山东省威海乳山市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

**基本信息** 初三数学期末试卷注重基础与综合能力结合，融入生活情境与跨学科应用，通过分层设计考查抽象能力、推理意识和模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似三角形、菱形性质、方程根|基础概念辨析，如第4题等腰三角形相似判断| |填空题|5/15|投影、相似比、方程判别式|结合几何直观，如第15题矩形动点求PB最小值| |解答题|8/75|跨学科（镜子问题）、模型拓广（正方形角问题）|综合应用与创新，如第21题跨学科镜长计算，第23题从正方形模型推广至四边形应用|

初三数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1．下列计算正确的是 A． B． C． D． 2．下列方程的两个实数根的和为-4的是 A． B． C． D． 3．若，，则 A．13 B．14 C．15 D．16 4．下列四组图形中，一定相似的是 A．两个直角三角形 B．各有一个角是20°的两个等腰三角形 C．各有一个角是110°的两个等腰三角形 D．有两边之比都等于2:3的两个三角形 ( A B C D E )5．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是 6，8，AE⊥BC于点E，则AE= A． B． C． D． ( A B C D E F )6．如图，点E在□ABCD的边AD上，，BE与CD的延长线交于点F，若，则□ABCD的周长为 A．21 B．34 C．28 D．42 7．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是 A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A的坐标为（2，3），若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为，则点A′的坐标为 A．（1，） B．（2，6） C．（1，）或（﹣1，） D．（2，6）或（﹣2，﹣6） ( A B C D E F )9．如图，点D在△ABC的边BC上（不与点B，C重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于点E，F．下列说法正确的是 A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形 C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形 ( A B C D F E N M )10．如图，把一个含45°角的直角三角板BEF和一个正方形ABCD摆放在一起，三角板的直角顶点和正方形的顶点B重合，点E，F均在正方形的边上，连接DF，DE，点M，N分别为DF，EF的中点，连接MA，MN．下列结 论错误的是 A．AF=CE B．△DEF为等边三角形 C．AM=MN D．AM⊥MN 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11．小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 12．若-1<a<0，化简：= ． 13．如图，DE∥BC，AD：DB=1：3，，则= ． 14．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． ( A )15．如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，点E为AB的中点，点F为EC上的动点，点P为DF的中点，连接PB．则PB的最小值为 ． ( D ) ( E ) ( D ) ( C ) ( P ) ( F ) ( C ) ( B ) ( E ) ( B ) ( A ) ( 第15题图 ) ( 第1 3 题图 ) 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16．（本题满分9分） （1）用配方法解方程：； （2）计算：． ( 24cm 2 8 cm 2 B A C D E F G N M )17．（本题满分6分） 如图，从正方形ABCD中裁去面积为8cm2和 24cm2的两个小正方形DEFG，BNFM，求阴影部 分的面积和． 18．（本题满分8分） 园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 19．（本题满分8分） 如图，点B在线段AC上（AB>BC）， ( A B C D )AB=CD，∠A=∠CDB．求的值． 20．（本题满分10分） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．DF⊥CE于点F，∠B=60°．求证：． 21．（本题满分11分）跨学科学习 问题情境 小帅同学要买一面矩形镜子，并将其悬挂在墙面MN上，要确保站在镜子前一定的距离能看到自己的全身AB．（说明：镜子为平面镜，镜面紧贴墙面，且镜子的下侧边缘与地面平行，点C记为小帅的眼睛，A1B1为小帅在镜子中的像） 图形展示 示意图 几何图形 ( 地面 墙 镜 子 小帅 A B C M N M B 1 E M F M A 1 ) 测得小帅的身高AB为a，头顶A到眼睛C的距离AC为b，身体的最大水平宽度为c，小帅与镜面间的水平距离BN为l．（单位：cm） （1）求镜子竖直长度的最小值，以及悬挂后镜子上侧边缘与地面的距离EN； （2）镜子水平宽度的最小值为 cm；（直接写结果） （3）当小帅从所站位置靠近镜子时，要仍能从镜子中看到自己的全身，则镜子的竖直长度 ，镜子的水平宽度 ，镜子上侧边缘与地面的距离 ．（在横线上填写字母代号） A．需增大 B．需变小 C．不需改变 22．（本题满分11分） ( A B C D E F G )如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点F，G是AB的中点，CG交BD于点E，连接AE，． 求证：（1）∠GAE=∠GCA； （2）． 23．（本题满分12分） 【模型分析】 （1）如图Ⅰ，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，若∠EAF=45°，可得结论：EF=BE+DF．请对该结论进行证明； 【模型拓广】 （2）①一般化推广： 如图Ⅱ，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，点 E，F分别在边BC，CD上，若结论EF=BE+DF仍然成立，则∠EAF与∠BAD间的数量关系是 ．（直接写答案，不用证明） ②生活化应用： 如图Ⅲ，点D在△ABC的边AC上，CD=2，AD=3，∠ACB=90°，延长CB到E，使CE=5，DE与AB交于点F，∠BFE=45°，求的值． ( A B C D E F 图 Ⅰ E C D B F 图 Ⅲ A A B C D E F 图 Ⅱ ) 初三试题 第 1 页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学答案及评分标准 关于卷面评分标准：分四档，一档9—10分，占20%；二档6—8分，占40%；三档4—5分，占20%；四档0—3分，占20%． 一、选择题（每小题3分，共30分） DCACB BDCDB 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．；12．；13．；14．且；15．． 三、解答题（共75分） 16．（9分） 解：（1）方程化为． 1分 ． 3分 解得，． 4分 （2）原式= 8分 ． 9分 17．（6分） 解：可求得正方形DEFG，BMFN的边长分别为cm，cm． 2分 ∴正方形ABCD的边长为（+）cm． 3分 ∴阴影部分的面积和为 4分 =cm2． 6分 18．（8分） 解：设小路的宽度为米，由题意得 1分 ． 5分 解，得，舍． 7分 答：小路的宽度为1米． 8分 19．（8分） 解：易求得△CDB∽△CAD． 3分 ∴． 即． 4分 ∵AB=CD， ∴． 5分 ∴点B为AC的黄金分割点． 6分 设AC=a． ∵AB>BC， ∴=． 8分 20．（10分） 解：∵∠BAC=90°，点D是BC中点， ∴AD=BD=CD． 2分 ∵∠B=60°， ∴△ABD是等边三角形． 3分 ∵CE∥AD， ∴∠ADB=∠ECB=60°． 4分 ∵AE∥BC， ∴四边形ADCE是平行四边形． 5分 ∵AD= CD， ∴□ADCE是菱形． 6分 ∴CE=CD． 7分 ∵DF⊥CE， ∴∠DFC=90°． 8分 ∴∠CDF=30°． ∴CF=． 9分 ∴CF=． ∴． 10分 21．（11分） 解：（1）由题意可得． ∵MN⊥BB1，A1B1⊥BB1， ∴MN∥A1B1． 1分 ∴△CEF∽△CA1B1． 2分 ∴． ∵A1B1 =AB= a， ∴cm． 3分 同理可得cm． 5分 ∴cm． 6分 （2）． 8分 （3）C；C；C． 11分 22．（11分） 解：（1）∵， ∴． 1分 ∵∠AGE=∠CGA， ∴△AGE∽△CGA． 2分 ∴∠GAE=∠GCA． 3分 （2）∵点G是AB的中点， ∴AG=BG． ∴． 4分 ∵∠BGE=∠CGB， ∴△BGE∽△CGB． 5分 ∴∠GBE=∠GCB． ∵∠AED=∠ABE+∠BAE，∠ACB=∠GCB+∠GCA， ∴∠AED=∠ACB． 7分 ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB． 8分 ∴∠DAC=∠DEA． 9分 ∵∠ADF=∠EDA， ∴△ADF∽△EDA． 10分 ∴． ∴． 11分 23．（12分） 解：（1）延长CB到点G，使BG=DF，连接AG． 可求得△ABG≌△ADF． 1分 ( A B C D E F G )∴AG=AF，∠BAG=∠DAF． 可求得∠EAG=∠EAF=45°． ∵AE=AE， ∴△AEG≌△AEF． ∴EG=EF． 3分 ∵EG=BE+BG， ∴EF=BE+DF． 4分 （2）①∠EAF=∠BAD． 6分 ②过点A作AG∥CE，过点E作EG∥CA，交于点G，过点E作EH∥BA，交AG于点H，连接DH． 7分 ( E C A G D H B F )可求得四边形ECAG是正方形． 8分 ∵∠BFE=45°， ∴∠DEH=∠BFE=45°． 9分 由（1）可得：DH=CD+GH． 可求得四边形ABEH是平行四边形． ∴AH=BE． 10分 设BC为x，则BE=AH=5-x，GH=x，DH=2+x． 在Rt△ADH中，可得． 解得，． 11分 ∴． ∴． 12分 第 1 页 （共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $