2.4　一元二次方程的应用第1课时课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程与勾股定理的应用，通过“梯子下滑”情境导入，衔接勾股定理和一元二次方程解法，以设未知数、列方程等步骤搭建学习支架，引导学生解决实际问题。 其亮点在于以情境和实例驱动教学，通过梯子问题、海军基地问题等培养数学眼光，结合勾股定理构建方程模型体现数学思维与数学语言表达。采用例题解析、跟踪训练等方法，小结明确步骤，助力学生提升应用能力，也为教师提供清晰教学路径。

第二章　2.4　一元二次方程的应用 第1课时　与勾股定理有关的 应用问题 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.能利用一元二次方程解决与勾股定理有关的实际问题.(重点) 2.在利用一元二次方程解决实际问题的过程中，提高数学的应用意识与解决问题的能力.(难点) 情境引入 还记得本章课本开始时梯子下滑的问题吗？如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m，如果梯子的顶端下滑1 m，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢？ 利用一元二次方程解决与勾股定理有关的应用问题 问题　回答“情境引入”中的问题. 提示　如图，设梯子顶端下滑x m时，梯子底端滑动的距离相等. ∴AA'=x m，BB'=x m，根据勾股定理得BC=6 m， 列方程得100=(8-x)2+(6+x)2， 整理得x2-2x=0， 解得x1=0(不符合题意，舍去)， x2=2， ∴梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动相等的距离. 知识梳理 利用一元二次方程解决与勾股定理有关的实际问题，求解的关键是利用题目中的直角三角形或构造直角三角形，从而为利用勾股定理计算或推理提供条件. 例　(课本P51例1)如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇 于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1 n mile)？ 解　连接DF， ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC的中位线. ∴DF∥AB，且DF=AB. ∵AB⊥BC，AB=BC=200 n mile， 例　(课本P51例1)如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇 于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1 n mile)？ 解　∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile. 设相遇时补给船航行了x n mile，那么DE=x n mile，AB+BE=2x n mile. EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile. 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程 x2=1002+(300-2x)2， 例　(课本P51例1)如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点.一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰. 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇 于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1 n mile)？ 解　整理，得3x2-1 200x+100 000=0. 解这个方程，得x1=200-≈118.4，x2=200+(不合题意，舍去). 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile. 反思感悟 因为一元二次方程有解时一定有两个实数解，所以在利用一元二次方程解决实际问题时，要注意根据实际问题的意义检验所得的两个实数解是否符合题意. 跟踪训练　如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动. (1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2； 解　设P，Q两点从出发开始到x s时四边形PBCQ的面积为33 cm2， 则PB=(16-3x)cm，QC=2x cm， 根据梯形的面积公式，得(16-3x+2x)×6=33， 解这个方程，得x=5. 即P，Q两点从出发开始到5 s时四边形PBCQ的面积为33 cm2. 跟踪训练　如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动. (2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm. 解　设P，Q两点从出发经过t s时，点P，Q间的距离是10 cm， 作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6 cm，PQ=10 cm，如图所示. ∵PA=3t cm，BE=CQ=2t cm， ∴PE=|AB-AP-BE|=|16-5t|， 由勾股定理，得(16-5t)2+62=102， 整理，得25t2-160t+192=0.解得t1=4.8，t2=1.6. 故从出发到1.6 s或4.8 s时，点P和点Q的距离是10 cm. 课堂小结 1.《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”.书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短.横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出.问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高、宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少(如图)？答：门高、宽和对角线的长分别是　　　　　尺.  随堂演练 8，6，10 解析　设门对角线的长为x尺，则门高为(x-2)尺，门宽为(x-4)尺，根据勾股定理可得x2=(x-4)2+(x-2)2，即x2=x2-8x+16+x2-4x+4，解得x1=2(不符合题意，舍去)，x2=10， 10-2=8(尺)，10-4=6(尺).即门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺. 2.如图，东西方向上有A，C两地相距10 km，甲以16 km/h的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12 km/h的速度从C地出发向正南方向前进，则最快经过多少h，甲、乙两人相距6 km？ 随堂演练 解　设最快经过x h，甲、乙两人相距6 km， 根据题意，得BC=(10-16x)km，DC=12x km. 在Rt△BCD中，根据勾股定理，得BC2+DC2=BD2，即(10-16x)2+(12x)2=62， 解这个方程，得x1=x2=0.4. 即最快经过0.4 h，甲、乙两人相距6 km. 谢谢观看 $