山东威海乳山市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

**基本信息** 融合数学文化与思维训练，覆盖二次根式、四边形等核心知识，梯度设计适配初三期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次根式、正方形判定、方程根的判别|第9题结合秦九韶三斜求积公式，渗透数学文化传承| |填空题|5/15|方程根、矩形折叠、几何计算|第15题矩形折叠问题，考查空间观念与几何直观| |解答题|8/75|尺规作图、面积计算、几何模型探究|23题几何模型探究，通过直观猜想、推理培养逻辑思维与创新意识|

初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是 A． B． C． D． 2．下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是 A．与 B． 与 C．与 D．与 3．下列说法正确的是 A．对角线相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C．对角线垂直的矩形是正方形 D．有一组邻边互相垂直的矩形是正方形 4．一元二次方程的根的情况是 A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 5．设，，，则a，b，c的大小关系是 A． B． C． D． 6．如图，在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线。添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是 A．AE=AF B．EF⊥AC A E D F C B C．∠B=60◦ D．AC是∠EAF的平分线 7．实数a，b在数轴上的位置如图所示，· · · · · 0 -1 1 a b 化简：的结果是 A． B． C．2a+b+1 D． 8．如图，△ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB上一点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，AC＝4，M是EF的中点，则CM最小值是A E D M F C B A． B． C． D．2 9．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边分别为a，b，c，S为面积，则该三角面积公式为S=，已知△ABC三边分别是3，和，则△ABC的面积是 A． B． C． D．3 A E D F C B 10．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB=2，∠EBC=30◦ ，则△ABF的面积为 A．4 B．2 C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11．若式子有意义，则的取值范围是 ． 12．已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为 ． 13．已知关于的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是 ． 14．已知如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是BC和DC的中点，BF与AE交于点M，则 MF的长是 ． 15．将一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C落在AB边上的C'处，折痕为MN，点D落在点D'处，C'D'交AD于点E.若BM=3，BC'=4，AC'=3，则DN= ． A E D F C B M 第14题 第15题 C' A C B E D D' M N 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16．（本题满分9分） （1）计算： （2）解方程:． 17． （本题满分8分） 已知 的整数部分为a，小数部分为b , 求的值 18． （本题满分8分） 关于x 的一元二次方程的一个根是-1 ，且a,b 满足,用配方法解关于y的方程 19．（本题满分8分） 关于y的方程有两个相等的实数根，求n和方程的根分别是多少？ 20．（本题满分10分） 已知△ABC，以点A为圆心，任意长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N。分别以MN为圆心，以大于MN线段长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D。分别以点A和D为圆心，以大于AD线段长为半径画弧，两弧分别交于点G和点H。作直线GH，交AB于点E，交AC于点F。连接ED、FD，试判断四边形AEDF的形状并证明。A E D F C B M N P G H 21．（本题满分10分） 菱形AECF的两边AF与CE位于四边形ABCD上，其中AB∥CD,四边形ABCD对角线相交于点O，EF=OC=，BE=3，AB=4,求四边形ABCD的面积？ A B C D F E O 22．（本题满分10分） 阅读下面材料，完成问题。 在二次根式运算中，部分代数式结构复杂，直接计算难度较大，我们可以通过观察结构、因式分解、倒数转化等方法化繁为简。 (1)因式分解 合理分组 提取公因式 整体分解 （2）倒数转化 求代数式的值时，若原式不宜计算，可先求其倒数，再取倒数得结果。 已知，求代数式的值。 解：先求倒数： 代入： 所以 （3）灵活运用 请运用上述方法，解答下列问题： 问题1：因式分解： 问题2：已知，求代数式的值。 问题3：化简： 23．（本题满分12分) 在探索几何图形变化的过程中，通过直观猜想、逻辑推理、归纳总结可以获得典型的几何模型，运用几何模型能够轻松解决很多问题，让我们共同体会几何模型的“数学之美”． （1）【几何直观】如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，在△ABC内部取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AD′，连接BD，CD′，则CD′与BD的数量关系是　 　 ；∠AD′C与∠ADB的数量关系是　 　 ； （2）【类比推理】如图2，在正方形ABCD内部取一点E，使∠CED＝90°，将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到线段CE′，连接E′B，延长E′B交DE的延长线于点F，求证：四边形CEFE′是正方形； （3）【深度探究】在矩形ABCD中，AC与BD交于点O点，E为BC边上的一点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE′，连接OE′，若AD＝3，AB， ①当∠BAE=30°,OE′与AC的位置关系是　 　 ； ②求DE′的最小值．A B C D D′ 图1 图2 A B C D E F E′ • B A D C E • 图3 O E′ E′ B A D C E • 备用图 O 初三试题 第 4 页 （共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $初三数学答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共30分）BCCCD CBAAC 二、填空题（每小题3分，共15分） 6W5 11.x2-2且x≠1；12.-3：13.x=2:14.5；15.2 三、解答题（共75分） 16.(9分) 解：(1)原式 3分 5分 (2)原式品726=7： 2 7分 DE-T0D-18D- 2 8分 “=-1,为=2 9分 17.(8分) 4-15 +2 解：原式 4+V154-V15 =6-15 3分 ∴.a=2,b=6-15-2=4-15 巨分 b=4-V15 616-8V15+15 i31-8V15 &分 18.(8分) 解：由题意，得a-b+c=0 1分 a-3≥0 3-a20 .a=3b=-2 3分 .3+2+c=0 ∴.c=-5 4分 初三数学答案第1页（共3页） .3y2-2y-5=0 -周間 -9 1.4 14 解3 y= 7分 145 14 “八=3+33 h33-1 &8分 19.(8分) 解：a-1,b=(n+2).c=(n-3 1分 ,有两个相等的实数根。 :b2-4ac=(n+2}-40n-3}=0 2分 :+2y=[26n-3P」 n+2=±2n-3). =8,%=3 4分 .n<4. 5分 5 =0 6分 -2-2-2-2-222222-22222-2222-------2-2--0-2-2--2------27 5 y1=y2= 3 8分 20.(10分) 解：四边形AEDF是菱形. 222ea=a2 初三数学答案第2页（共3页） 根据作图痕迹可知：AD平分∠BAC,EF垂直平分线段AD 4分 ∴∠EAD=∠FAD,AE=ED,AF=FD. 6分 EF⊥AD. ∴.∠AEF=∠AFE. 7分 ∴AE=AF. .8分 ∴AE=ED=AF=FD. 9分 .四边形AEDF是菱形. 10分 21.(10分) 解：，菱形AECF A/c,4c1R4C=20C=45.AE=EC,0E-F=5 1分 :EC=V(0E2+0C2)=5+20 ∴.AE=EC=5. 3分 ∴，BC=BE+EC=8. 4分 :AB2+BC2=42+82=80.AC2=(4V5)2=80 .AB2+BC2=AC2 .∠B=90°. 7分 ,AF∥CEAB∥CD ABCD是平行四边形. 8分 ,∠B=90° ∴ABCD是矩形 9分 ABCD的面积=AB×BC=4×8=32 10分 初三数学答案第3页（共3页） 22.(本题10分) W5+万2+5 问题1： 2分 问题2： -2=23 --a2-5 ,1 x+二=±5 3分 2+5x+1-x++5 2+5x+1 =10或0（舍去） x 1 4分 x2+5x+110 问题3： 5分 V15+√21+25+√35 √3+√7+√20 (5+5+5) 7分 V3+V7+2W5 设：5+5=a,5+7=b, ab 则原式a+b, 初三数学答案第4页（共3页） ~a+b=0+b=l+1 8分 ababab b a 1 1 3+5+5+7 -5-3万-V5 2 2 9分 =-5 2 √7+3 …a+b√7-√万 2 10分 22.(本题10分) (5+7W2+5) 问题1： 3分 问题2： =23+2=25 x+=5 x 4分 2+5x+1 1 =x+二+5 比 :+5x+1-10或0X舍去) 1 5分 “x2+5x+110 问题3： 6分 15+v2i+√25+√35 V3+√7+√20 (5+73+5) 7分 V3+√7+2W5 设：5+5=a,5+万=b, ab 则原式a+b, 初三数学答案第5页（共3页） :a+b-a+b=1+1 ababab b a 8分 1 =5+5+5+万 =5-5,万-5 2 2 9分 =7-5 2 .:ab 2 √7+5 a+b√7-5 2 10分 23.(本题12分) CI)相等（或CD=BD):相等（或∠ADC=∠ADB):2分 (2)证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠DCB=90°，BC=DC. .CE绕点C逆时针旋转90°得到CE, ∴.∠ECE=90°，CE=CE .∠DCB=∠ECE=90°， ∴.∠DCB-∠BCE=∠ECE-∠BCE 3分 即∠DCE=∠BCE, ∴.△BCE2△DCE(SAS). 4分 ∴.∠BE'C=∠DEC=90°. :∠CED+∠CEF=180°， .∴.∠CEF=90°， ∴∠BE'C=∠ECE=∠CEF=90°. ∴.四边形CEFE是矩形 5分 又，CE=CE, ∴四边形CEE是正方形： 6分 (3)①垂直 E ②解：如图，连接D A D ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAD=90°，AO=OB, ∴4C=BD=V4B2+AD2=26 -0 ∴A0=OB=AB=V6 8分 ∴.△AOB是等边三角形，则∠OAB=60°， ,线段AE绕点A逆时针旋转60°得到线段AE, 初三数学答案第6页（共3页） ∴.AE=AE,∠EAE=60°， ∴.∠OAB=∠EAE=60°， ∴.∠OAB-∠OAE=∠EAE-∠OAE,即∠EAO=∠EAB, 又，OA=BA,EA=EA, ∴.△EAO≌△EAB（SAS), ∴∠AOE=∠ABE=90°， 10分 ∴.E在OE上运动，且FOLAC, .当DE⊥OE时，DE取得最小值， 11分 .∠AOB=60°， ∴.∠AOD=120°， 又，∠AOE=90°， .∴.∠EOD=30, DE-IOD-1BD- 12分 ..当D⊥O时， 4 2 初三数学答案第7页（共3页）