 是关于 x 的一元二次方程 x2−3x+2=0 的一个实数根，则代数式 2a2−6a+2031 的值是（　） A．2026   B．2027   C．2028   D．2029 【解析】 由根的定义得 a2−3a+2=0，即 a2−3a=−2。 原式 = 2(a2−3a)+2031 = 2×(−2)+2031 = 2027。答案：B ☆ 4. 直接开平方法 依据：平方根的定义。若 x2 = p（p ≥ 0），则 x = ±√p。 · 适用于形如 (mx+n)2 = p（p ≥ 0）的方程。 · 步骤：将方程化为 (x+h)2 = k 的形式，再开平方。 ☑ 典型例题 4 （2025秋·神木市期中）方程 (x−2)2 = 16 的解是（　） A．=1，=−3   B．==4   C．=−2，=6   D．=2，=−6 【解析】 直接开平方：x−2 = ±4，解得 =−2，=6。 答案：C ☆ 5. 因式分解法 依据：若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0。 · 将方程右边化为0，左边分解成两个一次因式的乘积。 · 常用方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。 · 适用于左边易于分解的方程。 ☑ 典型例题 5 （2025秋·碑林区校级期末）已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程 x2−6x+8=0 的一个根，则此三角形的周长为（　） A．11   B．12   C．13   D．11或13 【解析】 因式分解得 (x−2)(x−4)=0，根为2或4。第三边为2时，2+3=5 < 6，不构成三角形；第三边为4时，3+4>6，符合。周长 = 3+6+4 = 13。 答案：C ☆ 知识总结表 核心概念 定义/形式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 整式、一个未知数、最高次数2、a≠0 一般形式 按 x 降幂排列，右边为0 系数包含符号，a≠0 方程的解（根） 使方程成立的未知数的值 代入验证；可整体代入求值 直接开平方法 (mx+n)2=p（p≥0） 注意 ± 号，p 非负 因式分解法 A·B=0 ⇒ A=0 或 B=0 右边先化为0，分解要彻底 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的定义（第1–6题） ※ 方法总结 · 判断一个方程是否为一元二次方程，需同时满足：整式、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。 · 含参数时，根据最高次数条件列方程，并验证二次项系数不为0。 1．（2025秋•新田县期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+3x＝0 C．x2+3x＝x2﹣1 D． 【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），判断一个方程是否为一元二次方程，需要看方程是否只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，二次项系数不为0），逐一分析各选项即可得出答案． 【解答】解：A、当a＝0时，方程变为bx+c＝0，不是一元二次方程，故A不符合题意； B、方程x2+3x＝0只含一个未知数x，未知数最高次数为2，是整式方程，二次项系数1≠0，故B符合题意； C、整理方程得3x+1＝0，未知数最高次数为1，是一元一次方程，故C不符合题意； D、方程分母含未知数，是分式方程，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．（2024秋•丰南区期末）若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．不存在 【分析】根据一元二次方程的定义解答即可． 【解答】解：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程， ∵方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程， ∴|a|﹣1＝2且a+3≠0， 解得a＝3， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键． 3．（2025秋•云南期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．4x2﹣5x+1＝0 D．x2＝x2﹣5x+6 【分析】依据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数是2且二次项系数不为0 ），对每个选项逐一判断． 【解答】解：A．方程中出现，属于分式，不是整式方程，不符合一元二次方程定义．不符合题意； B．方程形式为ax2+bx+c＝0，但未明确a≠0，若a＝0则变为一次方程，无法确定是二次方程，不符合题意； C．方程4x2﹣5x+1＝0为整式方程，且x2项系数为4（非零），符合一元二次方程定义，符合题意； D．方程化简后为x2＝x2﹣5x+6，消去x2得5x﹣6＝0，为一次方程，不符合要求，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程需满足整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2且二次项系数不为0是解题的关键． 4．（2025秋•杨浦区校级月考）若方程（m﹣1）x2+2x＝x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠2　 ． 【分析】先把方程化成一般式，再根据一元二次方程的定义解答即可求解． 【解答】解：方程整理成一般式为（m﹣2）x2+2x＝0， 由题意可得：m﹣2≠0， ∴m≠2， 故答案为：m≠2． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 5．（2024秋•辽宁月考）下列选项：①x+1＝3﹣2x；②x2﹣4x+6＝0；③（2x+2）2＝4x2﹣2x+1；④（x﹣1）（x+3）＝0；⑤．其中是一元二次方程的是　②④　 （填序号）． 【分析】根据定义对每个选项进行分析判断． 【解答】解：①方程经过移项化简后为3x﹣2＝0，未知数最高次数是 1，是一元一次方程，不是一元二次方程； ②方程含有一个未知数x，且未知数x的最高次数是 2，是整式方程，所以是一元二次方程； ③方程展开左边可得4x2+8x+4＝4x2﹣2x+1，化简后为10x+3＝0，未知数最高次数是 1，是一元一次方程，不是一元二次方程； ④方程展开可得x2+2x﹣3＝0，含有一个未知数x，且未知数x的最高次数是 2，是整式方程，所以是一元二次方程； ⑤，方程中含有分式和，是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程． 答案：②④． 【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程定义是关键． 6．（2025秋•独山子区校级期中）方程． （1）当m取何值时是一元二次方程？ （2）当m取何值时是一元一次方程？ 【分析】（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出m的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分m＝0和m≠0两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）∵方程是一元二次方程， ∴， ∴m＝1； （2）当m＝0时，原方程为x﹣3x﹣1＝0，是一元一次方程，符合题意； 当m≠0时， ∵方程， ∴， ∴m＝﹣1； 综上所述，m＝0或m＝﹣1． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． 【考点2】一元二次方程的一般形式（第7–12题） ※ 方法总结 · 化一般形式时，移项使右边为0，按 x 的降幂排列。 · 二次项系数、一次项系数、常数项均带符号。 · 若常数项为0，则 c=0，注意二次项系数不为0。 7．（2025秋•江津区期末）将一元二次方程3x2﹣x＝2化成一般形式是（　　） A．3x2﹣x+2＝0 B．3x2+x﹣2＝0 C．﹣3x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣x﹣2＝0 【分析】移项，将方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式即可． 【解答】解：将原方程整理得3x2﹣x﹣2＝0； 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握该知识点是关键． 8．（2025秋•汕尾期末）一元二次方程5x2﹣4x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．5，4，﹣1 B．5，﹣4，1 C．﹣5，﹣4，1 D．﹣5，﹣4，﹣1 【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项可得答案． 【解答】解：二次项系数、一次项系数、常数项分别是5，﹣4，1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件，在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 9．（2025秋•邢台月考）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．0 B． C． D．或 【分析】根据方程的常数项为0列出方程求解a，并验证一元二次方程二次项系数不为0的条件． 【解答】解：根据方程的常数项为0列出方程，即， ∴或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数． 当时，，不符合一元二次方程定义； 当时，，符合题意． ∴． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的定义和解法，熟练掌握以上知识点是关键． 10．（2024秋•川汇区期末）将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（　　） A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4 【分析】根据一元二次方程的一般形式求解即可得． 【解答】解：将方程转化为一般形式得：， ∴常数项为﹣4， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a≠0），其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键． 11．（2025秋•金山区期中）关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣3x+m2＝16的常数项为0，则m的值是 　﹣4　 ． 【分析】首先把方程的解代入原方程中求出待定字母的值，再根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，取舍得出m的值即可． 【解答】解：把（m﹣4）x2﹣3x+m2＝16变形为（m﹣4）x2﹣3x+m2﹣16＝0 把x＝0代入（m﹣4）x2﹣3x+m2﹣16＝0得m2﹣16＝0， ∴m2＝16， ∴m＝±4； ∵（m﹣4）x2﹣3x+m2﹣16＝0是一元二次方程， ∴m﹣4≠0， ∴m≠4． 综上，m的值是﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了一元二次方程及其解的定义，根据一元二次方程的定义取舍是解题的关键． 12．（2025秋•江门期中）一元二次方程4x2+2x＝3（x﹣5）化成一般形式是　4x2﹣x+15＝0　 ；一次项系数是　﹣1　 ． 【分析】通过去括号、移项、合并同类项将一元二次方程化为一般形式，再找出一次项即可． 【解答】解：4x2+2x＝3（x﹣5）， 4x2+2x＝3x﹣15， 4x2+2x﹣3x+15＝0， 4x2﹣x+15＝0， 一次项系数是﹣1， 故答案为：4x2﹣x+15＝0，﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键． 【考点3】一元二次方程的解（第13–19题） ※ 方法总结 · 将根代入方程，得到关于参数的方程（组），求解并验证。 · 利用根的定义进行“整体代入”求代数式的值。 · 注意“换元”技巧：若 ax2+bx+c=0 的根为 t0，则 a(x+k)2+b(x+k)+c=0 的根为 t0−k。 13．（2026春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2﹣tx+t＝3的一个解为x＝0，则实数t的值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．0 【分析】依据题意，先理解题意，将x＝0代入方程x2﹣tx+t＝3直接求解t的值，即可作答． 【解答】解：把x＝0代入得02﹣t•0+t＝3，得t＝3． 故选：C． 【点评】本题考查了已知一元二次方程的解求参数，熟练掌握该知识点是关键． 14．（2026春•沙坪坝区校级期中）若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根，则代数式2a2﹣6a+2031的值是（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【分析】根据题意a是一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根，可得a2﹣3a+2＝0，再将2a2﹣6a+2031转化为2（a2﹣3a+2）+2027，整体代入求值即可． 【解答】解：原式＝2a2﹣6a+4﹣4+2031 ＝2（a2﹣3a+2）﹣4+2031 ＝2（a2﹣3a+2）+2027 由题意可得：a2﹣3a+2＝0， 即原式＝2×0+2027＝2027． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键． 15．（2025秋•肃南县校级期末）若一元二次方程2x2+bx+c＝0满足2+b+c＝0，则这个方程必有一个根是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C． D．x＝1 【分析】根据2+b+c＝0，得出x取1时方程成立，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为一元二次方程2x2+bx+c＝0满足2+b+c＝0， 则当x＝1时方程2x2+bx+c＝0成立， 所以这个方程必有一个根是x＝1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． 16．（2026春•萧山区期中）若关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣2或2 【分析】把x＝0代入一元二次方程可得m＝±2，又根据m+2≠0可得m≠﹣2，进而求解． 【解答】解：把x＝0代入（m+2）x2+x+m2﹣4＝0中， ∴m2﹣4＝0， ∴m＝±2， 又∵m+2≠0， ∴m≠﹣2， ∴m＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 17．（2026•林州市校级模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2020，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（　　） A．2021 B．2020 C．2019 D．2015 【分析】对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，设t＝x+1得到at2+bt+5＝0，利用at2+bt+5＝0有一个根为t＝2020得到x+1＝2020，从而可判断一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一根为x＝2019． 【解答】解：由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0， 对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5， 设t＝x+1， 所以at2+bt+5＝0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2020， 所以at2+bt+5＝0有一个根为t＝2020， 则x+1＝2020， 解得x＝2019， 所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根为x＝2019． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 18．（2026春•鲤城区校级期中）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式的值是　2026　 ． 【分析】根据一元二次方程的根的概念，可得a2+a﹣1＝0，变形可得，再整体代入求值即可． 【解答】解：由题意可得：a2+a﹣1＝0， 当a＝0时，﹣1＝0不成立， ∴a≠0， ∴，即， ∴． 故答案为：2026． 【点评】本题考查一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键． 19．（2025秋•泽州县期末）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+2026＝0的一个根，则2t2﹣2022t的值为　﹣4052　 ． 【分析】利用一元二次方程根的定义，得到t2﹣1011t＝﹣2026，再整体代入2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）计算． 【解答】解：由条件可知t2﹣1011t+2026＝0，即t2﹣1011t＝﹣2026， ∴2t2﹣2022t＝2（t2﹣1011t）＝2×（﹣2026）＝﹣4052， 故答案为：﹣4052． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【考点4】直接开平方法（第20–26题） ※ 方法总结 · 将方程化为 (x+h)2 = k（k ≥ 0）的形式。 · 开平方得 x+h = ±，再解两个一元一次方程。 · 若 k < 0，则方程无实数根（初中阶段）。 20．（2026•启东市模拟）解一元二次方程（x+2）2＝4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x+2＝2，则另一个方程为（　　） A．x﹣2＝﹣2 B．x+2＝﹣2 C．x﹣2＝2 D．x+2＝2 【分析】根据题意，利用直接开平方法进行变形即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为（x+2）2＝4， 则x+2＝±2， 所以x+2＝2或x+2＝﹣2， 即另一个方程是x+2＝﹣2． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法是解题的关键． 21．（2026春•瑶海区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的根为（　　） A．x＝0 B．x＝±2 C．x1＝x2＝﹣2 D．x1＝x2＝2 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程，若一个数的平方等于0，则这个数为0，即可求出方程的根． 【解答】解：∵（x﹣2）2＝0， 直接开平方可得：x﹣2＝0， ∴x1＝x2＝2． 故选：D． 【点评】本题考查一元二次方程的解，正确进行计算是解题关键． 22．（2025秋•神木市期中）方程（x﹣2）2＝16的解是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝x2＝4 C．x1＝﹣2，x2＝6 D．x1＝2，x2＝﹣6 【分析】利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：由题知， （x﹣2）2＝16， 则x﹣2＝±4， 所以x1＝﹣2，x2＝6． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 23．（2026春•椒江区期中）关于x的方程a（x+m）2﹣b＝0的解是x1＝2，x2＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣2）2＝b的解是x1＝4，x2＝5　 ． 【分析】通过换元法，将方程a（x+m﹣2）2＝b转化为与已知方程形式相同的a[（x﹣2）+m]2＝b，再利用已知解直接求解即可． 【解答】解：已知方程a（x+m）2﹣b＝0的解为x1＝2，x2＝3，即： a（x+m）2＝b， 令t＝x﹣2，则方程a（x+m﹣2）2＝b可化为： a（t+m）2＝b， 对比可知，该方程与已知方程形式完全相同，因此t的解为t1＝2，t2＝3， 将t＝x﹣2代回： 当t＝2时，x﹣2＝2，解得x＝4， 当t＝3时，x﹣2＝3，解得x＝5， 因此，方程a（x+m﹣2）2＝b的解为x1＝4，x2＝5， 故答案为：x1＝4，x2＝5． 【点评】本题考查了一元二次方程的换元法应用，熟练掌握方程的整体变形技巧是解题的关键． 24．（2026春•淄川区期中）方程（x﹣2）2＝2025的较小实数根为　﹣43　 ． 【分析】利用直接开平方法对所给一元二次方程求解，得出较小的实数根即可． 【解答】解：由题知， （x﹣2）2＝2025， 则x﹣2＝±45， 所以x1＝﹣43，x2＝47， 即该方程较小的实数根为﹣43． 故答案为：﹣43． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 25．（2026春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　　 ． 【分析】根据题意，得出m+1与2m﹣4互为相反数，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4， 所以m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， 即该方程的两个根为±2． 因为方程可化为x2， 所以（±2）2＝4， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，能根据题意得出m+1与2m﹣4互为相反数是解题的关键． 26．（2025秋•同步）解下列方程： （1）8＝0； （2）1﹣0.1x2＝0； （3）（x+2）2＝25； （4）3（5﹣x）2＝36； （5）25． 【分析】（1）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （2）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （3）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （4）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； （5）利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）8＝0， x2＝16， 则x＝±4， 所以x1＝4，x2＝﹣4； （2）1﹣0.1x2＝0， 0.1x2＝1， x2＝10， 则x， 所以； （3）（x+2）2＝25， 则x+2＝±5， 所以x1＝﹣7，x2＝3； （4）3（5﹣x）2＝36， （5﹣x）2＝12， 则5﹣x， 所以； （5）25， （2x﹣3）2＝75， 则2x﹣3， 所以． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟知直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【考点5】因式分解法（第27–34题） ※ 方法总结 · 移项使右边为0，将左边分解为两个一次因式的乘积。 · 常用方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 · 注意结合几何背景（如三角形三边关系）对根进行取舍。 27．（2025秋•太原期末）关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　） A．（x+1）（x+2）＝0 B．（x﹣1）（x﹣2）＝0 C．（x+1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝0 【分析】利用因式分解法对选项中的方程进行求解即可 【解答】解：由（x+1）（x+2）＝0得， x1＝﹣1，x2＝﹣2， 所以A选项不符合题意； 由（x﹣1）（x﹣2）＝0得， x1＝1，x2＝2， 所以B选项不符合题意； 由（x+1）（x﹣2）＝0得， x1＝﹣1，x2＝2， 所以C选项符合题意； 由（x﹣1）（x+2）＝0得， x1＝1，x2＝﹣2， 所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 28．（2025秋•鲤城区校级期末）解一元二次方程x2﹣2x＝0，最适合的方法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 【分析】依据题意，根据一元二次方程x2﹣2x＝0，从而可得x（x﹣2）＝0，故可得解． 【解答】解：由题意，∵一元二次方程为x2﹣2x＝0， ∴x（x﹣2）＝0，故最适合的方法是因式分解法． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解题时要熟练掌握并能灵活运用解一元二次方程的方法是关键． 29．（2025秋•碑林区校级期末）已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 【分析】根据因式分解法求一元二次方程得x1＝4，x2＝9，再根据三角形三边关系分类讨论，即可求解． 【解答】解：由题意，∵x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， ∴x1＝2，x2＝4， 当第三边为4时，6﹣3＜4＜6+3，能构成三角形， ∴周长为3+6+4＝13； 当第三边为2时，2+3＝5，不能构成三角形，不符合题意，舍去； ∴三角形的周长为13， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元二次方程、三角形三边关系，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 30．（2025秋•江都区月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，若方程只有一个实数根小于2，则a的取值范围是（　　） A．0≤a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2≤a＜0 D．﹣2＜a≤0 【分析】先利用因式分解法解方程得x1＝﹣a，x2＝﹣a+2，再根据题意得到﹣a＜2且﹣a+2≥2，从而得到a的范围． 【解答】解：x2+（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0， （x+a）（x+a﹣2）＝0， ∴x1＝﹣a，x2＝﹣a+2， ∵方程只有一个实数根小于2，﹣a+2＞﹣a， ∴﹣a＜2且﹣a+2≥2， ∴﹣2＜a≤0． 故选：D． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次不等式组，解题的关键是正确找出不等量关系列不等式组． 31．（2026•泗阳县校级二模）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　14　 ． 【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可． 【解答】解：解方程x2﹣2x+12＝0得：x＝3或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14， 故答案为：14． 【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 32．（2025秋•达川区期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　﹣1或2　 ． 【分析】由参数条件可得一元二次方程的两个根，再根据同伴方程的定义求解． 【解答】解：当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，即x＝1是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根； 当x＝﹣2时，a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c＝4a﹣2b+c＝0，即x＝﹣2是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根， ∴方程ax2+bx+c＝0的根为x＝1和x＝﹣2， ∵两方程互为“同伴方程”，即有且只有一个相同的实数根，又方程（x﹣3）（x+n）＝0的根为x＝3和x＝﹣n， ∴若相同根为x＝1，则﹣n＝1，即n＝﹣1，此时两方程分别有根1、﹣2和3、1，仅有相同根x＝1，满足条件； 若相同根为x＝﹣2，则﹣n＝﹣2，即n＝2，此时两方程分别有根1、﹣2和3、﹣2，仅有共同根x＝﹣2，满足条件， 若相同根为x＝3，则3不是方程ax2+bx+c＝0的根，不满足题意， 综上，n＝﹣1或n＝2． 故答案为：﹣1或2． 【点评】本题考查一元二次方程的解及解一元二次方程，理解题中定义是解答的关键． 33．（2026春•衢江区期中）解方程： （1）3x（x+2）＝x+2； （2）2x2﹣3x+1＝0． 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）3x（x+2）＝x+2， 3x（x+2）﹣（x+2）＝0， （x+2）（3x﹣1）＝0， ∴x+2＝0或3x﹣1＝0， ∴x1＝﹣2，x2； （2）2x2﹣3x+1＝0， （x﹣1）（2x﹣1）＝0， ∴x﹣1＝0或2x﹣1＝0， ∴x1＝1，x2． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 34．（2026春•蜀山区期中）解方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）（x+3）2＝2x+6． 【分析】（1）先因式分解，化为一元一次方程求解即可； （2）先因式分解，化为一元一次方程求解即可． 【解答】解：（1）因式分解可得： （x﹣5）（x+1）＝0， x﹣5＝0或x+1＝0， ∴x1＝5，x2＝﹣1； （2）原方程变形可得： （x+3）2＝2（x+3）， （x+3）2﹣2（x+3）＝0， （x+3）（x+3﹣2）＝0， x+3＝0或x+1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查一元一次方程，正确进行计算是解题关键． 【考点6】创新及压轴题（第35–38题） ※ 方法总结 · 含绝对值的一元二次方程：分段讨论，去掉绝对值。 · “牵手方程”“同伴方程”：理解新定义，转化为方程根的关系。 · 与几何综合：利用根的定义和三角形三边关系等几何性质。 · 拆项、分组分解：灵活变形，构造公因式。 35．（2024秋•永寿县校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状． 【解答】解：△ABC为等腰三角形．理由如下： 把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形． 【点评】考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 36．（2023秋•成县校级月考）阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0． 即x1＝2，x2． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 【分析】此题要求学生学以致用，要按照要求解题，解题的关键是正确拆项，拆项、分组得6x2+9x﹣2x﹣3＝0，找到公因式2x+3，提公因式即可解得． 【解答】解：6x2+7x﹣3＝0， 拆项，分组得6x2+9x﹣2x﹣3＝0， 提公因式3x（2x+3）﹣（2x+3）＝0， 再提公因式得（2x+3）（3x﹣1）＝0， 即2x+3＝0，3x﹣1＝0， x1，x2． 【点评】此题考查了学生的分析能力与学以致用的能力，解此题的关键是正确拆项． 37．（2017秋•重庆期中）由多项式的乘法法则知：若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝a+b，q＝ab；反过来x2+px+q＝（x+a）（x+b）要将多项式x2+px+q进行分解，关键是找到两个数a，b，使a+b＝p，ab＝q，如对多项式x2﹣3x+2，有p＝﹣3，q＝2，a＝﹣1，b＝﹣2，此时（﹣1）+（﹣2）＝﹣3，（﹣1）（﹣2）＝2，所以x2﹣3x+2可分解为（x﹣1）（x﹣2），即x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） （1）运用上述方法进行因式分解： ①x2﹣x﹣12 ②6x2﹣11x﹣35 （2）若ab＝0，则a＝0或b＝0． 结合上述因式分解的方法，解方程：x2+15x﹣126＝0． 【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得； （2）利用题干中所给的方法将左边因式分解后求解可得． 【解答】解： （1）①x2﹣x﹣12＝（x﹣4）（x﹣3）；②6x2﹣11x﹣35＝（2x﹣7）（3x+5）； （2）∵x2+15x﹣126＝（x﹣6）（x+21）， ∴（x﹣6）（x+21）＝0， ∴x﹣6＝0或x+21＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣21． 【点评】本题主要考查因式分解法的应用，准确理解题目中所用的方法是解题的关键． 38．（2017秋•南川区校级月考）阅读下面的问题： 解方程x2﹣|x|﹣2＝0 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0 解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去） （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0 解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去） 综上所述，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2 请参照例题解方程 （1）x2﹣|x﹣1|﹣1＝0 （2）x2＝|2x﹣1|+4． 【分析】（1）分两种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可． （2）分两种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）x2﹣|x﹣1|﹣1＝0， 当x≥1时，原方程化为x2﹣x＝0 解得：x1＝1，x2＝0（不合题意，舍去） 当x＜1时，原方程化为x2+x﹣2＝0 解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去） 综上所述，原方程的根是x1＝1，x2＝﹣2 （2）x2＝|2x﹣1|+4． 当x时，原方程化为x2﹣2x﹣3＝0 解得：x1＝3，x2＝﹣1（不合题意，舍去） 当x时，原方程化为x2+2x﹣5＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1（不合题意，舍去） 综上所述，原方程的根是x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中． 随堂检测 · 精选练习 练习1 一元二次方程的一般形式练习2 一元二次方程的定义 练习3 一元二次方程的解（整体代入）练习4 直接开平方法 【练习1】（2025秋•伊川县期中）将一元二次方程（x﹣1）2+4＝0化为ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．1，﹣2，5 B．1，﹣1，4 C．﹣1，5，2 D．1，2，5 【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案． 【解答】解：将方程化为一般形式为x2﹣2x+5＝0， 故a＝1，b＝﹣2，c＝5， 故选：A． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键． 【练习2】（2025秋•禹州市期中）已知（m+3）x|m|﹣1﹣3x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 【分析】根据最高次项次数为2且二次项系数不为零求解即可． 【解答】解：只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．则： ∵方程是关于x的一元二次方程， ∴x的最高次数为2，即|m|﹣1＝2， 解得|m|＝3， 所以m＝3或m＝﹣3， 又∵二次项系数m+3≠0， 当m＝3时，m+3＝6≠0，满足， 当m＝﹣3时，m+3＝0，不满足， ∴m＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 【练习3】（2026春•吴江区期中）若m是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个解，则代数式4m2﹣6m+2026＝　2028　 ． 【分析】依据题意，由m是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个解，则2m2﹣3m﹣1＝0，可得2m2﹣3m＝1，结合代数式4m2﹣6m+2026＝2（2m2﹣3m）+2026，最后代入计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵m是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个解， ∴2m2﹣3m﹣1＝0． ∴2m2﹣3m＝1． ∴4m2﹣6m+2026＝2（2m2﹣3m）+2026 ＝2+2026 ＝2028． 故答案为：2028． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 【练习4】（2024秋•单元）方程16（x+1）2＝81的解为 m1，m2　 ． 【分析】根据平方根的含义和求法，求出m的值是多少即可． 【解答】解：∵16（m+1）2＝81， ∴（m+1）2， ∴m+1＝±， 解得，m1，m2． 故答案为： 【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 一元二次方程的系数识别作业2 一元二次方程的定义判断 作业3 一元二次方程的定义判断作业4 一元二次方程的解（求值） 作业5 一元二次方程的解（换元）作业6 “牵手方程”新定义 作业7 因式分解法解方程作业8 因式分解法解方程 作业9 一元二次方程与几何综合作业10 因式分解法（含绝对值） ❤ 复习建议 夯实定义： 一元二次方程的定义是根基，务必牢记“整式、一个未知数、最高次数2、a≠0”四个条件，含参数问题要优先验证二次项系数。 规范化简： 化一般形式时，移项、合并、按降幂排列，注意系数的符号，避免“丢负号”的失误。 灵活选法： 解方程时先观察方程特征：形如 (x+h)2=k 用直接开平方法；左边易分解用因式分解法；两者都不适用再考虑配方法或公式法。 整体思想： 遇到“根”的问题，优先考虑整体代入，将代数式转化为已知的方程关系式，减少计算量。 分类讨论： 含绝对值或参数的问题，要按不同情况分类讨论，并验证解的合理性（如三角形三边关系）。 【作业1】（2025秋•江夏区期中）若关于x的一元二次方程为5x2﹣2x+1＝0，它的二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．5，2 B．5，﹣2 C．5，1 D．﹣5，﹣2 【分析】一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c，据此求解即可． 【解答】解：根据题意得：关于x的一元二次方程5x2﹣2x+1＝0的二次项系数为5，一次项系数为﹣2． 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的一般形式，牢记“一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项为c”是解题的关键． 【作业2】（2025秋•通辽期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x（x+2）＝x2﹣1 B．x+2y＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+5＝0 【分析】据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解答】解：A、方程化简后不含二次项，不是一元二次方程，故A错误，不符合题意； B、方程是二元一次方程，故B错误，不符合题意； C、当a＝0时不是一元二次方程，故C错误，不符合题意； D、x2+5＝0是一元二次方程，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解决此题的关键． 【作业3】（2025春•南岗区校级期中）下列方程是一元二次方程的有（　　） ①3x2﹣x＝0；②ax2+bx+c＝0（a≠0）；③；④2x+y＝1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此进行判断即可． 【解答】解：3x2﹣x＝0，ax2+bx+c＝0（a≠0）是一元二次方程，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【作业4】（2025秋•永顺县期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式a2﹣2a+2022的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【分析】根据方程的解定义得到a2﹣2a﹣1＝0，得到a2﹣2a＝1，整体代入求解即可． 【解答】解：由条件可知a2﹣2a﹣1＝0， ∴a2﹣2a＝1， ∴a2﹣2a+2022＝1+2022＝2023． 故选：A． 【点评】本题考查方程的解，求代数式的值，将代数式整体代入求解是解题的关键． 【作业5】（2025秋•古浪县校级月考）若x＝2027是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【分析】由关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0有一个根为2027，可得出关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0有一个根为x+2＝2027，解之可得出x的值，此题得解． 【解答】解：方程变形为a（x+2）2+b（x+2）+1＝0， ∵x＝2027是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根， ∴x+2＝2027是关于（x+2）的方程a（x+2）2+b（x+2）+1＝0的一个根， 此时x＝2025， 即关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为2025． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是关键． 【作业6】（2026春•莱西市期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“牵手方程”，例如方程x2＝4和x2﹣2x＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“牵手方程”．若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”，则m的值为　3或﹣1　 ． 【分析】先求出一元二次方程x2+2x﹣3＝0的解x1＝1，x2＝﹣3，根据方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”，分情况求解即可． 【解答】解：若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”， x2+2x﹣3＝0， （x﹣1）（x+3）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣3， 当相同的根是x＝1时， 代入方程（x﹣3）（x+m）＝0可得（1﹣3）（1+m）＝0， 解得：m＝﹣1； 此时方程为（x﹣3）（x﹣1）＝0，可得：x1＝3，x2＝1，符合题意； 当相同的根是x＝﹣3时， 代入方程（x﹣3）（x+m）＝0得（﹣3﹣3）（﹣3+m）＝0， 解得：m＝3， 此时方程为（x﹣3）（x+3）＝0，可得：x1＝3，x2＝﹣3，符合题意； 故答案为：3或﹣1． 【点评】本题考查解一元二次方程，正确进行计算是解题关键． 【作业7】（2026春•芝罘区期中）一元二次方程x2＝x（2x﹣1）的解是x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：由题知， x2＝x（2x﹣1）， x2﹣x＝0， x（x﹣1）＝0， 则x＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝0，x2＝1． 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【作业8】（2026春•金东区期中）用适当的方法解下列方程： （1）x2＝7x； （2）2x2+5x+3＝0． 【分析】（1）依据题意，由x2＝7x，则x（x﹣7）＝0，从而计算可以得解； （2）依据题意，由2x2+5x+3＝0，则（2x+3）（x+1）＝0，从而可以计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵x2＝7x， ∴x2﹣7x＝0． ∴x（x﹣7）＝0． ∴x1＝0，x2＝7； （2）由题意，∵2x2+5x+3＝0， ∴（2x+3）（x+1）＝0． ∴2x+3＝0或x+1＝0． ∴． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 【作业9】（2013秋•南郑县期末）已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x＝﹣1为关于x的一元二次方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0的根． （1）△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明； （2）若代数式有意义，且b为方程y2﹣8y+15＝0的根，求△ABC的周长． 【分析】（1）根据方程的解的定义把x＝﹣1代入方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0，可得c＝a，根据一元二次方程的定义可知c≠b，所以△ABC不是等边三角形是等腰三角形； （2）根据二次根式的意义可知，，所以a＝2，所以c＝a＝2，解方程y2﹣8y+15＝0，结合b＜a+c可求得b＝3，所以△ABC的周长为7． 【解答】解： （1）△ABC是等腰三角形，△ABC不是等边三角形； 理由如下： ∵x＝﹣1为方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0的根， ∴（c﹣b）+2（b﹣a）+（a﹣b）＝0， ∴c＝a， ∵a、b、c是△ABC的三条边长 ∴△ABC为等腰三角形， ∵一元二次方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0， ∴c﹣b≠0， ∴c≠b， ∴△ABC不是等边三角形； （2）依题意，得， ∴a＝2， ∴c＝a＝2， 解方程y2﹣8y+15＝0得y1＝3，y2＝5； ∵b为方程y2﹣8y+15＝0的根，且b＜a+c， ∴b的值为3， ∴△ABC的周长为7． 【点评】主要考查了一元二次方程解的定义，等腰三角形的判定和二次根式的意义；要会利用方程的解和几何图形结合起来，利用数形结合的思想进行解题． 【作业10】（2010秋•单元）若，且a＞0，b＜0，求a+b的值． 【分析】几个分负数的和为零，则这几个数都为零，得a2﹣3a﹣10＝0，b2﹣4＝0，然后利用因式分解法解方程，求出符合条件的a，b的值，再计算a+b即可． 【解答】解：由题意得，a2﹣3a﹣10＝0，b2﹣4＝0 a1＝5，a2＝﹣2；b1＝﹣2，b2＝2， ∵a＞0，b＜0， ∴a＝5，b＝﹣2， ∴a+b＝5+（﹣2）＝3． 【点评】本题考查了利用因式分解法把一元二次方程转化为两个一元一次方程求解的能力．要熟练掌握因式分解的方法． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.1 一元二次方程的概念与解法（精讲+典例+创新题+练习） 高效提优讲义 八年级数学新教材沪教版五四制 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解一元二次方程的定义，掌握其一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）及各系数含义。 · 掌握一元二次方程的解（根）的概念，能利用根的定义求参数或代数式的值。 · 熟练运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，能根据方程特征选择合适解法。 · 能结合三角形三边关系、等腰三角形等几何背景，综合运用一元二次方程知识解决问题。 · 体会“整体代入”“换元”“分类讨论”等数学思想在解题中的应用。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 一元二次方程的定义 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 · 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中 ax2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 · 判断关键：① 整式方程；② 只含一个未知数；③ 未知数最高次数为2；④ 二次项系数不为0。 ☑ 典型例题 1 （2024秋·丰南区期末）若方程 (a+3)x|a|−1 − x = 2 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值为（　） A．﹣3   B．3   C．±3   D．不存在 【解析】 由一元二次方程定义，最高次数为2且二次项系数不为0。 ∴ |a|−1 = 2 且 a+3 ≠ 0，解得 a = 3（a = −3 时系数为0，舍去）。 答案：B ☆ 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）。 · 将方程化为一般形式时，通常移项使右边为0，并按 x 的降幂排列。 · 二次项系数 a、一次项系数 b、常数项 c 都包含符号。 ☑ 典型例题 2 （2025秋·汕尾期末）一元二次方程 5x2 − 4x + 1 = 0 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　） A．5，4，﹣1   B．5，﹣4，1   C．﹣5，﹣4，1   D．﹣5，﹣4，﹣1 【解析】 对照一般形式 ax2+bx+c=0，a=5，b=−4，c=1。 答案：B ☆ 3. 一元二次方程的解（根） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解（根）。 · 若 x0 是方程 ax2+bx+c=0 的根，则 ax02+bx0+c=0。 · 常利用根的定义“整体代入”求代数式的值。 ☑ 典型例题 3 （2026春·沙坪坝区校级期中）若 a 是关于 x 的一元二次方程 x2−3x+2=0 的一个实数根，则代数式 2a2−6a+2031 的值是（　） A．2026   B．2027   C．2028   D．2029 【解析】 由根的定义得 a2−3a+2=0，即 a2−3a=−2。 原式 = 2(a2−3a)+2031 = 2×(−2)+2031 = 2027。答案：B ☆ 4. 直接开平方法 依据：平方根的定义。若 x2 = p（p ≥ 0），则 x = ±√p。 · 适用于形如 (mx+n)2 = p（p ≥ 0）的方程。 · 步骤：将方程化为 (x+h)2 = k 的形式，再开平方。 ☑ 典型例题 4 （2025秋·神木市期中）方程 (x−2)2 = 16 的解是（　） A．=1，=−3   B．==4   C．=−2，=6   D．=2，=−6 【解析】 直接开平方：x−2 = ±4，解得 =−2，=6。 答案：C ☆ 5. 因式分解法 依据：若 A·B = 0，则 A = 0 或 B = 0。 · 将方程右边化为0，左边分解成两个一次因式的乘积。 · 常用方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。 · 适用于左边易于分解的方程。 ☑ 典型例题 5 （2025秋·碑林区校级期末）已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程 x2−6x+8=0 的一个根，则此三角形的周长为（　） A．11   B．12   C．13   D．11或13 【解析】 因式分解得 (x−2)(x−4)=0，根为2或4。第三边为2时，2+3=5 < 6，不构成三角形；第三边为4时，3+4>6，符合。周长 = 3+6+4 = 13。 答案：C ☆ 知识总结表 核心概念 定义/形式 注意事项 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 整式、一个未知数、最高次数2、a≠0 一般形式 按 x 降幂排列，右边为0 系数包含符号，a≠0 方程的解（根） 使方程成立的未知数的值 代入验证；可整体代入求值 直接开平方法 (mx+n)2=p（p≥0） 注意 ± 号，p 非负 因式分解法 A·B=0 ⇒ A=0 或 B=0 右边先化为0，分解要彻底 核心考点 ·6大典型考点精讲 【考点1】一元二次方程的定义（第1–6题） ※ 方法总结 · 判断一个方程是否为一元二次方程，需同时满足：整式、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。 · 含参数时，根据最高次数条件列方程，并验证二次项系数不为0。 1．（2025秋•新田县期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2+3x＝0 C．x2+3x＝x2﹣1 D． 2．（2024秋•丰南区期末）若方程（a+3）x|a|﹣1﹣x＝2是关于x的一元二次方程，则a的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．不存在 3．（2025秋•云南期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B．ax2+bx+c＝0 C．4x2﹣5x+1＝0 D．x2＝x2﹣5x+6 4．（2025秋•杨浦区校级月考）若方程（m﹣1）x2+2x＝x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　 　 ． 5．（2024秋•辽宁月考）下列选项：①x+1＝3﹣2x；②x2﹣4x+6＝0；③（2x+2）2＝4x2﹣2x+1；④（x﹣1）（x+3）＝0；⑤．其中是一元二次方程的是　 　 （填序号）． 6．（2025秋•独山子区校级期中）方程． （1）当m取何值时是一元二次方程？ 【考点2】一元二次方程的一般形式（第7–12题） ※ 方法总结 · 化一般形式时，移项使右边为0，按 x 的降幂排列。 · 二次项系数、一次项系数、常数项均带符号。 · 若常数项为0，则 c=0，注意二次项系数不为0。 7．（2025秋•江津区期末）将一元二次方程3x2﹣x＝2化成一般形式是（　　） A．3x2﹣x+2＝0 B．3x2+x﹣2＝0 C．﹣3x2﹣x+2＝0 D．3x2﹣x﹣2＝0 8．（2025秋•汕尾期末）一元二次方程5x2﹣4x+1＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．5，4，﹣1 B．5，﹣4，1 C．﹣5，﹣4，1 D．﹣5，﹣4，﹣1 9．（2025秋•邢台月考）若关于x的一元二次方程的常数项是0，则a的值为（　　） A．0 B． C． D．或 10．（2024秋•川汇区期末）将一元二次方程2x2＝x+8化为一般形式后，且二次项系数为“1”时，常数项为（　　） A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4 11．（2025秋•金山区期中）关于x的一元二次方程（m﹣4）x2﹣3x+m2＝16的常数项为0，则m的值是 　 　 ． 12．（2025秋•江门期中）一元二次方程4x2+2x＝3（x﹣5）化成一般形式是　 　 ；一次项系数是　 　 ． 【考点3】一元二次方程的解（第13–19题） ※ 方法总结 · 将根代入方程，得到关于参数的方程（组），求解并验证。 · 利用根的定义进行“整体代入”求代数式的值。 · 注意“换元”技巧：若 ax2+bx+c=0 的根为 t0，则 a(x+k)2+b(x+k)+c=0 的根为 t0−k。 13．（2026春•瑞安市期中）关于x的一元二次方程x2﹣tx+t＝3的一个解为x＝0，则实数t的值是（　　） A．6 B．4 C．3 D．0 14．（2026春•沙坪坝区校级期中）若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根，则代数式2a2﹣6a+2031的值是（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 15．（2025秋•肃南县校级期末）若一元二次方程2x2+bx+c＝0满足2+b+c＝0，则这个方程必有一个根是（　　） A．x＝﹣1 B．x＝0 C． D．x＝1 16．（2026春•萧山区期中）若关于x的一元二次方程（m+2）x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，则m的值为（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．﹣2或2 17．（2026•林州市校级模拟）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2020，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（　　） A．2021 B．2020 C．2019 D．2015 18．（2026春•鲤城区校级期中）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式的值是　 　 ． 19．（2025秋•泽州县期末）已知t为一元二次方程x2﹣1011x+2026＝0的一个根，则2t2﹣2022t的值为　 　 ． 【考点4】直接开平方法（第20–26题） ※ 方法总结 · 将方程化为 (x+h)2 = k（k ≥ 0）的形式。 · 开平方得 x+h = ±，再解两个一元一次方程。 · 若 k < 0，则方程无实数根（初中阶段）。 20．（2026•启东市模拟）解一元二次方程（x+2）2＝4时，通常将其转化为两个一元一次方程，已知其中一个方程为x+2＝2，则另一个方程为（　　） A．x﹣2＝﹣2 B．x+2＝﹣2 C．x﹣2＝2 D．x+2＝2 21．（2026春•瑶海区校级期中）方程（x﹣2）2＝0的根为（　　） A．x＝0 B．x＝±2 C．x1＝x2＝﹣2 D．x1＝x2＝2 22．（2025秋•神木市期中）方程（x﹣2）2＝16的解是（　　） A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝x2＝4 C．x1＝﹣2，x2＝6 D．x1＝2，x2＝﹣6 23．（2026春•椒江区期中）关于x的方程a（x+m）2﹣b＝0的解是x1＝2，x2＝3（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m﹣2）2＝b的解是　 　 ． 24．（2026春•淄川区期中）方程（x﹣2）2＝2025的较小实数根为　 　 ． 25．（2026春•西湖区校级期中）关于x的一元二次方程ax2＝b的两个根分别是m+1与2m﹣4，则　 　 ． 26．（2025秋•同步）解下列方程： （1）8＝0； （2）1﹣0.1x2＝0； （3）（x+2）2＝25； （4）3（5﹣x）2＝36； （5）25． 【考点5】因式分解法（第27–34题） ※ 方法总结 · 移项使右边为0，将左边分解为两个一次因式的乘积。 · 常用方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 · 注意结合几何背景（如三角形三边关系）对根进行取舍。 27．（2025秋•太原期末）关于x的一元二次方程的两根为x1＝﹣1，x2＝2，则这个一元二次方程可能是（　　） A．（x+1）（x+2）＝0 B．（x﹣1）（x﹣2）＝0 C．（x+1）（x﹣2）＝0 D．（x﹣1）（x+2）＝0 28．（2025秋•鲤城区校级期末）解一元二次方程x2﹣2x＝0，最适合的方法是（　　） A．直接开方法 B．因式分解法 C．配方法 D．公式法 29．（2025秋•碑林区校级期末）已知某三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个根，则此三角形的周长为（　　） A．11 B．12 C．13 D．11或13 30．（2025秋•江都区月考）已知关于x的一元二次方程x2+（2a﹣2）x+a2﹣2a＝0，若方程只有一个实数根小于2，则a的取值范围是（　　） A．0≤a＜2 B．0＜a≤2 C．﹣2≤a＜0 D．﹣2＜a≤0 31．（2026•泗阳县校级二模）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是 　 　 ． 32．（2025秋•达川区期末）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如x2＝4和（x﹣2）（x+3）＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“同伴方程”．若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的参数同时满足a+b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，且该方程与（x﹣3）（x+n）＝0互为“同伴方程”，则n＝　 　 ． 33．（2026春•衢江区期中）解方程： （1）3x（x+2）＝x+2； （2）2x2﹣3x+1＝0． 34．（2026春•蜀山区期中）解方程： （1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）（x+3）2＝2x+6． 【考点6】创新及压轴题（第35–38题） ※ 方法总结 · 含绝对值的一元二次方程：分段讨论，去掉绝对值。 · “牵手方程”“同伴方程”：理解新定义，转化为方程根的关系。 · 与几何综合：利用根的定义和三角形三边关系等几何性质。 · 拆项、分组分解：灵活变形，构造公因式。 35．（2024秋•永寿县校级期中）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 36．（2023秋•成县校级月考）阅读后解答问题． 解方程：2x2﹣3x﹣2＝0 解：2x2﹣3x﹣2＝0， 拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0， 提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0， 再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0， 所以x﹣2＝0或2x+1＝0． 即x1＝2，x2． 运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0． 37．（2017秋•重庆期中）由多项式的乘法法则知：若（x+a）（x+b）＝x2+px+q，则p＝a+b，q＝ab；反过来x2+px+q＝（x+a）（x+b）要将多项式x2+px+q进行分解，关键是找到两个数a，b，使a+b＝p，ab＝q，如对多项式x2﹣3x+2，有p＝﹣3，q＝2，a＝﹣1，b＝﹣2，此时（﹣1）+（﹣2）＝﹣3，（﹣1）（﹣2）＝2，所以x2﹣3x+2可分解为（x﹣1）（x﹣2），即x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） （1）运用上述方法进行因式分解： ①x2﹣x﹣12 ②6x2﹣11x﹣35 （2）若ab＝0，则a＝0或b＝0． 结合上述因式分解的方法，解方程：x2+15x﹣126＝0． 38．（2017秋•南川区校级月考）阅读下面的问题： 解方程x2﹣|x|﹣2＝0 解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0 解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去） （2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0 解得：x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去） 综上所述，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2 请参照例题解方程 （1）x2﹣|x﹣1|﹣1＝0 （2）x2＝|2x﹣1|+4． 随堂检测 · 精选练习 练习1 一元二次方程的一般形式练习2 一元二次方程的定义 练习3 一元二次方程的解（整体代入）练习4 直接开平方法 【练习1】（2025秋•伊川县期中）将一元二次方程（x﹣1）2+4＝0化为ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．1，﹣2，5 B．1，﹣1，4 C．﹣1，5，2 D．1，2，5 【练习2】（2025秋•禹州市期中）已知（m+3）x|m|﹣1﹣3x﹣7＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．0 【练习3】（2026春•吴江区期中）若m是一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个解，则代数式4m2﹣6m+2026＝　 　 ． 【练习4】（2024秋•单元）方程16（x+1）2＝81的解为 　 　 ． 课后巩固 · 针对性练习 作业1 一元二次方程的系数识别作业2 一元二次方程的定义判断 作业3 一元二次方程的定义判断作业4 一元二次方程的解（求值） 作业5 一元二次方程的解（换元）作业6 “牵手方程”新定义 作业7 因式分解法解方程作业8 因式分解法解方程 作业9 一元二次方程与几何综合作业10 因式分解法（含绝对值） ❤ 复习建议 夯实定义： 一元二次方程的定义是根基，务必牢记“整式、一个未知数、最高次数2、a≠0”四个条件，含参数问题要优先验证二次项系数。 规范化简： 化一般形式时，移项、合并、按降幂排列，注意系数的符号，避免“丢负号”的失误。 灵活选法： 解方程时先观察方程特征：形如 (x+h)2=k 用直接开平方法；左边易分解用因式分解法；两者都不适用再考虑配方法或公式法。 整体思想： 遇到“根”的问题，优先考虑整体代入，将代数式转化为已知的方程关系式，减少计算量。 分类讨论： 含绝对值或参数的问题，要按不同情况分类讨论，并验证解的合理性（如三角形三边关系）。 【作业1】（2025秋•江夏区期中）若关于x的一元二次方程为5x2﹣2x+1＝0，它的二次项系数和一次项系数分别为（　　） A．5，2 B．5，﹣2 C．5，1 D．﹣5，﹣2 【作业2】（2025秋•通辽期中）下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x（x+2）＝x2﹣1 B．x+2y＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+5＝0 【作业3】（2025春•南岗区校级期中）下列方程是一元二次方程的有（　　） ①3x2﹣x＝0；②ax2+bx+c＝0（a≠0）；③；④2x+y＝1． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【作业4】（2025秋•永顺县期末）已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的解，则代数式a2﹣2a+2022的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【作业5】（2025秋•古浪县校级月考）若x＝2027是关于x的方程ax2+bx+1＝0的一个根，则关于x的方程a（x+2）2+bx+2b＝﹣1必有一个根为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2027 【作业6】（2026春•莱西市期中）定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“牵手方程”，例如方程x2＝4和x2﹣2x＝0有且仅有一个相同的实数根x＝2，所以这两个方程为“牵手方程”．若方程x2+2x﹣3＝0和（x﹣3）（x+m）＝0为“牵手方程”，则m的值为　 　 ． 【作业7】（2026春•芝罘区期中）一元二次方程x2＝x（2x﹣1）的解是　 　 ． 【作业8】（2026春•金东区期中）用适当的方法解下列方程： （1）x2＝7x； （2）2x2+5x+3＝0． 【作业9】（2013秋•南郑县期末）已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x＝﹣1为关于x的一元二次方程（c﹣b）x2﹣2（b﹣a）x+（a﹣b）＝0的根． （1）△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明； （2）若代数式有意义，且b为方程y2﹣8y+15＝0的根，求△ABC的周长． 【作业10】（2010秋•单元）若，且a＞0，b＜0，求a+b的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $