专题23：角平分线（4大知识点+10大题型+真题检验） 2025—2026学年沪教版（五四制）（2024）数学八年级上册

2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题23 角平分线 知识点一 作已知角的平分线 1. 用尺规作已知角的平分线 已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线. 作法:如图所示 (1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N (2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C (3)画射线OC,射线OC即为所求. 2. 作图依据 构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线. 注意： (1)画“射线 OC”不能叙述为“连接 OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段 (2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线 知识点二 角的平分线的性质 1. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2. 书写格式 提示: (1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段; (2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段. 知识点三 角平分线性质定理的逆定理 1.逆定理 在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 2.书写格式 如图所示, 知识点四、三角形角平分线的性质 1、性质：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。 2、三角形的内心：三角形三条内角平分线相交于一点，这点叫三角形的内心。 题型01：作角平分线 【例1】已知：． 求作：的平分线． 作法：如图所示，    ①以点_________为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点_________，_________为圆心，大于_________的长为半径画弧，两弧在内部交于点； ③画射线_________． 射线即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_________． 【例2】尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 【例3】已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【跟踪训练】 1.如图，在中，作的平分线交于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．） 2．如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 题型02：利用角平分线的性质证明 【例4】如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 【跟踪训练】 1．如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： (1)， (2)． 2．如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 3．如图，在中，，是的平分线，于点M，N在边上且． (1)求证：． (2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由． 4．如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 5．如图，，是中点，平分，求证：． 题型03：利用角平分线的性质求面积 【例5】如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【例6】如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 2.如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    3.如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 4.如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 题型04：利用角平分线的性质求角度 【例7】如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【例8】如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2.如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型05：利用角平分线的性质求线段长度或角度 【例9】如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 2.如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 ． 3.如图，在中，是边上的高，平分，交于点，则点到BC的距离为 ． 题型06：利用角平分线的性质求点到直线的距离 【例10】如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【例11】如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【跟踪训练】 1．如图，是的平分线，已知于点，且，则点到的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，在中，是角平分线，于点，，则点到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 题型07：角平分线的判定定理 【例11】如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【例12】在三角形中，为的中点，，，垂足分别是，，．求证：点在的平分线上． 【跟踪训练】 1.如图，点B、C分别在的两边上，点D是内一点，，垂足分别为E、F，且．求证：点D在的平分线上． 2．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 题型08：三角形的内角平分线及应用 【例13】与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （　 ） A．三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.三边的垂直平分线的交点 【例14】如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【例15】如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 【例16】如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【跟踪训练】 1.如图，和是中和的平分线的交点，若点O到的距离为3，到的距离为，到的距离为，则 2.在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 3．如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 4.已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN． 题型09：尺规作图 【例17】如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论） 【例18】如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【跟踪训练】 1.商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 题型10：综合提升 【例19】如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【例20】如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【跟踪训练】 1．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 2．已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 3．如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 一、选择题 1．（2024浦东新区八年级期末）到三角形三条边的距离都相等的点是（    ） A．两条中线的交点 B．两条高的交点 C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点 2．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．． 3．（2024徐汇区八年级期末）如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 4．（2024奉贤区八年级期末）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2024松江区八年级期末）如图，直线，直线分别交，于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线交于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2023上·上海杨浦·八年级校考期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 2、 填空题 7．（2023上·上海杨浦·八年级统考期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 ． 8．（2024上·上海·八年级校考期末）如图，AD是ABC的角平分线，若ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是 ． 9．（2023秋·上海青浦·八年级统考期中）如图所示，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为 ．  10．（2024上海·八年级专题练习）如图，已知：中，平分交于D，，则D点到的距离是 ． 11．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 12．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的面积为 ．   13．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 14.（24-25八年级上上海期末）如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ． 15.（2024闵行区八年级期末）如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 16．（2023上·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则 度． 17．（23-24八年级上·上海宝山·期末）在中，和的平分线交于点D，于点E，如果，的面积是6，则周长是 ． 18．（2023上·上海宝山·八年级统考期末）在中，和的平分线交于点D，于点E，如果，的面积是6，则周长是 ． 3、 解答题 19．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 20．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 21．（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，平分，，，，求． 22．（2024普陀区八年级期末）已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 23．（2021上·上海长宁·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝10，求CD的长． 24．2024上海·八年级专题练习）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线． 25．2024上海闵行·八年级统考期中）已知：如图，在中，，的平分线交于点E，交于点F，，垂足为点D． (1)求证：； (2)过点E作交于点G，过点F作，垂足为点H． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，设，试用含有x的式子表示的长． 26．（2024浦东新区八年级期末）如图，在四边形中，∥BC，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新八年级（沪教版2024）暑假班预修提升课程 专题23 角平分线 知识点一 作已知角的平分线 1. 用尺规作已知角的平分线 已知:∠AOB.求:∠AOB的平分线. 作法:如图所示 (1)以点 0为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB 于点N (2)分别以点 M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧∠AOB的内部相交于点 C (3)画射线OC,射线OC即为所求. 2. 作图依据 构造，根据全等三角形的对应角相等,找到角的平分线. 注意： (1)画“射线 OC”不能叙述为“连接 OC”因为角的平分线是一条射线，而不是线段 (2)两弧的交点应在角的内部找,因为要作的是角的平分线 知识点二 角的平分线的性质 1. 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2. 书写格式 提示: (1)该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再通过证全等三角形得到相等线段; (2)已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段,常添加辅助线由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，即构造“角的平分线性质”的基本图形,得到相等的两条垂线段. 知识点三 角平分线性质定理的逆定理 1.逆定理 在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 2.书写格式 如图所示, 知识点四、三角形角平分线的性质 1、性质：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。 2、三角形的内心：三角形三条内角平分线相交于一点，这点叫三角形的内心。 题型01：作角平分线 【例1】已知：． 求作：的平分线． 作法：如图所示，    ①以点_________为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点_________，_________为圆心，大于_________的长为半径画弧，两弧在内部交于点； ③画射线_________． 射线即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是_________． 【答案】①；②      ；③ 【分析】根据角的平分线基本作图步骤完成填空即可． 【详解】解：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点； ③画射线． 射线即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是， 故答案为：；，  ，  ，  ；． 【点睛】本题考查了角的平分线的基本作图，熟练掌握角的平分线的基本作图是解题的关键． 【例2】尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 【答案】图形见解析 【分析】本题主要考查尺规作图，熟练掌握角平分线的作图步骤是解题的关键．根据角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】解：以点为圆心任意半径画弧，交两点，以两点分别为圆心，大于两点的距离画弧交于一点，连接A点和此点的射线交边于D点，连接即可； 【例3】已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴， ∴ ∴． 【跟踪训练】 1.如图，在中，作的平分线交于点D；（不写作法，只保留作图痕迹．） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握角平分线的作图方法．利用尺规作出的平分线即可． 【详解】解：如图，射线即为所求． ； 2．如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】易知：，，因此符合的条件． 【详解】解：连接，， 由作图知：在和中， ， ∴（）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是作图−基本作图，要清楚作图时作出的线段与、与是相等的．熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键． 3．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，    由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 题型02：利用角平分线的性质证明 【例4】如图，已知为的平分线，，点P在上，于M，于N，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到是解题的关键．根据角平分线的定义可得，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，推出为的角平分线，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【详解】证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∵点P在上，， ∴． 【跟踪训练】 1．如图，在中，平分，且，垂足分别为E，F．求证： (1)， (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键： （1）根据角平分线的性质，利用证明即可； （2）证明，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，平分，点是的中点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定及性质．根据角平分线的性质得到，再证明，即可得证结论． 【详解】证明：平分，，， ，， 是的中点， 在和中， ， ∴， ． 3．如图，在中，，是的平分线，于点M，N在边上且． (1)求证：． (2)试判断与之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，直角三角形全等的判定和性质： （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质求解． 【详解】（1）证明：， ， 是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ． 由（1）得， ． 4．如图所示，点、分别是、平分线上的点，于点，于点，于点，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角平分线的性质得出，，根据线段的和差关系即可得结论． 【详解】解：∵点、分别是、平分线上的点，，，， ∴，， ∴． 5．如图，，是中点，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】先利用角平分线的性质证明，根据角平分线的意义，得出，再利用中点的意义结合已知证明，从而可判定平分，根据角平分线的意义，得出，再证明，根据平行线的性质得出，从而可得，再利用三角形内角和定理得出． 【详解】证明：过M作于E， ∵平分，，， ∴，， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴平分， ∴． ， ∴， ， ， ， ． 即． 题型03：利用角平分线的性质求面积 【例5】如图，在中，，，平分，于，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作于， 平分，，， ， ， ， ． 故选：A． 【例6】如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 【跟踪训练】 1．如图，在中，平分交于点D．若，则的面积是（   ） A．0.6 B．1.2 C．2 D．2.6 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键，作于点E，求出，进而求出面积即可． 【详解】解：作于点E， 平分， 的面积是， 故选：A． 2.如图，在中，，是的平分线，如果的面积为 ，那么的面积为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，    ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 3.如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4.如图，在中，是边上的高，平分，交于点E，已知，，，则的面积等于 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的高， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∵， ∴的面积等于， 故答案为：8． 题型04：利用角平分线的性质求角度 【例7】如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 【例8】如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质和判定，作于点，于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质，推出，进而得到平分，得到，即可得出结果． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴只需要知道的度数即可求出的度数； 故选C． 【跟踪训练】 1.如图，点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的平分线的判定与性质．根据点到的距离与点到的距离相等，可得点C在的角平分线上，可得，即可解答． 【详解】解：∵点为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴点C在的角平分线上， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2.如图，已知点O是内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴ 故选：C． 4．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 题型05：利用角平分线的性质求线段长度或角度 【例9】如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪训练】 1．如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 2.如图，在中，平分交于点D，于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于H，先由三角形面积计算公式求出的长，再由角平分线的性质可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故答案为：2． 3.如图，在中，是边上的高，平分，交于点，则点到BC的距离为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 由题意可知：于F，由线段的和差可得，根据角平分线的性质求出即可解答． 【详解】解：由题意可知：于F， ∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵平分， ∴，即点到BC的距离为2． 故答案为2． 题型06：利用角平分线的性质求点到直线的距离 【例10】如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 【例11】如图，已知中，，平分，且．若，则点到边的距离为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段的和差．先根据题意求出，再利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可得出结论． 【详解】解： ∵， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点D作于E， ∵平分，， ∴， ∴点D到边的距离是． 故选：C． 【跟踪训练】 1．如图，是的平分线，已知于点，且，则点到的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质定理．过点作于点，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， 为的平分线，于点， ， ∵， ， 即点到的距离是2． 故选：B 2.如图，在中，是角平分线，于点，，则点到的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，过D作于F，根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于F， ∵平分，，， ∴， 即点到的距离为2， 故选：B． 3.如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 题型07：角平分线的判定定理 【例11】如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论． 【解析】证明： D是的中点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又，， 平分． 【例12】在三角形中，为的中点，，，垂足分别是，，．求证：点在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，掌握角平分线的判定定理是解题关键．由题意得出，，即易证，得出，说明点在的平分线上． 【详解】解：∵为的中点， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴点在的平分线上． 【跟踪训练】 1.如图，点B、C分别在的两边上，点D是内一点，，垂足分别为E、F，且．求证：点D在的平分线上． 【答案】见解析 【分析】证明，得，再根据角平分线的性质即可解决． 【详解】证明：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D在的平分线上； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是得到． 2．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：B．    题型08：三角形的内角平分线及应用 【例13】与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的 （　 ） A．三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高的交点 D.三边的垂直平分线的交点 【难度】★ 【知识点拨】三角形外接圆的圆心是三角形三条边中垂线的交点． 【例14】如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质．由三角形的内角和定理可得与的度数和，根据角平分线的判定和性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点在内部，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【例15】如图，的三边、、的长分别为、和，三条角平分线的交点为O，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，过O作于M，于N，于K，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式得到的面积，的面积，的面积，于是得到． 【解析】解：过O作于M，于N，于K， ∵的三条角平分线的交点为O， ∴， ∴的面积，的面积，的面积， ∵、、的长分别为、和， ∴． 故选：A． 【例16】如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键． 根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 【跟踪训练】 1.如图，和是中和的平分线的交点，若点O到的距离为3，到的距离为，到的距离为，则 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据题意易得点O是的内心，根据角平分线的性质可得点O到的距离，点O到的距离，点O到的距离相等，得到，即可解答． 【详解】解：由题意易得点O是的内心， 则点O到的距离，点O到的距离，点O到的距离相等， ∵点O到的距离为3， ∴， ∴． 故答案为：． 2.在三条公路围成的一块平地上修建一个物流服务中心（如图），若要使物流服务中心到三条公路的距离相等，则这个物流服务中心应修建在（    ） A．三条高线的交点处 B．三条角平分线的交点处 C．三条中线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，由此即可求解． 【详解】解：根据角平分线的性质定理可得，要使物流服务中心到三条公路的距离相等的点为角平分线的交点， 故选：B ． 3．如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 4.已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN． 【答案】证明见解析. 【分析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】证明：作PD⊥BC于点D， ∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC， ∴PM=PD， 同理，PN=PD， ∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC， ∴PA平分∠MAN． 【点睛】考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 题型09：线段垂直平分线与角平分线综合尺规作图 【例17】如图，已知∠AOB及点E、F，在∠AOB的内部求作点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PE=PF．（请尺规作图，保留作图痕迹，并写结论） 【答案】见解析图 【分析】分别作∠AOB的角平分线以及线段EF的中垂线，两条线的交点即为所求． 【详解】如图所示，先作出∠AOB的角平分线OQ，根据角平分线的性质可知，在OQ上的所有点均满足到OA、OB的距离相等， 再作线段EF的中垂线MN，根据中垂线的性质可知，MN上的所有点均满足到E，F的距离相等， 此时OQ与MN 交点，既满足到OA、OB的距离相等，也满足到E，F的距离相等，即为所求的点P． 【点睛】本题考查角平分线及垂直平分线的画法及实际应用，理解它们的性质是解题关键． 【例18】如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点． 【跟踪训练】 1.商朝第一名相、有“烹调之圣”美称的伊尹，晚年曾隐居在连云港市灌云县伊芦山，大小伊山也因他而得名，后人为了纪念他准备建造一座伊尹雕像．经过实地考察与测量，决定将雕像建造在两条伊尹路内部，并且在两条路所构成的角的平分线上，另外又考虑到周边两个小区的人们都可以方便过来瞻仰，让两个小区，到雕像的距离也相等，请依据上述信息，在右图中利用无刻度的直尺和圆规标出伊尹雕像点的位置．（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图一应用与设计作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 连接，作线段的垂直平分线，作的角平分线交于点，点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 题型10：综合提升 【例19】如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 【例20】如图，在中，、的角平分线相交于点E．    (1)求证：点E在的平分线上； (2)过点E作于点D，，的面积为36，则的周长为__________． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和判定， 对于（1），先作辅助线，根据角平分线的性质得，再根据角平分线的判定定理得出答案； 对于（2），结合（1）图，根据大三角形的面积等于3个小三角形的面积列出算式，可得答案． 【详解】（1）证明：过E作于D，于F，于G，   、的角平分线相交于点E， ， 点E在的平分线上； （2）解：、的角平分线相交于点E，点E在的平分线上， 于D，于F，于G， . ，的面积为36， ， . 故答案为：18． 【跟踪训练】 1．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 2．已知：如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及性质． （1）证明，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，求出，即可求出结论． 【详解】（1）证明：于，于， ， 即和均为直角三角形， ，， ， ， 又，， 平分； （2）解：，， 且，， ， ， 又，， ， 3．如图，中，，点D，E分别在边上，． (1)求证：平分； (2)写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （1）如图：过点D作于点F，证明得到，然后根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）先证明得到，由（1）知，，得到，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：如图：过点D作于点F， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点D在的平分线上， ∴平分． （2）解：，理由如下： 由（1）知，平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． 一、选择题 1．（2024浦东新区八年级期末）到三角形三条边的距离都相等的点是（    ） A．两条中线的交点 B．两条高的交点 C．两条角平线的交点 D．两条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等． 根据角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，解答即可． 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴到三角形三条边的距离都相等的点是两条角平分线的交点． 故选：C 2．（2023上·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于、两点，连接； ②分别以点、为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接、； ③连接交于点． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】利用基本作图可知，为的平分线，又，可得出，从而可得出；由，得出垂直平分，根据等腰三角形的性质可得出；根据已知条件不能判断． 【详解】解：由作图步骤可得：是的角平分线，则， 又 ∴， ∴，，故A正确； ∵， ∴垂直平分，则，， 故B，C选项正确， 没有条件能得出， 故选：D． 【点睛】本题考查了基本作图-作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握基本作图的步骤是解题的关键． 3．（2024徐汇区八年级期末）如图，在中，，，，平分，则点到的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．1．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等． 过点D作于点E，根据角平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即点到的距离为2． 故选：A 4．（2024奉贤区八年级期末）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】过D作于E，根据角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求出答案即可． 【详解】解：过D作于E， ∵，对角线平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 5．（2024松江区八年级期末）如图，直线，直线分别交，于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线交于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的性质，三角形外角的性质． 根据作图步骤可知是的平分线，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质即可得解． 【详解】根据作图步骤可知是的平分线， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．（2023上·上海杨浦·八年级校考期中）如图，是中的角平分线，于点，于点，，，，则长是（   ） A．6 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】先利用角平分线的性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】是中的角平分线，于点，于点，， ∴， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 2、 填空题 7．（2023上·上海杨浦·八年级统考期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 ． 【答案】3 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴； 即：到的距离是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 8．（2023上·上海·八年级校考期末）如图，AD是ABC的角平分线，若ABC的面积是48，且AC＝16，AB＝8，则点D到AB的距离是 ． 【答案】4 【分析】过点作于，于，如图，根据角平分线的性质得到，再利用三角形面积公式得到，然后求出即可． 【详解】解：过点作于，于，如图， 是的角平分线， ， ， ， 即， ， 即点到的距离为4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形面积． 9．（2023秋·上海青浦·八年级统考期中）如图所示，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为 ．    【答案】3 【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，，根据，，求得即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E，    ，是的角平分线， ， ，， ， ， 点到的距离为， 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 10．（2024上海·八年级专题练习）如图，已知：中，平分交于D，，则D点到的距离是 ． 【答案】15 【分析】先求出的长，再根据角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分交于D， ∴D点到的距离是15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 11．（23-24八年级上·上海闵行·期末）如图，在中，，平分，如果，，那么的面积等于 ． 【答案】9 【分析】本题考查角平分线的性质．过点作，根据角平分线的性质得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，平分， ∴， ∴的面积等于； 故答案为：9． 12．（23-24八年级上·上海静安·期末）如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的面积为 ．    【答案】20 【分析】本题考查角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键．过点D作于F，根据角平分线的性质定理得到，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点D作于F，如图，    ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴的面积为， 故答案为：20． 13．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 14.（2023八年级上上海期末）如图，平分交于D点，于E点，若，，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】过点D作于F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于F， 平分，，， ， ，，， ， 解得：， 故答案为： 15.（2024闵行区八年级期末）如图，于E，于F，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：，，， 点在的平分线上， ∴． ∴ ∴ 故答案为： 16．（2023上·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则 度． 【答案】 【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得． 【详解】解：如图，过点作三边的垂线段， 三角形的两个外角和的平分线交于点E 在的角平分线上，即是的角平分线 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键． 17．（23-24八年级上·上海宝山·期末）在中，和的平分线交于点D，于点E，如果，的面积是6，则周长是 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得到，．根据的面积，利用即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，连接． 平分，，， ． 平分，，， ． ， ， 即， ∴ ， 即的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等以及面积的计算方法是解题的关键． 18．（2023上·上海宝山·八年级统考期末）在中，和的平分线交于点D，于点E，如果，的面积是6，则周长是 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质得到，．根据的面积，利用即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，于点，连接． 平分，，， ． 平分，，， ． ， ， 即， ∴ ， 即的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边的距离相等以及面积的计算方法是解题的关键． 3、 解答题 19．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，已知，求作点I，使点I到三边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线作图，以及角平分线性质，根据角平分线上的点到两边的距离相等，作出与的角平分线，角平分线交点，即为所求点I． 【详解】解：所作点I如下图所示： 20．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 21．（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，平分，，，，求． 【答案】6 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，过点D 作，垂足分别为E、F，根据三角形面积计算公式求出，再由角平分线的性质得到，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D 作，垂足分别为E、F， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴． 22．（2024普陀区八年级期末）已知及线段，求一点P使点P到、的距离相等，且．（不写画法，要有结论） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和尺规作图，线段垂直平分线的性质和尺规作图，点到、的距离相等，则点在的角平分线上，，则点在线段的垂直平分线上，据此作出的角平分线和线段的垂直平分线，二者的交点即为点． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 23．（2023上·上海长宁·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，AD＝10，求CD的长． 【答案】DC的长是5 【分析】在Rt△ABC中利用∠C＝90°，∠A＝30°易求∠ABC＝60°，再利用角平分线性质可求∠ABD＝∠DBC＝30°，从而可得∠ABD＝∠A，进而可求BD，在Rt△BDC中，利用30°的角所对的边等于斜边的一半可求CD． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°， ∴∠ABD＝∠A， ∴BD＝AD＝10， 又∵∠DBC＝30°，∠C＝90°， ∴DC＝BD＝5． 即DC的长是5． 24．2024上海·八年级专题练习）如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线． 【答案】证明过程见详解 【分析】依据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质构造EF⊥AD，从而得出EC=EF．再通过E是BC的中点，得出EF=EB，最终得出结论． 【详解】证明：过点E作EF⊥AD，垂足为F． ∵∠B=∠C=90°， ∴BC⊥CD，CB⊥AB． ∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF． ∵E为BC的中点， ∴EC=EB， ∴EF=EB， ∵EF⊥AD，CB⊥AB， ∴AE平分∠DAB． 【点睛】本题考查角平分线的性质及判定方法，能熟记并运用角平分线上的点到角两边的距离相等，并以此判定角平分线是解题关键． 25．（2024上海闵行·八年级统考期中）已知：如图，在中，，的平分线交于点E，交于点F，，垂足为点D． (1)求证：； (2)过点E作交于点G，过点F作，垂足为点H． ①请判断与的数量关系，并说明理由； ②当时，设，试用含有x的式子表示的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②． 【分析】（1）根据，，得，从而； （2）①由角平分线的性质知，由（1）知，则，再利用证明，得，即可证明； ②由等腰三角形的性质可得，可证，可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵平分，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，得到是解题的关键． 26．（2024浦东新区八年级期末）如图，在四边形中，∥BC，为的中点，连接、，，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)猜想线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，得，那么． （3）由（2）可知，得出，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中 ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ， ， 又， ， 平分． （3）结论： 证明：由（2）可知， ， 由（1）可知， ， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$