专题02 二次根式的混合运算（200题）（举一反三专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式运算全维度，以7大题型200题构建从基础到创新的递进训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |加减运算|20题|基础化简与同类根式合并|概念生成：从最简根式到加减法则| |乘除运算|30题|乘除法则应用与化简|原理推导：乘除公式到混合运算基础| |混合运算|40题|综合运用四则运算|应用拓展：加减乘除的步骤融合| |化简求值（已知字母）|35题|代入化简与计算|知识迁移：运算技能到代数求值| |化简求值（已知条件式）|20题|条件转化与整体代入|逻辑深化：从直接代入到条件分析| |新定义运算|30题|自定义规则与二次根式结合|创新应用：运算能力与理解能力结合| |规律计算|25题|归纳猜想与递推规律|思维提升：从具体运算到抽象规律|

专题02 二次根式的混合运算（200题）（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 【题型1 二次根式的加减运算】 1 【题型2 二次根式的乘除运算】 6 【题型3 二次根式的混合运算】 30 【题型4 二次根式的化简求值——已知字母的值】 54 【题型5 二次根式的化简求值——已知条件式】 71 【题型6 与二次根式相关的新定义运算】 82 【题型7 与二次根式相关的规律计算】 107 【题型1 二次根式的加减运算】 1．计算： 【答案】 【分析】根据二次根式的运算法则计算． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）计算：； 【答案】 【详解】解： ． 3．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）计算： 【答案】 【详解】解： 4．（25-26八年级下·广东江门·期中）计算： 【答案】 0 【详解】解： 5．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】先运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：． ． 7．（25-26八年级下·广东东莞·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 8．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式   ； （2）解：原式   . 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 10．（25-26八年级下·青海西宁·期中）计算 【答案】 【详解】解： ． 11．（25-26八年级下·北京·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 12．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： 13．（25-26八年级下·北京·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： 14．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 15．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果； （2）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 16．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）计算：. 【答案】0 【详解】解：原式 ． 17．（25-26七年级下·北京·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简立方根、算术平方根，再进行有理数的加减运算法则即可； （2）先化简绝对值，再根据二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ． 18．（25-26八年级下·广东东莞·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式. 19．（25-26七年级下·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【分析】先计算算术平方根、绝对值和立方根，再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 20．计算：．（） 【答案】 【详解】解： ． 【题型2 二次根式的乘除运算】 21．（25-26八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 24．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式． （2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果． （3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简． （4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 25．（25-26八年级下·甘肃武威·阶段检测）计算： (1)； (2)．（均大于0） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 26．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解： ． 27．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程： 【答案】 【分析】本题考查含二次根式的一次方程求解，核心是通过化简二次根式、有理化分母得到方程的解． 【详解】解：， 先化简，则方程为， 两边同时除以，得． 28．（25-26八年级下·全国·单元复习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了二次根式的性质，二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘法法则求解即可； （2）根据二次根式的除法法则求解即可； （3）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． 29．（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算． （1）直接计算二次根式的除法即可； （2）直接计算二次根式的除法即可； （3）直接计算二次根式的除法即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 30．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． (4) (5)． (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，核心是利用二次根式的运算法则：，(，)，同时注意系数与根式部分分开运算． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：由，有意义，∴， ； （5）解：由，有意义，∴， ； （6）解：原式． 31．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除混合化简，核心是利用二次根式的运算法则、，并结合分式约分、分母有理化完成化简． 【详解】（1）解：由有意义，得到，， ； （2）解：由，，有意义，得到， ． 32．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）（2）（3）（4）根据二次根式的乘除法法则计算，再进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 33．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除化简，关键是先确定根式有意义的条件(判断字母的符号)，再运用根式的乘除法则合并根号，最后化简并注意符号与有理化． 【详解】（1）解：由和有意义，得，． 原式 ； （2）由和有意义，得，， 原式 ． 34．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，关键是熟练运用二次根式的乘除法则，，先合并根号再化简． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）（2）先根据二次根式的除法法则计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 36．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，平方差公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘法运算法则求解即可； （2）根据平方差公式和二次根式的性质求解即可； （3）首先计算二次根式的乘法，然后化简求解即可； （4）根据二次根式的除法法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 37．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 38．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的除法，熟记运算法则是关键. （1）根据二次根式的除法法则计算即可， （2）根据二次根式的除法法则计算即可， （3）根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； 39．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的乘法和除法法则，是解题的关键： （1）利用除法法则进行计算即可； （2）利用乘除法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 40．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3； (2)； (3)3； (4) 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算； （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 41．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键，注意需要把结果化为最简二次根式． （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则及二次根式性质计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 43．（24-25八年级下·广西河池·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算、加减混合运算，掌握运算法则，正确化简是解题的关键． （1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）先化简二次根式，再合并同类二次根式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段检测）化简：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简，二次根式除法，二次根式有意义的取值范围．根据题意利用二次根式有意义得范围得到，再利用二次根式除法计算即可． 【详解】解：要使有意义，必须且， 解得：， 所以， ， ， ， ． 45．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （4）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 （3）解：原式； （4）解：原式 ． 46．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）把系数和被开方数分别相除，再化简即可； （2）把系数和被开方数分别相除，再化简即可； （3）把系数和被开方数分别相除，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 47．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)（）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， （1）先进行平方差公式的运算，然后化简； （2）先进行二次根式的除法运算，然后化简； （3）先进行二次根式的除法运算，然后进行化简； （4）先进行二次根式的除法运算，然后进行化简． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 48．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； 本题考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 49．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． （1）根据二次根式除法的法则进行计算即可得出结果； （2）根据二次根式乘除法的法则进行计算即可得出结果． 【详解】（1） ； （2） ． 50．（24-25八年级下·全国·单元复习）计算、化简 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的乘除混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）把化成，； （2）根据二次根式乘法法则：进行计算，结果要化成最简二次根式； （3）根据二次根式乘法法则：进行计算，结果要化成最简二次根式； （4）根据二次根式除法法则：进行计算，结果要化成最简二次根式； （5）先把被开方数分解因式，再化简； （6）根据商的算术平方根的性质：，进行计算，结果要化成最简二次根式； （7）根据二次根式的除法法则进行计算； （8）根据二次根式的乘除法法则进行计算； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：， ， ， ， （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【题型3 二次根式的混合运算】 51．（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)9 【详解】【小题1】      ； 【小题2】 ； 【小题3】 ． 52．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先运算负整数指数幂，化简绝对值，运用二次根式的性质化简，再运算加减法，即可作答． （2）根据平方差公式以及完全平方公式进行展开，再运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 53．（25-26八年级下·广东惠州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 54．（25-26八年级下·北京·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式     ． （2）解：原式 ． 55．（25-26八年级下·北京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用二次根式的乘法运算法则和平方差公式即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 56．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）先将每个二次根式化简为最简二次根式，再计算二次根式的加减； （2）先计算二次根式的乘除，再算二次根式的加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 57．（25-26八年级下·北京·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1)22 (2) 【分析】（1）根据平方差公式计算； （2）根据二次根式的运算法则计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 58．（24-25八年级下·北京·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解； （2）先利用平方差公式、二次根式除法法则算乘除，再算二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 59．（25-26八年级下·江西宜春·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，然后计算二次根式的加减法即可； （2）先利用二次根式的性质和平方差公式计算，最后计算二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 60．（25-26八年级下·北京·期中）计算 (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：∵， ∴ ． 61．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别进行二次根式的化简和二次根式的乘除法运算，最后进行二次根式减法运算； （2）先分别进行二次根式的乘法、二次根式的化简和绝对值化简，最后进行二次根式的加减运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 62．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 63．（25-26八年级下·河南安阳·期末）计算及化简求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式除法、乘法，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用完全平方公式计算、化简绝对值及二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 64．（25-26八年级下·天津津南·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 65．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 66．（25-26八年级下·云南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 67．（25-26八年级下·北京西城·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 68．（25-26八年级下·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 69．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果； （2）二次根式乘除混合运算，将系数与被开方数分别进行乘除运算，再化简得到最终结果． 【详解】（1）解： （2） 70．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 71．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 72．（2026八年级下·山东·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的运算法则进行化简运算即可； （2）根据二次根式的运算法则进行化简运算即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行化简运算即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式进行化简运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 73．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 74．（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则解答即可; （2）根据分配律，平方差公式，二次根式的加减乘除混合运算法则解答即可; 【详解】（1）解： ; （2）解： ; 75．（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再计算二次根式的乘法与除法运算即可得到答案. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 76．（25-26八年级下·天津·期中）计算， (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 77．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 78．（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 79．（25-26八年级下·天津和平·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 80．（25-26八年级下·全国·暑假作业）计算． (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)2 (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 81．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算即可； （3）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （4）根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 82．（25-26八年级上·上海·期中）化简: 【答案】． 【分析】本题主要考查二次根式的化简运算，计算量比较大，涉及平方差公式以及因式分解，熟练掌握二次根式的运算法则以及平方差公式和因式分解是解题的关键． 先将二次根式化简，然后将除法转化为乘法，再计算即可． 【详解】解：原式 ． 83．（25-26八年级上·上海金山·期中）计算：．（） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、分母有理化、二次根式的乘法运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的性质、再分母有理化，然后再运用二次根式的乘法运算法则计算，最后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 84．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）利用乘法公式化简，分母有理化，再合并同类二次根式即可； （2）利用乘法公式化简，再约分，然后合并同类二次根式即可； （3）先利用二次根式的乘法和性质化简，再合并同类二次根式即可； （4）根据题意得到，，利用二次根式的乘除法和性质化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：由于，所以， ． 85．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先分母有理化，再利用完全平方公式表示变形为，接着根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质计算，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 86．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法以及立方根和算术平方根的性质化简，再合并即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可 （3）根据二次根式的运算法则化简即可； （4）根据二次根式的运算法则化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 87．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算∶ 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握算理是解决问题的关键．先计算括号里的减法，化为最简二次根式后合并同类二次根式，再计算括号外除法即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 88．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算: 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先对各个二次根式化简，再利用二次根式的加减运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 89．（2025八年级上·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是利用倒数法进行化简． 先求原式的倒数，然后再求倒数即可． 【详解】解：原式， 原式的倒数为 ， 故原式． 90．若x>0，化简． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握算理是解决问题的关键．先进行分母有理化，再进行加法运算即可． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 【题型4 二次根式的化简求值——已知字母的值】 91．（25-26八年级下·北京·期中）已知：，，求的值． 【答案】12 【分析】根据完全平方公式变形，再代入，的值即可求解． 【详解】解：原式． 92．先化简，再求值． ，其中，． 【答案】， 【详解】解：， ， ， 当，时， 原式． 93．先化简；，然后再选取你喜欢而又合适的、的值，代入化简后的式子进行计算． 【答案】，当，时，原式． 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算和化简求值，先利用二次根式的乘除法化简，再选取合适的字母值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 94．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，分母有理化，已知字母的值求代数式的值．正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，则，化简，再把代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则， ； 把代入， 得． 95．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）化简求值：（其中，） 【答案】， 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而将已知数据代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 96．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：．其中． 【答案】，8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先根据乘法公式和二次根式的乘法法则计算，再去括号合并同类二次根式，然后把代入计算即可． 【详解】 ， 当时， 原式． 97．（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化， 先分母有理化求出x，y，再因式分解代入求值即可． 【详解】解：，， ∴． 98．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．根据平方差公式和单项式乘多项式可以将所求式子展开并化简，再将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：原式 ； 当 时， 原式 ． 99．先化简，再求值，已知，求代数式的值； 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，完全平方公式，先计算出，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解： ， ， ． 100．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和法则． 先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入和的值进行计算即可． 【详解】原式 当，时，原式． 101．化简并求值 (1)已知：，求值； (2)已知：，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握完全平方公式，绝对值的非负性是解题的关键． （1）先根据非负性得到，求出x，y的值，然后代入解题即可； （2）先计算出的值，然后根据代入解题即可． 分式的性质，分式的化简、代入求值的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵，， ∴, ． 102．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先化成最简二次根式，再利用二次根式加减法运算法则计算，进而将已知数据代入求出答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键． 103．先化简，再求值：已知，，求的值． 【答案】 【分析】先将a，b的值分母有理化，再将因式分解，最后将a，b的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了分母有理化，因式分解，熟练并准确进行分母有理化是解题的关键． 104．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】根据二次根式的性质化简，然后代入即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质和运算法则，本题属于基础题型． 105．先化简，再求值：已知：，求的值． 【答案】，4 【分析】利用平方差公式计算即可化简，再代入a、b的值，即可求解． 【详解】解： ， 当时， 则原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 106．先化简，再求值，如果，，求的值． 【答案】， 【分析】先对b分母有理化，计算出的值，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，二次根式的性质，注意：． 107．先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再合并得到原式，然后把、的值代入计算． 【详解】解： 原式 当，时，原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值,熟练运算二次根式是解题关键． 108．先化简，再求值：，其中a＝3，b＝3． 【答案】22b；26﹣2． 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再合并得到原式＝22b，接着计算ab的值，然后把ab和b的值代入计算即可． 【详解】解：原式＝a+2b﹣（a﹣b） ＝a+2b﹣a+b ＝22b， ∵a＝3，b＝3， ∴ab＝9﹣2＝7， ∴原式＝22×（3） ＝26﹣2． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算以及化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 109．先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】根据二次根式的化简求值即可求解． 【详解】解：原式 ＝ ， 当，时， 原式， 故答案是：；． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解决本题的关键是分母有理化． 110．化简并求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用二次根式的性质进行化简，然后合并同类二次根式，最后代入求值． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和混合运算的计算法则是解题关键． 111．化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用二次根式的性质化简各项，再进行加减运算，然后把代入， 即可求解． 【详解】解：原式 当时， 原式． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 112．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】先将原式化简，再将x和y值代入计算． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 113．（9-10九年级上·湖北·期末）化简：；并将自己喜欢的a值代入化简结果进行计算． 【答案】，当时，值为6 【分析】本题考查二次根式的化简求值．根据二次根式的运算法则化简，代入使原式有意义的a的值即可计算． 【详解】解：原式， 取，则原式． 114．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）将化简，然后选择一个合适整数的值，代入化简后的式子中求值． 【答案】，当，原式 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算．根据二次根式的运算法则进行化简，再根据分母不能为零和二次根式是非负数进行求值． 【详解】解：原式 ． 且且， 当， 原式． 115．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】先进行开方、分母有理化，再合并同类项，最后代入，即可求解． 【详解】解： 当时，上式． 116．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）化简求值：，其中． 【答案】，值为4 【详解】解：原式 当时 原式 117．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， 当时，原式． 118．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期中）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先由二次根式定义确定，然后由二次根式性质变形，再合并同类二次根式化简，最后将，代入计算即可． 【详解】解：在中，由二次根式定义可知， ， 当，时，原式． 119．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题关键是利用乘法公式化简． 先利用平方差公式、完全平方公式进行约分，然后合并同类二次根式，再代入求解． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 120．（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的化简求值是解题的关键． 把原式化简，分母有理化得，通分化简后，把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 121．（24-25八年级下·吉林·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式展开，再化简，最后将字母的值代入，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 122．（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，先通分化简表达式，再求出，从而求出，最后代入数值计算． 【详解】解： ∵ ∴， ∴， ∴原式 ． 123．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简，求值：已知，求． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． 先对分子进行因式分解化简，再代入求值即可． 【详解】解： 当时，原式． 124．（24-25八年级下·吉林白城·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行化简，再代数计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 125．（24-25八年级下·山东滨州·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，先把原式化为，再约分，分母有理化得到化简的结果，再代入，计算即可. 【详解】解：． 代入、的值，得． 126．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确计算是解答本题的关键． 先去括号，然后化简每一个二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，得到化简结果，最后把、的值代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 当时，原式． 127．（24-25八年级下·全国·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．根据二次根式的定义对式子进行化简，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ， 当时， 原式， ， 128．（24-25八年级下·福建厦门·阶段检测）先化简，再求值：其中，． 【答案】， 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先化简二次根式，再合并同类二次根式，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 129．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)先化简，再求值．其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】（1）根据二次根式的除法及乘法运算法则进行运算，然后再根据二次根式的性质进行化简； （2）将二次根式进行化简，然后计算括号内的减法，再进行除法和乘法运算； （3）根据平方差公式和完全平方公式将原式展开，再进行合并即可； （4）将二次根式进行化简后再进行合并，然后将，代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ， 当，时， 原式． 130．（24-25八年级上·上海·阶段检测）（1）先化简，后求值：，其中． （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2）1 【分析】本题考查二次根式的化简求值，灵活运用二次根式的运算是解答的关键． （1）根据二次根式的运算及分母有理数，结合完全平方公式化简原式，然后代值求解即可； （2）先分母有理数求得a值，再利用完全平方公式化简原式，然后代值求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时， 原式 ． （2）∵， ∴， ∴ ． 【题型5 二次根式的化简求值——已知条件式】 131．先化简，再求值：已知y=，求的值． 【答案】-，- 【分析】根据二次根式性质得到x=，y=，再根据完全平方差公式和二次根式的性质化简原式，最后将x，y的值代入求解即可． 【详解】解：根据已知，得1-3x≥0且3x-1≥0， ∴x=，y=， ∵ =2x-+y-（2x+y） =2x-+y-2x-y = - ∴当x=，y=，原式= -=-2． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质：是解题的关键． 132．（25-26八年级上·全国·寒假作业）先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 【答案】， 【分析】先根据二次根式有意义的条件得出，从而可得，再根据二次根式的运算法则进行化简，最后代入，计算即可得出结果． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴ ， ∴当，时，原式． 133．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出、，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 原式 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式． 134．（25-26八年级下·河南开封·阶段检测）若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，求的值． 【答案】 1 【分析】夹逼法求出的值，再根据二次根式的运算法则，进行计算即可. 【详解】解：∵，即， ∴， ∴. 135．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，以及分母有理化. 根据题意可得，然后根据二次根式的性质化简，再代入计算即可。 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 136．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键．先化简，再分、同正或同负两种情况作答． 【详解】解：， 、同号， 原式， 当时，原式； 当时，原式； 故原式． 137．若 x，y 为实数，且 ． 求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求得x的值，进而得到y的值，代入求值即可． 【详解】解：依题意得：且， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 138．已知与满足，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出，进一步求出，再将其代入代数式进行求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查了代数式求值、二次根式有意义的条件，分母有理化，解题的关键是根据二次根式有意义的条件求出． 139．已知，求的值． 【答案】2020 【分析】根据二次根式的非负性得到b值，代入求出a，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：由已知得：b-2020≥0，2020-b≥0， ∴b=2020， ∴， ∴===2020． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的混合运算，解题的关键是利用非负性得到a，b的值． 140．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简求值，熟练掌握平方差公式，二次根式性质，是解题的关键． 计算，把条件式代入，即得结果式的值． 【详解】解：∵ ， 且， ∴． 141．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的变形求值，先分母有理化得到，，再求出，，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴ ． 142．若x，y为实数，且，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，先根据二次根式有意义的条件得出x的值，代入等式得出y的值，再代入所求代数式，依据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：由题意知， 解得：， 则， ∴原式． 143．已知，，y＞0，求y的值． 【答案】 【分析】将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ , ∴, ∵y＞0， ∴ 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟记乘法公式是解题的关键． 144．已知，若，，试求a2+b2+ab的值． 【答案】3x+y，15 【分析】根据题意求出x与y的值，然后根据完全平方公式以及平方差公式进行化简，然后将x与y代入原式即可求出答案． 【详解】解：∵有意义 ∴且 ∴x＝4， ∴y＝3， ∵，， ∴ 把x＝4，y＝3代入上式中 原式 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求解，完全平方公式和平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 145．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 【答案】 【分析】由非负性可得，，再将二次根式进行化简代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ，， 解得，， 原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键． 146．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 【答案】， 【分析】本题重点考查了二次根式的混合运算，化简求值，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)，同时本题还运用到了平方差公式和完全平方差公式，熟练掌握二次根式混合运算顺序以及平方差和完全平方差公式是本题求解的关键． 先将左边括号的代数式构造平方差公式和完全平方差公式，约掉相同的公因式，并相加减得左边括号代数式，右边括号代数式通分，再约掉相同的公因式，最终得到化简后的代数式。代入的值，即可完成求解． 【详解】解：由题意知，， 原式 ， 将，代入得， 原式 147．已知a、b满足，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式的非负性列出方程组，通过解方程组求出a，b的值，然后将其代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：依题意有， 解得： 当时 【点睛】本题主要考查二次根式的求值及非负数的性质，根据非负数性质列出方程组是解题的前提，代入求值是关键． 148．已知，，求的值． 【答案】970 【分析】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是对x和y进行分母有理化及掌握二次根式的运算法则． 149．（25-26八年级下·北京·期中）在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据题干规律直接作答即可； （2）根据题干规律将已知两式进行变形为两个二次根式相加，然后比较大小即可； （3）根据题干规律化简，再根据、为有理数对比未知数的系数，即可得解； （4）根据平方差公式计算，即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ，即； （3）解：，， ， ， ， 、为有理数， 与均为有理数， ； （4）解： ， ， ． 150．（25-26八年级下·山东聊城·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分母有理化计算即可； （2）将 代入 ，求解即可． 【详解】（1）解：    ； （2）解：   ， ， ∴ ， ， 将 代入 ， 可得： 化简可得： 移项可得： 解得： 【题型6 与二次根式相关的新定义运算】 151．（25-26八年级下·江西赣州·期中）对于新运算※，*规定如下：，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新运算※的定义直接代入计算； （2）根据新运算*的定义代入后展开并化简即可． 【详解】（1）解：由定义，，代入，， 得 ． （2）解：由定义，，代入，， 得 ． 152．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 【答案】 【分析】本题考查实数的新定义运算，先根据非负数的性质得到x，y的值，再根据新定义的运算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， ∵， ∴ 即的值为． 153．（1）定义新运算：对于任意实数，，都有． 例如，．求的值； （2）请你模仿（1），定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2021．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】（1）-13；（2）见解析 【分析】（1）新定义的运算法则等于第一个数与这两个数的和积减去1，模仿计算即可； （2）注意到这两个数的积为1，所以再加2020即为2021． 【详解】解：（1）原式 ； （2）定义新运算：对于任意实数，，都有． ． 【点睛】本题考查了实数的运算，（2）问注意到这两个数的积为1是解题的关键． 154．（24-25八年级下·吉林松原·阶段检测）定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查新定义运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据新定义列式，并利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，合并同类二次根式解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 155．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)4 (2)x的值为 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次方程，二次根式的混合运算，解题关键是掌握实数运算的方法和解一元一次方程的步骤． （1）直接利用新运算的规定列出算式运算即可； （2）先将左边根据规定变形，再解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴的值为4． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴x的值为． 156．对于任意的整数，，定义运算“☆”为：． 求：的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：， ， 所以 ． 故答案为：2． 157．对于任意实数a，b，定义一种运算“&”如下：.如，求的值. 【答案】5 【分析】根据题中所给新定义运算及二次根式的运算可进行求解． 【详解】解：由题意可得： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 158．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)；；④ (2)是；理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算和加减运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与是关于3的“实验数”； （2）根据进行计算，计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：∵， ∴与是关于的“实验数”； ∵， ∴与是关于的“实验数”，即； ∵， ∴， ∴表示的值的点落在数轴上的位置位于1和2之间，即位置④； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ， ∴与是关于的“实验数”． 159．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ； (2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算，掌握共轭二次根式的定义，是解题的关键． （1）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可； （2）根据共轭二次根式的定义，进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：； （2）由题意，得：， ∴且， ∴． 160．对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 【答案】 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴根据题中的新定义得： ， 即： ． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 161．（25-26八年级上·全国·单元复习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，理解新定义运算法则是解题的关键． （1）根据新定义运算法则计算； （2）根据新定义运算法则计算． 【详解】（1）解：由题意，得： ． 故的值为． （2）解：由（1）可知，， ∴． 由题意，得： ． 故的值为． 162．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 163．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）定义：对于两个正实数x和y，如果存在整数k，使得，则称x与y是关于k的“整积数”． (1)已知，，且x与y是关于整数2的整积数，求m的值； (2)已知，，判断x与y是否为整积数？若是，求出对应的k值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)x与y是整积数， 【分析】（1）把，，代入，可得的方程，求出即可； （2）先计算再将结果开平方即可判断与是否为整积数． 【详解】（1）解：与y是关于整数2的整积数， ∴， ∵x＝2，y＝m， ∴， ， ． （2）解：x与y是整积数 理由： ， ∴ ∵1是整数, ∴x与y是整积数,对应的． 164．已知实数，，定义“★”运算规则如下：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查新定义实数运算，读懂题意，按照新定义运算规则求解即可得到答案，看懂新定义实数运算是解决问题的关键． 【详解】解： ，， ，则， ， ． 165．（25-26八年级下·陕西西安·期中）定义：形如“”的数称为“族数”（其中m，n为有理数，），并规定：两个“族数”之间可以进行“，，，”等运算，运算法则符合二次根式的相关要求． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在和中，属于“族数”的是_________； (2)已知（其中b为有理数，）均为“族数”，判断是否为“族数”，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】（1）化简二次根式，再根据定义判断即可．              （2）把代入，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴在和中，属于“族数”的是； （2）解： ，              ∵b为有理数，， 是有理数，且不为0， 是“族数”． 166．定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)与是关于3的“实验数”．理由见解析． 【分析】本题考查二次根式的混合运算，二次根式的乘除运算．掌握本题的关键是：①能理解题述1 的“实验数”的定义，并据此作出计算；②掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并． （1）根据所给的例子，可得出实验数的求法，由此即可计算4与-1是关于3的“实验数”； （2）把代入计算与的和，根据所求得结果即可判断． 【详解】（1）解：， 所以与是关于的“实验数”， ， 所以与是关于的“实验数” 故依次填：，； （2）解：与是关于的“实验数”．理由如下： ∵， ∴ ∴与是关于的“实验数”． 167．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)6 (4)，见解析 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的运算及代数式的大小比较．熟练掌握“衍生数对”的定义公式，结合二次根式的计算规则是解题的关键． （1）直接根据“衍生数对”定义，代入、计算和， （2）分别写出两个数对的“衍生数对”，根据对应项相等列等式，求解y， （3）由“衍生数对”反向用m求a、用n求b，再计算， （4）用定义表示出m、n，通过作差法结合的条件，判断与的大小． 【详解】（1）解：根据定义：，， 故答案为：； （2）解：数对的衍生数对：，， 数对的衍生数对：，， 由衍生数对相同得 且，解得， 故答案为：3； （3）解：由，得，故， 由，得， ； （4）解：由定义得，，作差： ， ，且，，故分子， 168．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：， (其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为， 如 所以 的麓外区间为． (1)无理数 的“麓外区间”是 ； (2)若 则b的“麓外区间”是 ； (3)若无理数 (a为正整数)的“麓外区间”为 的“麓外区间”为，求 的值； (4)实数x，y，n满足 求n的算术平方根的“麓外区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】本题主要考查无理数的估算、二次根式有意义的条件、算术平方根的非负性以及立方根的计算． （1）通过找出与19相邻的两个完全平方数，进而确定的取值范围，从而得到其“麓外区间”； （2）先根据二次根式有意义的条件求出的值，进而求出的值，再确定的“麓外区间”； （3）根据无理数的“麓外区间”定义，分别列出关于的不等式，求出的取值范围，进而确定的值最后计算． （4）先根据二次根式有意义的条件求出的值，再根据等式求出的值，最后确定的算术平方根的“麓外区间”． 【详解】（1）解：， ， 的“麓外区间”是； （2）解：要使有意义， ， 解得：， 将代入， 得：， ， ， ， b的“麓外区间”是． （3）解：的“麓外区间”为， ， ， ， 的“麓外区间”为， ， 即， ， 又a为正整数， 或， 当时，， 当时，， 的值为或． （4）解：和有意义， 且， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ， ， ， 的“麓外区间”是． 169．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值； （4）已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）4；（4）6；（5）14 【分析】本题考查了非负数的性质，完全平方公式，二次根式的性质，读懂题目信息，理解“完美数”的定义并熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解； （5）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵10是“完美数” ∴； 故答案为：； （2） 要使S为“完美数”， 则，即． （3）∵， ∴ ∴， ∴， ， 解得， ， 则． （4）， ， ， ， 无论x取何值，， 当时，的值最大，为. （5）， ∴， ，，， ，，， ． 170．定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 【答案】(1) 与 (2)不是；是 (3)共轭实数 ， 是无理数，详见解析 (4) (5)共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 【分析】本题考查的是实数的运算，掌握新概念是解决此题关键． （1）根据题意写出一对共轭实数即可； （2）利用新定义判断即可； （3）根据新定义得共轭实数是无理数； （4）由 得，然后根据有理数、无理数的概念即可得到答案； （5）根据实数的运算计算即可． 【详解】（1）解：与 是一对共轭实数， 故答案为：与（答案不唯一）； （2）与 不是共轭实数， 与 是共轭实数， 故答案为：不是，是； （3）解：共轭实数， 是无理数，理由如下： ∵是开方开不尽的数， ∴无理数，而是不等于0的有理数， ∴是无理数，有理数加上或减去一个无理数，其结果仍是无理数； （4）解：由得， ∵a、为有理数， ∴为有理数， ∴必为有理数方能与相等，而为有理数， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：4； （5）解：， ， ∴共轭实数 与 的和是一个有理数，它们的差是一个无理数 ． 171．用定义一种新运算：对于任意实数和，规定． (1)求的值． (2)_____________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新运算计算即可 （2）根据新运算先计算，然后将和计算的结果再次用新运算计算即可 【详解】（1）∵， ∴ （2）∵， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算和实数的混合运算，解决问题的关键就是根据新定义按照运算规则计算 172．（25-26八年级下·全国·课后作业）请按要求解答： (1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值． (2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据新运算的定义，将代入的公式中计算； （2）观察和，乘积为整数，定义新运算时结合其乘积，再通过添加常数项使运算结果为2026． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：示例：对于任意实数，，都有． ． 【点睛】本题考查了新定义运算，二次根式混合运算，掌握根据新运算的规则代入数值计算，以及结合已知数的特征设计新运算是解题的关键． 173．（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1，比如，数字2和5在该新运算下结果为4．计算如下：2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，求⊕2的值； （2）请你定义一种新运算，使得实数和1在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算，并写出计算过程． 【答案】（1）3；（2）见解析 【分析】（1）根据定义计算即可； （2）根据题意确定出所求新运算即可 【详解】解：（1）⊕2＝|2|+1 ＝21 ＝3； （2）定义：a*b＝﹣20（a﹣b），（答案不唯一）， *（1）＝﹣20×（1） ＝﹣20×（﹣1） ＝20． 【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 174．（24-25七年级下·福建厦门·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义下的实数运算，算术平方根与平方根，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解； （2）根据新定义，列出算式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解： ∴的平方根为 175．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ； ； ； ； ． (3)计算的值． 【答案】(1)； (2)；； (3)． 【分析】本题主要考查了新定义运算，算术平方根，无理数大小的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （）根据题干中给出的信息进行计算即可； （）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ， ∴是“望音”数对； ， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ， ∴是“望一”数对； ∴是“望一”数对； ， ∴是“望音”数对； 故答案为：；； （3）解：由，，； ，，，，； ，，，， ，； ； ，， ∴ ， 设， ∴当不是完全平方数时，存在整数使得，此时，则该项的值为； 当是完全平方数时，设（为正整数），则， ∵是偶数， ∴必为偶数， 此时， ∴该项的值为， 因此，我们只需计算原式中值为的项的个数， ∵ 且 ， ∴ ， 又∵为偶数， ∴可取，的个数为个， ∴原式的值为． 176．（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 【答案】(1) (2)②，③ (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，无理数大小的估算，求不等式组的解集，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的定义． （1）根据题干中给出的信息进行计算即可； （2）根据“望一”数对和“望音”数对的定义进行求解即可； （3）根据题干中的信息找出规律，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①∵， ∴既不是“望一”数对，也不是“望音”数对； ②∵， ∴是“望一”数对； ③∵ ∴是“望音”数对； 综上分析可知：“望一”数对的有②，是“望音”数对的有③． （3）解：，，， ，，，，， ，，，，，，， …… ，， ， ， ∴中有3个1，5个2，7个3，……87个，89个44， ． 177．两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 【答案】(1)不是，是 (2)，（答案不唯一） (3)①10② 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握共轭实数的定义，是解题的关键． （1）根据共轭实数的定义，进行判断即可； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数即可； （3）先去括号，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意，可知：与不是共轭实数；与是共轭实数； 故答案为：不是，是； （2）根据共轭实数的定义，写出一对共轭实数可以为：与； 故答案为：，（答案不唯一）； （3）①原式； ②原式． 178．（25-26八年级下·河北唐山·期中）定义两种新运算，规定：，，其中，为实数，且． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义列式，利用平方差公式计算即可； （2）根据新定义列式，利用完全平方公式展开，合并同类二次根式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 179．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在学习二次根式的过程中，对于代数式M定义新的运算： (1) ， ， ; (2)若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， 化简： (3)若，求的值. 【答案】(1)5，0，5 (2) (3)6 【分析】首先明确新运算的本质：，所有运算均转化为绝对值的相关计算． （1）直接根据绝对值的代数意义，分别计算正数、0、负数的绝对值即可． （2）先根据数轴确定、的取值范围，再判断每个绝对值内表达式的正负性，根据绝对值的性质去绝对值符号后合并同类项． （3）先将方程转化为，根据绝对值的非负性得到确定的取值范围，再去掉绝对值符号解方程求出，最后代入所求式子，按新运算规则计算． 【详解】（1）根据，可得： ，，． （2）由数轴可得：判断符号： ，，因此； ，，因此。 代入化简： ． （3）由得： 绝对值结果非负，因此，即， 此时， 去绝对值得： 解得 代入： ． 180．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义实数运算，涉及二次根式混合运算法则等知识，读懂题意，理解新定义运算公式，代值后由二次根式混合运算求解是解决问题的关键． （1）根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案； （2）先计算，再根据新定义的实数运算，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 【题型7 与二次根式相关的规律计算】 181．（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) ；见解析 【分析】（1）根据规律计算的值即可； （2）根据题意，找到前2025个等式求和，再与2026比较即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，，， ， ， ， ∵， ． 182．（25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1) (2) (3)89 【分析】（1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：； 理由：； （2）解：∵， ， ， …… 猜想：； 证明：； （3）解：∵， ∴根据（2）的规律可得 解得 ∴． 183．（25-26八年级下·浙江·期中）观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 【答案】(1) (2)（的自然数）； 【分析】（1）利用前面3个等式的规律写出第4个等式； （2）找出前面等式中的数据与序号数的关系，则可猜想出第n个等式，然后根据规律化简计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：（的自然数） 原式 ． 184．（2026·安徽蚌埠·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2) 猜想：第个等式为， 证明：∵左边， 又∵右边． ∴左边=右边， ∴原等式成立． 【分析】（1）观察前4个等式的规律即可； （2）使用平方差公式进行展开即可． 【详解】（1）解：观察规律可得，第5个等式为； （2）略 185．观察下列等式： 将以上三个等式相加得 (1)猜想并写出： ； (2)已知数列，，表示的前n项和，试求数列的前2022项和的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用绝对值的性质进行化简即可； （2）根据题意，先去绝对值，再利用裂项相消法计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：∵， ∴ ． 186．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算， （1）根据平方差公式计算，即可得出规律； （2）根据题意给出规律，比较它们倒数的大小即可求出答案； （3）根据题意给出的规律进行化简后即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意：第8个等式， 故答案为：； （2）解：∵， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵ ∴原式 ． 187．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)；证明见解析 【分析】本题主要考查了实数的有关运算、数字变化的规律，能根据题意发现的变化规律是解题的关键． （1）分别求出，，根据定义即可求出，； （2）根据的规律猜想出的表达式，再利用裂项相消法证明该猜想． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，． （2）猜想：． 证明如下： ． 188．（24-25七年级下·广东湛江·阶段检测）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根的性质． （1）仿照例题进行解答即可； （2）根据题意，结合（1），进行解答即可； （3）化简算术平方根，再进行求和即可． 【详解】（1）解：、， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）解： ． 189．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 190．观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知被开方数中第一项的分母为序号加1的倒数，第二项的分母为第一项分母的平方，等式右边的结果中分母为序号加1，分子为序号的算术平方根，据此求解即可； （2）根据（1）分析中的规律可得答案． 【详解】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为； （2）解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， 第4个等式为， …… 以此类推可得第n个等式为． 191．（25-26八年级上·江西吉安·期中）观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化的运用及找规律． （1）从等式中找出规律，第二个等式：，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1，仿照所给等式写出第7个等式即可； （2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，，仿照所给等式写出第n个等式即可； （3），观察分子中的项，互为相反数相加得0便可解出． 【详解】（1）解：观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1； 写出第7个等式： 故答案为：． （2）解：由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为，， 所以第n个等式为， 故答案为：； （3）解： 192．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 【答案】(1) (2)（为正整数） (3)①；②22 【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． （1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间及数字间关系得结论； （3）①先计算，再算二次根式的乘法得结论； ②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为， （3）解: ① ； ②∵(a，b均为正整数)， ∴，， 解得，， ∴． 193．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：； ． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 【答案】(1)，6，2 (2)当时，，当时，， (3) 【分析】本题主要考查了无理数关于整数部分的计算，估计无理数大小是解题关键． （1）根据定义：表示不大于x的最大整数，即可解答； （2）根据可得，再分和两种情况求解； （3）根据（2）的结论可得，由此求出a，b．代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，∴ ∵，即：，∴； ∵，，∴． 故答案为：，6，2 （2）∵n为整数，， ∴， 当时，， 当时，， （3）由（2）得 ， ， ∴ ∴． 194．阅读下列解题过程并解答问题： ；；… (1)填空：______，_______． (2)利用上面隐含的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据算术平方根，即可解答； （2）归纳总结得到一般性规律，利用其规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：，； （2）由观察可知：， 则： ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． 195．【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式________． (2)请根据上面式子的规律填空：________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可； （2）所给是n+1个式子，根据规律即可得； （3）根据（2）得出的结论可知，利用规律即可得． 【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为， ∴第7个等式为：， 故答案为：； （2）解：根据材料中给出的规律可知：， 故答案为：； （3）解：根据（2）中的规律知， ． 【点睛】本题主要考查了与实数相关的规律探索，解题的关键是掌握是式子的规律． 196．仔细观察下列等式： ① ② ③ (1)请你根据以上规律，写出第7个和第10个等式． (2)直接写出第n个等式（n为正整数）． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据观察左边的第一个数，减数中被开方数，等式右边，第一个被开方数，第二个被开方数与等式序号的关系，即为遵循的基本规律． （2）将规律一般化即可． 【详解】（1）∵①，②，③， ∴当序号为n时，左边的第一个数为，减数中被开方数是，等式右边，第一个被开方数是，第二个被开方数是， ∴第七个等式为；第10个等式为． （2）当序号为n时，左边的第一个数为，减数中被开方数是，等式右边，第一个被开方数是，第二个被开方数是， 故第n个等式为． 【点睛】本题考查了规律探索，完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式，正确探寻规律是解题的关键． 197．先阅读理解，再回答问题． ∵ ，且， ∴的整数部分是1，小数部分是． ∵ ，且， ∴的整数部分是2，小数部分是． ∵ ，且， ∴的整数部分是3，小数部分是． 利用上面的知识，确定下列各数的整数部分和小数部分∶ (1) (2) (3) 【答案】(1)整数部分是4；小数部分是 (2)整数部分是6；小数部分是 (3)整数部分是11；小数部分是 【分析】先找出规律，再分别作答即可． 【详解】（1）由题意可知： 若， 则（n为正整数）的整数部分为n，小数部分是． ∵， ∴整数部分是4；小数部分是； （2）∵， ∴整数部分是6；小数部分是； （3）∵， ∴整数部分是11；小数部分是． 【点睛】本题考查了整式的规律，根据题意得到（n为正整数）的整数部分为n，小数部分是是解题的关键． 198．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是晓明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：＝_____． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：_____． (3)应用运算规律： ①化简：＝____； ②若（a，b均为正整数），则a+b＝_____． 【答案】(1)5 (2)（n+1） (3)①2021；②22 【分析】（1）观察特例可得结论； （2）观察特例与结果间数字间关系得结论； （3）①先计算，再算乘法得结论； ②根据前面总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果． 【详解】（1）解：． （2）解: , （3）解: ① ＝2021× ＝2021× ＝2021． ②∵(a，b均为正整数)， ∴a+1＝11，b＝a+2． ∴a＝10，b＝12． ∴a+b＝22． 【点睛】本题考查数式规律探究，二次根式的乘法，找出数的变化规律是解题的关键． 199．观察下列各式：①，②，③，④，…．利用你观察到的规律 (1)写出 ， ； (2)计算的值为 ． 【答案】(1)， (2)2021 【分析】（1）由已知式子，可得出 ； （2）利用，表示出f（1）、f（2），……，f（2021），结合平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：由已知式子可得：， 当时，． 故答案为：， （2）解：原式= 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，根据规律写出f（n）的代数式是解本题的关键． 200．若表示不超过x的最大整数（如等），求 的值． 【答案】2013 【分析】先根据题意进行分母有理化，，， 则可以得到，由此可以得到，从而可以求解． 【详解】解：， ， ∴， ∵ ∵表示不超过x的最大整数， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的混合运算（200题）（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 【题型1 二次根式的加减运算】 1 【题型2 二次根式的乘除运算】 2 【题型3 二次根式的混合运算】 7 【题型4 二次根式的化简求值——已知字母的值】 12 【题型5 二次根式的化简求值——已知条件式】 15 【题型6 与二次根式相关的新定义运算】 16 【题型7 与二次根式相关的规律计算】 21 【题型1 二次根式的加减运算】 1．计算： 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）计算：； 3．（25-26八年级下·浙江温州·阶段检测）计算： 4．（25-26八年级下·广东江门·期中）计算： 5．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）计算：． 6．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）计算：． 7．（25-26八年级下·广东东莞·期中）计算： 8．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）计算： (1)； (2)． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·青海西宁·期中）计算 11．（25-26八年级下·北京·期中）计算：． 12．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）计算：． 13．（25-26八年级下·北京·期中）计算：． 14．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1) (2) 15．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）计算： (1)； (2)． 16．（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）计算：. 17．（25-26七年级下·北京·期中）计算： (1) (2) 18．（25-26八年级下·广东东莞·期中）计算： 19．（25-26七年级下·吉林松原·期中）计算：． 20．计算：．（） 【题型2 二次根式的乘除运算】 21．（25-26八年级下·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 22．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 23．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 24．（25-26八年级下·山东潍坊·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 25．（25-26八年级下·甘肃武威·阶段检测）计算： (1)； (2)．（均大于0） 26．（25-26八年级下·天津·开学考试）计算： 27．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）解方程： 28．（25-26八年级下·全国·单元复习）计算： (1) (2) (3) 29．（25-26八年级下·全国·单元测试）计算下列各式： (1) (2) (3) 30．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． (4) (5)． (6)． 31．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）化简下列各式： (1) (2) 32．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 33．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）化简下列各式： (1) (2) 34．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 35．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（）． 36．（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 37．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 38．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 39．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 40．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 41．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 42．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 43．（24-25八年级下·广西河池·期中）化简： (1) (2) 44．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段检测）化简：． 45．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 46．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 47．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4)（）． 48．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 49．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 50．（24-25八年级下·全国·单元复习）计算、化简 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)． 【题型3 二次根式的混合运算】 51．（25-26八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 52．（25-26八年级下·宁夏吴忠·期中）计算 (1) (2) 53．（25-26八年级下·广东惠州·期中）计算： (1) (2) 54．（25-26八年级下·北京·期中）计算 (1)； (2) 55．（25-26八年级下·北京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 56．（25-26八年级下·重庆巴南·期末）计算： (1)； (2)． 57．（25-26八年级下·北京·阶段检测）计算： (1) (2) 58．（24-25八年级下·北京·期末）计算： (1)； (2) 59．（25-26八年级下·江西宜春·期中）计算： (1)； (2)． 60．（25-26八年级下·北京·期中）计算 (1) (2)； (3) (4)． 61．（25-26八年级下·山东德州·阶段检测）计算 (1) (2) 62．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）计算： (1) (2) 63．（25-26八年级下·河南安阳·期末）计算及化简求值： (1)； (2)． 64．（25-26八年级下·天津津南·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 65．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）计算∶ (1)； (2)． 66．（25-26八年级下·云南·期中）计算： (1) (2) 67．（25-26八年级下·北京西城·期中）计算： (1) (2) (3) 68．（25-26八年级下·山东德州·期中）计算： (1)； (2)． 69．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算： (1) (2) 70．（25-26八年级下·湖北恩施·期中）计算 (1) (2) 71．（25-26八年级下·湖北襄阳·期中）计算： (1)； (2)． 72．（2026八年级下·山东·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 73．（25-26八年级下·新疆喀什·期中）计算： (1) (2) 74．（25-26八年级下·辽宁鞍山·阶段检测）计算： (1) (2) 75．（24-25八年级下·浙江台州·期中）计算 (1) (2) 76．（25-26八年级下·天津·期中）计算， (1) (2) 77．（25-26八年级下·内蒙古通辽·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 78．（25-26八年级下·山东济宁·阶段检测）计算： (1)； (2)． 79．（25-26八年级下·天津和平·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； 80．（25-26八年级下·全国·暑假作业）计算． (1)； (2)； (3) (4)． 81．（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 82．（25-26八年级上·上海·期中）化简: 83．（25-26八年级上·上海金山·期中）计算：．（） 84．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3) (4)． 85．（25-26八年级上·上海·阶段检测）计算：． 86．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 87．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算∶ 88．（25-26七年级上·上海·阶段检测）计算: 89．（2025八年级上·全国·专题练习）化简：． 90．若x>0，化简． 【题型4 二次根式的化简求值——已知字母的值】 91．（25-26八年级下·北京·期中）已知：，，求的值． 92．先化简，再求值． ，其中，． 93．先化简；，然后再选取你喜欢而又合适的、的值，代入化简后的式子进行计算． 94．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）先化简再求值：，其中． 95．（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）化简求值：（其中，） 96．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）先化简，再求值：．其中． 97．（25-26八年级上·上海崇明·期中）先化简，再求值，已知，，求：的值． 98．先化简，再求值：，其中． 99．先化简，再求值，已知，求代数式的值； 100．先化简，再求值：，其中，． 101．化简并求值 (1)已知：，求值； (2)已知：，，求的值． 102．先化简，再求值：，其中． 103．先化简，再求值：已知，，求的值． 104．先化简，再求值：，其中． 105．先化简，再求值：已知：，求的值． 106．先化简，再求值，如果，，求的值． 107．先化简，再求值：，其中，． 108．先化简，再求值：，其中a＝3，b＝3． 109．先化简，再求值：，其中，． 110．化简并求值：，其中． 111．化简求值：，其中． 112．先化简，再求值：，其中，． 113．（9-10九年级上·湖北·期末）化简：；并将自己喜欢的a值代入化简结果进行计算． 114．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）将化简，然后选择一个合适整数的值，代入化简后的式子中求值． 115．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）化简求值：，其中． 116．（25-26八年级下·四川绵阳·期中）化简求值：，其中． 117．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）先化简，再求值：，其中． 118．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期中）先化简，再求值： ，其中，． 119．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）先化简，再求值：，其中，． 120．（25-26八年级上·上海静安·期中）先化简，后求值：，其中． 121．（24-25八年级下·吉林·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 122．（25-26八年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 123．（25-26八年级上·上海·阶段检测）化简，求值：已知，求． 124．（24-25八年级下·吉林白城·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 125．（24-25八年级下·山东滨州·期中）先化简再求值：，其中，． 126．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 127．（24-25八年级下·全国·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 128．（24-25八年级下·福建厦门·阶段检测）先化简，再求值：其中，． 129．（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)先化简，再求值．其中，． 130．（24-25八年级上·上海·阶段检测）（1）先化简，后求值：，其中． （2）已知，求的值． 【题型5 二次根式的化简求值——已知条件式】 131．先化简，再求值：已知y=，求的值． 132．（25-26八年级上·全国·寒假作业）先化简，再求值：，其中实数x、y满足． 133．先化简再求值：，其中． 134．（25-26八年级下·河南开封·阶段检测）若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，求的值． 135．（25-26八年级下·全国·单元测试）已知，，求的值． 136．（24-25九年级下·安徽蚌埠·开学考试）已知，求的值． 137．若 x，y 为实数，且 ． 求的值． 138．已知与满足，求代数式的值． 139．已知，求的值． 140．（24-25八年级下·西藏·期中）已知，求的值． 141．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知：，，求：的值． 142．若x，y为实数，且，求的值． 143．已知，，y＞0，求y的值． 144．已知，若，，试求a2+b2+ab的值． 145．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求式子的值． 146．（25-26八年级上·上海闵行·期中）先化简，再求值：，其中是4的算术平方根，是的倒数． 147．已知a、b满足，求的值． 148．已知，，求的值． 149．（25-26八年级下·北京·期中）在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： (1)化简： ； (2)比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） (3)设有理数、满足：，则 ； (4)已知，则__________． 150．（25-26八年级下·山东聊城·期中）阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如样的式子，可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算． 请结合上述材料，解决如下问题： (1)计算：； (2)已知是正整数，，，，求． 【题型6 与二次根式相关的新定义运算】 151．（25-26八年级下·江西赣州·期中）对于新运算※，*规定如下：，． (1)求的值； (2)求的值． 152．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）对于实数，，定义运算◆：例如，，．若，满足方程求的值． 153．（1）定义新运算：对于任意实数，，都有． 例如，．求的值； （2）请你模仿（1），定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2021．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 154．（24-25八年级下·吉林松原·阶段检测）定义两种新运算，规定：，，其中a，b为实数且． (1)求的值； (2)化简． 155．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段检测）对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． (1)求的值； (2)若，求x的值． 156．对于任意的整数，，定义运算“☆”为：． 求：的值． 157．对于任意实数a，b，定义一种运算“&”如下：.如，求的值. 158．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）定义：已知，都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与_____是关于3的“实验数”，与是关于3的“实验数”，则是_____，表示的值的点落在数轴上的位置位于_____． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 159．定义：若两个二次根式a、b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． (1)若a与是关于10的共轭二次根式，则 ； (2)若与是关于12的共轭二次根式，求m的值． 160．对于任意的正实数和，我们定义新运算：，如：，求：的值． 161．（25-26八年级上·全国·单元复习）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：．如． (1)求的值． (2)求的值． 162．（24-25八年级下·河南周口·阶段检测）定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出、的“如意数”； (2)已知，且、的“如意数”，求的值． 163．（25-26八年级下·辽宁鞍山·期中）定义：对于两个正实数x和y，如果存在整数k，使得，则称x与y是关于k的“整积数”． (1)已知，，且x与y是关于整数2的整积数，求m的值； (2)已知，，判断x与y是否为整积数？若是，求出对应的k值；若不是，说明理由． 164．已知实数，，定义“★”运算规则如下：，求的值． 165．（25-26八年级下·陕西西安·期中）定义：形如“”的数称为“族数”（其中m，n为有理数，），并规定：两个“族数”之间可以进行“，，，”等运算，运算法则符合二次根式的相关要求． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在和中，属于“族数”的是_________； (2)已知（其中b为有理数，）均为“族数”，判断是否为“族数”，并说明理由． 166．定义：已知都是实数，若，则称与是关于3的“实验数”． (1)4与是______关于3的“实验数”，与______是关于3的“实验数”． (2)若，判断与是否是关于3的“实验数”，并说明理由． 167．（25-26八年级上·北京顺义·期中）我们规定用表示一对数对，其中，．给出如下定义：记，，将称为数对的“衍生数对”．例如：的“衍生数对”为； (1)数对的“衍生数对”是 ； (2)若数对与的“衍生数对”相同，则y的值为 ； (3)若数对的“衍生数对”是，求的值； (4)若数对的“衍生数对”是，当时比较和的大小关系，并说明理由． 168．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段检测）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数T：， (其中m为满足不等式的最大整数，n为满足不等式的最小整数)，则称无理数T的“麓外区间”为， 如 所以 的麓外区间为． (1)无理数 的“麓外区间”是 ； (2)若 则b的“麓外区间”是 ； (3)若无理数 (a为正整数)的“麓外区间”为 的“麓外区间”为，求 的值； (4)实数x，y，n满足 求n的算术平方根的“麓外区间”． 169．（24-25八年级下·浙江金华·阶段检测）我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】（1）已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式_____； （2）已知（、是整数，是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】（3）已知，求的值； （4）已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】（5）已知的三边长、、满足，求的周长． 170．定义：把形如与为有理数且，为正整数且开方开不尽的两个实数称为共轭实数． (1)请你举出一对共轭实数：_________________； (2)与______共轭实数，与______共轭实数；在横线上填“是”或“不是” (3)共轭实数，是有理数还是无理数？为什么？ (4)【变式】若有理数，满足，则______． (5)你发现共轭实数与的和、差有什么规律？ 171．用定义一种新运算：对于任意实数和，规定． (1)求的值． (2)_____________． 172．（25-26八年级下·全国·课后作业）请按要求解答： (1)定义新运算：对于任意实数，，都有．例如：．求的值． (2)请你模仿（1）定义一种新运算，使得实数和的运算结果为2026．写出你定义的新运算，并写出计算过程． 173．（1）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝|a﹣b|+1，比如，数字2和5在该新运算下结果为4．计算如下：2⊕5＝|2﹣5|+1＝4，求⊕2的值； （2）请你定义一种新运算，使得实数和1在你定义的新运算下结果为20，写出你定义的新运算，并写出计算过程． 174．（24-25七年级下·福建厦门·期中）对于任意实数a和b，定义一种新运算：，例如： (1)根据定义，______． (2)求的平方根． 175．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对，若满足，则称该有序数对为“望一”数对；若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算： ． (2)下列数对是“望一”数对的有 ，是“望音”数对的有 ．（填序号） ； ； ； ； ． (3)计算的值． 176．（24-25七年级下·江西南昌·期中）阅读材料： 材料一：定义表示不大于x的最大整数，例如，，； 材料二：定义新运算，如，对有序实数对． 若满足，则称该有序数对为“望一”数对： 若满足，则称该有序数对为“望音”数对． (1)计算的值； (2)下列数对是“望一”数对的有______，是“望音”数对的有______．（填序号） ①；②；③ (3)计算：______． 177．两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走．共轭即为按一定的规律相配的一对，在数学中有共轭复数、共轭根式、共轭双曲线、共轭矩阵等． 共轭实数定义：把形如和（a， b有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数． 在学习了第六章《实数》的内容后，数学兴趣小组设计了如下问题： (1)根据共轭实数定义我们可以判定：与 共轭实数；与 共轭实数（填“是”或“不是”）； (2)请你设计并写出一对共轭实数．它们是 与 ； (3)小明发现共轭实数和运算结果（如：和、差、积、商等）都有一定的规律．请你求共轭实数与的和与差． ①； ②． 178．（25-26八年级下·河北唐山·期中）定义两种新运算，规定：，，其中，为实数，且． (1)求的值． (2)求的值． 179．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）在学习二次根式的过程中，对于代数式M定义新的运算： (1) ， ， ; (2)若实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示， 化简： (3)若，求的值. 180．（24-25八年级下·青海海东·期中）定义新运算：对于任意实数，都有，例如． (1)求的值； (2)求的值． 【题型7 与二次根式相关的规律计算】 181．（2026·浙江嘉兴·二模）观察下列等式： ， ， ， …… 根据以上规律，请完成下面问题： (1)求的值； (2)比较与2026的大小，并说明理由． 182．（25-26八年级下·河南新乡·期中）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，数字2称为“穿墙”数．具有这种现象的数还有许多，例如：，等． 【猜想】 (1)________； 【推理】 (2)请用含n（n为“穿墙”数，）的等式表示上述规律：_________； 【应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 183．（25-26八年级下·浙江·期中）观察下列等式，并回答下列问题： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： ………… (1)请直接写出第4个等式 ； (2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的代数式表示第n个等式为 ，并计算： 184．（2026·安徽蚌埠·一模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 185．观察下列等式： 将以上三个等式相加得 (1)猜想并写出： ； (2)已知数列，，表示的前n项和，试求数列的前2022项和的值． 186．（24-25八年级上·山东济南·期中）观察下列等式，解答后面的问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… (1)根据以上的规律，写出第8个等式________________； (2)利用上面的规律比较大小：________（填＞、＜或＝）； (3)计算：． 187．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，…，．定义：，，，…． (1)由上可知：___________，___________． (2)按此规律类推，试猜想的值，并证明你的猜想． 188．（24-25七年级下·广东湛江·阶段检测）对于含算术平方根的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将算术平方根符号去掉，例如：， 观察上述式子的特征，解答下列问题： (1)把下列各式写成去掉算术平方根符号的形式（不用写出计算结果）： ______________；______________． (2)当时，______________；当时，______________． (3)计算：． 189．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 190．观察下列等式： 等式1：；等式2：；等式3： (1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ； (2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ． 191．（25-26八年级上·江西吉安·期中）观察下列等式： ；；；… 按照上述规律，回答以下问题： (1)请写出第7个等式：________； (2)请写出第个等式：________； (3)求的值． 192．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：____________． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________． (3)应用运算规律： ①化简：____________． ②若（均为正整数），则____________． 193．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段检测）阅读下列材料，解决问题： 材料一：设表示不大于x的最大整数，如，． 材料二：求的值：∵，∴，∴，∴． 材料三：2025数字构成的巧合：； ． 2025年是仅有的平方年、立方年，不能不珍惜这神奇的一年． (1) ； ； ． (2)已知n为整数，化简：（结果用含n的代数式表示）． (3)已知，，令，求． 194．阅读下列解题过程并解答问题： ；；… (1)填空：______，_______． (2)利用上面隐含的规律计算：． 195．【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式________． (2)请根据上面式子的规律填空：________． (3)计算：． 196．仔细观察下列等式： ① ② ③ (1)请你根据以上规律，写出第7个和第10个等式． (2)直接写出第n个等式（n为正整数）． 197．先阅读理解，再回答问题． ∵ ，且， ∴的整数部分是1，小数部分是． ∵ ，且， ∴的整数部分是2，小数部分是． ∵ ，且， ∴的整数部分是3，小数部分是． 利用上面的知识，确定下列各数的整数部分和小数部分∶ (1) (2) (3) 198．晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是晓明的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：＝_____． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，按此规律第n个式子可以表示为：_____． (3)应用运算规律： ①化简：＝____； ②若（a，b均为正整数），则a+b＝_____． 199．观察下列各式：①，②，③，④，…．利用你观察到的规律 (1)写出 ， ； (2)计算的值为 ． 200．若表示不超过x的最大整数（如等），求 的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $