2.4 一元二次方程的应用课时1（课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的几何（行程）应用，通过梯子斜靠墙的情境导入，从勾股定理入手引导学生抽象数量关系，以问题链为支架衔接方程建立与求解，帮助学生掌握实际问题转化为数学模型的方法。 其亮点在于结合梯子滑动、纸盒制作等生活实例培养数学眼光，通过“审设列解验答”流程发展数学思维，用方程模型表达问题强化数学语言。学生能提升建模与推理能力，教师可借助结构化资源高效教学。

2.4 一元二次方程的应用 课时1 第二章 一元二次方程 九上数学北师 1.掌握建立数学模型解决几何(行程)问题。 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。 学习目标 2 如图，一架长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m。 10 m 8 m 课堂导入 3 知识点1 一元二次方程的应用 问题1 梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢? ① 梯子底端滑动的距离=梯子顶端滑动的距离； ② 直角三角形的勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。 10 m 8 m 思考：你能找到哪些等量关系? 新知讲解 知识点1 一元二次方程的应用 问题1 梯子顶端下滑1 m时，梯子底端滑动的距离大于1 m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动相等的距离呢? 设梯子顶端下滑x m 时，梯子底端滑动的距离和它相等。 由勾股定理，得梯子下滑前，梯子的底端与墙的底端的距离为=6(m)。 根据题意，由勾股定理，得(8-x)²+(6+x)²=10²。 化简，得x²-2x=0。 解得x1=0(不合题意，舍去)，x2=2。 所以梯子顶端下滑2 m时，梯子底端滑动的距离和它相等。 10 m 8 m x m x m 新知讲解 知识点1 一元二次方程的应用 问题2 如果梯子的长度是13 m，梯子顶端到地面的垂直距离是12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗? 设梯子顶端下滑的距离与梯子的底端滑动的距离相等且距离都为y m。 由勾股定理，得梯子下滑前，梯子的底端与墙的底端的距离为 =5(m)。 根据题意，由勾股定理，得(12-y)²+(5+y)²=13²。 化简，得y²-7y=0。 解得y1=0 (不合题意，舍去)，y2=7。 所以梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等，这个距离为7m。 13 m 12 m y m y m 新知讲解 数学问题( 一元二次方程) 实际问题 实际问题的解 抽象 寻找等量关系 数学问题的解 (一元二次方程的解) 解方程 解释 验证 知识点1 一元二次方程的应用 新知讲解 知识点1 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，找出等量关系； (2)设：设出未知数，用所设的未知数表示其他量； (3)列：列一元二次方程； (4)解：解一元二次方程； (5)验：检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值； (6)答：作答。 新知讲解 如图，某海军基地位于A处，在其正南方向200 n mile处有一重要目标B，在B的正东方向200 n mile处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC的中点。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里(结果精确到0.1 n mile)? 例1 A D B E F C 北 东 知识点1 一元二次方程的应用 新知讲解 解：连接DF。 ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC 的中位线。 ∴DF∥AB ， 且DF=AB。 ∵AB⊥BC，AB=BC=200 n mile， ∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile。 设相遇时补给船航行了x n mile， 那么DE=x n mile，AB+BE=2x n mile， EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile。 知识点1 一元二次方程的应用 A D B E F C 北 东 新知讲解 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x²=100²+(300-2x)²， 整理，得3x²-1 200x+100 000=0。 解这个方程，得x1=200-≈118.4， x2=200+(不合题意，舍去)。 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile。 知识点1 一元二次方程的应用 A D B E F C 北 东 新知讲解 跟踪训练 如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那么最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6千米。 A. B. C. 1.5 D. 知识点1 一元二次方程的应用 A 新知讲解 跟踪训练 如图，把一块长为40 cm，宽为30 cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为600 cm2，设剪去小正方形的边长为x cm，则所列方程是 。 知识点1 一元二次方程的应用 (30－2x)(40－2x)＝600 新知讲解 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿AC，BC方向向点C匀速移动(到点C为止)，它们的速度都是1m/s。多少秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半? . . 解：设x秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半。 根据题意，得 。 整理，得 x2-14x+24=0。 解这个方程，得 x1=2，x2=12(不合题意，舍去) 答：2秒后，△PCQ的面积是Rt△ABC面积的一半。 A B C P Q 8m 6m 随堂练习 2.今有二人同所立。甲行率七，乙行率三。乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会。 问：甲乙行各几何?(选自《九章算术》) 题目大意：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲单位时间内走7步，乙单位时间内走3步。乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。相遇时，甲、乙各走了多远? 请你画出示意图，并解决这个问题。 . . 解：示意图如图所示。设相遇时甲、乙所走的时间为x。 根据题意，得10²+(3x)²=(7x-10)²。 整理，得2x²-7x=0。 解得x1=3.5，x2=0(不合题意，舍去)， ∴x=3.5， ∴7x=3.5×7=24.5，3x=3.5×3=10.5。 答：甲走了24.5步，乙走了10.5步。 随堂练习 3.如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园。为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分)。小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度。 随堂练习 解：如图，设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可组成长为(20-4x)m，宽为(14-4x)m的矩形。 根据题意，得 (20-4x)(14-4x)=24×9。 整理，得2x2-17x+8=0。 解得x1=，x2=8。 当x1=时，20-4x=18，14-4x=12； 当x2=8时，20-4x=-12，14-4x=-18，不符合题意。 答：小路的宽度为m。 随堂练习 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝8 m，AD＝3 cm，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以2 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以1 cm/s的速度向点D移动。请问当点P和点Q的距离是5 cm时，P，Q两点出发了(　　)秒。 A. 4 B. 或4 C. 或8 D. B 随堂练习 5.如图，利用一面墙(墙长25 m)，用总长度49 m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1 m的小门，设栅栏BC长为x m。 (1)AB= m(用含x的代数式表示)； (2)若矩形围栏ABCD面积为210 m²，求栅栏BC的长； . . 解：(2)依题意，得：(51-3x)x=210， 整理，得：x²-17x+70=0， 解得：x1=7，x2=10。 当x=7时，AB=51-3x=30>25，不合题意，舍去； 当x=10时，AB=51-3x=21，符合题意。 答：栅栏BC的长为10 m。 (51﹣3x) A B C D 1m 1m 随堂练习 5.如图，利用一面墙(墙长25 m)，用总长度49 m的栅栏(图中实线部分)围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1 m的小门，设栅栏BC长为x m。 (3)矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240 m²?若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由。 . . 解：(3)不可能，理由如下： 依题意，得：(51﹣3x)x=240， 整理得：x²﹣17x+80=0。 ∵b2-4ac=(-17)2-4×1×80=-31<0， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240 m²。 A B C D 1m 1m 随堂练习 一元二次方程的解 应用一元二次方程 实际问题 实际问题的解 解方程 建立一元二次方程模型 检验 分析数 量关系 设未知 数 问题 解决 课堂小结 $