2.3　一元二次方程的根与系数的关系课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过复习求根公式和根的判别式搭建学习支架，引导学生从已有知识出发推导得出两根之和与两根之积的关系，形成完整的知识脉络。 其亮点在于以问题驱动引导学生自主推导关系，结合根的判别式强化运算严谨性，通过例题和跟踪训练提升符号意识与推理能力。如例2中利用根与系数关系求参数及代数式值，培养学生逻辑思维。学生能系统掌握知识应用，教师可借助结构化内容提高教学效率。

第二章　一元二次方程 2.3　一元二次方程的根与 系数的关系 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学习目标 1.理解一元二次方程中根与系数的关系，能用符号表示一元二次方程中根与系数的关系. 2.综合利用根的判别式、一元二次方程中根与系数的关系，解决一些简单的实际问题. 3.在利用一元二次方程中根与系数的关系解决问题的过程中，提高逻辑推理能力与数学运算能力，增强符号感. 课堂引入 1.一元二次方程的求根公式： x=(b2-4ac≥0). 2.一元二次方程根的判别式：b2-4ac. 3.一元二次方程的根与根的判别式b2-4ac的关系： 当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b2-4ac<0时，方程没有实数根. 一、 一元二次方程的根与系数的关系 问题　根据公式法解一元二次方程的知识可知，当方程ax2+bx+c=0有实数根时，方程的根为x1=，x2=，且x1+x2= +=　 ，x1·x2=·=　 . - 知识梳理 1.如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，那么ax2+bx+c =a(x-x1)(x-x2). 2.一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1+x2=-___. 例1　(课本P49例题)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (1)x2+7x+6=0； 解　这里a=1，b=7，c=6. Δ=b2-4ac=72-4×1×6=49-24=25>0， 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=-7，x1x2=6. 例1　(课本P49例题)利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： (2)2x2-3x-2=0. 解　这里a=2，b=-3，c=-2. Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×(-2)=9+16=25>0， 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=-1. 反思感悟 利用一元二次方程求其两根之和或两根之积时，有三个主要环节：①先将方程化为一般形式，其目的是正确得到a，b，c的值；②判定b2-4ac的值，其目的是确认方程是否有两个实数根；③在方程有实数根的前提下，利用根与系数的关系求解. 跟踪训练1　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积. (1)x2-6x-15=0； 解　这里a=1，b=-6，c=-15，Δ=(-6)2-4×1×(-15)=36+60=96>0， ∴方程有两个实数根. ∴x1+x2=6，x1x2=-15. 跟踪训练1　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积. (2)3x2+7x=9； 解　移项，得3x2+7x-9=0，这里a=3，b=7，c=-9， Δ=72-4×3×(-9)=49+108=157>0， ∴方程有两个实数根. ∴x1+x2=-，x1x2=-3. 跟踪训练1　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2之和与两根之积. (3)5x-1=4x2. 解　移项，得4x2-5x+1=0，这里a=4，b=-5，c=1， Δ=(-5)2-4×4×1=25-16=9>0， ∴方程有两个实数根. ∴x1+x2=，x1x2=. 二、 利用一元二次方程根与系数的关系求值 知识梳理 利用一元二次方程的根与系数的关系，可以解决下列问题：①求已知方程的两根之和与两根之积，以及与方程的两根之和、两根之积相关的代数式的值；②已知方程的一个根，求方程的另一个根或方程中的字母参数；③结合根的判别式，求方程中字母参数的取值范围等. 例2　(1)已知关于x的方程x2-kx+12=0的一个根为3，求k的值及它的另一个根； 解　∵方程x2-kx+12=0的一个根为3， ∴32-3k+12=0，解得k=7， 设另一根为x1，∵3x1=12， 解得x1=4， ∴k的值为7，方程的另一根为4. (2)已知m，n是一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根，求下列代数式的值： ①(m-n)2；②+. 解　∵m，n是一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根， ∴m+n=3，mn=-1. ①原式=(m+n)2-4mn=32-4×(-1)=13. ②原式====-11. 反思感悟 利用一元二次方程根与系数的关系求关于x1，x2的代数式的值时，关键是把所给的代数式进行恒等变形，化为含x1+x2，x1x2的形式，然后把x1+x2，x1x2的值整体代入，即可求出所求代数式的值. 跟踪训练2　已知α，β是方程x2-3x-5=0的两根，不解方程，求下列代数式的值. (1)+；(2)α2+β2；(3)α-β. 解　∵α，β是方程x2-3x-5=0的两根， ∴α+β=3，αβ=-5. (1)+==-. (2)α2+β2=(α+β)2-2αβ=32-2×(-5)=19. (3)∵(α-β)2=(α+β)2-4αβ=32-4×(-5)=29， ∴α-β=或α-β=-. 课堂小结 1.已知关于x的一元二次方程x2+3x-m=0有两个实数根，则该方程的两根之和等于 A.-10 B.-3 C.3 D.10 随堂演练 √ 解析　设方程的两个根为x1，x2，∴x1+x2=-3. 2.一元二次方程3x2-mx-3=0有一根是x=1，则另一根是 A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=4 随堂演练 √ 解析　设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得1·t==-1，解得t=-1，所以方程的另一个根为-1. 3.设x1，x2是一元二次方程x2-x-1=0的两根，则x1+x2+x1x2=　　.  随堂演练 0 解析　∵x1，x2是方程x2-x-1=0的两根，∴x1+x2=1，x1x2=-1. ∴x1+x2+x1x2=1-1=0. 4.不解方程，求下列方程两个根的和与积. (1)x2-6x=-5； 随堂演练 解　原方程化为x2-6x+5=0，所以两根之和为6，两根之积为5. (2)2x2-1=3-5x； 解　原方程化为2x2+5x-4=0，所以两根之和为-，两根之积为-2. 4.不解方程，求下列方程两个根的和与积. (3)3x2-3x=x2； 随堂演练 解　原方程化为2x2-3x=0，所以两根之和为，两根之积为0. (4)4x2-2x+1=x+8. 解　原方程化为4x2-3x-7=0，所以两根之和为，两根之积为-. 谢谢观看 $